Оптимальное управление с обратной связью одним классом нелинейных систем по квадратичному критерию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ОДНИМ КЛАССОМ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ

КРИТЕРИЮ

© А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, И.И. Емельянова

Ключевые слова: метод последовательных приближений; локальная задача оптимального управления нелинейной системой по квадратичному критерию; субоптимальное управление на произвольном конечном горизонте.

Приведен метод синтеза оптимального управления с обратной связью одним классом нелинейных систем по квадратичному критерию. Данный метод базируется на специальном методе последовательных приближений, сходимость которого позволяет доказать существование оптимального управления и получить процедуру его построения.

1. Введение

Рассмотрим нелинейную динамическую систему, характеризуемую дифференциальным уравнением

ж = Аж + Ви + / (ж, и), (1)

в котором ж = (ж1,..., жп) - п -мерный действительный вектор состояния, и = (и1,..., ит)

- т -мерный действительный вектор управления, А и В - действительные (п х п) - и (п х т) -матрицы, а / = (/1,..., /п) - векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

д/ . . 1 ду ^ = 1,-,п,

и

д/^

——т, г = 1,..., п, ] = 1,...,т, диу

в пространстве Мга+т .

Предположим, что начальное состояние

ж(0) = с (2)

задано, а задача управления системой (1) заключается в минимизации функционала

т

11 3(и) = [<е(*), Qe(t)) + <и(£), Ки(*)>] ^ + -<е(Т), Ре(Т)>, (3)

о

в котором Т - фиксированное конечное время, Q и Р - положительные полуопределенные (п х п) -матрицы, К - положительно определенная (т х т) -матрица,

е(г) = ж(г) - г(£)

- ошибка системы и г = (г1,..., гп) - заданный режим функционирования.

Легко видеть, что непосредственное применение принципа максимума Л.С. Понтряги-на к рассматриваемой задаче приводит к достаточно сложной краевой задаче, если только

(1)—(3) не сводится к линейно-квадратичной задаче слежения (см., например, [1, с. 657]). Однако, во многих практических ситуациях режим устроен так, что указанное сведение невозможно.

В общем случае для получения решения (или оценок решения) задачи (1)—(3) используют самые разные методы (см., например, [2, гл. 18] и [3-9]). Одним из основных методов здесь является метод последовательных приближений, описанный в [2, гл. 18]. Внешне простой и понятный, он (метод) сводит исходную задачу к некоторой последовательности линейно-квадратичных задач. Вместе с тем, указанный метод до сих пор не получил широкого распространения, поскольку его сходимость не доказана. Последнее, в частности, объясняется тем, что здесь в схеме последовательных приближений оператор системы меняется от итерации к итерации.

Целью настоящей работы является получение решения задачи (1)-(3) в виде закона управления с обратной связью. Для получения искомого решения используется процедура, являющаяся модификацией метода [2, гл. 18] и заключающаяся в создании некоторой специальным образом генерируемой последовательности вспомогательных линейно-квадратичных задач. Это позволяет в некоторых случаях установить сходимость метода, а из сходимости доказать существование оптимального управления и получить процедуру его построения.

2. Вспомогательные задачи

Формально опишем метод последовательных приближений, на котором будут базироваться все дальнейшие построения.

Следуя [9], для всех N = 0,1,... рассмотрим вспомогательную задачу о минимизации функционала

т

11 ^+1(и) = - у [<е(*),де(*)> + <и(*),Яи(*)>] ^ + -<е(Т),Ре(Т)> (4)

о

с ограничением

х = Ах + Ви + / (хм, им), х(0) = с, (5)

где хм и иN - некоторые функции, определенные и непрерывные на отрезке [0, Т] .

Для фиксированных хм и им оптимальное управление им+^) в задаче (4), (5) дается законом управления с обратной связью

им+1 (*) = Й-1В'[Нм+1^) - К(*)х*+1 (*)], (6)

в котором хм+1(^) - решение уравнения (5), соответствующее им+1(^) и удовлетворяющее начальному условию

хм+1 (0) = с,

К (¿) - решение матричного дифференциального уравнения Риккати

КТ(*) = -К(¿)А - А'К(*) + К(¿)ВЯ-1В'К(*) - д (7)

с граничным условием

к (Т) = Р, (8)

а Нм+1(^) - решение линейного дифференциального уравнения

Нм+1(^) = -[А - В Я-1 В'К(¿)]'Нм+1^) - £*(*) + К(*)/(хм(*), им(*)) (9)

с граничным условием

Ь*+1(Т) = Рг(Т) (10)

(см. [1, с. 699]).1

Таким образом, если начальное приближение жо(*),ио(*) задано, то соотношения (4)-(10) определяют схему последовательных приближений, которая, как будет показано ниже, при всех достаточно малых значениях Т позволяет установить существование решения задачи (1)-(3) и дает эффективную процедуру построения этого решения. Отметим также, что для простоты начальное приближение здесь будет определено соотношениями

жо (*) = с (11)

и

ио(*) = К-1В'[Рг(Т) - К(*)с]. (12)

Замечание 1. Автономность системы (1) и постоянство матриц Q и К в настоящей работе нигде не используются и приняты для простоты обозначений.

3. Локальная задача

Применим метод (6)-(12) для изучения простейшего варианта задачи (1)-(3), в котором значение Т предполагается достаточно малым. Такую задачу будем называть локальной.

Существование и структуру оптимального управления в локальной задаче (1)-(3) устанавливает следующая

Теорема 1. Пусть с - произвольная точка пространства Мга . Тогда найдется такое положительное число Т, что для всех Т € (0, Т) существует оптимальное управление и*(*) в задаче (1)-(3). При этом для всех * € [0, Т]

и*(*) = К-1В'[к*(*) - К(*)ж*(*)], (13)

где ж*(*) - решение уравнения

ж * = Аж* + Ви* + / (ж*, и*) (14)

с начальным условием

ж*(0) = с, (15)

а к*(*) - решение уравнения

к*(*) = -[А - ВК-1В'К(*)]'к*(*) - Qz(í) + К(*)/(ж*(*), и*(*)) (16)

с граничным условием

к*(Т) = Рг(Т). (17)

Доказательство. Пусть X(*) и Н(*) - решения линейных матричных дифференциальных уравнений

X = [А - ВК-1В'К(*)]Х, X(0) = Е,

и, соответственно,

Н = -[А - ВК-1В'К(*)]'Н, Н(Т) = Е,

хЗдесь в книге [1] имеет место очевидная опечатка.

где Е - единичная (п х п) -матрица. Тогда при использовании управления (6) уравнение (5) эквивалентно уравнению

г

жм+1(г) = X(г)с + 1X(г - Т)[£Я-1£'Нм+1(т) + /(жм(т), им(т))] ¿т, (18) 0

а уравнение (9) с граничным условием (10) - уравнению

г

Нм+1(£) = Н(*)Рг(Т) + IН(г - т)(К(т)/(жм(т), им(т)) - фг(т)) ¿т. (19)

т

Принимая во внимание (19), перепишем уравнение (18) в следующем эквивалентном виде:

жм+1^) = X(г)с + У X(г - т){/(жм(т), им(т)) + £Я-1£'[Н(т)Рг(Т) +

0

г

+ ! Н (т - в)(К (8)/(жм (5), им (в)) - £Ф)) ¿5]} ¿т. (20)

т

Тогда с учетом (6) система (18), (19) может быть представлена в символической форме

г т

жм+1^) = X(г)с + у/(¿,т,жм(т),Нм(т)) + У /2(т,5,жм(в),Нм(^)) ^т, (21)

0г т

Нм+1^) = Н(¿)Но + ^ /3(г, т, жм(т), Нм(т)) ¿т, (22)

г

где

Но = Рг(Т),

а /1 = (/11,..., /Г), /2 = (/21,..., /21) и /з = (/31,..., /31) - векторные функции, определенные и непрерывные вместе со своими частными производными

д// д//

тА, А1, = 1,...,п, I = 1,2,3,

дж-7 дН

в пространстве [0, Т] х [0, Т] х М2га и задаваемые подынтегральными функциями в равенствах (20) и (19) соответственно.

Пусть теперь а - некоторое положительное число. Обозначим через £ - множество точек (г, ж, Н) € М1+2га , для которых выполнены неравенства

0 < г < Т, |ж - с| < а, |Н - Но| < а, (23)

где |у| - длина вектора у . Так как £ - компактное множество, то найдутся такие положительные числа М и Ь, что для всех значений г, ж и Н, удовлетворяющих условиям (23), при т € [0, Т] выполнены неравенства

|/(г, т, ж, Н)| < М, I = 1, 2, 3, (24)

d//(t,r,x,h)

< L,

d//(t,r,x,h)

dhj

< L,

(25)

= 1,...,n, l = 1, 2, 3.

Обозначим через О множество всех непрерывных пар (ж, к) функций, определенных на отрезке [0, Т] , принимающих значения в пространстве Мга и при * € [0, Т] удовлетво-

ряющих условиям

|x(t) - c| < а, |h(t) - ho| < а,

(26)

т. е. О - множество непрерывных пар (ж, к) функций, графики которых лежат в £ . При этом будем рассматривать часть От множества О , такую, что наряду с неравенствами (26) при (ж, к) € От выполнялись бы также неравенства

|X(t)c - c| < 2,

|x(t) - X(t)c| < -,

|H(t)ho - ho| < -

|h(t) - H(t)ho| < ¥

(27)

(28)

Тогда в силу неравенств

|x(t) - c| < |x(t) - X(t)c| + |X(t)c - c|

|h(t) - ho| < |h(t) - H(t)ho| + |H(t)ho - ho|

из условий (27) и (28) следуют неравенства (26) и, таким образом, принадлежность пары (ж, h) множеству Qy •

Для всех t € [0, T] положим

V(t) = (x(t),h(t))

и будем говорить, что V € Qy , если (ж, h) € Qy • Обозначим через F оператор, задаваемый правыми частями системы (21), (22). Тогда, как легко видеть, если число T достаточно мало, то из принадлежности v множеству Qy следует принадлежность множеству Qy функции

V* = Fp, (29)

где V* = (ж*, h*).

В самом деле, для того чтобы функция V* , задаваемая соотношением (29), принадлежала множеству Qy , достаточно, чтобы при выполнении условия (27) для всех t € [0, T] были выполнены также и неравенства

|x*(t) - X (t)c| < -2, |h*(t) - H (t)ho| < -а.

Но в силу (21), (22) и (24) имеем

|h*(t) - H(t)ho| =

y

/з(t, r, ж(т), h(r)) dr

^ MT

|x*(t) - X(t)c| =

t y

y"[/i(t,r,x(r), h(r )) + У /2(r,s,x(s),h(s))ds]dr o t

<

и

и

и

и

Отсюда следует, что при

< М(Т + 1)Т.

М(Т + 1)Т < —

(30)

условие, предъявляемое к оператору Р в (29), выполнено.

Пусть теперь ^ = (ж, Н) и ф = (у,$) - две произвольные функции, принадлежащие

множеству От . Тогда при выполнении неравенства (30) функции

=

ф* = Рф

также принадлежат От, где = (ж*,Н*) и ф = (у*,^*) . Тогда справедливо неравенство

в котором

- ф*|| < - Рф|| < к||р - ф||,

= тах |д(г)|

о<г<т

(31)

и к - положительное число, зависящее только от значения Т. При этом для всех достаточно малых Т > 0

к < 1. (32)

В самом деле, в силу неравенств (25) для всех г € [0, Т] и т € [0, Т]

/(г,т,ж(т), Н(т)) - //(г,т,у(т),<?(т))| <

< Л(|ж(т) - у(т)| + |Н(т) - 0(т)|), I = 1, 2, 3, (33)

где Л - некоторое положительное число, зависящее только от Ь (см. [10, с. 163]). Поэтому

т

[[/з(г,т,ж(т), Н(т)) - /з(г,т,у(т),<?(т))]йт £

т

т

Но для всех г € [0, Т]

Тогда, если

< Л N |ж(т) - у(т)|йт + 1 |Н(т) - 5(т)^т ) .

гг

|ж(г) - у (г) | < №(*) - Ф(г)| < № - ФУ |Н(г) - 5(г)| < |^(г) - ф(г)| < у^ - фу.

т

Н*(г) = Н (г)Но +1 /з(г,т,ж(т),Н(т))^т

(34)

(35)

(36)

т

5*(г) = Н (г) Но + 1 /з(г,т,ж(т),5(т))^т,

и

и

и

то в силу неравенств (34)-(36)

||к* - £*|| < 2ЛТ||р - Щ. (37)

С другой стороны, согласно неравенствам (33) ь т

У {Д(*, Т, ж(т), к(т)) - Д(*, Т, у(т), 5(т)) + 1 [/2(т, 5, ж(в), к(в)) - /2(т, 5, у(в), £(в))]^Т < о ь

< Л ^I{|ж(т) - у(т)| + |к(т) - 5(Т)| + I(|ж(5) - у(в)| + |к(в) - ^ . (38)

Тогда, если

ь т

ж*(*) = X(*)с ^ У [/1(*, т, ж(т),к(т)) + У /2(т,в,ж(в),к(в)) ^Т

ь т

у* (*) = X (*)с + У[/1(*,т,у(т),0(т)) + У /2(т,5,у(в),5(в)) ^т,

оь то из неравенств (35), (36) и (38) следует, что

||ж* - у*|| < 2Л(Т + 1)Т||р - (39)

Но согласно неравенству треугольника

||р* - ^*|| < ||ж* - у*|| + ||к* - 5*||.

Поэтому в силу неравенств (37) и (39)

||р* - ^*|| < 2Л(Т + 2)Т||р -

Таким образом, если

2Л(Т + 2)Т< 1, (40)

то, полагая

к = 2Л(Т + 2)Т,

видим, что при выполнении условия (40) выполнены также условия (31) и (32). Сказанное означает, что существует такое положительное число Т , что выполняются условия (30) и (40). Последнее обеспечивает выполнение требований (31) и (32), предъявляемых к оператору Е (см. (29)). Поэтому будем считать число Т наименьшим из чисел Тм или Та , где Тм - положительный корень уравнения

а

М (Т + 1)Т =-, а Та - положительный корень уравнения

2Л(Т + 2)Т = 1

соответственно. Тогда для всех Т € (0, Т) выполнены неравенства (28) и (40).

и

Для всех t € [0, T] и N = 0,1,... положим

^N (t) = (XN (t),hW (t)) и построим последовательность функций

...,<£n>•••> (41)

определенных и непрерывных на отрезке [0,T] , в силу системы (21), (22) приняв

^N+1 = F^n , N = 0,1,..., (42)

и

po(t) = (c,ho). (43)

Поскольку функция (43) принадлежит множеству Qy , то согласно равенству (42) все функции последовательности (31) также принадлежат множеству Qy • Рассмотрим функциональное уравнение

= Fp. (44)

Согласно (31) и (32) легко видеть, что F является сжимающим оператором, отображающим множество Qy в себя. Поэтому уравнение (44) имеет на множестве Qy решение , которое может быть получено по формуле

p*(t) = n limm ^n (t), (45)

где сходимость равномерна на отрезке [0,T] (см., например, [10, с. 165])• Но

ho = Pz(T).

Значит в силу (43) последовательность (42) удовлетворяет начальным приближениям (11) и (12). Поэтому из равенств (6) и (45) следует существование функций u*(t) и x* (t) , построенных по формулам

u*(t) = lim un (t) (46)

N

и

x*(t) = lim xn (t), (47)

N

где сходимость равномерна на отрезке [0, T] , т.е. функция x*(t) является соответствующим u*(t) решением уравнения (14) с начальным условием (15). Более того, уравнение (9) с граничным условием (10) переходит в уравнение (14) с граничным условием (15), а закон управления (6) - в (10). При этом

J (u*) = lim Jn (un ) (48)

N

и

Jn (un ) ^ Jn (u)

для всех функций u , суммируемых с квадратом на [0, T] . Отсюда следует, что для каждой такой функции

lim JN(uN) = J(u*) ^ lim JN(u),

NN

т. е. u*(t) - оптимальное управление в задаче (1)-(3). Таким образом, теорема 1 доказана.

Замечание 2. Легко видеть, что метод последовательных приближений (6)—(12) может быть использован для отыскания решения задачи (1)—(3) для всех достаточно малых значений T.

4. Общий случай

Как видно из доказательства теоремы 1, оценка (40) является весьма грубой и не накладывает принципиальных ограничений на использование метода (6)—(12) при произвольном T.

Переходя к рассмотрению общего случая задачи (1)—(3) с произвольным конечным горизонтом, заметим, что справедлива

Теорема 2. Предположим, что последовательность (41), сгенерированная методом (6)-(12), равномерно ограничена. Тогда множество

Q(Vo) = П U Vfc

N^o fc^N

непусто, компактно в топологии равномерной сходимости и инвариантно. При этом имеет место равенство

Q(Vo) = lim vn . (49)

N

Доказательство. Поскольку множество (41) равномерно ограничено, то непустота множества Q(vo) очевидна. При этом в силу равенств (5), (6) и (9) несложно заметить, что функции семейства

Vo,V 1, • • •, V N, ••• (50)

непрерывны на отрезке [0, T] , а само семейство (50) еще и равномерно ограничено. Следовательно, множество (41) равностепенно непрерывно (см., например, [11, с. 325]). Сказанное означает, что множество (41) относительно компактно в топологии равномерной сходимости (см., например, [12, с. 489]). Отсюда вытекают компактность множества Q(vo) в топологии равномерной сходимости, его инвариантность и равенство (49) (см. [13, с. 101-103]).

Таким образом, теорема 2 доказана.

Следствие. Предположим, что в условиях теоремы 2 множество Q(vo) состоит из единственной функции V* • Тогда в задаче (1)-(3) существует оптимальное управление u* (t), удовлетворяющее равенствам (10)-(17).

Доказательство следствия в силу равенства (49) фактически повторяет доказательство второй части теоремы 1 (см. (45)-(46)). Поэтому здесь оно опускается.

З а м е ч а н и е 3. Каждое компактное инвариантное множество, как известно, содержит компактное минимальное множество (см., например, [14, с. 401]). Поэтому в условиях теоремы 2 множество Q(vo) содержит компактное минимальное множество M .

Если vm = (жм, h-от) - произвольная функция множества M, то в силу теорем 1 и 2 несложно заметить, что закон управления

u(t) = R-1B'[hOT(t) - K(tMt)] (51)

в любом случае можно считать хорошим приближением к решению задачи (1)-(3).

Отметим также, что в силу следствия теоремы 2 сходимость метода (6)-(12) устанавливает существование решения задачи (1)-(3) и вид оптимального управления.

5. Заключение

Ключевым для настоящей работы является метод последовательных приближений (6)-(12).

Согласно теореме 1 для всех достаточно малых значений T метод (6)—(12) равномерно сходится к решению задачи (1)—(3). При этом сходимость метода устанавливает существование решения задачи (1)—(3) для малых T ив пределе дает оптимальный закон управления с обратной связью.

Теорема 2 при минимальных дополнительных требованиях к методу позволяет установить близкий к оптимальному закон управления (51) для произвольного значения T. Более того, в силу следствия теоремы 2 из сходимости метода (6)—(12) всегда вытекает существование оптимального управления и его структура.

Необходимо также отметить, что ситуация выполнения условий следствия теоремы 2 не является исключительной. Последнее объясняться гарантированной сходимостью метода (6)—(12) при малых значениях T и грубостью оценки (40).

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

2. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Наука, 1964.

3. Lukes D.L. Optimal regulation of nonlinear systems // SIAM J. Control Optim. 1969. Vol. 7. P. 75-100.

4. Yamamoto Y. Optimal control of nonlinear systems with quadratic performance // J. Math. Anal. Appl. 1978. Vol. 64. P. 348-353.

5. Dacka C. On the controllability of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. Vol. 25. P. 263-266.

6. Balachandran K., Somasundaram D. Existence of optimal control for nonlinear systems with quadratic performance // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1987. Vol. 29. P. 249-255.

7. Afanas'ev A.P., Dzyuba S.M., Lobanov S.M., Tyutyunnik A.V. Successive approximation and suboptimal control of systems with separated linear part // Appl. Comp. Math. 2003. Vol. 2. № 1. P. 48-56.

8. Afanas'ev A.P., Dzyuba S.M., Lobanov S.M., Tyutyunnik A. V. On a suboptimal control of nonlinear systems via quadratic criteria // Appl. Comp. Math. 2004. Vol. 3. № 2. P. 158-169.

9. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Об оптимальном управлении нелинейными системами по квадратичному критерию // Тр. ИСА РАН. 2008. Т. 32. С. 49-62.

10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

12. Шварц Л. Анализ. Т. 2. М.: Мир, 1972.

13. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

14. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ 13-07-00077 и 15-01-08838.

Поступила в редакцию 15 мая 2015 г.

Afanas'ev A.P., Dzyuba S.M., Emelyanova I.I. OPTIMAL CONTROL WITH FEEDBACK OF SOME CLASS OF NONLINEAR SYSTEMS VIA QUADRATIC CRITERION

We present a method for synthesis of optimal control with feedback of some class of nonlinear systems via quadratic criteria. This method is based on a special method of successive approximations, whose convergence allows to prove an existence of optimal control and to get the procedure of its construction

Key words: method successive approximations; local optimal control of nonlinear systems via quadratic criteria; suboptimal control for arbitrary finite horizon.

Афанасьев Александр Петрович, Институт проблем передачи информации РАН им. А.А. Харке-вича, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий центром распределенных вычислений, e-mail: [email protected]

Afanas'ev Aleksandr Petrovich, Institute for Information Transmission Problems, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, the Head of the Center for Distributed Computing, e-mail: [email protected]

Дзюба Сергей Михайлович, Тверской государственный технический университет, г. Тверь, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем, e-mail: [email protected]

Dzyuba Sergei Mikhailovich, Tver State Technical University, Tver, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Information Systems Department, e-mail: [email protected]

Емельянова Ирина Игоревна, Тверской государственный технический университет, г. Тверь, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры информационных систем, e-mail: [email protected]

Emelyanova Irina Igorevna, Tver State Technical University, Tver, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Information Systems Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.958

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

© И.Б. Бадриев, В.В. Бандеров, Г.З. Гарипова, М.В. Макаров

Ключевые слова: трехслойная пластина; седловая точка; трансверсально-мягкий заполнитель; теорема существования.

Рассмотрена одномерная геометрически линейная задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем при наличии ограничений на уровень формирующихся в заполнителе поперечных касательных напряжений. Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Доказана теорема существования седловой точки.

Трехслойные панели с тонкими прочными композитными обшивками и легким заполнителем благодаря своим уникальным свойствам широко используются во многих отраслях техники. Главной особенностью таких конструкций является сочетание высокой изгибной жесткости и прочности с небольшой массой и хорошей способностью поглощать энергию при ударных воздействиях. Кроме того, трехслойные конструкции позволяют обеспечить хорошие звуко- и теплоизолирующие свойства [1], а также обладают высокой технологичностью и вибростойкостью. Это и определяет их широкое применение в аэрокосмической технике, судостроении, транспортном машиностроении, а также в строительстве.

В настоящей работе рассматривается физически нелинейная и геометрически линейная задача о равновесии трехслойной пластины, составленной из двух несущих слоев и расположенным между ними трансверсально-мягким заполнителем, связанным с несущими слоями клеевым соединением. Для описания напряженно-деформированного состояния в несущих слоях используются уравнения линейной модели Кирхгофа-Лява, в заполнителе — уравнения теории упругости, упрощенные в рамках принятой модели трансверсально-мягкого слоя и проинтегрированных по толщине с удовлетворением условий сопряжения слоев по перемещениям в поперечном направлении. Кроме того, задача рассматривается при ограничении, соответствующем идеальной упруго-пластической модели для заполнителя. Обобщенная постановка задачи формулируется в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Отметим, что в работах [2-6] рассматривались задачи теории мягких оболочек, а также методы их решения. В [7] предлагается приближенный метод нахождения