Оптимизационные задачи синтеза стохастических матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК519.21

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ

и, тем самым, перейти к пространству (Q,F,Pb). Тогда условные переходные вероятности примут вид:

Pb (x(t) = j/x(t -1) = i) = P(x(t) = j/B,x(t -1) = i) =

= P(x(t) = j,B,x(t -1) = i) = P(x(t) = j,x(t-1) = i) = PB,x(t -1) = i P(x(t -1) = i)P(B/x(t -1) = i)

_ P(x(t) = j/x(t -1) = i) _ Pij .. _ 12 1

P(B/x(t -1) = i) ч-1 ’ i,J ’ ,,n •

L pik

k=1

ЯКОВЛЕВ С.В._______________________________

Описываются условия синтеза стохастических матриц по системе их фрагментов. Ставится ряд оптимизационных задач синтеза и приводятся ситуации, когда точный синтез невозможен.

Введение

При исследовании физических и экономических процессов в качестве математической модели часто используются марковские процессы. Особую актуальность это направление приобрело после того, как продемонстрировали свою эффективность различные модели систем массового обслуживания. Наглядной интерпретацией дискретного марковского процесса может служить взвешенный орграф состояний, однако более удобной для анализа является эквивалентная графовой матричная форма представления дискретного марковского процесса. При анализе такой модели возникает задача о декомпозиции всей системы на некоторые фрагменты. В ряде случаев это существенно упрощает анализ [1].

Целью данной работы является получение таких условий, при которых стохастическую матрицу можно точно или приближенно восстановить по системе ее фрагментов. Данная задача представляет значительный интерес при исследовании сложных многопараметрических моделей. С математической точки зрения каждому фрагменту соответствует стохастическая матрица. При этом переходные вероятности марковского процесса соответствуют параметрам, характеризующим рассматриваемую систему.

Постановка и решение задачи синтеза

Таким образом, мы можем построить стохастическую матрицу P размерности (n -1) х (n -1), которая получена из исходной выбрасыванием состояния n . Аналогично, можно выбрасывать любое состояние k, 1 < k < n, или группу состояний.

Введём следующие обозначения. Пусть I = {i,2,...,^- — множество индексов. Под матрицей P11 будем понимать стохастическую матрицу, полученную из исходной стохастической матрицы P путём выбрасывания тех строк и столбцов, индексы которых не содержатся в I1 , с последующим делением оставшихся элементов строки на их сумму.

Исследуем, возможно ли осуществить обратный переход - по заданной системе фрагментов восстановить исходную стохастическую матрицу P .

Для решения задачи о синтезе стохастической матрицы по её фрагментам рассмотрим сначала объединение двух фрагментов, а затем обобщим полученные результаты и установим необходимые и достаточные условия указанного синтеза. Пусть даны два фрагмента P11 и РІ2, І1 с I, І2 с I. Предположим, что I1 ° I2 = I0 I1 u I2 = I.

В таком случае мы можем вычислить элементы строк матрицы P , имеющие номера из множества Iо. Покажем, как это можно сделать.

Для каждой строки i є Io обозначим

Su = Z pJ, S2i = I p|f.

jeI1/I0 jeI2 /10

Пусть дана стохастическая матрица P(s,t) размерности n х n , соответствующая некоторому марковскому процессу. В дальнейшем будем опускать зависимость матрицы от времени и обозначать её P . Рассмотрим событие B , состоящее в том, что в момент времени t процесс будет находиться в классе состояний {1,2,..,n -1: B = (x(t) є {1...n-1}).

Будем предполагать, что P(B) > 0. Это позволяет ввести на пространстве ^Q,F,P^ условные вероятности

PB(A) = P(A/B) VA є F

Тогда переходные вероятности синтезируемой матрицы будут равны

Pij =

1 - S2i

1 _ S1iS2i

2i—. PI.1 .

c pil ,i

є Ы є I1,

(1)

pij =

1 - S1i 1 _ S1iS2i

2

p

,i Є I0,je I2 .

(2)

Таким образом, по формулам (1),(2) можно вычислить элементы строк I0 матрицы P .

Подчеркнём, что для элементов pij, i Є I0, j є I0 , формулы (1),(2) должны давать одинаковый результат,

т.е. фрагменты PI1 и PI2 не являются независимыми:

3 5

BE, 2005, 1 4

Pij1 (1 - S2i) = Pij2 (1 -Sli) ,i є Io,j Є І0. (3)

Это означает, что ij -й элемент достаточно задать только в одном из фрагментов P11, РІ2, i є Io, j є Io (блоки Io x Io матриц P11 и PІ2 могут быть известны не полностью). Фрагменты РIl и PI2 будут независимы тогда и только тогда, когда множество Io = Ii n I2 содержит всего один элемент. В этом случае условие согласования (3) будет всегда выполнено.

Заметим также, что в определении элементов строк Io матрицы р участвовали только элементы строк Io фрагментов PIl и PI2, причём для нахождения i-й строки матрицы р используются элементы той же строки фрагментов PIl и PI2. Кроме того, если Il u I2 = I3 ФI, то, проведя аналогичные рассуждения, по формулам (1),(2) найдём элементы строк Io матрицы PI3 .

Понятно, что если I2 с Ii, то по матрице PIl можно найти PI2 .

Далее приведём необходимые и достаточные условия синтеза. Пусть даны множества состояний Ii,I2,... ,Im . Обозначим I^ = Ii u I2 u... u Im и введём множество

Bk = {i: k є Ii ,1 < i < m}. (4)

В этом множестве содержатся номера i тех множеств Ij, которые включают в себя индекс k (т.е. номера тех фрагментов, которые содержат состояние k).

Лемма. Если Vi,j є Is 3r:i,jє Ir,1 <r<m и, кроме того, Ir Ф12, r = 1,2,... m, то каждое из множеств Bk, k є Is, содержит не менее двух элементов.

Пусть Ak - собственное подмножество множества Bk:

Ak с Bk , Ak Ф Bk, Ak *0 . (5)

При сделанных в лемме предположениях оно существует. Сделаем обозначение:

MAk = ( и Ii) П ( и Ii ) (6)

ieAk ieBk\Ak • x '

Из определения следует, что k є MAk . Действительно, если выполнено (5), то в каждом из объединений имеются множества, содержащие, по крайней мере, индекс k. Найдём необходимые и достаточные условия того, что по фрагментам Р11,Р12,... Р1 m можно произвести синтез матрицы Р1 Е , где

Il = I1 ^ I2 ^... ^ Im .

произвести синтез матрицы pIе , необходимо и достаточно, чтобы: 1) для любых двух пересекающихся фрагментов выполнялось условие согласования (3); 2) для любой пары индексов i,j є Is существовало множество Ik из совокупности I1,I2,... Im, содержащее эти индексы одновременно, т.е. V i, j є Is 3 k: i, j є Ik, 1 ^ k < m ;

3) V k є IIV Ak c Bk 3 j є MAk pkj > o,r є Bk,

где Ak, Bk определены в (5),(6).

Отметим, что для того, чтобы по фрагментам P11,P12,...P1 m можно было произвести синтез матрицы р , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись все условия теоремы и 12 = {1,2,... ,п}. Оптимизационные постановки задачи синтеза

Рассмотрим случай невыполнения условий согласования. Сначала рассмотрим подробнее случай, когда условие 1 теоремы не выполняется, а условия 2, 3 выполнены. Это может быть в том случае, когда во

фрагменты Р11,Р12,... Р1 m были внесены ошибки,

например, погрешности измерений. Будем искать такую матрицу р , которая бы в некотором смысле минимально отклонялась от своих фрагментов.

Будем искать k-ю строку матрицы р . В дальнейшем будем опускать индекс строки k и обозначать

xj = Pkj - искомые элементы k-й строки матрицы р ;

pI‘ = p^ - заданные элементы k-й строки фрагмента PIi .

Введём множество

Bkj = Bk nBj = {i :k,j є Ii, 1 < i < m}.

Оно содержит номера тех множеств Ii , которые включают в себя индексы k, j одновременно. Заметим, что условие 2 теоремы эквивалентно тому, что Bkj ^ 0 для любых k, j є I^.

Если бы условие согласования выполнялось, то элементы k-й строки i-го фрагмента были бы пропорциональны соответствующим элементам k-й строки исходной матрицы:

Xj = PiPj , iєBkj, j = 1, 2, ... п.

Будем предполагать, что Ir Ф Is, r = 1,2,... m, в противном случае задача окажется уже решённой.

Теорема. Пусть I1 u I2 и... и Im = Is . Для того чтобы по фрагментам Р11,Р12,...Р1 m можно было 3 6

Будем искать такие x j , сумма квадратов отклонений которых от величин PiPI‘ была бы минимальной. Это приводит к задаче минимизации:

y(x,Р) = Е Е (Xj-рiP^2 ^min, (7)

ieBkjeI, X,P

BE, 2oo5, 1 4

ZXj=1, (8)

J=1

ZXj =Pi, iЄBk, (9)

jeIi

Xj >0,J = 1,2,...,n. (10)

Это - задача квадратичного программирования, она имеет единственное решение, которое всегда можно найти [2-4]. Целевая функция (7) при ограничениях (8)-(10) имеет единственный и притом глобальный минимум. Функция (7) неотрицательна при любом значении xj. Очевидно, что в случае, когда условие

Г15 15 15 '

Д1 = 13 12 16

12/5 15 0 V

' 3/5 V5 15 ' ' 14 14 12

3/7 0 4/7 Д 3 = 13 0 2/3

v V4 1/2 I4 V 115 15 15

По данной системе фрагментов невозможно синтезировать стохастическую матрицу процесса, так как после объединения двух фрагментов образуется третий фрагмент, который не согласован с оставшимся.

согласования выполнено, решение задачи минимизации x будет совпадать с решением x . Действительно, x** обращает целевую функцию (7) в 0, являющийся, в силу свойств целевой функции, глобальным минимумом.

Исследование достаточных условий для синтеза стохастической матрицы

При исследовании процесса стабилизации с помощью локальных возмущений элементов стохастической матрицы было обнаружено, что условия попарной согласованности векторов, на которые фокусируют фрагменты, недостаточно. В случае если фрагменты связаны таким образом, что они образуют цикл, требуется выполнение дополнительного условия [5].

Рассмотрим условия, выполнение которых достаточно для синтеза стохастической матрицы по ее фрагментам. Среди этих условий есть условие попарной согласованности элементов стохастических матриц фрагментов. Будем рассуждать аналогично рассуждениям при исследовании процесса фокусировки. Попытаемся создать ситуацию, когда фрагменты будут циклически связаны между собой таким образом, чтобы выполнялось условие попарной согласованности и не выполнялось равенство (6). В данном случае ситуация усложняется требованием существования для любых двух состояний фрагмента, которому бы они принадлежали, т.е. всегда существует такой элемент, который принадлежит всем фрагментам, участвующим в вычислении очередной строки матрицы. Из-за наличия такого элемента требование попарной согласованности влечет за собой выполнение равенства (6). Но, тем не менее, можно добиться цикла, поместив в этот элемент нулевое значение. Приведем пример (рисунок), при котором требования попарной согласованности не достаточно для выполнения процедуры синтеза:

Выводы

Научная новизна исследования заключается в том, что предложен метод синтеза стохастических матриц по системе фрагментов и приводится ряд оптимизационных модификаций задачи синтеза для случая, когда точный синтез невозможен. Данные результаты могут быть использованы при решении задач синтеза широкого круга объектов и систем. Приведены некоторые условия, при реализации которых точный синтез объекта по системе фрагментов невозможен.

Практическая ценность состоит в том, что предложенный метод имеет особую эффективность при анализе декомпозированных моделей сложных систем. В частности, он эффективен при исследовании много-частевых моделей фармакодинамики и математической биологии.

Литература: 1. Королюк В.С. Стохастичні моделі систем. К.: Либідь, 1993. 135 с. 2. Яковлев С.В. Стохастические алгоритмы оптимизации для решения одного класса многоэкстремальных задач // Теория оптимизации. Вильнюс, 1981. Вып. 7. С.12-21. 3. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В. Статистические методы последовательного анализа вариантов // Стохастическая оптимизация. К.: Наук. думка, 1984. С.26-28. 4. Яковлев С.В. Применение случайного поиска при решении одной задачи размещения // Тез. докл. рабочего совещания по проблеме случайного поиска. Кемерово, 1982. С. 14-16. 5. Дикарев В.А. Стабилизация распределений марковского процесса при возмущении его континуальных компонент // Доповіді НАН України. 2003. №° 6. С. 47-53.

Поступила в редколлегию 20.10.2005

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.

Яковлев Сергей Всеволодович, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики Национального университета внутренних дел. Адрес: Украина, 61080, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. 50-31-40.

Д1 Д3

Фрагменты стохастической матрицы

3 7

BE, 2005, 1 4