Оптимальный синтез в задаче быстродействия при наличии фазовых ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.55

ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ В ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

В. В. Александров1, А. Д. Беленький2, А. В. Лебедев3, Э. Матлалкатци Ругерио4

Рассмотрена задача быстродействия в линейной системе со скалярным управлением при наличии фазового ограничения. Произведена редукция к задаче о максимальном отклонении и получены необходимые условия оптимальности управления. Результаты применены к задаче одноосной стабилизации спутника с учетом гравитационного момента. Стабилизация осуществляется посредством двигателя-маховика с ограниченным кинетическим моментом.

Ключевые слова: задача быстродействия, фазовые ограничения, стабилизация спутника.

The time minimization problem in a linear system with a scalar control under phase constraints is considered. This problem is reduced to the problem of maximal deviations. Necessary conditions of control optimality are obtained. The results are applied to the problem of uniaxial stabilization of a satellite in the presence of a gravitational torque. The stabilization is performed by a flywheel engine with a limited angular momentum.

Key words: time minimization problem, phase constraints, satellite stabilization.

1. Редукция задачи быстродействия к задаче о максимальном отклонении. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида

IV = Ax + bu(t),

К = u(t); (1)

x(0) = 0, x(ti) = 0.

Здесь x — n-мерный вектор состояния; u(t) — скалярное управление, принадлежащее функциональному множеству u(t) Е U = {u(t) Е KC[0,ti], |u(t)| ^ v}; KC[0,ti] — множество кусочно-гладких функций на отрезке [0,ti]; A — постоянная матрица размерности п х n, b — вектор-столбец размерности п. На состояние системы наложено фазовое ограничение |w(t)| ^ f.

Требуется решить задачу оптимального быстродействия

ti min. (2)

ueu

Получим необходимые условия оптимальности процесса {u0(t),x0(t),t0} в задаче (1), (2). Предположим, что t0 — решение задачи (2). Вектор x(t0) лежит на границе множества достижимости D(t0) системы (1) в момент времени t0. Пусть c — вектор какой-либо опорной гиперплоскости множества D(i°) в точке x(t°). Следовательно, верно неравенство xTc ^ 0 для любого x Е D(t°).

Таким образом, из задач (1), (2) следует экстремальная задача

xTc ^ max . (3)

xeD(t°)

Решение системы (1) при воздействии некоторого управления u(t) можно записать в форме

t0 t1

x(t0) = eAt0x(0) + J eA(t0-T)bu(r) dr, 0

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366@hotmail.com.

2 Беленький Арон Давидович — канд. техн. наук, нач. лаб. НПП "ВНИИЭМ", e-mail: vniiem@vniiem.ru.

3 Лебедев Антон Викторович — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: antohal@rambler.ru.

4 Матлалкатци Ругерио Эфрен — студ. Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: efren_mr@hotmail.com.

откуда получаем, что задача максимизации (3) свелась к следующей:

/ еА(4-т)bu(r) dT — max.

J ueu

(4)

Уравнения для сопряженных переменных в задаче (1), (2) выглядят таким образом:

ф' = -Л1 ф, ф(^ ) = с. С учетом сопряженных переменных задача (4) может быть записана в форме

t°

п

/ bTф(т)и'(т) dT — max, J uew

о

где и Е W = {u(t) Е KC[0,t?], \u(t)\ ^ \u'(t)\ ^ и,и(0) = 0}. Проинтегрировав данное выражение по частям, приходим к следующей экстремальной задаче:

" i

bTcu(t?) + / фт(т)ЛЬи(т) dT — max, J &ew

(5)

^и Е W = {u(t) Е KC[0, t?], \u(t) \ < I, \u'(t) \ < v,u(0)=0}.

Исходя из вышесказанного, сформулируем необходимые условия оптимальности процесса {и0(г),х°(г),г°1} в задаче (1), (2).

Теорема. Для оптимальности процесса {и0(г),х0(г),г®} в .задаче (1), (2) необходимо, чтобы существовали ненулевой вектор с и функция с(г) = и0(т) йт, на которой достигается решение задачи (5).

2. Необходимые и достаточные условия в задаче о максимальном отклонении. Обозначим Х(£) = фТ(г)АЪ. Рассмотрим частный случай, когда функция х(г) имеет единственный корень г* на отрезке [О,г0]; кроме того, будем считать, что г* > 2^,/и и — г* > 3^,/и.

Рассмотрим подмножество V С V, содержащее кусочно-линейные функции С, которые состоят из двух горизонтальных участков со значениями разделенных тремя линейными участками с наклоном (рис. 1). Определим для каждой функции ш(Ь) Е V функцию СС(Ь) Е V С V так, чтобы выполнялись соотношения

(с > с (г), х(г) > 0; I с < с(г), х(г) < о.

Рис. 1. Определение функции со(г) при наличии одного корня у функции х(Ь) на отрезке управления

0

Кроме того, = ш(Ь0). По построению ш(Ь) имеем

Ьтсш(Ь°) + 1 х(т)ш(т) йт < Ьтсш(ф + 1 х(т)ш(т) йт.

Таким образом, исходная задача (5) максимизации на множестве Ш свелась к задаче максимизации на множестве Ш С Ш.

Пусть шо Е Ш — оптимальное решение задачи (5). Функция и Е Ш представляет собой функцию шо, наклонные участки которой сдвинуты по оси Ь на величины 71, 72 (рис. 1).

Определим функцию п(71,72) = ЬтсШ(Ь0) + ^ х(т)ш(т) йт. Необходимым условием максимума такой

£¿77(0) йг?( 0)

функции по параметрам 71, 72 является условие —-- = —-- = 0. Это приводит нас к следующим

йЧ1 й^2

необходимым и достаточным условиям, накладываемым на моменты времени ¿1, ¿1, ¿, определяющие вид функции шо (см. рис. 1).

1. Моменты времени ¿1, ¿1 удовлетворяют следующим условиям, из которых они определяются однозначно [1]:

? -

¿1

Х(Ь) йЬ = 0,

(6)

¿1

и —¿1 = 2—.

V

2. Если Ьтсх(Ь1) > 0 либо Ьтс = 0, то Ь = В этом случае задача (5) эквивалентна задаче Л1 фт(т)АЬш(т) йт — и у функции Шо(Ь) отсутствует заключительный наклонный участок [¿, ¿1].

3. Если Ьтсх(Ь1) < 0, то момент времени I удовлетворяет условию

( ¿0 ¿1

<

х(Ь) йЬ = -Ьтс,

(7)

4

V

В данном случае если существует решение уравнения (7) относительно ¿, то функция Шо(Ь) на заключительном наклонном участке [¿, ] определяется следующим образом:

\V- + ^ если х(Ь) > 0; шо(Ь) = < ^ п (8)

I —V(Ь — Ь) — ¡, если х(Ь) < 0.

Можно показать, что условия (6)—(8) для задачи

¿0

¿1

и' = и, ш(0) = 0, |ш(Ь?)| < Ьтсш(г01) + х(т)ш(т) йт — тах,

]

о

|ш(Ь)| < |и(Ь)| < V

удовлетворяют принципу максимума для задач с фазовыми ограничениями [2]. Множители Лагранжа, соответствующие фазовым ограничениям, являются абсолютно непрерывными функциями, производные которых совпадают с х'(Ь).

3. Задача одноосной стабилизации спутника при воздействии гравитационного момента и наличии фазовых ограничений для двигателя-маховика. Рассмотрим движение спутника, представляющего собой абсолютно твердое тело с центральными постоянными моментами инерции А,

B, C. Будем считать, что вдоль второй главной оси инерции установлен двигатель-маховик, собственный кинетический момент которого в силу конструктивных особенностей ограничен по модулю [3]. Рассмотрим одноосную задачу оптимальной стабилизации спутника относительно второй оси орбитальной системы координат. В отсутствие гравитационного момента суммарная кинетическая энергия системы остается постоянной, что позволяет наложить на кинетический момент маховика дополнительные условия j(0) = J(t1 ) = 0 (такая задача была рассмотрена в [4]). Когда имеет место гравитационный момент, условие постоянства кинетической энергии нарушается, в результате чего J(tl) = 0.

Линеаризованные уравнения движения спутника относительно второй оси орбитальной системы координат с учетом гравитационного момента [5] будут иметь вид

Ba" + 3Jo2(A — C)а + J = 0, J = u(t).

Здесь a — угол тангажа в орбитальной системе координат; j — кинетический момент двигателя-маховика; u(t) — функция управления, ограниченная по модулю: \u(t)\ ^ v; Jo — угловая скорость движения по орбите. На кинетический момент двигателя-маховика наложено конструктивное ограничение J(t)| ^ f.

Будем считать, что в начальный момент времени имеется некоторое отклонение угла тангажа от нулевого значения: а(0) = 0; требуется за минимальное время перевести систему в нулевое положение: a(t\) = 0, a'(t\) =0, ti ^ . Обозначим к = 3Jo2(A — C)/B и запишем постановку данной задачи

в форме Коши:

/ /

xi = x2,

х'2 = -KXi - и, (9)

Xg - U.

Начальные условия: х®(0) = а0 = 0, х2(0) = а'0 = 0, х3(0) = 0. Конечные условия: х\(1\) = 0, х2(Ь\) = 0.

Ограничения на управление: \и(Ь)\ ^ V, фазовые ограничения: |хз(Ь)\ ^ ц. Требуется решить экстремальную задачу ^>о = ¿1 ^ ттад(.). Функция х(г) для данной задачи будет иметь следующий вид:

X(t) =фтАЪ= ^cos(k(î-î5) + <70), (Ю)

где Р = — л/(с2к)2 + (С1)2 и сто = ап^(к^). Здесь с2 — компоненты вектора с.

Рассмотрим такие начальные условия в задаче (7), при которых время не превышало бы полупериода функции х(г), т.е. величины п/к. Таким образом, функция х(Ь) будет иметь не более одного корня

на отрезке [0, ¿Ц], что позволяет использовать полученные ранее условия (6)—(8), наложенные на времена

vп

переключения ¿1, ¿1, Кроме того, будем считать, что сс>о <

4Л к

Синтез оптимальных траекторий в задаче (9) осуществляется в обратном времени т = ¿1 — г: задав компоненты вектора с, определяем функцию х(т) согласно (10); применяя условия (6)—(8), определяем

времена переключения ¿1, V Ь, однозначно задающие вид функции Со(Ь) = хз(Ь). Оптимальное управление

определяется согласно соотношению ио(Ь) = —

Таким образом, возможны три случая.

1-й случай. Начальные условия таковы, что ¿5 < 2 —. В этом случае значение переменной Жз не достигает фазового ограничения и оптимальное управление представляет собой кусочно-постоянную функцию,

п

переключающуюся со значения +г/ на —V с периодом 2 —. Линией переключения на плоскости х\,х2 яв-

к

ляются эллиптические кривые . ..,^,N1, 0, М®, Ш2,....

2-й случай. Происходит один выход переменной хз на фазовое ограничение. Данному случаю соответствует область фазового пространства (рис. 2). Если начальные условия лежат внутри данной области, то хз выходит на граничные значения не более одного раза. Оптимальная траектория в данном случае имеет 3 участка: движение с управлением ^ (или —V в зависимости от того, с какой стороны от линии переключения находились начальные условия) до достижения фазового ограничения, движение

по фазовому ограничению с управлением и = 0, затем переход на управление —V (+v). Пример такой траектории, начинающейся в точке а, изображен пунктирной линией на рис. 2.

3-й случай. Имеют место два выхода переменной Хз на фазовое ограничение. Данному случаю соответствует область фазового пространства ^2 (рис. 3). Если начальные условия лежат внутри данной области, то Хз выходит на граничные значения не более двух раз. Оптимальная траектория в данном случае содержит 5 участков: три участка движения с управлением ±v, соединенные участками движения с нулевым управлением вдоль фазовых ограничений.

Ва'

Рис. 2. Граница области Qi для начальных условий Рис. 3. Граница области Q2 для начальных условий (а(0), а'(0)) на фазовой плоскости, при которых опти- (а(0), а' (0)) на фазовой плоскости, при которых оптимальная траектория имеет не более одного контакта с мальная траектория имеет не более двух контактов с фазовыми ограничениями фазовыми ограничениями

Приведенные примеры свидетельствуют о том, что в общем случае Wo(i?} =0 и Wo(i5) ^ ц, т.е. происходит перераспределение кинетической энергии с корпуса спутника на ротор двигателя-маховика.

Заключение. Получены необходимые условия оптимальности управления в задаче быстродействия (2) для линейных систем вида (1) с фазовым ограничением. На ограниченном интервале времени получены условия (6)—(8), позволяющие определить вид оптимального управления. Рассмотрена задача одноосной стабилизации спутника при воздействии гравитационного момента и наличии фазовых ограничений.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00182).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

2. Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006.

3. Васильев В.Н. Системы ориентации космических аппаратов. М.: Изд-во НПП "ВНИИЭМ", 2009.

4. Александров В.В., Черемисин В.В. Оптимальный синтез в задаче одноосной стабилизации спутника при наличии фазовых ограничений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 61-65.

5. Белецкий В.В. Движение спутника вокруг центра масс в гравитационном поле. М.: Советская астрономия, 1976.

Поступила в редакцию 10.06.2011