CC BY
206
УДК 378.14
В. А. Фахретдинова, А. Д. Федорова
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА С РАЗВЕРНУТЬ1М ОТВЕТОМ В КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
В статье рассматривается один тип задачи № 19 из демонстрационных вариантов ЕГЭ 2015 года. Данный тип задач можно отнести к задачам математического программирования. Предлагается два способа решения такой задачи: школьный и вузовский с использованием приемов математического программирования.
Ключевые слова: математическая модель, целевой вектор, целевая функция, максимум функции.
Наиболее заметным изменением, которое произошло в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ-2015 по математике, было введение в часть заданий с развернутым ответом нового задания № 19, тематика которого имеет экономико-финансовую направленность. За правильное решение данного задания выставляется три балла. Во всех заданиях предыдущих лет условие с самого начала формулировалось в математических терминах и отдельно не предполагало построения какой-либо математической модели. Для решения же задания № 19 требуется сначала построить адекватную математическую модель. Сюжеты данной задачи условно можно разделить на два типа: задачи первого типа используют дискретные модели (проценты, погашения кредитов, и т. д.), во втором рассматриваются непрерывные модели (оптимизация производства, протяженность во времени, объемы продукции, и т. д.). Именно на второй тип задач мы и решили обратить своё внимание. Данные задачи относятся к оптимизационным и могут быть решены как вузовскими, так и школьными методами. Подробнее рассмотрим примеры таких задач и способы их решения.
Задача 1.
Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объёме ^ 2 Гб, входящей в него информации выходит 20^, а с сервера № 2 при объёме ^ 2 Гб, входящей в него информации выходит 21 ^ Гб, обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гб?
Вузовский способ решения:
Составим математическую модель данной задачи.
Пусть х 2 Гб — обрабатывается на сервере № 1 из всей первичной информации; у 2 Гб — обрабатывается на сервере №2. Тогда х 2 + у 2 = 3364, а обработано будет 20х + 21у Гб информации. Так как х 2 + у 2 = 58 2, то уравнение задает окружность ю радиуса 58 с центром в начале координат. Требуется найти максимум суммы 20х + 21у при заданных условиях. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид: х2 + у2 = 3364
25 < х < 55 / = 20х + 21у ^ тах
25 < у < 55
Решим задачу графическим способом.
Построим дугу окружности х 2 + у 2 = 3364 в первой четверти.
Проведём луч, коллинеарный вектору а(20; 21). Уравнение прямой будет иметь
х у
вид — = — (или 21 х = 20 у ). 20 21
Построим линию уровня а, перпендикулярную вектору а . Передвигая линию уровня в направлении вектора А, получаем, что максимум достигается в точке А —
точке пересечения двух графиков Найдем координаты точки А .
I х2 + у2 = 3364 121х=20у
21
у =—х 20
2 441 2 х2 +-х2 = 3364
400
21
у = — х 20
841 х2 = 3364
400
21
у = — х 20
х2 =1600
х = 40 у = 42
А(40;42)
5) Проверим, что для точки А (40; 42) выполняется условие 25 < х < 55 и 25 <у < 55.
6) Найдём значение целевой функции / = 20 • 40 + 21 • 42 = 1682.
Ответ: наибольший общий объём выходящей информации равен 1682 Гб.
Школьный способ решения:
Требуется найти максимум суммы / = 20х + 21у при условии х 2 + у 2 = 3364.
да
Поскольку у = -1 (/ - 20 х), имеем уравнение х2 + х2 + — (/2 - 40 /х + 400х2)= 3364 .
441V !
^ (/ - 20 х)
= 3364, отку-
Домножим обе части уравнения на 441 и приведем подобные слагаемые, получим 841х2 - (40/)х + (/2 -1483524) = 0. Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:
400/2 - 841 (/2 -1483524)> 0 о - 441/2 +1247643684 > 0 о -1682 < / < 1682.
Тем самым, наибольшее возможное значение / = 20 х + 21у равно 1682. Ответ: наибольший общий объем выходящей информации 1682 Гб.
Задача 2.
Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
Виды начинки Себестоимость (за 1 тонну) Отпускная цена (за 1 тонну) Производственные возможности
ягоды 70 тыс. руб. 100 тыс. руб. 90 тонн (в месяц)
творог 100 тыс. руб. 135 тыс. руб. 75 тонн (в месяц)
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.
Вузовский способ решения задачи:
Составим математическую модель данной задачи.
Пусть х — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а у — доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда х + у = 1 при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90х тонн, а с творожной начинкой — 75у тонн. Кроме того, из
условий ассортиментности следует, что 90 х > 15 о х > —, а 75у > 15 о у > —.
6 5
Чистая прибыль составляет: 100 - 70 = 30 тыс. руб. с одной тонны продуктов с ягодной начинкой и 135 - 100 = 35 тыс. руб. с одной тонны продукции с творожной начинкой. Общая прибыль от продажи произведенной за месяц продукции рав-
2
на 30 • 90 х + 35 • 75 у = 2700х + 2625у. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:
х + у = 1 1
х >-6
1
у >-
5
/ = 2700х + 2625у ^ тах
Решим задачу графическим способом.
Построим графики функций: х + у = 1, х =1 и у =1 . Область допустимых решений — треугольник. 6 5
Так как вектор целевой функции а (2700; 2625), то построим вектор, ему колли-
неарный — а (3,6; 3,5).
3) Построим линию уровня /, перпендикулярную вектору а . Передвигая линию уровня в направлении вектора а , получаем, что максимум достигается в точке А —
точке пересечения двух графиков:
у = -
х + у = 1
4) Найдем координаты точки А:
4
х = —
5 А(1;1) 1 5 5
у=5 ■
1
5
5) Найдём значение целевой функции:
4 1
/ = 2700 • - + 2625 — = 2160 + 525 = 2685
5 5
Ответ: максимальная прибыль, которую получит фабрика от производства блинчиков за 1 месяц, составит 2685 тыс. руб.
Школьный способ решения:
Пусть х — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а у — доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда х + у = 1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90х тонн, а с творожной начинкой — 75у тонн. Аналогично, как и при решении данной задачи первым способом, получаем следующую систему:
х + у = 1 1
х >-6
1
у >-
5
У = 1 - х 1
х >-6
1 - х >-5
У = 1 - х 1
х > -6
4
х < -
5
У = 1 - х
1 4
-< х <6 5
/ = 2700х + 2625у ^ тах
Очевидно, что при х = — выражение принимает наибольшее значение, следовательно, у = 1 - 4 = 1. Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц 41
равна: / = 2700•- + 2625•- = 2160 + 525 = 2685 тыс. руб.
Ответ: максимальная прибыль, которую получит фабрика от производства блинчиков за 1 месяц, составит 2685 тыс. руб.
Отметим, что в демонстрационных вариантах ЕГЭ-2016 задачи подобного типа сохранились, но теперь идут под номером № 17. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного решения. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (алгебраической, геометрической, функциональной и т. п.) модели. В «Методических материалах по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развернутым ответом» отмечается, что возможен и путь решения, приближенный к высшей математике, а также и методы, использующие специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т. п.). Поэтому нам представляется целесообразным знакомить некоторых учащихся с основными идеями математического программирования, которые могут способствовать решению задач подобного типа.
Литература
1. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2001. 386 с.
Об авторах
Фахретдинова Виктория Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, физико-математический факультет, Псковский государственный университет, Россия E-mail: fVamak@mail.ru
Федорова Анастасия Дмитриевна — студентка 4 курса физико-математического факультета, Псковский государственный университет, Россия E-mail: nastushkafeodorova@mail.ru
V. Fahretdinova, A. Fedorova
OPTIMIZATION TASK WITH DETAILED ANSWER IN THE TEST MATERIALS OF UNIFIED STATE EXAMINATION
The article deals with one type of № 19 task of the 2015 exam demo version. This type of tasks can be attributed to problems of mathematical programming. There are two possible solutions to this problem: the school one and the university one (the latter featuring use of techniques оf mathematical programming).
Key words: mathematical model, target vector, objective function, maximum оf function.
About the authors
Dr. Victoriya Fahretdinova, Associate Professor of the Department of Mathematics and Methods of Mathematics Teaching, Pskov State University, Russia. E-mail: fVamak@mail.ru
Anastasiya Fedorova, fourth-year student, Faculty of Physics and Mathematics, Pskov State University, Russia
E-mail: nastushkafeodorova@mail.ru
