CC BY
0Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3
УДК 539.375
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОНКИМИ ЖЕСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ В ДВУМЕРНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ Н. П. Лазарев, Н. А. Романова
Аннотация. Исследована нелинейная математическая модель о равновесии двумерного упругого тела с двумя тонкими жесткими включениями. Предполагается, что два жестких включения имеют одну общую точку соединения. Кроме того, связь между двумя включениями в данной точке характеризуется положительным параметром повреждаемости. Прямолинейные включения расположены под заданным углом к друг другу в исходном состоянии. На части внешней границы задаются нелинейные условия Синьорини, описывающие контакт с препятствием, на другой части — однородные условия Дирихле. Сформулирована задача оптимального управления параметром, задающим угол между включениями. Функционал качества задается с помощью произвольного непрерывного функционала, определенного на пространстве Соболева. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от угла между включениями.
Б01: 10.25587/8УРи.2023.21.94.005
Ключевые слова: вариационная задача, жесткие включения, непроникание, оптимальное управление.
1. Введение
Изучение нелинейных моделей, описывающих деформирование неоднородных тел с включениями, представляет собой активно развивающееся направление прикладной математики. В ряде моделей нелинейность обусловлена граничными условиями типа Синьорини, описывающими непроникание контактирующих поверхностей. Исследование подобных математических моделей предполагает применение методов вариационного исчисления. Широкий класс задач со свободными границами, продиктованных инженерными, физическими и математическими вопросами, привлекает внимание многих ученых с 1960-х гг. в силу ясной физической интерпретации налагаемых граничных условий (см. [1— 7] и др.). Задачи для моделей упругих тел с включениями исследованы в ряде работ (например, см. [8-13]). Для таких моделей зависимость от изменения формы объектов (в том числе структурных элементов) изучалась в [14-19], зависимость от физических параметров исследована в [20-23], численные методы
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания проект N0. Р8И.0-2023-0025.
© 2023 Лазарев Н. П., Романова Н. А.
решений представлены в работах [24-26]. Для задачи о равновесии двумерного изотропного упругого тела с прямолинейным жестким включением, рассмотренной в [27], получено асимптотическое разложение функции перемещений в окрестности вершины. При этом были рассмотрены случаи как с отслоением, т. е. при наличии трещины, так и без отслоения. В [28] анализируется влияние на поле деформаций взаимного расположения двух жестких прямолинейных включений, встроенных в двумерную упругую матрицу. В этой работе проведено сравнение с экспериментальными данными в соответствии с методами фотоупругости. В качестве выводов было получено, что значения деформаций вблизи вершины включений уменьшаются в случае параллельного расположения включений; в случае коллинеарного расположения включений взаимодействие локально усиливает поле деформации; радиальная конфигурация также усиливает поле деформации, причем величина усиления зависит от взаимной угловой ориентации включений. Метод исследования взаимодействия системы трещин и включений на основе интегральных уравнений предложен в [29]. Задача оптимального управления формой включения для эллиптической системы уравнений, описывающей равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением, исследована в [30]. При этом предполагалось, что включение одно и его форма описывается достаточно гладкой функцией класса Н3(0,1). В статье [31] рассматривается обратная задача о расположении тонкого упругого включения в упругом теле.
В работе исследована зависимость модели о равновесии двумерного упругого тела с двумя тонкими жесткими включениями от изменения геометрии объектов. А именно, проведен анализ соответствующей задачи о равновесии при варьировании угла между включениями, которые имеют одну общую точку соединения. Семейство вариационных задач зависит от параметра, задающего угол между включениями. Множество допустимых перемещений определяется в подходящем пространстве Соболева с учетом нелинейного условия непроникания Синьорини, однородного условия Дирихле и условий на перемещения в точках обоих включений. Для этого семейства задач формулируется задача оптимального управления параметром, задающим угол между включениями. Функционал качества задается с помощью произвольного непрерывного функционала, определенного на пространстве Соболева. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от изменения угла между включениями в пространстве искомых решений.
1. Вариационная задача о равновесии двумерного тела
Рассмотрим область О С К2 с липшицевой границей Г, которая состоит из двух кривых Г = Го и Г1, теав(Г0) > 0. Рассмотрим две кривые, состоящие из внутренних точек прямолинейных отрезков:
7 = |(Ж1, Ж2) | —1 < Х1 < 1, Х2 = 0},
ва = {(x1;x2) | x1 = t cos a, x2 = t sin a, — 1 < t < 1},
где a G [a, 6], 0 < a. < b < Щ. Предположим, что 7, ¡3a содержатся строго внутри области Í2, т. е. 7 С О, /За С О для любых a G [о,,Ь]. Для того чтобы описать дополнительные свойства геометрических объектов задачи введем следующие множества:
а=ф
шф = U в а, a < < b.
Предположим, что при фиксированных значениях ф таких, что a < ^ < Ф < b, продолжением кривых 7, вф с обеих концов можно разбить область íl\(7 U /Зф U для любых а. < ¡р < ф < b на четыре подобласти 0¿, i = 1, 4, с липшицевыми границами <9íl¿, г = 1,4. Для определенности положим, что Í2i ограничена частью кривой 7 с неотрицательной абсциссой и ее продолжением, а также частью кривой вф с неотрицательной ординатой и ее продолжением. Область О2 ограничена частью кривой 7 с неотрицательной абсциссой и ее продолжением, а также частью кривой вф с неположительной ординатой. Область О3 ограничена частью кривой 7 с неположительной абсциссой и ее продолжением, границей области шф, а также частью кривой вф с неположительной ординатой. Наконец, = U fl2 U fl3).
Рис. 1. Геометрические объекты задачи.
Введем следующие обозначения для пространств Соболева:
ff1°(Q) = {v е H| v = 0 на Г0}, H(О) = ff1°(Q)2.
Обозначим через W = (w\,w2) вектор перемещений. Введем обозначения для тензоров, описывающих соотношения теории упругости [5]:
£ij(W) = \{wi.j + wj^i), i,j = 1, 2,
<Tij(W) = cljkiSij(W), i,j = 1, 2,
где нижние индексы после запятой обозначают дифференцирование по соответствующей координате, cijki — заданный тензор коэффициентов упругости, обладающий свойствами симметрии и положительной определенности:
Cijki = Ckhj = Cjtki, i,j, k,l =1, 2, Ctjki = const,
ctjkiЫ > co|^|2 V£, = j, i, j = 1, 2, co = const, co > 0.
Предположения, сделанные относительно возможности разбиения негладкой области О, позволяют применять следующее неравенство Корна:
| aj(W)£j(W) dx > c||W||H(n) VW G H(О) (1)
n
с постоянной c > 0, не зависящей от W [6].
Замечание 1. Неравенство (1) обеспечивает эквивалентность стандартной нормы в пространстве H(О) и полунормы, заданной левой частью неравенства (1).
Для произвольного подмножества O области О определим следующее пространство инфинитезимальных жестких перемещений [9]:
R(O) = (р(жх,ж2) = (pi (x2 ) , Р2 (xi ) ) |
p(xi ,X2 ) = b(x2, — Xi) + (ci, c2); b, ci,c2 G R, (xi ,X2) G O}.
Для того чтобы задать тонкие жесткие включения, соответствующие 7, ва, следуя подходу [9], потребуем специальную структуру перемещений на этих кривых так, чтобы W|Y = p, где р G R(y), W\pa = p, где p G R(^a)- Отметим, что поскольку кривые 7 и ва пересекаются в одной точке (0, 0), значения для постоянных, входящих в представления аффинных функций p = b(x2, —xi) + (ci, c2) и p = b(x2, —xi) + (ci,c2), связаны соотношениями
ci = ci, C2 = c2.
Поскольку, вообще говоря, b = b, можно интерпретировать характер связи включений как шарнирное соединение (см., например, [32,33]).
Условие непроникания, описывающее контакт c жестким препятствием, имеет вид
Wv < 0 на Г,,
где v = (vi,v2) — единичная нормаль к Г, а кривая rs — некоторая часть кривой ri [34]. Отметим, что условия закрепления на границе Г0 заданы в виде однородных граничных условий Дирихле, их выполнение гарантируется принадлежностью искомых функций пространству H(О). Введем функционал энергии
n(W) = i J alJ(W)slJ(W)dx- j FWdx + ^(p2A(0)-p2A(0) f, (2) n n
где ^ = (/1,/2) 6 Ь2(О)2 — заданный вектор внешних сил, р = (р1,р2)—продолжение на О аффинным образом функции р 6 Д(/За), параметр повреждаемости С > 0 характеризует связь между включениями ва и 7 в точке пересечения. В [22] применяется похожий подход при описании связи между жестким и упругим включениями с помощью аналогичного слагаемого в функционале энергии, зависящего от параметра повреждаемости.
Семейство задач о равновесии композитных тел с жесткими тонкими включениями, зависящих от параметра а 6 [а, Ь], сформулируем в вариационном виде:
найти иа £ Ка такое, что П(иа) = Ш П(Ж), (3)
ш ек„
где множество допустимых перемещений
Ка = 6 Н(О) | < 0 на Г,, W|7 = р, где р 6 #(7),
^|ва = Р, где р 6 Д(ва)}.
Следуя подходу из [10] для задачи о равновесии упругого тела с жестким включением, методами вариационного исчисления [6, 34] можно показать, что задача (3) имеет единственное решение иа 6 Ка, которое удовлетворяет вариационному неравенству
Ua G Kа , У CTj (Ua)£ij (W — Ua) dx > J F (W — Ua) dx
" ¿(Pa2,l(0) - pa2,l(0))((p2,l(0) - ¿2,1(0)) " (pa2,l(0) - pa2,l(0))) €
G (4)
где pa2, pa2 — компоненты аффинных функций pa = (pai,pa2), Pa = (pai,pa2), определяющих структуру Ua на 7 и ea соответственно; так же р2, p^2 — вторые компоненты аффинных функций р, р, определяющих структуру W на 7 и ea соответственно.
Цель дальнейших рассуждений состоит в выявлении свойств решений задачи (3), характеризующих зависимость от изменения параметра a G [a, b]. С физической точки зрения проводится исследование свойств математической модели при варьировании угла между тонкими жесткими включениями.
2. Задача оптимального управления
Определим функционал качества J : [a, b] ^ R задачи оптимального управления с помощью равенства
J (a) = G(Ua),
где Ua — решение задачи (3) и G : H(О) ^ R — произвольный непрерывный функционал.
В качестве примеров функционалов, мотивированных физическим смыслом, можно привести функционал Gi(W) = ||W — W0||#(n), характеризующий отклонение вектора перемещений от заданной функции W0 G H(О). Сформулируем следующую задачу оптимального управления:
найти a* G [a, b] такое, что J (a*) = sup J (a). (5)
ae[a,b]
Это означает, что ищется оптимальный угол между двумя тонкими жесткими включениями, который доставляет максимальное значение для функционала качества J.
Теорема 1. Существует решение задачи оптимального управления (5).
Доказательство. Пусть {an} — максимизирующая последовательность. Ограниченность замкнутого интервала [a, b] позволяет выделить сходящуюся подпоследовательность {ank} С {an} такую, что
ank ^ а* при k ^ ж, а* е [a, b].
Можно считать, не нарушая общности, что ank = а* для достаточно больших k. В противном случае найдется последовательность {ani}, удовлетворяющая равенству ani = а*. Очевидно, что в таком случае а* будет доставлять решение задачи (5). Поэтому рассмотрим случай, когда {а„.к} удовлетворяет соотношению а^пк = а* для всех достаточно больших k. Используя утверждение доказанной ниже леммы 2, последовательность решений {Uk} задач (3), соответствующих значениям аnk, сходится к решению Ua» сильно в H(О) при k ^ ж. Отсюда в силу непрерывности функционала нетрудно установить следующую сходимость:
J (а„к) ^ J (а*).
Это влечет, что
J (а*) = sup J (а).
ae[a,b]
Теорема доказана.
3. Вспомогательные леммы
В этом разделе установлены вспомогательные результаты, использованные при доказательстве теоремы 1. Для удобства они формулируются в виде двух лемм.
Лемма 1. Пусть а* € [а, b] — произвольное фиксированное число и {an} С [а, b] — последовательность вещественных чисел, сходящаяся к а* при n ^ ж. Тогда для любой функции W € Ka» найдутся подпоследовательность {ак} = {ank} С {an} и последовательность функций {Wk} такие, что Wk € Kak, k € N, и Wk ^ W сильно в H(О) при k ^ ж.
Доказательство. Сначала заметим, что если найдется подпоследовательность {ank} такая, что ank = а*, то утверждение леммы будет выполнено для последовательности {Wk}, удовлетворяющей равенству Wk = W, k € N. Не нарушая общности, предположим, что {an} является строго монотонно убывающей последовательностью такой, что
а* = lim ап.
Обозначим через р* = (b*x2 + cl, -b*xi + c*) аффинную функцию, описывающую инфинитезимальные жесткие перемещения W на ßa», т. е. р* = W на ßa», а также через pY = (bYx2 + cYi, —bYxi + cy2) — функцию, описывающую
перемещения Ш на 7. Доопределим функцию р* на всей области О с помощью равенства
р* = (6*ж2 + с1, —Ь*Ж1 + с2), ж = (ж1, ж2) € О.
В соответствии с предположениями существует число £ > 0 такое, что для всех а € [а, 6] П (а*, а* + 5) множество ш^. имеет липшицеву границу. Зафиксируем параметр а € [а, 6] П (а*, а* + 5) и рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач:
найти (а € К' такое, что р((а) = М р(х), (6)
хеК'а
где
Р(Х) ^ У ^ (Х — Ш(Х — Ш) ^ж, о
К'а = {х € Н(О) | х = Ш на Г, х|7 = р7, х^. = р*}.
Легко заметить, что функционал р(х) является коэрцитивным и слабо полунепрерывным снизу на пространстве Н(О). Кроме того, очевидно, что множество К' является выпуклым и замкнутым в рефлексивном пространстве Н(О). Указанные свойства р(х) и К' обеспечивают существование решения задачи (6) [6]. Кроме того, задача (6) эквивалентна вариационному неравенству
(а € К', У а13 ((а — Ш)£у (х — (а) ^ > 0 Ух € К'. (7)
о
Единственность решения ( а вариационного неравенства (7) следует стандартными рассуждениями [6]. Таким образом, семейству вариационных неравенств (7), зависящих от параметра а € [а, 6] П (а*, а* + 5), соответствует семейство решений {( а}. Заметим, что {( а} € Ка для всех а € [а*, а* + 5). Для того чтобы установить ограниченность {( }, используем (7) с подходящей тестовой функцией X, которая принадлежит К^ для всех а € [а, 6] П [а*, а* + 5). Такую функцию х € Н(О) можно построить применением оператора поднятия (см. [6]) для четырех липшицевых областей , г = 1,4, со следующими значениями на границах областей:
для О1: х = Р* на дш^, х = Ш на д(ОДша), X = Ш на дО2,
для О3: х = Р* на дш^, х = Ш на д(О3\ша), х = Ш на дО4.
Построенная указанным образом функция X принадлежит множествам допустимых перемещений К^ для всех а € [а, 6] П (а*, а* + 5) и поэтому ее можно подставлять в качестве тестовой функции в (7). В результате имеем
У ((а — Ш )еу- (X) ^ж + у (Ш )еу- ((а) ^ж >у ((а ^ ((а) ^ж Уа € [а, 6]. о о о
Отсюда, используя неравенство Корна, получаем следующую равномерную оценку сверху:
||( аII < С Уа € [а, 6] П (а*, а* + 5).
Благодаря этой оценке можем извлечь из последовательности {Яап } слабо сходящуюся в Н(О) к Ш подпоследовательность {Яг}, I £ N (здесь и далее для удобства будем использовать следующее обозначение для элементов подпоследовательностей: аг = аП1, Я1 = ЯаП1 )• Покажем, что Ш = Ш. В самом деле, поскольку (Я1 — \¥) € 7 и /За*))2, в силу замкнутости пространства 7 и /За*))2 выявляем, что (И^ - И^) € Я01(Г2\(тПД^7))2. Рассмотрим тестовые функции вида х± = (г ± С, где £ _ гладкая функция, которая построена продолжением нулем в П произвольной функции ( € и /За*))2. Заметим, что для достаточно больших I справедливо включение х± £ К'а 1. Подставляя последовательно обе функции х+ и х- в качестве пробных в (7), находим, что
Яг £ К1, У а13 (Яг - Ш)ец (с) dx = 0. (8)
о
Далее зафиксируем функцию ( и перейдем к пределу в (8) при I ^ ж. В результате получим
I аг](Ш-\¥)егз(0 ¿х= I (С) ¿х = 0 У а € С0°°(О\(7 и ра. ))2.
О П\ва*
Это означает ввиду плотности С^^Д^и /За»)) в /?«*)); чт0 выпол-
нено тождество \¥ — \¥ = 0 в /За»))2. Таким образом, IV = \¥ в
Н(О). Тем самым установлено существование последовательности {Яг} такой, что Яг £ К'аг, I £ М, и Яг ^ Ш слабо в Н(О) при I ^ ж.
Целью дальнейших рассуждений является построение на основе {Яг} сильно сходящейся последовательности. По теореме Мазура существуют функция N : N ^ N и последовательность множеств вещественных чисел {г(п)1 | г =
N (п)
п,..., N(п)}, удовлетворяющая г(п)1 > 0 и ^ г(п)^ = 1, такие, что последова-
г=п
тельность {Яп}, определенная выпуклой комбинацией
N (п)
Яп = ^ г(п)гЯг,
г=п
сходится сильно к Ш в пространстве Н(О). Поэтому искомую последовательность {ШПк} можем определить с помощью равенств
Шпг = ЯN(1)> ШП2 = ЯN(N(1))> . . . ,ШПк = ЯNк(1),----
Как нетрудно проверить, элементы построенной последовательности функций Шпк, к = 1, 2,..., принадлежат подходящим множествам Ка^к с параметрами aNк(1), которые являются элементами подпоследовательности {ац} С {ап}.
Возвращаясь к исходным предположениям, сделанным относительно {ап} в начале рассуждений настоящего доказательства, заметим следующее. В том случае, если сделанное предположение не выполняется, а именно, если последовательность {ап} строго монотонно возрастающая, то выкладки проводятся
относительно множеств К', которые определены с помощью множеств вида ш а , где а € [а, 6] П (а* — 5, а*). Лемма доказана.
С помощью леммы 1 доказывается следующее утверждение, использованное при доказательстве теоремы.
Лемма 2. Пусть а* € [а, 6] — фиксированное число, а € [а, 6]. Тогда иа ^ иа. сильно Н(О) при а ^ а*, где иа, иа. являются решениями задачи (3), соответствующими параметрам а € [а, 6], а* € [а, 6].
Доказательство. Проведем рассуждения от противного, т. е. предположим, что существуют е0 > 0 и последовательность {ап} С [а, 6] такие, что ап ^ а*, || ип — иа. | > е0, где ип = иап, п € М, являются решениями (3), соответствующими параметрам ап, п € N.
Ввиду включения Ш0 = 0 € Ка для всех а € [а, 6] можно подставить Ш = Ш0 в (4) для фиксированных а € [а, 6]. Это дает
иа£Ка, ! (т^{иа)е^{иа)(1х< J Риав,х-^(ра2А(0)-ра2А(0))2 Уа€[а,Ь].
Отсюда вытекает, что для всех a G [а, 6] имеет место равномерная оценка
IU ||< c (9)
с некоторой постоянной c > 0, не зависящей от a. Поэтому, заменяя {Un}, если нужно, ее подпоследовательностью, считаем, что Un сходится к некоторой функции U слабо в H (О).
Установим, что U G Ka». В соответствии с теоремами вложения Соболева [6] имеют место сходимости
Un|eа» ^ U|ea» сильно в L2(ea» )2 при n œ, (10)
Un|r ^ U|г сильно в L2(r)2 при n ^ œ. (11)
Следы на » и ваn связаны соотношениями
cos an sin an
V I Xl-, x2-
cos a* sin a*
cos an sin an
V I Xl-,Xl-
cos a* cos a*
= v(yi,y2)|e„
ва '
(У1,У2) = I X1 C0S a" ; X1 Sin a" ) , (У1,У2) & (xl, X2) G Pa* .
\ cos a* cos a* J
При необходимости осуществляя замену на полярные координаты, можно показать, что для произвольной функции v из Hсправедлива следующая оценка, выражающая свойство непрерывности следов (см. [35, свойство 3 на с. 141]):
/cos an sin an \
){Xl,X2)\l3a, -v Xl---
a \ cos a* cos a* J
< C\\/\an - а*|||г)||д-1(п),
Ь2(ва.)
в
в
где постоянная Ci > 0 не зависит от v. На основе неравенства (12) и оценки (9) имеем оценку
/ cos an sin an Un\f3a, - Un Xi--,xi
cos a* cos a*
^2(Pa* )
ва*
n — a* HlUnllH1^)2 <С2л/\an-a*\ (13) с постоянной C2 > 0, не зависящей от Un. Поскольку по построению
тт . cos an sin an
Un xx--,x1--
cos a* cos a*
= Unlean = Pn G R(fian ),
ва*
. cos an sin an
Un xx--,xx--
cos a* cos a*
' / sin an \ n ( COS an \ „
°n xi-г +c1,-bn [xx-- +c2
K \ cos a*) V cos a * J / ^
переходя к пределу в (13), с учетом равенства x2 = t sin a* для (xi,x2) G ¡3a* и t G (—1,1), сходимости (10) и соотношений an ^ a*, при n ^ ж получаем, что
lim Un = lim (bnx2 + сП, —bnx\ + сП) = U п.в. на ва* ■
Это, в свою очередь, влечет, что последовательности {Ьп}, {с^}, {сП}, задающие рп, сходятся соответственно к некоторым числам Ь, С1, с2. Значит, найдется аффинная функция р 6 К(Ра*) такая, что и = р = (Ьх2 + ¿1, — Ьх1 + с2) п.в. на ва*. Аналогично можно установить существование р 6 -й(т), и = р п.в. на 7.
Покажем, что имеет место неравенство иV < 0 на Г,. Сходимость (11) позволяет выделить подпоследовательность (с прежним обозначением), для которой ип1т3 ^ и|г3 п.в. на Г,. Этот факт обеспечивает возможность предельного перехода при п ^ ж в неравенстве
и^ < 0 на Г,.
В результате получаем требуемое соотношение иV < 0 на Г,. Поэтому заключаем, что и принадлежит множеству Ка».
Покажем выполнение тождества и = иа» и установим существование последовательности решений {ип}, ип = иап, п = 1, 2..., сходящейся к иа» в Н(О). Для этого рассмотрим вариационные неравенства (4), соответствующие разным параметрам ап, п = 1, 2,..., а также предельный случай при п ^ < По утверждению леммы 1 для любого Ш 6 Ка» найдутся подпоследовательность {ак} = {аПк} С {ап} и последовательность функций {Шк} такие, что Шк 6 Как и Шк ^ Ш сильно в Н(О) при к ^ <.
Свойства сходящихся последовательностей {Шк} и {ип} обеспечивают возможность осуществления предельного перехода при к ^ ж в следующих неравенствах, полученных из (4) для значений а = ак и тестовых функций Шк:
I aij (Unk )£ij (Wnk — Unk) dx >j F(Wnk — Unk) dx
- ^(pak2,l(0) - pafc2,l(0))((p„fc2,l(0) - p„fc2,l(0)) - (pafc2,l(0) - Pafc2,l(0))).
В результате имеем
У сту (Ж - й) ¿ж > J ^(Ж - Ц7) ¿ж
- ¿(^2,1(0) - Р2Д(0))((Р2,1(0) - ¿2,1(0)) - (¿2Д(0) - ¿2,1(0))) УТ^ е АГа..
Произвольность Ж € Ка» означает, что последнее неравенство является вариационным. Поэтому в силу его однозначной разрешимости заключаем, что
Ц7= иа..
Остается установить сильную сходимость ип ^ иа». Подставив Ж = и Ж = 0 в вариационные неравенства (4) при а € [а, Ь], находим
1
(Г
(14)
Равенства (14) вместе со слабой сходимостью ип ^ иа» в Н(О) при п ^ го влекут
1
(Г
иа£Ка, J (7lj(Ua)£lj(Ua)dx = J ^£/а^ж-^(ра2,1(0)-ра2,1(0))2 Уа€[а, Ь].
Ит ((т^{ип)е13{ип)йх= \\т [ Р11п Ах - -^(¿а„2д(0) - ра„2д(0))2
п^ж / П^Ж / Сг
О О
= I Р11а. ¿ж-^(¿а.2Д(0)-¿а.2,1(0))2 = У ст^(иа')е^(иа')йх.
Вспоминая эквивалентность норм (см. замечание 1), выявляем, что ип ^ » сильно в Н(О) при п ^ го. Таким образом, получено противоречие. Лемма доказана.
Замечание 2. Заметим, что в том случае, когда имеет место жесткая связь обоих тонких включений, в постановке задачи необходимо задавать условия таким образом, чтобы линейные аффинные функции на 7, ва зависели от одних и тех же постоянных, или же потребовать структуру перемещений р € Д(7 и ва) на объединении 7 и ва. В этом случае функционал энергии П не будет иметь последнего слагаемого. Кроме того, для этого более легкого случая можно доказать аналогичным способом разрешимость задачи оптимального управления параметром, задающим угол между включениями.
4. Задача оптимального управления в случае, когда а = 0
В случае, когда а = 0, получаем, что ва в точности совпадает с 7, при этом окажется, что соответствующая задача будет описывать модель с одним жестким включением. Это приводит к тому, что функционал энергии будет задаваться другим выражением, без слагаемого, учитывающего взаимодействие включений:
По(И/) = 11 ^■(И/)еу(И/)сгж-У РУУсЬ. (15)
О О
Можно заметить, что формально функционал (2) переходит в функционал (15) в том случае, когда мы считаем, что для одного жесткого включения функции инфинитезимальных жестких перемещений совпадают и как следствие имеет место равенство Р2д(0) = >02,1(0).
Для формулировки задачи оптимального управления наряду с задачей минимизации (3) требуется рассмотреть задачу
найти и0 £ К0 такое, что П0(и0) = П0(Ш), (16)
ж ек0
где множество допустимых перемещений задается множеством
Ко = {Ш £ Н(О) \ Ши < 0 на Г,, Ш= р, где р £ Щ-у)}.
Задача (16) имеет единственное решение и0 £ Ка, которое удовлетворяет вариационному неравенству [10]
ио £ Ко, I <ггз (ио)егз (Ш - Щ) йх > ^ ^(Ш - Ц,) dx. (17)
о о
Определим, как и ранее, функционал качества 3 : [0, Ь] ^ М задачи оптимального управления с помощью равенства
3 (а) = О(Ца),
где иа — решение задачи (3) при а = 0 и и0 — решение задачи (16), как и прежде, О : Н(О) ^ М — произвольный непрерывный функционал.
Задача оптимального управления примет вид
найти а* £ [0, Ь] такое, что 3(а*) = вир 3(а). (18)
а£ [0,Ь]
Это означает, что ищется оптимальный ненулевой угол между двумя тонкими жесткими включениями либо оптимальное решение будет соответствовать одному включению 7, что соответствует нулевому углу между включениями.
При доказательстве разрешимости задачи (18), очевидно, нас будет интересовать тот случай, когда максимизирующая последовательность {ап} стремится к нулю, в противном случае доказательство разрешимости задачи оптимального управления сводится к уже рассмотренному случаю. Далее докажем, что имеют место утверждения, аналогичные леммам 1 и 2, для случая сходимости {ап} к нулю. Это факт позволяет применить доказательство теоремы 1 без изменений. Приступим к обоснованию вспомогательных лемм, аналогичных леммам 1 и 2.
Лемма 3. Пусть {ап} С [0, Ь] —последовательность чисел, сходящаяся к 0 при п ^ ж. Тогда для любой функции Ш £ К0 найдутся подпоследовательность {ак} = {аПк} С {ап} и последовательность функций {Шк} такие, что Шк £ Как, к £ М, и Шк ^ Ш сильно в Н(О) при к ^ ж.
Доказательство леммы 3 во многом повторяет доказательство леммы 1, поэтому приведем лишь некоторые базовые отличия. Обозначим через р7 =
(bYж2 + c7i, —67xi + cY2) функцию, описывающую перемещения W на 7. Доопределим функцию pY на всей области О с помощью равенства
pY = (bYx2 + cYl, — bYx1 + cy2), x = (x1, x2) G О.
В соответствии с предположениями существует число S > 0 такое, что для всех a G [0, b] П (0, S) множество имеет липшицеву границу. Зафиксируем параметр a G [0,6] П (0, S) и рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач:
найти Qa G K' такое что p(Q а) = inf p(x), (19)
где
P(X) = J (X — WKj (X — W) dx, o
к' = {X G H (О) | X = W на Г, xk = Py }.
Далее рассуждения следуют схеме доказательства леммы 1. Следующая лемма 4 аналогична лемме 2.
Лемма 4. Имеет место сильная сходимость ^ U0 в H (О) при a ^ 0, где являются решениями задачи (3), соответствующими параметрам a G (0, 6], U0 —решение (16).
Доказательство. Проведем рассуждения от противного, т. е. предположим, что существуют е0 > 0 и последовательность {an} С [0,6] такие, что an ^ 0, ||Un — U0|| > е0, где Un = иап, n G N, являются решениями (3), соответствующими параметрам an.
Тем же способом, который был применен в доказательстве леммы 2, получим равномерную оценку
||Ua ||< c (20)
с некоторой постоянной c > 0, не зависящей от a. Поэтому, заменяя {Un}, если нужно, ее подпоследовательностью, считаем, что Un сходится к некоторой функции U слабо в H (О).
Установим, что U G K0. В соответствии с теоремами вложения Соболева [6] имеют место сходимости
Un|Y ^ U|Y сильно в L2(y)2 при n ^ œ, Un|r ^ U|г сильно в L2(r)2 при n ^ œ.
Заметим, что поскольку (tcosan,tsinan) при t G (—1,1) задает n, а 7 = {(t, 0) : t G (—1,1)}, имеем
v(xicosa„,xisina„)|Y = v(yi,y2)|e*n .
При необходимости осуществляя замену на полярные координаты, можно показать, что для произвольной функции v из H 1(О) справедлива следующая
оценка, выражающая свойство непрерывности следов (см. [35, свойство 3 на с. 141]):
||-у(ж1,ж2)|7 — v(x\cos an, xisin an)\ßa, \\b2{ßa*) < CiV^ñ\\v\\нчп), (22)
где постоянная Ci > 0 не зависит от v. На основе неравенства (22) и оценки (20) имеем оценку
\\Un\~< - i/„(a;iCOsa„,a;isina„)|7||L2(7)2 < Ci^/ä^\\Un\\m(nf <C2^fä^ (23) с постоянной C2 > 0, не зависящей от Un. Поскольку по построению Un(x1cos an, xisin an) Iy = Unlßan = Pn G R(ßan), Un(xiCOS an, xisin an)ly = (bn(xisin an) + сп, — bn(xicos an) + сп) |y,
переходя к пределу в (23), с учетом sin0 = x2 = 0, (21) и соотношений an ^ 0 при n ^ ж получаем, что
lim Un = lim (bn(x1 sinan) + cn, —bn(x1 cosan) + сп) = U п.в. на y-
Это, в свою очередь, влечет, что последовательности {bn}, {сп}, {сп}, задающие pn, сходятся соответственно к некоторым числам b, ¿1, С2. Значит, U = (bx2 + cbi, —lbx1 + С2) п.в. на y. Следовательно, U G R(y). Отметим соотношение
bn ^ b, (24)
где bn — число-коэффициент, участвующий в описании аффинной функции на ßan, а b — число, участвующее в выражении для функции p G R(y).
Доказательство того, что Uv < 0 на rs, проводится дословным повторением ранее приведенных рассуждений. Поэтому заключаем, что U принадлежит множеству K0. Покажем выполнение тождества U = U0 и установим сильную сходимость последовательности {Un} к U0 в H(О). По утверждению леммы 3 для любого W G K0 найдутся подпоследовательность {ak} = {ank} С {an} и последовательность функций {Wk} такие, что Wk G Kak и Wk ^ W сильно в H(О) при k ^ ж.
Свойства сходящихся последовательностей {Wk} и {Un} обеспечивают возможность осуществления предельного перехода при k ^ ж в следующих неравенствах, полученных из (4) для значений a = ak и тестовых функций Wk:
J ^3(Unk)el3(Wnk - Unk)dx > J F(Wnk - Unk)dx + ^(pak2A(0)-pak2A(0))2. n n
(25)
Заметим, что при выводе (25) использовано равенство р>Пк2,1 (0) — рПк2,1 (0) = 0 для Wk, k = 1, 2,.... В результате предельного перехода получаем, что
У dij (ll)elj(W — U) dx > j F(W — Ú) dx "ÍW G K0. nn
Произвольность W G K0 означает, что последнее неравенство вариационное. Поэтому в силу его однозначной разрешимости заключаем, что U = U0.
Перейдем к доказательству сильной сходимости. Подставив W = 2U0 и W = 0 в вариационные неравенства (4) при a G (0, b], находим
Ua G Ка, J (тц{иа)ец{иа)<1х = J FUadx - ^(ра2А(0) - ра2А(0))2 Va G (0, Ь].
п п
(26)
Сначала заметим, что в силу (24)
lim -kpa„2,i(0)-pa„2,i(0))2=0.
Как следствие, переходя к пределу в равенствах вида (26) для an, n = 1, 2,..., с учетом слабой сходимости Un ^ U0 в H(О) получим
1
lim [ (Tij(Un)eij(Un) dx = lim [ FUn dx - -^(pa„2,i(0) - pa„2,i(0))2
П^Ж / П^Ж I G
П П
= J FUo dx = J aj (Uo)£ij (Uo) dx.
и и
Вспоминая здесь эквивалентность норм (см. замечание 1), выявляем, что Un ^ U0 сильно в H(О) при n ^ ж. Таким образом, получено противоречие. Лемма доказана.
Замечание 3. Можно заметить, что доказательства вспомогательных лемм 1 и 3 использует один и тот же метод, однако в лемме 1 строятся такие пробные функции, которые учитывают две функции инфинитезимальных жестких перемещений, тогда как в лемме 3 — одну. Поэтому, несмотря на один и тот же метод доказательства, в доказательстве леммы 3 привносятся некоторые отличающиеся технические детали. Некоторые отличия есть также в доказательстве лемм 2 и 4. Указанные обстоятельства приводят к необходимости раздельного рассмотрения двух задач оптимального управления, т. е. (5) для случая, когда а > 0, и (18) при а = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Itou H., Kovtunenko V. A., Rajagopal K. R. Nonlinear elasticity with limiting small strain for cracks subject to non-penetration // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 6. P. 1334-1346.
2. Kazarinov N. A., Rudoy E. M., Slesarenko V. Y., Shcherbakov V. V. Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion // Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58, N 5. P. 761-774.
3. Itou H., Kovtunenko V. A., Rajagopal K. R. Nonlinear elasticity with limiting small strain for cracks subject to nonpenetration // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 6. P. 1334-1346.
4. Furtsev A., Itou H., Rudoy E. Modeling of bonded elastic structures by a variational method: theoretical analysis and numerical simulation // Int. J. Solids Struct. 2020. V. 182-183. P. 100111.
5. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
6. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton: WIT-Press, 2000.
7. Khludnev A. M. On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24, N 9. P. 2742-2753.
8. Неустроева Н. В., Лазарев Н. П. Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко с упругим включением // Мат. заметки СВФУ. 2021. T. 28, № 4. P. 58-70.
9. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // Eur. J. Mech., A, Solids. 2010. V. 29, N 3. P. 392-399.
10. Khludnev A., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci. 2010. V. 33. P. 1955-1967.
11. Khludnev A. Non-coercive problems for Kirchhoff-Love plates with thin rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2022. V. 73, N 2. Paper No. 54.
12. Fankina I. V., Furtsev A. I., Rudoy E. M., Sazhenkov S. A. Asymptotic modeling of curvilinear narrow inclusions with rough boundaries in elastic bodies: case of a soft inclusion // Sib. Electron. Math. Rep. 2022. V. 19, N 2. P. 935-948.
13. Furtsev A. I. On contact between a thin obstacle and a plate containing a thin inclusion // J. Math. Sci. 2019. V. 237, N 4. P. 530-545.
14. Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies //J. Comput. Appl. Math. 2022. V. 403. Paper No. 113710.
15. Kovtunenko V. A., Kunisch K. Shape derivative for penalty-constrained nonsmooth-noncon-vex optimization: cohesive crack problem //J. Optim. Theory Appl. 2022. V. 194. P. 597-635.
16. Lazarev N. P., Semenova G. M., Romanova N. A. On a limiting passage as the thickness of a rigid inclusions in an equilibrium problem for a Kirchhoff-Love plate with a crack //J. Sib. Fed. Univ., Math. Phys. 2021. V. 14, N 1. P. 28-41.
17. Rudoy E. M., Shcherbakov V. V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optim. 2021. V. 84. P. 2775-2802.
18. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. Bd 97, Heft 9. S. 1120-1127.
19. Shcherbakov V. V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. Paper No. 71.
20. Khludnev A. M. Junction problem for thin elastic and volume rigid inclusions in elastic body // Phil. Trans. R. Soc., A. 2022. V. 380, N 2236. Paper No. 20210360.
21. Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions //J. Optim. Theory Appl. 2020. V. 184, N 1. P. 293-314.
22. Khludnev A. M., Popova T. S. On junction problem with damage parameter for Timoshenko and rigid inclusions inside elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2020. V. 100, N 8. Paper No. e202000063.
23. Lazarev N., Neustroeva N. Optimal control of rigidity parameter of elastic inclusions in composite plate with a crack // Mathematics and Computing ICMC (D. Ghosh, D. Giri, R. Mo-hapatra, K. Sakurai, E. Savas, T. Som, eds.). Singapore: Springer, 2018. P. 67-77. (Springer Proc. Math. Stat.; V. 253).
24. Popova T. S. Numerical solution of the equilibrium problem for a two-dimensional elastic body with a thin semirigid inclusion // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 1. С. 51-66.
25. Rudoy E. M., Shcherbakov V. V. Domain decomposition method for a membrane with a de-laminated thin rigid inclusion // Sib. Electron. Math. Rep. 2016. V. 13, N 1. P. 395-410.
26. Hintermuller M., Kovtunenko V. A., Kunisch K. A Papkovich-Neuber-based numerical approach to cracks with contact in 3D // IMA J. Appl. Math. 2009. V. 74, N 3. P. 325-343.
27. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. Bd 92, Heft 9. S. 716-730.
28. Jobin T. M., Ramji M., Khaderi S. N. Numerical evaluation of the interaction of rigid line inclusions using strain intensity factors // Int. J. Mech. Sci. 2019. V. 153-154. P. 10-20.
29. Hu K. X., Chandra A. Interactions among general systems of cracks and anticracks: an integral equation approach // J. Appl. Mech. 1993. V. 60, N 4. P. 920-928.
30. Shcherbakov V. V. Existence of an optimal shape of the thin rigid inclusions in the Kirchhoff-Love plate // J. Appl. Ind. Math. 2014. V. 8, N 1. P. 97-105.
31. Карнаев В. М. Оптимальное управление тонким упругим включением в упругом теле // Сиб. электрон. мат. изв. 2022. Т. 19, № 1. C. 187-210.
32. Лазарев Н. П., Шарин Е. Ф., Семенова Г. М. Оптимальное управление расположением точки шарнирного соединения жестких включений в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, № 3. C. 278-288.
33. Lazarev N. Inverse problem for cracked inhomogeneous Kirchhoff-Love plate with two hinged rigid inclusions // Bound. Value Probl. 2021. V. 2021. Paper No. 88.
34. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.
35. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 13 марта 2023 г. После доработки 15 мая 2023 г. Принята к публикации 4 сентября 2023 г.
Лазарев Нюргун Петрович
Северо-Восточный федеральный университет, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского 48, Якутск 677000 nyurgun@ngs.ru
Романова Наталья Анатольевна Институт математики и информатики, Северо-Восточный федеральный университет, ул. Кулаковского 48, Якутск 677000 nan.romanova@s-vfu.ru
Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3
UDC 539.375
OPTIMAL CONTROL OF THE ANGLE BETWEEN TWO RIGID INCLUSIONS IN AN INHOMOGENEOUS 2D BODY N. P. Lazarev and N. A. Romanova
Abstract: A nonlinear mathematical model describing equilibrium of a two-dimensional elastic body with two thin rigid inclusions is investigated. It is assumed that two rigid inclusions have one common connection point. Moreover, a connection between two inclusions at a given point is characterized by a positive damage parameter. Rectilinear inclusions are located at a given angle to each other in an initial state. Nonlinear Signorini conditions are imposed, which describe the contact with the obstacle, as well as a homogeneous Dirichlet condition is set on corresponding parts of the outer boundary of the body. An optimal control problem for the parameter that specifies the angle between inclusions is formulated. The quality functional is given by an arbitrary continuous functional defined on the Sobolev space. The solvability of the optimal control problem is proved. A continuous dependence of solutions on varying angle parameter between the inclusions is established.
DOI: 10.25587/SVFU.2023.21.94.005
Keywords: variational problem, rigid inclusion, non-penetration, optimal control problem.
REFERENCES
1. Itou H., Kovtunenko V. A., and Rajagopal K. R. , "Nonlinear elasticity with limiting small strain for cracks subject to non-penetration," Math. Mech. Solids, 22, No. 6, 1334—1346 (2017).
2. Kazarinov N. A., Rudoy E. M., Slesarenko V. Y., and Shcherbakov V. V., "Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion," Comput. Math. Math. Phys., 58, No. 5, 761-774 (2018).
3. Itou H., Kovtunenko V. A., and Rajagopal K. R., "Nonlinear elasticity with limiting small strain for cracks subject to nonpenetration," Math. Mech. Solids, 22, No. 6, 1334-1346 (2017).
4. Furtsev A., Itou H., and Rudoy E., "Modeling of bonded elastic structures by a variational method: theoretical analysis and numerical simulation," Int. J. Solids Struct., 182—183, 100111 (2020).
5. Khludnev A. M., Elasticity Problems in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).
6. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, WIT-Press, Southampton (2000).
7. Khludnev A. M., "On modeling thin inclusions in elastic bodies with a damage parameter," Math. Mech. Solids, 24, No. 9, 2742-2753 (2019).
8. Neustroeva N. V. and Lazarev N. P., "Optimal control of the crack angle in the equilibrium problem for a Timoshenko plate with elastic inclusion [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 28, No. 4, 58-70 (2021).
© 2023 N. P. Lazarev, N. A. Romanova
9. Khludnev A. M., "Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions," Eur. J. Mech., A, Solids, 29, No. 3, 392-399 (2010).
10. Khludnev A. and Leugering G., "On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks," Math. Methods Appl. Sci., 33, 1955-1967 (2010).
11. Khludnev A., "Non-coercive problems for Kirchhoff-Love plates with thin rigid inclusion," Z. Angew. Math. Phys., 73, No. 2, paper No. 54 (2022).
12. Fankina I. V., Furtsev A. I., Rudoy E. M., and Sazhenkov S. A., "Asymptotic modeling of curvilinear narrow inclusions with rough boundaries in elastic bodies: case of a soft inclusion," Sib. Electron. Math. Rep., 19, No. 2, 935-948 (2022).
13. Furtsev A. I., "On contact between a thin obstacle and a plate containing a thin inclusion," J. Math. Sci., 237, No. 4, 530-545 (2019).
14. Lazarev N. and Rudoy E., "Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies," J. Comput. Appl. Math., 403, paper No. 113710 (2022).
15. Kovtunenko V. A. and Kunisch K., "Shape derivative for penalty-constrained nonsmooth-nonconvex optimization: cohesive crack problem," J. Optim. Theory Appl., 194, 597-635 (2022).
16. Lazarev N. P., Semenova G. M., and Romanova N. A., "On a limiting passage as the thickness of a rigid inclusions in an equilibrium problem for a Kirchhoff-Love plate with a crack," J. Sib. Fed. Univ., Math., Phys., 14, No. 1, 28-41 (2021).
17. Rudoy E. M. and Shcherbakov V. V., "First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks," Appl. Math. Optim., 84, 2775-2802 (2021).
18. Lazarev N. P. and Rudoy E. M., "Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 9, 1120-1127 (2017).
19. Shcherbakov V. V., "Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 3, paper No. 71 (2016).
20. Khludnev A. M., "Junction problem for thin elastic and volume rigid inclusions in elastic body," Phil. Trans. R. Soc. A., 380, No. 2236, paper No. 20210360 (2022).
21. Khludnev A., Esposito A. C. and Faella L., "Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions," J. Optim. Theory Appl., 184, No. 1, 293-314 (2020).
22. Khludnev A. M. and Popova T. S., "On junction problem with damage parameter for Timo-shenko and rigid inclusions inside elastic body," Z. Angew. Math. Mech., 100, No. 8, paper No. e202000063 (2020).
23. Lazarev N. and Neustroeva N., "Optimal control of rigidity parameter of elastic inclusions in composite plate with a crack," in: Mathematics and Computing ICMC (D. Ghosh, D. Giri, R. Mohapatra, K. Sakurai, E. Savas, T. Som, eds.), pp. 67-77, Springer, Singapore (2018). (Springer Proc. Math. Stat.; vol. 253).
24. Popova T. S., "Numerical solution of the equilibrium problem for a two-dimensional elastic body with a thin semirigid inclusion," Mat. Zametki SVFU, 28, No. 1, 51-66 (2021).
25. Rudoy E. M. and Shcherbakov V. V., "Domain decomposition method for a membrane with a delaminated thin rigid inclusion," Sib. Electron. Math. Rep., 13, No. 1, 395-410 (2016).
26. Hintermuller M., Kovtunenko V. A., and Kunisch K., "A Papkovich-Neuber-based numerical approach to cracks with contact in 3D," IMA J. Appl. Math., 74, No. 3, 325-343 (2009).
27. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., and Tani A., "Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity," Z. Angew. Math. Mech., 92, No. 9, 716-730 (2012).
28. Jobin T. M., Ramji M., and Khaderi S. N., "Numerical evaluation of the interaction of rigid line inclusions using strain intensity factors," Int. J. Mech. Sci., 153—154, 10-20 (2019).
29. Hu K. X. and Chandra A., "Interactions among general systems of cracks and anticracks: an integral equation approach," J. Appl. Mech., 60, No. 4, 920-928 (1993).
30. Shcherbakov V. V., "Existence of an optimal shape of the thin rigid inclusions in the Kirchhoff-Love plate," J. Appl. Ind. Math., 8, No. 1, 97-105 (2014).
31. Karnaev V. M., "Optimal control of thin elastic inclusion in an elastic body," Sib. Electron. Math. Rep., 19, No. 1, 187-210 (2022).
32. Lazarev N. P., Sharin E. F., and Semenova G. M., "Optimal control of the location of the hinge point of rigid inclusions in an equilibrium problem of a Timoshenko plate," Chelyab. Fiz.-Mat. Zh., 6, No. 3, 278-288 (2021).
33. Lazarev N., "Inverse problem for cracked inhomogeneous Kirchhoff-Love plate with two hinged rigid inclusions," Bound. Value Probl., 2021, No. 1, paper No. 88 (2021).
34. Baiocchi C. and Capello A., Variational and Quasivariational Inequalities: Application to Free Boundary Problems, Wiley, New York (1984).
35. Mikhailov V. P. Partial Differential Equations [in Russian], Mir, Moscow (1978).
Submitted March 13, 2023 Revised May 13, 2023 Accepted September 4, 2023
Nyurgun P. Lazarev
Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677891, Russia nyurgun@ngs.ru Nataliya A. Romanova
Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Research Institute of Mathematics, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677891, Russia nan.romanova@s-vfu.ru
