CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев
ОПТИМАЛЬНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 28.09.2012 г.)
В работе рассматривается задача о приближённом вычислении криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности.
Ключевые слова: криволинейный интеграл первого рода - погрешность - верхняя грань - квадратурная формула - модуль непрерывности.
Пусть функция /(М) = /(х, х2 5 — 5 хт ) определена и интегрируема вдоль кривой Г^ Ят и 3 (/;Г) := | / (М )А = { / (х1, х2,..., Хт )*. (1)
Г Г
Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление, так что положение
точки М = М (х, х2,..., хот ) на кривой может быть определено длиной дуги / = АМ, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями
Х1 = (РШ Х2 = <P2(f),■■■, Хт = Рт (0 ^ * ^ (2)
а функция / (х, Х,., хт), заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции /(р(0,р(¿),---,Рт(0) от переменной I. В этом случае интеграл (1) запишется в виде следующего определённого интеграла
ь
3 (/;Г) = | / рО,...,Рт (0 к (3)
0
Всякая кубатурная формула
N
3(/; Г) - CN (/; Г; Р, Т) := £ рк /(р &), р2 (гк),..., рт (гк)) (4)
к=0
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр. 20, Худжандский государственный университет. E-mail: kamaridin.t54@mail.ru
для приближённого вычисления интеграла (3) задаётся векторами коэффициентов P = {рк и узлов T = {tk : 0 = t0 < t < ...< t^ = L}, где p0,p,...,рж - произвольные действительные числа. При
фиксированном N > 1 через Л будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (P, T), либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требование точности формулы (4) на многочлены заданной степени, положительность коэффициентов р и др.).
Погрешность кубатурной формулы (4) обозначим
| Rn (f; Г; P, T) |=| J(f; Г) - £w (f; Г; P, T) |.
Если M — некоторый класс функций {f(фх(t),^2(t),..., (t))}, определённых в точках кривой Г и интегрируемых как сложная функция параметра t на отрезке [0, L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем величину
Rn (Ml;Г; P,T) = sup{| RN (f ;Г; P, T) |: f e Mt}.
Пусть N(L) — класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (2), длина которых не превосходит L. Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций M на классе кривых N( L) обозначим
Rn (M; N(L); P, T) = supR (M; Г; P, T) : Г с N(L) }.
Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций M и кривых N(L), потребуем, чтобы формула (4) была точна для функции
L N
f(фх(t),ф2(t),..., фт(t)) = const, то есть чтобы выполнялось равенство Jdt = ^р^ = L. Нижнюю
0 к=0
грань
£n (M, N(L)) = infR (M; N(L), P, T) : (P, T) с Л}, (5)
по аналогии с определением из монографии [1], будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (4) на классах функций M и кривых N(L). Если существует вектор
(P0, T0) с Л, для которого
£n (M, N(L)) = Rn (M; N(L), P0 ,T0),
то этот вектор определяет наилучшую квадратурную формулу вида (4) в смысле С.М.Никольского [1] на классах функций M и кривых N(L).
В данной работе исследуются квадратурные формулы (4) с произвольными векторами коэффициентов P = {pk}^=0 и векторами узлов T = {tk : 0 = t0 < t < ... < t^ = L}, принадлежащими множеству Л.
Обозначим через HС := Hc[0, L] — множество функций <p(t) е С[0,L], удовлетворяющих условию \p(t ) -p(t ) \<c(\ t -t \), t , t е [0, L], где co(S) - заданный модуль непрерывности, то
есть неубывающая полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через ^cc' 'cc» обозначим класс гладких кривых Г с Rm, заданных параметрическими уравнениями (2), у которых координатные
функции p(t)еHc[0,L],i = 1,2,...,rn; то есть р(t) — непрерывные на отрезке [0,L] функции, имеющие мажорантой модуля непрерывности c(^,S) заданный модуль непрерывности ct(S). В случае, когда c (t) = С(t) = "' = С (t) := c(t) , то класс кривых обозначим Гс'т .
Решение экстремальной задачи (5) существенно зависит от выбора метрики в Rm. Если M = M (x, x2,..., xm ) е Rm, M = M (x: , x2,..., xm ) е Rm, то введём в рассмотрение следующие метрики:
т
a) хэммингово расстояние р (M , M ) = Z \ x t - x t \;
i=1
Г m ^2]1/2
b) евклидово расстояние p2 (M ,M ) = | Z ( X - xt Л
I i=1
с) расстояние Минковского р3 (М ,М ) = тах | х — х |.
1</<т
Через ^^ обозначим класс функций /(М) = /(х1,х2,...,Хт), определённых на кривых Г с Та1'-'щ" и для любых двух точек М , М £ Г удовлетворяющих условию
\/ (М)—/ (М') |< р(м', М'),
где р(М ,М ) есть одно из перечисленных выше расстояний а) - с).
Таким образом, будем писать /(М) £ Мд, если для любых двух точек
М ,М £ Г с Т®1-'®т выполняется неравенство
\f (m ') - / (M' ')\<2\x; - x2 \=
i=1
m m
: 2 \ <Рг (t') -P (t '') \ < Z С (\ t -1 '' \), t', t'' е [0, L],
Z=1 i=1
а если f (M) е , то имеем
( Л 1/2
m
\f(M')(\t'—t"\)j , Me [0, L].
Сформулируем основной результат работы.
Теорема Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов (P, T), P = {pk , T = {tk : 0 = t0 < ^ < t2 <... < t^ = L} наилучшей для классов функций M , (i = 1,2,3) и кривых Tщг",щ" является формула трапеций, у которой наилучшие векторы коэффициентов и узлов имеют вид P0 = {p°k = L / N, к = 1, N — 1; p0 = p^ = L / (2N)}, T0 = {t° = kL / N}N0. При этом для погрешности наилучшей формулы на классах функций , (i = 1,2,3) и кривых Тщ, ,щ" справедливы точные оценки
m L/(2N)
(Мд;ТД^) = (2N)£ J -i,
i=1 0
L/(2N) Г m ] 1/2
¿N M2;T^ ) = (2N) J |^®i2(t)j dt,
L / (2 N )
К ;T*-- ) = (2N) J {maxidt.
0
Следствие. В условиях теоремы справедливы равенства
L/(2 N )
£n [M ;Г,-,m ) = 2mN J -(t)dt,
0
L/(2 N )
[M ;T-,m ) = 2>/mN J —)dt,
0
L/(2 N )
¿n(T-,m) = 2N J -(t)dt.
0
Поступило 28.09.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979.
2. Корнейчук Н.П. Матем. заметки, 1968, т.3, №5, с.565-576.
3. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952.
К.Тухлиев
ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ОПТИМАЛЙ БАРОИ ^ИСОБИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТАИ ^ИНСИ ЯКУМ
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Дар макола масъалаи хдсобкунии такрибии интегралх,ои качхаттаи чинси якум барои баъзе синфи функсияяо ва хатяои качи фазой, ки ба воситаи модулями бефосилаги дода шуда-анд, омухта шудааст.
Калима^ои калиди: интеграли кацхаттаи навъи якум - хатоги - саруади х,анщи болоии - форму-лаи квадратуры - модули бефосилаги.
K.Tukhliev
OPTIMAL QUADRATURE FORMULAS FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF FIRST KIND
B.Gafurov State University of Khujand In this paper for curvilinear integral of first kind for some classes of functions and classes of space curvilinear given by modulus of continuity is considered an approximate calculation problem. Key words: curvilinear integral of first kind - error - upper boundary - quadrature formula - modulus of continuity.
