Оптимальный ансамбль нелинейных сигналов для синхронных систем передачи информации с кодовым разделением абонентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

кодирование и передача информации X

УДК 621.391

оптимальный ансамбль нелинейных сигналов для синхронных систем передачи информации с кодовым разделением абонентов

К. Ю. Цветков,

доктор техн. наук, профессор В. М. Коровин, канд. техн. наук Д. В. Косаревич,

соискатель

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского

Представлены результаты построения ансамблей оптимальных дельта-коррелированных сложных дискретных сигналов в базисе Виленкина-Крестенсона, которые могут быть использованы в широкополосных системах связи с кодовым множественным доступом.

Ключевые слова — ансамбли сложных дискретных сигналов, базис Виленкина-Крестенсона, широкополосные системы связи, кодовый множественный доступ.

Введение

Для широкополосных систем передачи информации (СПИ) с кодовым множественным доступом принципиальными вопросами являются оценивание и управление уровнем взаимных помех [1-3], а также выбор типа сложных сигналов, в частности, по виду их корреляционных функций [1] и ряду других свойств [4-6].

В работах [1-3] установлены соотношения между авто- и взаимнокорреляционными функциями, а также количеством сложных сигналов в ансамбле. Результаты работ [1-3] применимы к СПИ с асинхронным и синхронным кодовым множественным доступом и ориентированы на базис Фурье с естественным для этого базиса оператором циклического сдвига [7].

На периодах N = пв, п > 2, в > 1, существует дискретный базис Виленкина—Крестенсона (В-К). Согласно работе [7], на указанных периодах этот базис является обобщением базиса Фурье (случай в = 1) и базиса Уолша (случай п = 2). Естественным для базиса В-К оператором сдвига является п-ичный сдвиг. Это обстоятельство позволяет ввести в базисе В-К понятия и определения теории сложных дискретных сигналов, аналогичные существующим в базисе Фурье [7, 8].

В данной статье построены ансамбли бинарных дельта-п-коррелированных сигналов с основанием п = 2 на периодах N = 22в, в > 2 (как известно [5], дельта-коррелированных в традиционном смысле бинарных сигналов при N > 4 не существует). Результаты, полученные для базиса В-К, ориентированы в первую очередь на синхронные СПИ с кодовым множественным доступом [7, 9].

Предварительные сведения

Следующие стандартные обозначения используются далее постоянно: Z — множество всех целых чисел; т: п — множество целых чисел {т, т + 1, ..., п}; |д| — целая часть вещественного числа Р; <£>п : = £ - \к / п\ п — остаток от деления целого числа £ на натуральное п.

Обозначим через CN множество комплекснозначных Апериодических функций целочисленного аргумента х = х^), j е Z. Элементы этого множества будем называть сигналами. В CN обычным образом вводятся операции умножения на комплексное число и сложения двух сигналов: у = сх » у(0 = сх(]), j е Z;

у = х: + Х2 » у(]) = хх(]) + Х2О'), j е Z, при этом CN становится линейным пространством.

Введем стандартным образом скалярное произведение и норму:

N-1

1/2

< X, у >= £ х(])у(]), || х\\=< Х,Х >

1=0

Обозначим через ^: CN ^ CN дискретное преобразование Фурье. По определению, сигнал X = = FN (х) имеет компоненты

N-1

X(к) = £ X0>^], k е Z,

]=0

где = ехр(2га /N) — корень N-й степени из единицы.

Нам потребуется единичный Апериодический импульс — сигнал 8^О), равный единице, когда j делится на N, и равный нулю при остальных j е Z. Очевидно, что

^ (-}) = ^ О').

Сигналам х и у сопоставим функцию взаимной корреляции Яху:

N-1 ___

Еху (]) = £ х(] + к)у(к), ] е Z.

к=0

Функция Яхх называется автокорреляционной функцией сигнала х. Отметим, что Яхх(0) = ||х||2.

Сигнал х называется дельта-коррелированным, если ЯххО) = ||х||25^./). Сигналы х и у называются некоррелированными, если Яху(о) = 0.

Для корреляционных функций сложных дискретных сигналов х, у, и, V справедливы следующие соотношения [1-6]:

N-1

N-1

Е Кхп а+1)вуи о') = Е Жх. и+іЖи ' 1=0 1=0

где І є Z;

N-1

N-1

Е Кху ' + 1)Кху а) = Е Жхх ' + 1)ЖУУ ' І=0 І=0

где І є Z;

N-1 N-1 ________

Е Ж а) І2 = Е Жщщ 'Ж '

І=0 І=0

(1)

(2)

(3)

Формула (3) непосредственно используется при выводе границы Сидельникова—Сарвате [1, 2]. Пусть Р — совокупность (ансамбль) из т сигналов, заданных на периоде длины N. Будем считать, что |Х|| = N для всех х е Р. Положим

Яс = шах{| Яху (]) |: х,у е Р,х ^ у,] е 0: N — 1};

Ra = шах{| Rxx(]) |: х е Р,] е 1: N -1}.

Граница Сидельникова—Сарвате имеет вид

К_ + N-1 Жа

N Ы(ш-1) N

> 1.

(4)

Введя обозначение Rmax = шах^с, Ra}, получим неравенство Велча [3]

Жтах > N(m -1)

N ~ Nm-1 .

(5)

Основные соотношения для корреляционных функций сложных дискретных сигналов в базисе Виленкина—Крестенсона

Получим аналогичные (1)-(5) соотношения в базисе В-К.

В дальнейшем считаем, что N = пв, п, в > 2. Для числа k из множества 0 : N _ 1 запись в п-ичном коде k = ^в _ 1, ks_ 2, ..., ^)п означает, что

k = k

в _ 1

п

в _ 1

+ k

в _ 2

п

в _ 2

+ ... + k(л.

Здесь ка е 0 : п - 1 при всех а е 0 : в - 1. Возьмем еще О е 0 : N - 1, О = (О - !, Ов _ 2, ..., Оо)п и положим

3—1

{к, ]}з ка]а.

а=0

Сигналы

(]) = 4к]]з, £ = 0, 1, ..., N - 1 (6)

называются дискретными функциями В-К [7, 8]. Формулой (6) сигналы vk(j) определены на основном периоде О = 0, 1, ..., N - 1. Далее они продолжаются Апериодически на все целые О е Z.

Возьмем £ = (ка- !, ..., £0)п, О = (О- р ..., и поло-

жим ра = <+ Іа>п

Число р = (рв _ 1, ..., р0)п получено в результате поразрядного сложения по модулю п чисел k и І, представленных своими п-ичными кодами. Этот факт записывается в виде р = k©'. Число т =

= (тв _ 1, ..., т0)п получено в результате поразрядного вычитания по модулю п чисел k и І. Это записывается так: т = к-]. Нетрудно убедиться,

П

что операции поразрядной арифметики обладают теми же групповыми свойствами, что и обычные операции сложения и вычитания.

Сигналам х, у є CN сопоставим функцию взаимной п-корреляции:

N-1 ___

ІЇ$(Ї) = Е *(І©%№), І = 0, 1, ..., N-1. (7)

*ху V)

=0 э(п)

k=0

Функцию ЖЩЩ назовем функцией п-автокор-реляции сигнала х. Отметим, что

яЩ}(0) = яхх (0) = 1 Щ||

Сигнал х назовем дельта-п-коррелированным, если вХехО') = ||х|| 5N (]). Сигналы х и у назовем п-некоррелированными, если Я^а) ° 0.

Приведем доказанную в работе [6] лемму.

Лемма 1. Пусть l е 0 : N - 1. Для сигналов х, у, и, v е CN справедливо утверждение

N-1

N-1

£ R^ (} ЪЬЯЫ () = £ Я^п (] (/). (8)

;=о \ п ' 1=0 ' п '

Следствие: Положив в (8) u = х и v = у, получим

N-1

N-1

£ Я^П®І\Я{(У(І) = £ Я^П® 1)^^(7')- (9)

;=п V п ) ;=п V п >

7=0 4 п ' 7=0

В частности, при і = 0

N-1 2 N-1

— V'' г?(л)

Е жщуіаУ = Е жХх}(/) Жуу')-І=0 І=0

(10)

Как показано в работе [11]:

Жп)? + N -1 Жп>]

(п)Л2

N

Щт-1) N

> 1,

(11)

где P — ансамбль, состоящий из m сигналов, заданных на множестве {0, 1, ..., N - 1} при N = пв:

Я^ = шах{| Я^У (]) |: х,у Є Р,х ^ у,] Є 0 : N — і}; Я(ап) = шах{| Я(п (]) |: х Є Р,] Є 1: N-і}.

При Я^а^ = тах {яСП , Я^} получим

(л^х )2

N

>

Щ(ш— 1) Nm — 1

(12)

Соотношения (11) и (12) представляют собой обобщение в базисе В-К неравенств (4) и (5), которые получаются как частный случай при в = 1.

Оптимальные ансамбли сигналов

Неравенство (12) показывает, что Я^ и ЯСп) не могут быть одновременно сколь угодно малыми величинами. Исследуем два крайних случая, когда одна из этих величин равна нулю, а вторая принимает наименьшее возможное значение.

Количество попарно п-некоррелированных сигналов в СN не превосходит Щ поскольку из п-не-коррелированности сигналов следует, в частности, их ортогональность. Если в ансамбле Р имеется N попарно п-некоррелированных сигналов, то я(.п) = 0.

Простейшей иллюстрацией этого является ансамбль, состоящий из дискретных функций

В-К (6). Действительно, в силу ортогональности и мультипликативности базисных функций [7, 8] при №, к' е 0 : N - 1 имеем

N-1

N-1 ______

= ^ ') £ Vk (ї)иу (I) = NюП’ SN ^ - k'). (13) 1=0

Я(п}. (]) ° 0 при k Ф k'. При этом

Значит,

икрк

Я(п) (0) = N. В согласии с (13)

Я{п) (І)

Другим крайним случаем являются ансамбли, состоящие из дельта-п-коррелированных сигналов. Если ансамбль Р состоит из дельта-п-коррелированных сигналов х, удовлетворяющих условию |Х|| = N, то Я^ = 0 и, согласно (11), яСп') >^[ы. Отметим, что последняя оценка не зависит от количества сигналов в ансамбле. Она обращается в равенство, если

ЯХХУУ (]) для всех х, у е Р, х Ф у. (14)

Регулярный класс дельта-п-коррелированных сигналов образуют обобщенные сигналы Франка— Крестенсона [9, 10]. Они строятся следующим образом. Рассмотрим матрицу В-К

А N [11,10] = VI (]]), О1, О0 е 0 : N - 1 и построим на ее основе матрицу GN с элементами

^N [/1,10] = а(]1)АN

п(І1), І0 ® р(І1)

где а(Ц) — комплексные коэффициенты; п — перестановка чисел 0, 1, ..., N - 1 и р(о1) — некоторые числа из множества 0 : N - 1.

Сигнал Франка—Крестенсона ф(О) принадлежит пространству С^ и на основном периоде {0, 1, ..., п2в - 1} определяется так:

ф^^ + О0) = GN[jl, М jl, О0 е 0 : N - 1 или подробнее

ф(1^ +10) = а( 11)4"0'1 ]0 }зр] )]з. (15)

В статье [10] доказана следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы сигнал ф вида (15) являлся дельта-п-коррелированным и удовлетворял условию ||ф|| = N, необходимо и достаточно, чтобы |а(О1)| = 1 при о1 е 0 : N - 1.

Варьируя параметры а, п, р в формуле (19) при ограничении |а(О‘1)| = 1, можно строить ансамбли, состоящие из заведомо дельта-п-коррелирован-ных сигналов. При этом можно выбирать пара-

метры таким образом, чтобы выполнялось условие (14).

Особо выделим бинарные сигналы — дискретные периодические функции, принимающие только два значения: +1 и -1. Характерным примером бинарных сигналов являются дискретные функции Уолша — частный случай дискретных функций В-К при п = 2:

(1) = (— Ф11, к, О е 0 : N - 1.

Любой бинарный сигнал х удовлетворяет условию |Х|| = N, поэтому для ансамблей бинарных сигналов справедливы соотношения (4) и (11). Однако на периодах N > 4 оптимальных ансамблей, реализующих точную границу неравенства (4) с Яа = 0, не существует, поскольку не существует дельта-коррелированных бинарных сигналов [5]. В то же время на периодах N = 22в существуют бинарные дельта-2-коррелированные сигналы, например сигналы Франка—Уолша

Ч(1^ +10) = (—1)р(к) ^п{к)(10), 11,10 е 0 :23-1. (16)

Дельта-2-коррелированность сигналов (16) следует из теоремы. Для задания сигналов (16) на основном периоде используется альтернативная форма записи

V = ((-1),’<0) ™„(0), (-У™ ........ <-1)-1) -<,-„)•

Выбором перестановки п и модулятора фазы р можно обеспечить построение ансамбля бинарных сигналов, реализующего точную границу неравенства (11) с Я^ = 0 и ЯСп) =\Ш при п = 2. Например, на периоде N = 16 этим свойством будет обладать ансамбль из трех сигналов

у0 = ^0, -^, W2, Wз);

У1 = ^0, W2, Wз, Wl); (17)

У2 = (Wo, Wз, Wl, W2).

На периоде N = 64 таких сигналов будет уже семь:

у0 = ^0, w1, w2, Wз, w4, w5, w6, w7); у1 = ^, w2, w4, w6, wз, w1, w7, w5); у2 = (w0, wз, w6, w5, w7, w4, w1, w2);

Уз = (w0, w4, wз, w7, w6, w2, w5, w1); (18)

у4 = (w0, w5, w1, w4, w2, w7, wз, w6); у5 = (w0, w6, w7, w1, w5, Wз, w2, w4); у6 = (w0, w7, w5, w2, w1, w6, w4, Wз).

В случае больших периодов N подбор подходящей перестановки п методом полного перебора оказывается чрезмерно трудоемким. Мы предлагаем существенно сузить класс рассматриваемых перестановок, ограничившись параметризованным семейством.

Лемма 2 [11]. Зафиксируем число q е 1 : N - 1 и построим отображение

п(к) = 2к, п

= 2кфq, к е 0:^ — 1. (19) 2 2

Если q — нечетное, то отображение п вида (19) является перестановкой множества {0, 1, ..., N - 1}.

Возьмем перестановку п вида (19) при некотором нечетном q и рассмотрим отображения п2(к) = = п(п(к)), пз(к) = п (п2(к)), ... . Нетрудно видеть, что па(к) при любом натуральном а также является перестановкой. Положим по определению п0(к) = к. Построенной таким образом системе перестановок можно сопоставить ансамбль сигналов

V» = (™п“ (0)’^“ (1)

а = 0,1,2,____

ла (2“-1)у

(20)

Анализ свойств сигналов вида (20) при малых в показывает, что можно подобрать значение параметра q в формуле (19) таким образом, что сигналы уа при а = 0, 1, ..., 2в - 2 будут попарно различны и при этом взаимная 2-корреляция любых двух сигналов ансамбля будет равняться 2в (т. е. ^/N) по абсолютной величине. Такие ансамбли состоят из заведомо дельта-2-коррелиро-ванных сигналов и реализуют точную границу неравенства (11) с Я2 = 0 и Я^ =^fN. Например, при q = з таким образом были построены ансамбли (17) и (18) на периодах N = 16 и N = 64 соответственно.

В общем случае можно сформулировать следующую гипотезу.

8 N = 2в q

2 4 з

з 8 з, 5

4 16 з, 9

5 Э2 5, 9, 15, 2з, 27, 29

6 64 з, 27, зз, з9, 45, 51

7 128 з, 9, 15, 17, 29, з9, 4з, 57, 6з, 65, 75, 8з, 85, 101, 111, 11з, 119, 125

8 256 29, 4з, 45, 77, 95, 99, 101, 105, 11з, 1з5, 141, 169, 195, 207, 2Э1, 245

9 512 17, 27, зз, 45, 51, 89, 95, 105, 111, 119, 125, 1з5, 149, 16з, 165, 175, 18з, 189, 207, 209, 219, 245, 249, 275, 277, 287, 291, з05, з15, зз5, з47, з5з, з6з, з65, Э71, з8з, з89, з99, 4з7, 441, 455, 459, 461, 469, 47з, 48з, 489, 507

10 1024 9, 27, з9, 45, 101, 111, 129, 1з9, 197, 215, 2Э1, 24з, 255, 269, 281, 291, з05, з17, з2з, з4з, з6з, з89, з99, 407, 417, 455, 485, 50з, 507, 5Э1, 5зз, 549, 567, 579, 591, 60з, 6зз, 6з9, 649, 69з, 705, 72з, 7з5, 765, 791, 797, 801, 825, 8з9, 845, 85з, 857, 867, 89з, 909, 915, 945, 987, 1011, 1017

Гипотеза. На каждом периоде длины N = 22в, в > 2, существует по крайней мере один ансамбль Р, состоящий из ^/N — 1 бинарных сигналов, удовлетворяющих условиям

RXld)

= N5n(і) для всех x є P;

RXjU)

°VN для всех x, у є P, x ф у.

В таблице приведены значения параметра q, подтверждающие выдвинутую гипотезу.

Заметим, что объем полученного ансамбля сигналов составляет А/2, где N — период сложного дискретного сигнала.

Литература

1. Сидельников В. М. О взаимной корреляции последовательностей // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 3. С. 531-534.

2. Sarwate D. V. Bounds on Crosscorrelation and Autocorrelation of Sequences // IEEE Transactions on Information Theory. Nov. 1979. Vol. IT-25. N 6. P. 720-724.

3. Welch L. R. Lower bounds on the maximum crosscorrelation properties // IEEE Transactions on Information Theory. May 1974. Vol. IT-20. P. 397-399.

4. Pursley M. B. Performance Evaluation for Phase-Coded Spread Spectrum Multiple Access Communication. P. 2. Code Sequence Analysis // IEEE Trans. 1977. Vol. COM-25. N 8. P. 800-803.

5. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. — М.: Радио и связь, 1992. — 152 с.

6. Габидулин Э. М., Афанасьев В. Б. Кодирование в радиоэлектронике. — М.: Радио и связь, 1986. — 176 с.

7. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. — М.: Сов. радио, 1975. — 239 с.

Заключение

Построены новые оптимальные ансамбли сложных дискретных сигналов для решения задач синхронного кодового уплотнения. В отличие от ортогональных систем Уолша, традиционно применяемых в технологии CDMA, полученные ансамбли состоят из сложных сигналов со свойствами: структурная непредсказуемость у этих сигналов равна периоду, потери при обработке в re-фильтре минимальны, количество сигналов в ансамбле превышает период.

8. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина—Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 1Э. Вып. 1. С. 111-157.

9. Малоземов В. Н., Цветков К. Ю. Об оптимальных парах сигнал—фильтр // Проблемы передачи информации. 200Э. Т. Э9. Вып. 2. С. 50-61.

10. Малоземов В. Н., Машарский С. М., Цветков К. Ю. Сигнал Франка и его обобщения // Проблемы передачи информации. 2001. Т. Э7. Вып. 2. С. 18-26.

11. Цветков К. Ю. О взаимной корреляции дискретных сигналов в обобщенном базисе Виленкина— Крестенсона // Современное состояние и перспективы развития технологии автоматизированного управления и связи: тр. Военно-космической академии имени А. Ф. Можайского / ВКА имени А. Ф. Можайского. СПб., 2007. Вып. 621. С. 1Э2-144.