Оптимальные размеры стальных сварных балок с шарнирными опорными узлами Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 2.1.1

DOI: 10.22227/1997-0935.2023.11.1731-1744

Оптимальные размеры стальных сварных балок с шарнирными опорными узлами

Григорий Михайлович Бажин

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУМГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. В настоящее время возрастают требования к надежности и долговечности металлоконструкций, а также их экономической целесообразности. Учитывая сложность анализа множества факторов, влияющих на прочность, устойчивость и долговечность сварных стальных балок, предлагается новый подход к определению оптимальных размеров, основанный на энергетической теории прочности, с выводом новых коэффициентов, для упрощения подбора сечения балок.

Материалы и методы. Проведен анализ с использованием энергетической теории прочности, с применением которой рассчитана потенциальная энергия упругой деформации стальных сварных балок. Для установления оптимальных размеров балок вычислена первая производная потенциальной энергии упругой деформации по высоте балки, полученный в итоге результат позволил составить отношение высоты и толщины стенки балки к ширине и толщине пояса балки. Это отношение обозначено коэффициентом кр, при помощи которого предложена методика подбора оптимального сечения балки.

Результаты. Выведены формулы, позволяющие быстро и с наименьшим весом подобрать оптимальное сечение балки с использованием коэффициента кр и гибкости стенки. Путем итерационного расчета определены опти-

Optimal dimensions of steel welded beams with hinged

support units

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU);

мальные значения коэффициента кр и гибкости при различных нагрузках и пролетах балок. Выведены формулы ^ ^ для установления кр, зависящие от распределенной нагрузки д, приведены графики и таблицы для определения ¡Л 2 оптимальной гибкости стенки балки и коэффициента кр при заданных параметрах. 2. н Выводы. Сформулирован метод подбора оптимальных размеров стальных сварных балок, опирающийся на энергетическую теорию прочности и введение коэффициента кр. Разработанные формулы и выполненный итерационный расчет, результаты которого представлены в таблицах, позволяют обеспечить быстрый и металлоемкий ф подбор оптимального сечения сварных балок при различных нагрузках и пролетах, что значительно упрощает про- С у цесс проектирования и повышает эффективность использования материалов и конструкций. _ •

о й

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оптимизация сварных конструкций, сварные балки, оптимальная высота балки, методы ^ со

оптимизации сварных балок, оптимальные размеры балок, оптимальная ширина балки, балки У 1

_ 9

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Бажин Г.М. Оптимальные размеры стальных сварных балок с шарнирными опорными о 7 узлами // Вестник МГСУ. 2023. Т. 18. Вып. 11. С. 1731-1744. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.11.1731-1744 П 0

Автор, ответственный за переписку: Григорий Михайлович Бажин, [email protected]. ° _

о7

о!

Grigoriy M. Bazhin С g

со со

П ю Ш g

Ш 6

о

CD О

Moscow, Russian Federation t n

ABSTRACT < T

O 0

Introduction. At the present time, the requirements to reliability and durability of steel structures, as well as their economic feasibility, are increasing. Considering the complexity of analyzing multiple factors influencing the strength, stability and

durability of steel welded beams, a new approach to the determination of optimal dimensions based on maximum-strain- ® n

energy theory is proposed, with the derivation of new coefficients to simplify the selection of beam cross-sections. 8 n

Materials and methods. The research involved an analysis using maximum-strain-energy theory, with the application of IE

which the potential energy of elastic deformation of steel welded beams was calculated. To determine the optimal dimensions $ y

of beams, the first derivative of the potential energy of elastic deformation over the height of the beam was calculated to go

establish the optimal dimensions of the beams, and the obtained result made it possible to compute the ratio of the height ^ 1

and thickness of the beam web to the width and thickness of the beam girdle. This ratio is denoted by the coefficient kp, by , ,

means of which a methodology for selecting the optimal beam cross-section is proposed. 2 2 Results. Formulas were derived which allow to select the optimal beam section quickly and with the least weight using

to to

the coefficient kopt and web flexibility. Iterative calculations were used to determine the optimal values of the coefficient kopt W W and flexibility under different loads and beam spans. As a result of the research, formulas for determining kp were derived,

© Г.М. Бажин, 2023 1731

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

depending on the distributed load q, along with graphs and tables for determining the optimal web flexibility and the kopt coefficient for the given parameters.

Conclusions. Based on the conducted analysis, a method of selecting the optimal dimensions of steel welded beams was formulated, based on maximum-strain-energy theory and the introduction of the kopt coefficient. The developed formulas and iterative calculations, the results of which are presented in tables, make it possible to provide a quick and metal-intensive selection of the optimal cross-section of welded beams under different loads and spans, significantly simplifying the design process and increases the efficiency of the use of materials and structures.

KEYWORDS: optimization of welded structures, welded beams, optimal beam height, optimization methods for welded beams, optimal beam dimensions, optimal beam width, beams

FOR CITATION: Bazhin G.M. Optimal dimensions of steel welded beams with hinged support units. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2023; 18(11):1731-1744. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.11.1731-1744 (rus.).

Corresponding author: Grigoriy M. Bazhin, [email protected].

CO CO

СЧ eg

о о

СЧ eg

X Ф О 3 > (Л Е (Л 2 " ш 00

60 ж

М

ф ф ¡1

О -с

0 а £ '

СО о

со Е

1 §

DL °

^ С

Ю О

8 g

о Е

ЕВ J|

о ^

т- ^

■ g

i: i£!s

фS m >

ВВЕДЕНИЕ

Определение оптимальных размеров балок является важным этапом проектирования, ведь это напрямую влияет на прочность, устойчивость и экономичность конструкции. Выбор размеров зависит от множества факторов, каждый из которых оказывает воздействие на процесс проектирования.

Нагрузка на балку и ее тип (статическая, динамическая, ударная) влияют на требования к прочности и жесткости балки [1]. Выбор размеров балки должен основываться на обеспечении необходимой прочности и жесткости при допустимых деформациях. Более высокие нагрузки требуют более мощных балок, что может привести к увеличению их размеров.

Форма и габариты сооружения обусловливают геометрические ограничения на размеры балок. В пространственных конструкциях, например, балки могут быть подвержены дополнительным изгибающим или крутящим моментам, что может потребовать увеличения размеров балок для обеспечения устойчивости конструкции.

Материал балки и сварного соединения определяет характеристики прочности и жесткости, а также сопротивление коррозии и усталости. Разные стали имеют разные характеристики, которые могут повлиять на оптимальные размеры балок. Также важно учитывать свойства монтажного сборочного сварного соединения в случае, если укрупненная сборка будет вестись на сварке, так как оно может оказаться самым слабым звеном в конструкции.

Условия эксплуатации и воздействие окружающей среды (температура, влажность, химическая агрессия, сейсмическая активность) также влияют на выбор размеров стальных сварных балок. Например, в условиях повышенной коррозионной активности может потребоваться увеличение толщины стенок балки для обеспечения долговечности конструкции. В зонах сейсмической активности размеры и конфигурация балок могут быть изменены для обеспечения лучшей адаптации к сейсмическим нагрузкам.

Стандарты и нормы проектирования устанавливают минимальные требования к размерам и прочности стальных сварных балок. Они включа-

ют рекомендации по выбору материалов, методов проектирования и расчета, а также предельных допусках для различных видов нагрузок. Соблюдение стандартов и норм проектирования является обязательным условием для обеспечения безопасности и долговечности конструкций.

Для оптимизации сварных балок наиболее эффективным будет использование современных методов численного моделирования конструкций [2] на основе метода конечных элементов (МКЭ). Метод конечных элементов служит мощным численным инструментом для анализа и проектирования инженерных конструкций, включая сварные балки. Он позволяет проводить детальный анализ напряжений, деформаций и других параметров конструкции, что может быть применено для оптимизации размеров балок.

Для этого необходимо создать трехмерную геометрическую модель балки (рис. 1), включая ее форму и размеры [3, 4], а также детали сварных соединений с помощью специализированных программ (например, ANSYS, ABAQUS, SolidWorks Simulation). Разбить модель на конечные элементы (тетраэдры, гексаэдры), которые образуют сетку. Количество и размер элементов влияют на точность и скорость расчета. Задать свойства материала балки и граничные условия (модуль упругости, предел прочности, коэффициент Пуассона и т.д.) и нагрузки, действующие на балку [5-8].

Рис. 1. Конечно-элементная модель сварной двутавровой балки

Fig. 1. Finite element model of the welded I-beam

1732

На основе полученных результатов проводится анализ прочности, жесткости и устойчивости балки [9]. Затем с использованием оптимизационных алгоритмов или итерационных методов подбираются оптимальные размеры балки, которые обеспечивают необходимые характеристики при минимальном весе и затратах на материалы [10, 11].

Один из наиболее подходящих оптимизационных алгоритмов — метод последовательной аппроксимации. Он предполагает поэтапное приближение к оптимальному решению путем уточнения геометрии балки и параметров конструкции на каждом шаге. Примером может служить метод наименьших квадратов, который использует численные методы для определения оптимальных параметров.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Подставляя это выражение в (2), взяв от него первую производную по высоте и приравняв ее нулю, получим:

-ud = --dh

q 2l5

^ th,2

\

-btfhw

rtX bhltf btf 3V

= 0

240E

12

4bt,

h =-

Введя коэффициент пропорциональности kopt и взяв полученное выражение по модулю, его можно записать так:

Теоретические исследования

Оптимальные размеры сечения сварной балки можно установить, понимая, что потенциальная энергия упругой деформации балки ие1 будет равна нулю при полном совершении работы сил, приводящих балку к деформации. Взяв первую производную потенциальной энергии по высоте балки и приравняв ее к нулю, можно определить оптимальную высоту сечения балки из условия энергетической теории прочности.

Если предположить, что балка шарнирно опирается по краям и загружена равномерно распределенной нагрузкой, то потенциальную энергию упругой деформации такой балки можно записать так:

U, = - fM— dx. d 2 0 EJ

(1)

U, =

2 j5

q I 240EJ'

(2)

J =

twhi 12

btf 3

h.2 btf

Kpt = ~bt

i

Aw

A

Подставив в это выражение изгибающий момент, найденный в какой-то точке х:

2 2

где х — координата точки, где определяется изгибающий момент, и проинтегрировав формулу (1), получим окончательное выражение потенциальной энергии упругой деформации:

где множитель 4 представлен как kopt — коэффициент пропорциональности балки; А^ — площадь поперечного сечения стенки; А/ — площадь поперечного сечения пояса.

Другим методом определения оптимальных размеров балок является сравнение с экспериментальными данными и аналогичными конструкциями. Значения k, применяемого у прокатных профилей, приведены в табл. 1.

В работе [12] установлено, что для прокатных двутавровых балок kopt составляет примерно 1,94. При этом для того, чтобы корректно задать размеры листов составной балки, необходимо ввести коэффициент пропорциональности геометрического сечения 5 , который находится как отношение высоты балки к ее ширине:

8 =-

ор, ъ ■

(3)

Момент инерции всей балки в общем виде можно записать следующим образом:

где tw — толщина стенки; hw — высота стенки; Ь — ширина пояса; tf — толщина полки.

Зная kopt и 5 , можно установить предварительные генеральные размеры сварной балки, приближенные к оптимальным.

Численные исследования

Как видно из каталога прокатных профилей (табл. 1), коэффициент 5opt условно равномерно растет с увеличением высоты сечения балки. Так, при высоте балки от ~ 500 до 600 среднее значение 5 = 2,51; при высоте от ~ 700 до 800 5 = 2,75;

opt ' ' * opt ' '

при высоте от ~ 900 до 1000 5opt = 3,06. Если сделать допущение, что рост 5opt происходит линейно, то, воспользовавшись методом наименьших квадратов, можно получить уравнение вида:

8opt = ah + d.

< п

is

Ч

G Г

o со

n со

< -ь J со

u -

r i

П о

<3 o <

О n

co co

l\J со

0

1

cd cd О

о

cn

• ) ® 8

л '

00 n

1 T

s У с о <D Ж

10 10 о о 10 10 u w

1733

4

и

t

w

(О (О

N N

о о

N N

¡É ш

U 3 > (Л С И 2 "1 to «о

. т-

со щ

?!

Ф Ф

О ё —■

о

о <£ со > 2;

от* от ЕЕ

— -I-J

^ сл .Е §

^ с Ю о

8 « о Е

Ев i?

СП ^ т- ^

£

ОТ О

£ w

О (П

Табл. 1. Коэффициенты kopt, 5opt для ГОСТ 26020-83 Table 1. Coefficients k , 5 for GOST 26020-83

optt opt

ная высота балки в мм, то формула для определения

Параметры Parameters 5 t opt k t opt b tf h w t w h

50Б1 / 50B1 2,46 1,804 200 12 468 8,8 492

50Б2 / 50B2 2,48 1,63 200 14 468 9,2 496

55Б1 / 55B1 2,468 1,737 220 13,5 516 9,5 543

55Б2 / 55B2 2,486 1,604 220 15,5 516 10 547

60Б1 / 60B1 2,578 1,747 230 15,5 562 10,5 593

60Б2 / 60B2 2,596 1,632 230 17,5 562 11 597

70Б1 / 70B1 2,658 2,058 260 15,5 660 12 691

70Б2 / 70B2 2,681 1,811 260 18,5 660 12,5 697

80Б1 / 80B1 2,825 2,243 280 17 757 13,5 791

80Б2 / 80B2 2,85 1,946 280 20,5 757 14 798

90Б1 / 90B1 2,977 2,414 300 18,5 856 15 893

90Б2 / 90B2 3 2,114 300 22 856 15,5 900

100Б1 / 100B1 3,094 2,357 320 21 948 16 990

100Б2 / 100B2 3,119 2,121 320 25 948 17 998

100Б3 / 100B3 3,144 1,951 320 29 948 18 1006

100Б4 / 100B4 3,166 1,899 320 32,5 948 19,5 1013

hp =-

1013

16

= 752,8;

2,46 + 2,48 + 2,468 ... + 3,166 16

2,78.

( - К )( i -( - К )2

d = 5 „ — ah ,

opt _ср ср '

отсюда а = 0,00136, d = 1,762.

Тогда уравнение линейной зависимости 5о от высоты балки в мм примет вид:

Ьор, = 0,00136 h +1,76.

(4)

kopt примет вид:

k — S —

kopt ~ 0opl t '

V

(5)

где ^ — толщина стенки; — толщина полки.

Из практики толщину стенки выбирают в зависимости от пролета (табл. 2). Высоту балки можно предварительно принять как 1/8 ~ 1/10 от пролета или определить по формуле, предложенной В.М. Вахуркиным [13], задавшись гибкостью стенки I = 120 - 150:

= ^.

Тогда, воспользовавшись выражениями (3) и (5), преобразовав их, можно легко рассчитать ширину и толщину пояса:

b =

h

tf = tw

(6)

(7)

ние h и среднее значение 5 , воспользовавшись

ср 1 ^ opt _ср'

Для этого сначала определим среднее значе-h и

ср

табл. 1:

492 + 496 + 543 ■

Теперь найдем значения a и b, используя формулы:

Сравнительные расчеты (табл. 3) показывают, что данный метод позволяет с наименьшими трудозатратами для инженера подбирать оптимальные сечения сварной балки с первого раза, удовлетворяющие условию прочности.

Из предварительных поверочных расчетов (табл. 3) видно, что в зависимости от изменения изгибающего момента меняется оптимальная гибкость стенки Xwopt, а также значение kopf Для инженера-конструктора это означает, что с изменением пролета балки и нагрузки на балку должны меняться оптимальные значения гибкости стенки X и k .

w, opt opt

В табл. 4 приведены поверочные расчеты типовых шарнирно-опертых сварных балок, выполненные итерационным методом подбора оптимальных значений Xw opt и kopt для пролета 18 м и различных расчетных нагрузок, при которых сечение будет иметь наименьший вес.

Как видно из табл. 4, с увеличением нагрузки и, как следствие, изгибающего момента, значения коэффициентов kopt уменьшаются. На рис. 2 приведен график изменения kopt при значениях нагрузок от 10 до 180 кН/м, с введенными данными с шагом 1 кН/мп.

Если выполнить сглаживание графика функции k (q), можно найти уравнение сглаженной функ-

Табл. 2. Толщина стенки в зависимости от пролета Table 2. Web thickness depending on the span

Если при определении коэффициента пропорциональности балки заменить h на h, где h — пол-

L, м / m 12 14 18

t , мм / mm w 8-10 10-12 12-16

1734

б

opt

opt

Табл. 3. Пример подбора сечения сварной балки, при различных пролетах Table 3. Example of selection of the welded beam cross-section, with different spans

Пролет L, м Beam span L, m 14 16 18

^ t ■уцор! 148 149 138

q, кН/м / kN/m 149

M, кНм / kNm 3650,5 4768 6035

R , кН/см2 / kN/cm2 y' 23

Yc 0,9

WTP = M* , см3 тр RyYc M wme , cm3 Ry Ye 17 635 23 033 29 152

hoP, = 32X™W, см / cm 157,6 172,6 182,05

t , мм / mm w7 10 12 12

5 t opt 3,9 4,1 4,24

k , opt 1,78 1,87 1,62

g tf = t -op' Kpt 21,9 26,4 31,3

tf с учетом ГОСТ tf taking into account GOST 22 25 30

h = h , - 2t, w opt f 153,2 167,6 175,79

hw с учетом ГОСТ hw taking into account GOST 154 168 177

к h . b =-, мм / mm §op, 400,37 416,52 429,98

b с учетом ГОСТ b taking into account GOST 420 420 450

J, см4 / cm4 1 400 109,1 2 061 880,3 2 669 433,3

Мх . -—y < 1 JxRy Yc 0,997 0,966 0,999

Площадь сечения балки Ab, см2 Beam cross-sectional area A., cm2 338,8 426,6 482,4

Вес, т Weight, t 3,71 5,34 6,79

< П

8 8 is

G Г

S 2

0 CO n CO

1 < < -b J to U I

r I

n о

< 3 o

oi

n ))

СЯ '

U S

n 2

< 0

<

r 6 t °

go

• ) ® 8

л '

oe n

I T

W У

с о <D X

10 10 о о 10 10 u w

ции, которое позволит определять коэффициенты kopt при любых значениях q.

Из графика (рис. 2) видно, что наилучшим образом функцию будет описывать полином 5-й степени, вида:

кр (ч) = а5 Ч5 + а4Ч4 + а3Ч3 + а2 Ч2 + а1Ч + а0,

где а , а , а , а , а , а5 — коэффициенты полинома, которые необходимо найти.

Воспользуемся полиномиальной регрессией для аппроксимации данных графика на рис. 2 с набором точек q,, k t,; q, k t • ..., q , k t .

* 1V opt_V 12' opt_2 ' 1n optn

Для нахождения коэффициентов a , a, a , a3, a , a , которые минимизируют сумму квадратов ошибок (SSE), используем метод наименьших квадратов:

SSE-2 (k^-kp _,) 2 =

= ^ [(a5q,5 + а4q4 + a3qi + a2q2 +

i=1..n

+ а&+а0)~ Kpl _ i]2.

1735

Табл. 4. Подбор оптимального сечения при L = 18 м Table 4. Selection of the optimal cross-section at L = 18 m

q, кН/м kN/m k t opt ^ t wppt Вес, т Weight, t A, см2 cm2 J, см4 / cm4 x' h w t W bf tf -х—y < 1 JxRy Yc

40 2,64 123 3,29 234 447 268 111 1,2 36 1,4 0,995

50 2,83 150 3,66 260 645 547 128 1,2 38 1,4 0,991

55 2,5 137 3,87 275,2 707 814 128 1,2 38 1,6 0,997

60 2,25 130 4,11 291,6 783 828 129 1,2 38 1,8 0,992

65 2,04 121 4,32 306,8 847 077 129 1,2 38 2 0,998

70 2,35 145 4,41 313,2 996 077 141 1,2 40 1,8 0,994

75 2,12 133 4,62 328 1 058 453 140 1,2 40 2 0,998

80 2,18 144 4,74 336,4 1 182 066 147 1,2 40 2 0,999

85 2,21 148 4,92 349,2 1 301 993 151 1,2 42 2 0,989

90 2,11 140 5,15 366 1 397 776 151 1,2 42 2,2 0,978

95 2,14 143 5,22 370,8 1 482 417 155 1,2 42 2,2 0,999

100 1,75 126 5,49 390 1 518 859 150 1, 42 2,5 0,998

105 1,79 133 5,59 397,2 1 657391 156 1,2 42 2,5 0,997

110 1,83 142 5,69 404,4 1 803 072 162 1,2 42 2,5 0,996

115 1,65 126 5,97 423,6 1 836 504 157 1,2 42 2,8 0,996

120 1,86 146 6,01 426,6 2 061 880 168 1,2 45 2,5 0,984

125 1,89 149 6,08 431,4 2 173 062 172 1,2 45 2,5 0,996

130 1,56 132 6,35 451,2 2 193 647 166 1,2 42 3 0,997

135 1,72 137 6,44 457,2 2 342 369 171 1,2 45 2,8 0,995

140 1,75 144 6,52 463,2 2 496 830 176 1,2 45 2,8 0,996

145 1,6 135 6,74 478,8 2 570 635 174 1,2 45 3 0,993

150 1,63 140 6,81 483,6 2 702 848 178 1,2 45 3 0,998

155 1,65 147 6,90 489,6 2 873 559 183 1,2 45 3 0,997

160 1,48 130 7,17 509,4 2 880 971 177 1,2 45 3,3 0,997

165 1,51 137 7,26 515,4 3 062 583 182 1,2 45 3,3 0,994

170 1,52 141 7,33 520,2 3212 508 186 1,2 45 3,3 0,997

175 1,54 146 7,39 525 3 366 595 190 1,2 45 3,3 0,999

CO ^

t- ^

СЯ J

>> A

■s

О tn

opt

5,5" 4,944,383,81 3,252,69 2,131,56 1

/

L Л

VL^

V Л -

/

\

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 2. Изменение kopt в зависимости от нагрузки, при пролете 18 м Fig. 2. Change of kopt depending on the load, with a span of 18 m

1736

6 5,5 5 4,5 4 3,5' 3 2,5 2 1,5 1

10

150 160 170 180 q, кН/м / kN/m

Рис. 3. График сглаженной функции kl1pt (q) при пролете 18 м Fig. 3. Graph of the smoothed function k1cp1 (q) with a span of 18 m

Для минимизации ошибки найдем частные производные SSE по каждому из коэффициентов и приравняем их к нулю:

= 0;

Тогда уравнение функции kopt(q) при пролете 18 м можно записать так:

к™ (д) = -2,102-10"10 У +1Д95-10"7 х

dSSE dSSE ( dSSE

da0 dal da2

dSSE (; dSSE dSSE

da3 da4 da5

х q -2,643-lU J -q" - 1,673-lü"1 -q + 6,395.

'-3-q2-

(8)

= 0.

Далее составим систему уравнений и методом Гаусса решим ее. В результате получим:

а0 = 6,4395; а1 =-1,673 -10-1; а2 = 2,887-10-3; а3 =-2,643-10-5;

a. = 1,195-10-7; a5 =-2,102-10"

На графике (рис. 3) показана зависимость ko(q) при пролете 18 м с шагом нагрузки 1 кН/мп. Условная гибкость стенки ^ор( может быть определена по графику (рис. 4) при значении распределенной нагрузки q, данной с шагом 1 кН/мп. Как видно из графика, условная гибкость стенки имеет сложный закон распределения относительно распределенной нагрузки q, это значительно усложняет аппроксимацию функции ^8опт(^).

155 150 145 140 135 130 125 120 115

v7f

Ш

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 4. Изменение Xwopt в зависимости от нагрузки при пролете 18 м Fig. 4. Change of Xwopt depending on the load, with a span of 18 m

< П

л

is

G Г

S 2

o

n S

< -ь J CD

u I

r i n

< 3 o

oi

n)

СЯ '

u S

n 2

< 0

< 66

r6 t °

• ) ® 8

л '

oe n

I T

W у с о <D *

10 10 о о 10 10 U W

1737

к

I

w

Из графика (рис. 4) следует, что основные значения Хщор1 лежат в диапазоне 130-150 при равномерно распределенной нагрузке от 50 кН/мп. Можно сделать вывод, что этот диапазон и будет являться основным при выборе ^ при пролете 18 м.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Результаты численного исследования показали, что предложенный способ определения генеральных размеров стальных сварных балок, помимо уменьше-

ния трудозатрат для инженера-конструктора, позволяет подбирать сечения балок, оптимальные по весу.

В рамках исследования был проведен итерационный подбор оптимальных сечений балок с пролетами 18, 16, 14, и 12 м и нагрузками от 10 до 175 кН/м, варьируя значения условной гибкости от 120 до 150 и kopt таким образом, чтобы вес балки при данных условиях был минимальным.

В результате получены табличные данные с оптимальными сечениями для указанных диапазонов. Построение графиков зависимости k и условной

Табл. 5. Коэффициенты А, и kopt при различных пролетах и нагрузках Table 5. Coefficients А , k at different spans and loads

W opr opt L

L = 16 м / m L = 14 м / m L = 12 м / m

кН/м kN/m k t opt А w Вес, т Weight, t A, см2 cm2 k t opt А w Вес Weight, t A, см2 cm2 k t opt А w Вес, т Weight, t A, см2 cm2

10 4,54 120 1,37 109 3,68 120 0,96 87,8 2,85 120 0,65 68,8

15 4,78 123 1,55 124 3,85 120 1,09 99,2 2,98 120 0,73 77,6

20 3,84 120 1,82 145 4,07 142 1,26 115 3,12 136 0,84 89,6

25 4,01 133 2,01 160 3,2 123 1,41 129 2,45 120 0,96 102,4

30 4,18 147 2,18 174 3,33 140 1,55 141,2 2,53 129 1,04 111,2

35 3,45 135 2,39 190 2,74 126 1,70 155 2,09 120 1,17 124

40 3,58 149 2,56 204 2,84 140 1,82 166 2,15 127 1,21 128,8

45 3,03 133 2,74 218 2,4 125 1,97 179,6 2,2 133 1,29 136,8

50 2,63 121 2,92 233 2,47 136 2,05 186,6 1,86 120 1,40 148,8

55 2,72 135 3,04 242 2,53 142 2,15 196,4 1,9 129 1,44 153,6

60 2,77 140 3,18 254 2,19 130 2,30 209,8 1,93 130 1,51 160,8

65 2,44 128 3,36 268 2,23 135 2,35 214,8 1,99 147 1,56 166,4

70 2,51 140 3,46 276 2,29 150 2,43 221,8 1,71 127 1,67 177,6

75 2,24 129 3,64 290 2,32 150 2,53 230,4 1,74 136 1,71 181,6

80 2,29 138 3,73 298 2,03 135 2,67 243,6 1,75 134 1,77 188,8

85 2,31 136 3,85 307 2,07 143 2,73 248,6 1,8 148 1,82 193,6

90 2,37 148 3,95 316 1,84 127 2,86 260,8 1,56 127 1,92 204,8

95 2,12 133 4,11 328 1,88 136 2,91 265,8 1,6 137 1,96 208,8

100 2,17 143 4,20 335 1,91 144 2,97 270,8 1,63 147 2,06 219,2

105 2,06 132 4,37 349 1,92 143 3,07 280 1,63 140 2,06 219,2

110 2,22 149 4,40 352 1,74 136 3,23 295 1,46 134 2,19 233,6

115 2,11 138 4,57 365 1,75 135 3,26 297 1,46 129 2,20 234,4

120 2,14 143 4,65 371 1,78 144 3,31 302 1,48 136 2,23 237,6

125 1,75 127 4,89 390 1,81 150 3,35 306 1,51 147 2,27 241,6

130 1,78 131 4,95 395 1,71 136 3,50 319 1,34 127 2,38 252,8

135 1,8 136 5,01 400 1,73 142 3,54 323 1,37 134 2,41 256

140 1,83 144 5,08 406 1,76 149 3,68 335,8 1,39 141 2,44 259,2

145 1,86 149 5,14 410 1,76 143 3,68 335,8 1,39 141 2,52 268

150 1,87 148 5,34 427 1,79 150 3,72 339,8 1,4 141 2,53 269,6

155 1,87 145 5,36 428 1,46 134 3,95 360 1,42 148 2,56 272,8

160 1,89 150 5,42 433 1,47 132 3,96 361 1,33 130 2,6 284,8

165 1,56 131 5,65 451 1,49 138 4,00 365 1,35 135 2,70 287,2

170 1,72 136 5,71 456 1,51 144 4,04 365 1,37 142 2,73 290,4

175 1,74 141 5,77 461 1,52 148 4,08 372 1,39 147 2,75 292,8

1738

Opt

5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5

L

V

w

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 5. Изменение kopt в зависимости от нагрузки при пролете 16 м Fig. 5. Change of k depending on the load, with a span of 16 m

155 150 145 140 135 130 125 120 115

r J i A i A V A Л \/l

I / ( / k / i v /

/ J 1 N V r

J Г / / J /

Г г 1/ / ) I V

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 6. Изменение Xwopt в зависимости от нагрузки при пролете 16 м Fig. 6. Change of Xwo t depending on the load, with a span of 16 m

k

4,5 4,06 3,633,19 2,752,311,881,441

У 1

L 1—

V \

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 7. Изменение kopt в зависимости от нагрузки при пролете 14 м Fig. 7. Change of k depending on the load, with a span of 14 m

< П

8 8 is

G Г

S 2

o CO n S

< -b J to

U -

r i

П о

< 3 o

oi

СЯ

U S § 2

< 0 <

r 6 t °

• ) ® 8

л *

00 n

1 T

(Л У

с о <D X

10 10 о о 10 10 u w

1739

X

155150 145 140 135130 125 120115

1 V / tJ r

1 1 / r / / V / ы J

Г ) 1A J / J f

1 1 V / VV ! К J

/ •J /

V у V

10 20 30 40

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

q, кН/м / kN/m

Рис. 8. Изменение А в зависимости от нагрузки при пролете 14 м Fig. 8. Change of А , depending on the load, with a span of 14 m

W (0

N N

О О

N N

¡г ш

U 3 > (Л С И 2

U «о

. т-

C0 щ

?!

<u <u

О ё

---' "t^

О

О <£ CD >

wi со E - -b^

.E §

^ с Ю о

Sg

о E со ^

t- ^

02 ° >> A

О tn

значения условной гибкости при таком же шаге изменения нагрузки q.

Аппроксимируя графики функций ko(q) при

при пролетах 16 14 и 12 м дана нагрузка и

ор1

ответствующая ей площадь поперечного сечения и итоговый вес балки.

На графике (рис. 5) показана зависимость kopt(q) при пролете 16 м с шагом нагрузки 1 кН/мп. На графике зависимости А^6опт(^) (рис. 6) приведены значения условной гибкости при таком же шаге изменения нагрузки q.

На графике (рис. 7) показана зависимость kopt(q) при пролете 14 м с шагом нагрузки 1 кН/мп. На графике зависимости А^опт(^) (рис. 8) приведены значения условной гибкости при таком же шаге изменения нагрузки q.

На графике (рис. 9) показана зависимость kopt(q) при пролете 12 м с шагом нагрузки 1 кН/мп. На графике зависимости А^2ош,(^) (рис. 10) приведены

к

записать так:

гибкости от нагрузки q позволило выявить возможность сглаживания функции и получить уравнение полинома которое может быть использовано

Для определения ^ при п°дстан°вке значения q. пролетах 16, 14, 12 м (рис. 5, 7, 9) аналогично, как

В табл. 5 приведены значения подобранных оп- при пролете 18 м, уравнения функций ^ можно тимальных по весу сечений и коэффициентов А^ор °Р

и k при пролетах 16, 14 и 12 м, дана нагрузка и со-

с (<?) = !> 985-Ю-10.*5--7,97-10"8-94+9,341-Ю"6-?3 + (9) + 1,326 • Ю"5 • q2 - 0,06986 ■ q + 5,676;

кф (?) = 1>253 • Ю"10 -ц5 --5,613-Ю"8 -<74 + 7,768-Ю"6 - (10) - 0,0001596 • д2 - 0,04412 д + 4,497;

kfpAl)= 3,787-10"11 qs -- 1,672-Ю"8 q4 + 2,037-Ю"6 q3 + (11) + 7,603 • 10"5 • q2 - 0,03368 • q + 3,446.

3,5' 3,19 2,88' 2,56 2,25 1,94 1,63

1,31 1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Рис. 9. Изменение kopt в зависимости от нагрузки при пролете 12 м

Fig. 9. Change of kopt depending on the load, with a span of 12 m

1740

160 170 180 q, кН/м / kN/m

A

155

150-

145' 140

135

130125-

Г

120

115

10 20 30 40

50 60

70

80 90 100 110 120 130 140

150 160 170 180 q, кН/м / kN/m

Рис. 10. Изменение Xw opt в зависимости от нагрузки при пролете 12 м Fig. 10. Change of X depending on the load, with a span of 12 m

3 2,5 2 1,5 1

10 20 30 40

50

60 70 80 90 100 110 120 130 140

150 160 170 180 q, кН/м / kN/m

Рис. 11. График сглаженных функций kop(q) при пролетах 16, 14, 12 м Fig. 11. Graph of smoothed functions kopt(q) with spans of 16, 14, 12 m

Графики сглаженных функций kopt(q) показаны на рис. 3 и 11. Пример подбора сечения сварной балки по представленной в исследовании методике приведен в табл. 3, алгоритм подбора сечения — на рис. 12.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Оптимизация размеров сварных балок является актуальной задачей, поскольку она имеет прямое влияние на экономическую эффективность конструкций. Снижение веса металлоконструкций ведет к сокращению затрат на материалы, производство, транспортировку и монтаж. В свете этой важности данное исследование направлено на определение оптимальных размеров сварных балок при заданных нагрузках и пролетах для достижения минимального веса конструкции.

Для решения поставленной задачи была применена энергетическая теория прочности. Путем расчета потенциальной энергии упругой деформации балки и последующего взятия первой производной

по высоте балки получено выражение для коэффициента kopt, который характеризует оптимальное отношение высоты балки к толщине стенки и ширине балки к толщине пояса.

Представленный подход к оптимизации размеров сварных балок обеспечивает возможность применения как табличных данных, так и выведенных формул и построенных графиков для быстрого и точного определения оптимальных параметров. Методика, предложенная в рамках настоящего исследования, — простая и удобная для инженеров, облегчает процесс проектирования и повышает эффективность использования материалов и конструкций.

Внедрение этой методики в инженерную практику позволит добиться более эффективного использования материалов и человеческих ресурсов, что скажется на снижении стоимости и проектных работ.

Следует отметить, что исследования в этой области имеют большой потенциал для дальнейшего развития и усовершенствования методов оптими-

< п

is

ч

G Г

o

§ со

l <

< -Ь

J со

u i

r i

n °

< 3 o

n

co

со

w

CO

0

1

CO CO о о

• ) ® 8

л '

00 n

1 T

s у с о <D X

10 10 о о 10 10 u w

X

k

opt

1741

I

Определяем исходные данные Input of initial data: q, M, Ry, Yc

Находим требуемый момент сопротивления Required beam resistance moment

Определяем высоту балки по формуле В.М. Вахуркина We determine the height of the beam according to the formula of Vakhurkin

W (0

N N

О О

N N

К ш U 3

> (Л

с и 2 "1 to «о

. т-

со щ

?!

Ф Ф

О ig

о о со со

I

о со CN

от от

.Е о с

Ю о

S g

о Е с5 °

СП ^ т- ^

s

41 J

>> А

О (О

Находим коэффициент по формуле (4) Find the coefficient by the formula (4)

. Задаемся толщиной стенки по табл. 2 Set the thickness of the beam web according to table 2

Определяем коэффициент k по табл. 4, 5, или графикам на рис. 2, 5, 7, 9, или по формулам (8)—(11) Find the coefficient using a formula, graph, or table

Определяем момент инерции

подобранного сечения Determine the moment of inertia

Определяем ширину пояса по формуле (6) Determine the width of the girder belt using the formula

Находим толщину пояса по формуле (7) и принимаем в соответствии с ГОСТ Find the thickness of the girder belt according to the formula

X

Определяем высоту стенки, принимаем с учетом ГОСТ Determine the height of the beam web and accept it taking into account GOST

/Продолжаем проверки по СП ' Continue toperform checks

Рис. 12. Блок-схема алгоритма подбора оптимального сечения сварной балки

Fig. 12. Block diagram of the algorithm for selecting the optimal section of the welded beam

зации сварных балок [14-17]. Возможным направлением будущих исследований может стать анализ влияния дополнительных факторов на оптимальные параметры балок, а также разработка новых методов оптимизации, учитывающих сложные геоме-

трические и материаловедческие характеристики сварных конструкций. Такие исследования могут способствовать совершенствованию инженерных методов и повышению уровня безопасности и надежности металлоконструкций в целом.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Хижавский О.А. Оптимальные параметры главных балок стальных пролетных строений разрезной и неразрезной систем военных железнодорожных мостов // Вестник Военной академии материально-технического обеспечения им. генерала армии А.В. Хрулева. 2015. № 3. С. 73-76. EDN VTFFRH.

2. Василькин А.А. Оптимизация стальных конструкций с использованием САПР // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2016. № 1 (54). С. 116-124. EDN VLONOV.

3. Гинзбург А.В., Василькин А.А. Постановка задачи оптимального проектирования стальных конструкций // Вестник МГСУ. 2014. № 6. С. 52-62. DOI: 10.22227/1997-0935.2014.6.52-62. EDN SIJYCX.

4. Гарифуллин М.Р., Семенов С.А., Беляева С.В., Порываев И.А., Сафиуллин М.Н., Семенов А.А. Поиск рациональной геометрической схемы пространственной металлической конструкции покрытия большепролетного спортивного сооруже-

ния // Строительство уникальных зданий и сооружений. 2014. № 2 (17). С. 107-124. EDN RWGNQF.

5. Туснин А.Р. Автоматизация расчетов несущей способности элементов стальных конструкций // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 10. С. 22-23. EDN MVMUDB.

6. Василькин А.А., Щербина С.В. Построение системы автоматизированного проектирования при оптимизации стальных стропильных ферм // Вестник МГСУ. 2015. № 2. С. 21-37. DOI: 10.22227/19970935.2015.2.21-37. EDN TIVXSZ.

7. Василькин А.А. Информационная технология автоматизации поддержки поиска проектных решений стальных конструкций // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 5. С. 76-80. EDN VZDQBN.

8. Ерохин А.П. Применение параметрических моделей в автоматизированном проектировании авиационных конструкций // Новое слово в нау-

1742

ке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований. 2013. № 6. С. 95-99. EDN REDWEJ.

9. Соболев Ю.В., Василькин А.А., Колосков А.Д. Определение напряженно-деформированного состояния стенки с геометрическими дефектами в области монтажного стыка численными методами // Промышленное и гражданское строительство. 2005. № 12. С. 44-45. EDN RYAOOP.

10. Тамразян А.Г., Филимонова Е.А. Оптимальное проектирование железобетонных плит перекрытий по критерию минимальной стоимости // Современные проблемы расчета железобетонных конструкций, зданий и сооружений на аварийные воздействия. 2016. С. 424-433. EDN VXXKVL.

11. Штейнбрехер О.А., Бурнышева Т.В. Решение задачи параметрической оптимизации сетчатой цилиндрической конструкции // Инженерный журнал: наука и инновации. 2017. № 10 (70). С. 2. DOI: 10.18698/2308-6033-2017-10-1688. EDN ZHZQXX.

12. Бажин Г.М., Кудряшов Д.В. Оптимальные размеры стальных балок на примере прокатных

профилей // Инновации и инвестиции. 2023. № 5. С. 344-346. EDN IIADIY.

13. Вахуркин В.М. Наивыгоднейшая форма двутавровых балок // Бюллетень строительной техники. 1949. № 21. С. 3-8.

14. Гольденберг Л.И. Прочность и устойчивость некоторых эффективных типов тонколистовых металлических оболочек : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. М., 1990. 58 с. EDN ZJOMRH.

15. Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces // Mathematical Programming Studies. 1982. Vol. 19. Pp. 39-76. DOI: 10.1007/ bfb0120982

16. Volkov A.A., Vasilkin A.A. Optimal design of the steel structure by the sequence of partial optimization // Procedia Engineering. 2016. Pp. 850-855. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.176. EDN WHYWCS.

17. Arruda E., Ourique F., Almudevar A., Silva R. On cost based algorithm selection for problem solving // American Journal of Operations Research. 2013. Vol. 3. Issue 5. Pp. 431-438. DOI: 10.4236/ajor.2013.35041

Поступила в редакцию 11 июня 2023 г. Принята в доработанном виде 13 августа 2023 г. Одобрена для публикации 28 августа 2023 г.

Об авторе: Григорий Михайлович Бажин — старший преподаватель кафедры металлических и деревянных конструкций; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ГО: 809764, ORCID: 00000002-7960-6421; [email protected].

< П

i н

Ч

G Г

со со

REFERENCES

1. Khizhavsky O.A. Optimal parameters of the main beams of steel spans of split and continuous systems of military railway bridges. Bulletin of the Military Academy of Material and Technical Support named after army GeneralA.V. Khruleva. 2023; 5:73-76. EDN VTFFRH. (rus.).

2. Vasilkin A.A. Optimization of steel structures using cad-systems. Journal of Construction and Architecture. 2016; 1(54):116-124. EDN VLONOV. (rus.).

3. Ginzburg A.V., Vasil'kin A.A. Problem statement for optimal design of steel structures. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014; 6:52-62. DOI: 10.22227/19970935.2014.6.52-62. EDN SIJYCX. (rus.).

4. Garifullin M.R., Semenov S.A., Belyae-va S.V., Porivaev I.A., Safiullin M.N., Semenov A.A. The search of rational shape of spatial metal roof of long-span sport arena. Construction of Unique Buildings and Structures. 2014; 2(17):107-124. EDN RWGNQF. (rus.).

5. Tusnin A.R. Automation of calculations of bearing capacity of steel structures' elements. Industrial and

Civil Engineering. 2010; 10:22-23. EDN MVMUDB. (rus.).

6. Vasil'kin A.A., Shcherbina S.V. Development of a computer-aided design system for optimization of steel trusses. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015; 2:21-37. DOI: 10.22227/1997-0935.2015.2.21-37. EDN TIVXSZ. (rus.).

7. Vasilkin A.A. Information technology of automation of search support for design solutions of steel structures. Industrial and Civil Engineering. 2016; 5:76-80. EDN VZDQBN. (rus.).

8. Erokhin A.P. Application of parametric models in automated design of aircraft structures. New Word in Science and Practice: Hypotheses and Approbation of Research Results. 2013; 6:9599. EDN REDWEJ. (rus.).

9. Vasilkin A.A., Koloskov A.D. Determination of the stress and strain state of the wall with geometric imperfections in the area of the field joint by numerical methods. Industrial and Civil Engineering. 2005; 12:44-45. EDN RYAOOP. (rus.).

10. Tamrazyan A.G., Filimonova E.A. Optimal design of reinforced concrete slabs according to the cri-

< -ь J CD

U I

r I

n °

<3

0 <

01

О n

co co

l\J со

0

1

cd co о о

cn

• ) ® 8

л '

oe n

I T

s У с о <D *

10 10 о о 10 10 u w

1743

terion of minimum cost. Modern problems of calculation of reinforced concrete structures, buildings and structures for emergency impacts. 2016; 424-433. EDN VXXKVL. (rus.).

11. Shteynbrekher O.A., Burnysheva T.V. Solving the problem of mesh cylindrical structure parametric optimization. Engineering Journal: Science and Innovation. 2017; 10(70):2. DOI: 10.18698/2308-6033-201710-1688. EDN ZHZQXX. (rus.).

12. Bazhin G.M., Kudryashov D.V. Optimal dimensions of steel beams on the example of rolling profiles. Innovation and Investment. 2023; 5:344-346. EDN IIADIY. (rus.).

13. Vakhurkin V.M. The most advantageous form of I-beams. Bulletin of Construction Machinery. 1949; 21:3-8. (rus.).

Received June 11, 2023.

Adopted in revised form on August 13, 2023.

Approved for publication on August 28, 2023.

14. Goldenberg L.I. Strength and stability of some effective types of thin-sheet metal shells: abstract. dis.... Doctor of Technical Sciences. Moscow, 1990; 58. EDN ZOMR. (rus.).

15. Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces. Mathematical Programming Studies. 1982; 19:39-76. DOI: 10.1007/bfb0120982

16. Volkov A.A., Vasilkin A.A. Optimal design of the steel structure by the sequence of partial optimization. Procedia Engineering. 2016; 850-855. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.176. EDN WHYWCS.

17. Arruda E., Ourique F., Almudevar A., Silva R. On cost based algorithm selection for problem solving. American Journal of Operations Research. 2013; 3(5):431-438. DOI: 10.4236/ajor.2013.35041

Bionotes: Grigoriy M. Bazhin — senior lecturer of the Department of Metal and Timber Structures; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RSCI: 809764, ORCID: 0000-0002-7960-6421; [email protected].

W (0

N N

o o

N N

* 0

U 3

> in

E M

to co

co Q

?!

<D <u

o £

---' "t^

O

O ££ CD >

ot EE

.E o

• c

LO O

S g

o E

c5 °

CD ^

t- ^

s

CO o

Ü W

Ü (0 №

1744