Оптимизация чувствительных элементов акселерометров Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 531.781.2

М.Е. Лопухов

магистрант,

кафедра «Авиационные приборы и устройства», Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»

В.И. Поздяев

канд. техн. наук, доцент, кафедра «Авиационные приборы и устройства», Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»

ОПТИМИЗАЦИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ

Аннотация. В статье рассмотрены постановка задачи на конструкторскую оптимизацию чувствительных элементов акселерометров. Приводится методика оптимизации и представлены результаты решений, пригодные для инженерного проектирования акселерометров.

Ключевые слова: акселерометр, чувствительный элемент, оптимизация.

M.E. Lopuchov, Arzamas Polytechnic Institute (branch) Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alexeev

V.I. Pozdyaev, Arzamas Polytechnic Institute (branch) Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alexeev

OPTIMIZATION OF SENSITIVE ELEMENTS OF ACCELEROMETERS

Abstract. Problem statement for design optimization of accelerometers' sensitive elements is considered. An optimization method is described; solutions that can be used for accelerometer design are proposed.

Keywords: accelerometer, sensitive element, optimization.

Одни из наиболее перспективных измерителей ускорения подвижных объектов, в случае, когда требуется высокая точность при больших диапазонах измерения, - это маятниковые акселерометры компенсационного типа, выполненные из материалов, имеющих конструктивно-привлекательные физико-механические свойства: из плавленого кварца и монокристаллического кремния.

Конструктивные схемы кремниевых и кварцевых акселерометров схожи. Механическая часть представляет собою закрепленный в силовой раме через упругие подвесы подвижный узел со смещенным центром масс (физический маятник). На нем могут располагаться компоненты преобразователя перемещений и преобразователя обратной связи (в силу и момент) различных типов, в том числе емкостного, электростатического и магнитоэлектрического.

В мировом приборостроении давно сформировался глобальный принцип разработки устройств и систем измерения и управления - принцип миниатюризации при сохранении функциональности [1-4]. Этот принцип логически связан с всеобъемлющим принципом обеспечения максимума полезного объема конструкции при минимальной площади поверхности (что приводит к необходимости решения пространственной задачи оптимизации в классе геометрических задач), а также обеспечения максимальной полезной площади при минимальном периметре (это геометрическая задача оптимизации на плоскости).

Теоретическое решение пространственной задачи (при отсутствии ограничений) известно: сфера. Это фундаментальный математический результат. Однако сферическая конструкция наименее технологична, и на практике используют близкий вариант - цилиндр. Решением задачи оптимизации на плоской поверхности могут быть окружность и многогранник, вписанный в эту окружность. На рисунке 1 представлены примеры решений плоской задачи для узлов кремниевых чувст-

вительных элементов и пространственной задачи для конструкции прибора в целом [3].

Рисунок 1 -Примеры решений плоской задачи для узлов кремниевых чувствительных элементов и пространственной задачи для конструкции прибора в целом

В доступной научно-технической литературе не обнаружено строгих математических подходов к выбору и расчету геометрических размеров чувствительных элементов (ЧЭ) акселерометров. Из практики проектирования известно, что часть этих параметров назначается по так называемым «конструктивным соображениям» (это отвечает экспертному подходу) или по аналогии (прецеденту). Остальные, как и положено, рассчитываются из уравнений материальных и энергетических балансов, требований технического задания на обеспечение соответствующих статических и динамических свойств и т.д.

Рассмотрим методику оптимизации размеров конструкции маятникового ЧЭ по критерию максимального значения чувствительности на примере компенсационного кварцевого акселерометра (рис. 2).

Конструктивно акселерометр выполнен монолитно и включает в себя закрепленный в силовом корпусе-цилиндре 1 через струнные подвесы 2 маятниковый ЧЭ в виде П-образной рамки 3.

Рисунок 2 - Электрокинематическая схема кварцевого акселерометра: 1 - силовой корпусный элемент из кварца в виде цилиндра , 2 - струнный подвес, 3 - П-образная рамка-маятник, 4 - металлическое напыление на маятник и подвес, 5 - магнитная система, 6 - блок электроники с усилителем и корректирующим устройством, 7 - фотомикросхема преобразователя угла, 8 - заслонка для светового потока от светодиода, 9 - светодиод, 10 - сопротивление нагрузки

Элементы 2 и 3 должны вписываться в корпус 1, следовательно, имеется ограничение конструктивного (геометрического) характера, что при наличии соответствующего критерия оптимизации сводит задачу оптимального проектирования в класс геометрических задач.

Расчетная схема вписанной в окружность рамки с подвесами представлена на рисунке 3.

Ь

Рисунок 3 - К расчету геометрического ограничения

В математическую модель задачи на оптимизацию войдут проектные параметры - это геометрические размеры a и b ЧЭ в плане (рис. 3), ограничение на них конструктивного характера и целевая функция (ЦФ) в виде коэффициента чувствительности («маятниковости»), равного [6]:

K = Ml , (1)

где M - масса П-образной рамки;

l - расстояние от оси вращения до центра масс.

Общая масса П-образного маятника, изготавливаемого путем сварки микрогорелкой трех кварцевых заготовок-прутков диаметром d, равна

M = ppd 2(2a + b) , (2)

4

а расстояние до центра масс П-образного маятника вычисляется из уравнения равновесия моментов по формуле:

d2a a _ d2b | • 2 •2 + •a a(a + b)

ppd- (2a + b) (2a + b) ,

4

где а и b - длины каждой из трех сторон П-образного ЧЭ (рис. 3), р - удельная плотность кварца.

Подставим (3) и (2) в (1) и получим окончательный вариант ЦФ в виде коэффициента чувствительности:

K = с (a2 + ab) ® max, (4)

где константа c равна:

с = pd 74,

причем принимается естественное ограничение d<<min (a, b).

Для получения ограничения на оптимизируемые параметры имеем из геометрических построений рисунка 3 следующие зависимости: из треугольника AOMN:

m+(2+ic J = R 2, (5)

где R=D/2 - внутренний радиус силового цилиндра; из треугольника AOPQ:

n+(2 J = R2; (6)

причем

m + n = a. (7)

Объединяя (5)-(7), получим ограничение на проектные параметры в стандартной форме:

И"-(Ы ^-Й! (8»

Таким образом, имеем условную задачу оптимизации (4) и (8), которую редуцируем в безусловную путем составления Лагранжиана:

L(a,b,1) = -c(a2 + ab) + /a JR2 - (2 + ^ J JR2 - [2 J ^

® min. (9)

Из-за достаточной сложности выражения (9) новой конструкции ЦФ дальнейшее решение возможно только численно.

Аналитическое решение получается для частного случая, когда можно пренебречь длиной струн подвеса по сравнению с размерами рамки ЧЭ: /с <<а, /с <<b. В этом случае упрощается ограничение:

а2 + b2 - D2 = 0. (10)

и Лагранжиан:

L(a,b,1) = —с(а2 + ab) +Л(а2 + b2 - D2min, (11)

Составим систему уравнений, приравняв нулю частные производные (11) по параметрам a, b и Л:

La = —2ca — cb + 2Ла = 0,'

Lb =—ca + 21b = 0, I (12)

L1 = a2 + b2 — D2 = 0.

Решая систему уравнений (12), получим следующую пару стационарных точек:

а1 = DV2W2, b1 = DV2 — n/2 ; а2 = Dj2— V2, b2 = 2 + V2 . (13)

Проверка (13) на экстремум методом перебора дает оптимальное решение:

aopt = DV2W2/2; bopt = Ы 2 — V2/2. (14)

Численное решение задачи (9) проводилось в программном продукте Map/e [7]. При этом для получения общности выводов в математической модели использованы безразмерные переменные в виде их отношения к диаметру D.

Результаты исследования представлены аналитическими решениями (14) и расчетными графиками рисунке 4, построенными в относительных размерах, в силу чего они приобретают универсальный характер (независимый от конкретного значения ограничивающего внутреннего диаметра) и могут быть использованы при инженерном проектировании.

Рисунок 4 - Результаты численной оптимизации по (9)

Рассмотренная методика может быть распространена и на другие варианты конструкций и критериев, в т.ч. на критерий наибольшего коэффициента обратной связи с позиций оптимального выбора размеров ЧЭ, конструктивно входящего в подвижный узел, и т.д. В последнем случае ищется максимум ЦФ вида

Кос = с2аЬ ® max,

на множестве (8) или (10), где c2 - константа, не влияющая на окончательный результат.

Аналитические решения при упрощении /с << min(a,b) для вышеназванных двух критериев и

трех кинематических схем акселерометров (третий вариант - это датчик угловых ускорений) приведены в таблице (в ней через с/ ,/=1...5, обозначены не влияющие на результат константы, связанные со схемными и конструктивными параметрами). Эти решения дают представление о наилучших размерах конструкции ЧЭ, к которым надо стремиться при проектировании.

Таблица 1 - Оптимальные решения для размеров ЧЭ акселерометров

Упрощенная конструктивная схема ЧЭ

Особенности конструкции

Целевая функция; оптимальные размеры

(критерий максимума чувствительности)

(критерий максимума коэффициента обратной _связи)_

Линейный акселерометр; ЧЭ - П-образ-ная рамка; обратная связь - магнитоэлектрическая

К = с(а2 + аЬ) ® тах,

а =

2

Ь =

Кос = С2аЬ ® тах, а = Ь =

л/2

Линейный акселерометр; ЧЭ - тонкая прямоугольная пластина; обратная связь - электростатическая

К = с,а2Ь ® тах,

Кос = Сза2Ь ® тах,

а = -1 Ь = '.

л/3

I»

а = <13

Ь=

л/3

Датчик угловых ускорений; ЧЭ - тонкая прямоугольная симметричная пластина; обратная связь - электростатическая

К = С4а3Ь ® тах,

Кос = С5а2Ь ® тах,

^л/3

а = -2

Ь = Г 2

а = 13

Ь = -г. >/3

Представленные результаты оптимизации чувствительных элементов акселерометров по двум различным критериям могут быть дополнены применением рассмотренной методики оптимизации и для других критериев и вариантов конструкций линейных и угловых акселерометров и включены в справочный материал для инженерного проектирования.

Список литературы:

1. Критерии выбора акселерометров для инерциального измерительного блока / Голяев Ю.Д., Колбас Ю.Ю., Коновалов С.Ф. [и др.] // Системотехника: системные проблемы надежности, качества и информационных технологий. - 2012. - № 10. - С. 16-23.

2. Нано- и микросистемная техника [Электронный ресурс]: ежемесяч. междисциплинар. теорет. и приклад. науч.-техн. журн. - Режим доступа: http://www.microsystems.ru/files/ publ/204.htm, свободный - Загл. с домашней страницы Интернета.

3. Наука и образование [Электронный ресурс]: электронный журнал. - Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/219257.html, свободный - Загл. с домашней страницы Интернета.

4. Наноиндустрия [Электронный ресурс]: электронный журнал. - Режим доступа: http://www.nanoindustry.su/files/article_pdf/2/article_2834_901, свободный - Загл. с домашней страницы Интернета.

5. Мельников В.Е. Электромеханические преобразователи на базе кварцевого стекла / В.Е. Мельников. - М.: Машиностроение, 1984. - 159 с.

6. Вавилов В.Д. Интегральные датчики / В.Д. Вавилов. - Нижегород. гос. техн. ун-т. -Нижний Новгород, 2003. - 503 с.

7. Аладьев В.З. Программирование и разработка приложений в Maple: монография / Аладьев В.З., Бойко В.К., Ровба Е.А. - Гродно; Таллинн, 2007. - 458 с.