ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМОЙ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО КРИТЕРИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Вестник Череповецкого государственного университета. 2022. № 5 (110). С. 7-19. Cherepovets State University Bulletin, 2022, no. 5 (110), pp. 7-19.

Научная статья УДК 004.942

https://doi.org/10.23859/1994-0637-2022-5-110-1

Оптимальное управление производственной системой на основе вероятностного критерия

Гульнара Фазульяновна Ахмедьянова10, Александр Михайлович Пищухин2

1 2Оренбургский государственный университет,

Оренбург, Россия

'ahmedyanova@bk.ruH, https://orcid.org/0000-0003-3284-7794 2pishchukhin@mail.ru, https://orcid.org/0000-0003-4655-6824

Аннотация. В статье рассматривается вероятностное описание процесса следования предприятия за рыночным спросом. Как рынок, так и поведение предприятия описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. В работе ставится и решается задача оптимального управления производственной системой. В качестве критерия рассматривается разность плотностей вероятности возникновения спроса на продукцию предприятия на рынке и вероятности выпустить продукцию для удовлетворения этого спроса. Используется координатно-параметрический подход к управлению. Для нахождения приближенных решений применяется метод малого параметра.

Ключевые слова: координатно-параметрическое управление, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, задача оптимального управления, вероятностный критерий, метод Эйлера-Лагранжа, метод малого параметра

Для цитирования: Ахмедьянова Г. Ф., Пищухин А. М. Оптимальное управление производственной системой на основе вероятностного критерия // Вестник Череповецкого государственного университета. 2022. № 5 (110). С. 7-19. https://doi.org/10.23859/1994-0637-2022-5-110-1.

Optimal control of the production system based on a probabilistic criterion

Gulnara F. Akhmedyanova1H, Aleksandr M. Pishchukhin2

1 2Orenburg State University, Orenburg, Russia,

'ahmedyanova@bk.ruH, https://orcid.org/0000-0003-3284-7794 2pishchukhin@mail.ru, https://orcid.org/0000-0003-4655-6824

Abstract. The article focuses on the probabilistic description of the company following the market demand. Both the market and the behavior of the enterprise are described applying the Fokker-Plank-Kolmogorov equation. The paper raises and solves the problem of optimal enterprise management.

© Ахмедьянова Г. Ф., Пищухин А. М., 2022

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (print)

As a criterion, the authors consider the difference between the probability densities of the enterprise product demand in the market and the probability of releasing products to meet this demand. A coordinate-parametric approach to management is used. To find approximate solutions, the small parameter method is applied.

Keywords: coordinate-parametric control, Fokker-Plank-Kolmogorov equation, optimal control problem, probabilistic criterion, Euler-Lagrange method, small parameter method For citation: Akhmedyanova G. F., Pishchukhin A. M. Optimal control of the production system based on a probabilistic criterion. Cherepovets State University Bulletin, 2022, no. 5 (110), pp. 7-19. (In Russ.). https://doi.org/10.23859/1994-0637-2022-5-110-1.

Введение

Математическое описание функционирования производственного предприятия является очень сложной проблемой. Это, в первую очередь, обусловлено вхождением в ее состав персонала, в силу трудности предсказания его реакции. При одинаковых обстоятельствах получается совершенно различная реакция в зависимости от состояния человека.

Добавление технологического оборудования, несмотря на его большую детерминированность, лишь осложняет ситуацию, поскольку требует универсальности математического аппарата, как для описания действий персонала, так и для описания функционирования технологического оборудования.

Сюда добавляется абстрактный характер и прогностичность (потенциальность) многих производственных показателей, по которым оценивают результаты его функционирования. Речь идет о таких показателях, как: потенциал производства, его готовность к активности в нужный момент, качество производимых результатов и др. Все эти показатели должны оцениваться в данный момент времени, а проявят они себя лишь в будущем.

Объединяющим все эти требования математическим аппаратом может быть аппарат теории вероятностей (возможностей). Вероятность хорошо описывает и человеческое поведение, и функционирование технологического оборудования, а также позволяет описать будущее поведение производственной системы и результаты ее функционирования.

С другой стороны, сразу встает вопрос: как управлять вероятностью? Из-за невозможности прямого воздействия на нее необходимо обратиться к косвенному управлению. Продвигаться к управленческой цели можно в этом случае, создавая благоприятные условия для появления желаемого события и устраняя причины его не появления.

К достоинствам вероятностного описания можно отнести возможность применения уравнений Колмогорова. При этом нельзя забывать о марковской природе этих уравнений (отсутствие памяти и последействий, протекающих случайных процессов). Это означает, что уравнением Колмогорова описывается лишь первое приближение, как, например, линейный участок в небольшом диапазоне может описывать любую нелинейную функцию.

ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

Основная часть

Координатно-параметрическое управление

Рассмотрим для простоты двухуровневую организационно-техническую систему. Например, предприятие можно рассматривать как интегрированную систему из четырех составляющих на первом уровне: персонал, здания; сооружения и инженерные коммуникации; технологическое оборудование и финансовые и материальные запасы. Тогда второй уровень - управление предприятием.

Пусть вероятность востребованности результата функционирования такой производственной системы1 в обществе или на рынке (например, в виде экспериментального результата работы научной установки или произведенной предприятием продукции) имеет марковскую природу и зависит от времени £, а также от некоторой переменной х, характеризующей степень этой востребованности (например, количество покупателей продукции).

Применим к плотности, описанной выше вероятности ю0, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова2:

дю0 дю0 Ь0 д2ю0

—- = -а0—- + —--2°, (1)

д' дх 2 дх

где а0 - коэффициент сноса, Ь0 - коэффициент диффузии.

Поскольку уравнение (1) является параболическим, то оно подстановкой

ю0 = е^1' ■ ю* (х,'),^ = а0/Ь0,X = -аЦ2Ь0 (2)

может быть приведено к каноническому виду

2

дю* _ b d Ю1 dt ~ b дх2 ■

С другой стороны, готовность самой организационно-технической системы к функционированию и производству востребованного результата также является случайным процессом, хотя в определенной степени и управляемым. Принимая опять гипотезу марковости этого процесса и учитывая, что это другой процесс и поэтому коэффициенты переноса а и диффузии Ь также будут другими, получаем другое уравнение Колмогорова. В итоге поведение плотности вероятности готовности системы ю описывается уравнением

дю , д2ю ,.ч

"д7 = Ь2 "дХ2" ■ (4)

1 Pishchukhin A. M., Akhmedyanova G. F. Optimal organization of multi-profile production // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1333, № 7. URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1333/7/072020/pdf (дата обращения: 06.06.2022).

2 Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1977. Москва: Наука. 736 с.

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

ISSN 1994 0637 (print)

9

В многоуровневой системе управления, на наш взгляд, удобнее всего применять концепцию координатно-параметрического управления, при котором координатное управление ассоциируется с уровневым, а изменение параметров по требованию верхнего уровня - с параметрическим. Сам термин «координатно-параметрическое управление» предложен Б. Н. Петровым, В. Ю. Рутковским и С. Д. Земляковым1. При координатно-параметрическом управлении подразумевается, по выражению академика Б. Н. Петрова2, встречное движение объекта управления к регулятору.

Техническим примером может служить самолет с изменяемым параметром стреловидности крыла. Координатное управление связано с управлением курсом самолета. Если же для достижения цели верхнего уровня нужна маневренность, то крылья раскладываются, а если большая скорость - самолет складывает крылья (параметрическое управление), приближаясь к ракете.

Возвращаясь к вероятностному описанию, требуем, чтобы в отличие от первого (рыночного) процесса второй производственный был управляемым необходимо ввести разграничение: пусть к координатному управлению относятся все факторы, напрямую влияющие на плотность вероятности, тогда факторы, влияющие на параметры, естественно отнести к параметрическому управлению3. Возвращаясь к уравнению (4) понимаем, что им описывается уровневое координатное управление (верхнего уровня). На нижнем уровне, уровне составляющих организационно-технической системы, находятся параметры, изменяя которые можно сделать коэффициент уравнения в нем близким к соответствующему коэффициенту уравнения

(3).

Исследуем параметрическое управляющее воздействие у такое, что коэффициент Ь2 ^ Ь1. Введем управление в уравнении (4) в следующем виде

дю , д2ю ,.ч

~дг = Ьу ^ (5)

Здесь управляющее воздействие носит косвенный характер и управленческие мероприятия должны быть такими, чтобы уравнивать коэффициенты при вторых производных в уравнениях (3) и (4). Кроме того, здесь учтено, что координатное управление является аддитивным, а параметрическое - мультипликативным.

Задача оптимального управления предприятием в этом представлении должна сводиться к обеспечению такого уровня готовности к выпуску востребованной продукции в объеме х, чтобы можно было своевременно воспользоваться этой готовностью и получить финансовую выгоду. При выбранном математическом описании это

1 Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Функциональная управляемость и настраиваемость систем координатно-параметрического управления // Автоматика и телемеханика. 1986. Вып. 2. С. 21-30.

2 Глумов В. М., Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами: некоторые результаты и направления развития // Автоматика и телемеханика. 1999. Вып. 6. С. 100-116.

3 Пищухин А. М., Ахмедьянова Г. Ф. Оптимальное управление экономической безопасностью региона // Фундаментальные исследования. 2020. № 12. С. 180-185.

10 ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

означает, что необходимо стремиться к минимуму различия плотностей вероятностей1, подчиняющихся уравнениям (3) и (4). Подход, связанный с мониторингом за рынком, является обычным для реализуемых на практике стратегий управления предприятием.

Для решения поставленной задачи оптимального управления применим прием подобный идее профессора А.М. Летова2,3. В соответствии с ней в функционал включим сумму квадрата потерь от недостаточности управления в виде разности плотностей вероятностей, введенных выше, и квадрата затрат на управление. В данном случае происходит управление системой с распределенными параметрами4,5,6

F = Jo'/ Jo (q(ra* - га)2 + (b1 - yb)2)dxdt ^ min, (6)

где q - постоянный коэффициент, t/ - время окончания управления.

Составим лагранжиан

L = q(га* - га)2 + (b1 - yb)2 + y(by d-ra- -■dra) ^ min. (7)

dx dt

Уравнения Эйлера и Остроградского-Пуассона7 для оптимального управления будут следующими

1 Азанов В. М. Оптимальное управление линейной дискретной системой по критерию вероятности // Автоматика и телемеханика. 2014. № 10. С. 39-51.

2 Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. I // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 4. С. 436-441; Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. II // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 5. С. 561-568; Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. III // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 6. С. 661665; Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. IV // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22, вып. 4. С. 425-435.

3 Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. Москва: Высшая школа 1989. 263 с.

4 Габасов Р., Кириллова Ф. М., Кузьменков Д. С. Оптимальное управление в реальном времени специальной системой с распределенными параметрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 12. С. 1839-1850.

5 Костецкий Г. И., Кузьменков Д. С. Оптимальное управление системой с распределенными параметрами // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: Материалы XXI Республиканской научной конференции студентов и аспирантов (г. Гомель, 19-21 марта 2018 г.) / под редакцией О. М. Демиденко. Гомель: Гомельский государственный университет имени Франциска Ско-рины, 2018. С. 15.

6 Zhabko A. P., Provotorov V. V., Shindyapin A. I. Optimal control of a differential-difference parabolic system with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2021. Vol. 17, iss. 4. P. 433-448.

7 Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва: Наука, 1969. 424 с._

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 11 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (print)

0L d dL „ . ч . Л

Я—37 = "2?(®1 - ю) +V = 0 0ю dt 0ю

dL d , 0L ч d2 , 0L ч „ , * , 02 y dy dy , 02 y „

---(-)+ —(-) = -2q(ю* -ю) + by—f + 2b——У- + by ^f = 0

j„2 я,.,» dx2 dx dx dx2

0ю dx ОшХ

0L - — (.dL)

dy dt dy

dx2 dra'I

d 2ю 0ю dx2 dt

--- (от) = »—-ЮГ = 0

0L-—(0L)y*)+w =»

0y dt dy dx

(8)

Выражая у/ из первого уравнения и подставляя во второе, а также преобразуя третье и четвертое уравнения, получаем

dy "07 = 2q(ra* - -ю)

dy ~dt II y + 2b

0ю ~8t , 02ю = by—г dx2

b1 1 V 0 2ю

dy dy dx dx

= 0

fd2 y ' dx2

b 2b dx2

Заменяя y в двух средних уравнениях системы, получаем

(9)

dy = Г 1 02 ю 102 y

~0t "I 1 2y"0xrJ"0xr

_ 02 ю

0y dy 1

--^--1. + _ y--

dx dx 2 dx

02 ю

0 2 y ^

0ю b 02 ю

"ОТ " 1 "0xr 2

1 f 02ю

y| —

dx2

(10)

Производя дифференцирование и раскрывая скобки в первом уравнении, имеем

dy , d2y 1 02ю 02y

= b,—f--V—5--f"

dt 1 dx2 2 dx2 dx2

dy 0 ю 0 ю

--т + v^T

dx dx

dx3

dy 1 ——у

dx 2

dy 0 ю „dy 0ю 0 ю

2—Г + 2 —Г + V—4

v dx dx dx dx dx j

(11)

Группируя одинаковые слагаемые, вернемся к системе двух нелинейных уравне-

ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

Sy L, у — = b—f - У

St Sx2

Sra ~dt

S>

9x:

З2ю

S2ю S2y f Sy ^ S2ю З3ю Sy 1 2 S4ю

~ ~ 2 у Sx3 Sx 2 у Sx4

S' bl Sx2 2y[ax2

Sx Sx [ Sx J Sx'

2

f S2

ю

(12)

Применим для решения этой системы метод малого параметра, для чего разложим переменные

I У = y0 + Xy1 + X2У2 + ...

[ю = ю0 + + ^ 2ю2 + ...

(13)

Подставляем это разложение в (12), перенося линейное первое слагаемое в левую часть, а остальные, предварительно умноженные на X и ^, в правую часть уравнений. Собирая все слагаемые с одинаковой степенью иХ и ^, получим первые две системы уравнений приближения

1^0 b S2 У0

St U1 Sx2

Зю0 — b S 2ю0

fST b1 Sx2

= 0 = 0

(14)

Syi , S2У1

St Sro

-bl

Sx2

= -У0

S2ю0 S2y0 f Sy0 V S2ю,

ixr nxr

Sx J Sx

2y<

S3ю0 Sy0

Sx3 Sx 2

1 2 S ю0

У0

Sx4

1 b S2®1 1

-b,-21 =--y0

St 1 Sx2 2 0

fS2ю0 ^

Sx2

Первую систему уравнений (14) решаем методом разделением переменных

¥ о = Р ( х )• V (' )■

(15)

(16)

Подставляя это выражение в первое уравнение (14) и разделяя переменные, име-

ем

1 Sv ,1 S2 p ^

--= b1--f = M.

v St p Sx

Получаем систему двух дифференциальных уравнений

^V-Mv = 0 St

S2p M 0 —2---p = 0

Sx2 b1

(17)

(18)

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 13 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (print)

Решение находим в справочнике1

v = C1 exp (Mt) p = Qsh

f M ^

x

(19)

Подставляя полученное решение в (15), получим

x

VI bi J

y0 = Qexp (Mt )sh Аналогично решается второе уравнение системы (14):

ю0 = C2exp (Mt) sh

f Mл

I—x

w b

V i 1 J

(20)

(21)

Подставляем теперь полученные решения в первое уравнение системы второго приближения (15)

^ _ bj d!^ = _Cj2C2exp (Mt )sh dt ox

Q JM exP (Mt )ch

f m v A

f M ^

exp (Mt )sh — x exp (Mt)sh

f M ^

w

sh _ J

2

x

w b

V * 1 J

M

C2 M exp (Mt )sh

f M ^

f M л

_ 2C12C2exp (Mt)

exp (Mt )• ch — x exp (Mt )ch

x

w b

Vi 1 J

C1exp (Mt )sh

C2

M b,

exp (Mt )sh

f M ^

—x

Wb1 у

f M ^

(22)

Выделяя общие сомножители, возвращаемся к системе двух уравнений

d¥1 _ b d2 V1

dt 1 dx2

dra1 b d 2ю1

~dT _ b1 dx2

f m v

V b1 J

exp3 (Mt)

-sh3

x

V v b

VI 1 J

+ 3sh

f M ^

—x

V V b

V! 1 J

f M v

V b1 J

exp3 (Mt) sh3

x

V » b

VI 1 J

(23)

Общее решение этих уравнений складывается из решения соответствующих однородных (20, 21) и частных решений, которые ищутся в виде правой части.

1 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука. 1976. 576 с.

14

ISSN 1994 0637 (print)

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

f M a

y1 = Qexp (Mt )sh — x + exp (3Mt)

i ПТ Л

Ash3

ю1 = C2exp (Mt )sh — x + exp (3Mt)

где A =

, B =

x

V * 1 J

, D =

V ' f

+ Bsh

f M a

Dsh3

Л

x

V v b

VI 1 J

+ Fsh

v'

f M

x

V* 1 J

F =-

2b1

2(b1-1) (bi — 1)2' 3(M-2b1) (3M-b1 )(M-2b1)

(24)

Результаты и их обсуждение

Теперь можно найти зависимость управляющих воздействий от времени и спроса для второго приближения.

y = j-2b | Qexp (Mt )sh

f Mл

—x

J b1 J

f m a

x

W b1 J

+ exp (3Mt) - exp (3Mt)

Ash3

A

x

V » 1 J

+ Bsh

f [m a

—x

V V b.

V V 1 J

Dsh3

x

VI b1 J

+ Fsh

|C2exp (Mt )sh

Графики полученного решения представлены на рис.. 1 и 2.

Л

f M a

x

W b1 J

(25)

ул-Л

\:

1 2 3 4 5 e 7 8 Э 10

Рис. 1. Графики поведения решений по координате t

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 15 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (piint)

Рис. 2. Графики поведения решений по координате х

Верхние графики (зеленый цвет) отражают изменения управляющих воздействий, нижние - функции, связанной с плотностью вероятности. Для получения представления непосредственно о плотности вероятности необходимо умножить результат на экспоненту согласно формулам (2).

Выводы

Таким образом, оптимальное управление производственной системой на основе вероятностного критерия требует выпуклого распределения интенсивности приложения управляющих воздействий во времени и экспоненциального нарастания этой интенсивности в зависимости от возрастания потребности. При этом сделанные выводы относятся именно к параметрическому управлению, что означает направление управляющих воздействий на поддержание оптимальной величины параметров во время функционирования производственной системы. Основные управляющие воздействия, как и в классическом случае, направляются на поддержание оптимального поведения фазовых координат.

Список источников

Азанов В. М. Оптимальное управление линейной дискретной системой по критерию вероятности // Автоматика и телемеханика. 2014. № 10. С. 39-51.

Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. Москва: Высшая школа, 1989. 263 с.

Габасов Р., Кириллова Ф. М., Кузьменков Д. С. Оптимальное управление в реальном времени специальной системой с распределенными параметрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 12. С. 1839-1850.

ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

Глумов В. М., Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Адаптивное координатно-параметри-ческое управление нестационарными объектами: некоторые результаты и направления развития // Автоматика и телемеханика. 1999. Вып. 6. С. 100-116.

Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Функциональная управляемость и настраиваемость систем координатно-параметрического управления // Автоматика и телемеханика. 1986. Вып. 2.

С. 21-30.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука,

1976. 576 с.

Костецкий Г. И., Кузьменков Д. С. Оптимальное управление системой с распределенными параметрами // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: Материалы XXI Республиканской научной конференции студентов и аспирантов (г. Гомель, 19-21 марта 2018 г.) / под редакцией О. М. Деми-денко. Гомель: Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины, 2018. С. 15.

Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. I // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 4. С. 436-441.

Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. II // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 5. С. 561-568.

Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. III // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, вып. 6. С. 661-665.

Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. IV // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22, вып. 4. С. 425-435.

Пищухин А. М., Ахмедьянова Г. Ф. Оптимальное управление экономической безопасностью региона // Фундаментальные исследования. 2020. № 12. С. 180-185.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1977. Москва: Наука,

1977. 736 с.

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва: Наука, 1969. 424 с.

Pishchukhin A. M., Akhmedyanova G. F. Optimal organization of multi-profile production // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1333, № 7. URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1333/7/072020/pdf (дата обращения: 06.06.2022).

Zhabko A. P., Provotorov V. V., Shindyapin A. I. Optimal control of a differential-difference parabolic system with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2021. Vol. 17, iss. 4. P. 433-448.

References

Azanov V. M. Optimal'noe upravlenie lineinoi diskretnoi sistemoi po kriteriiu veroiatnosti [Optimal control for linear discrete systems with respect to probabilistic criteria]. Avtomatika i telemek-hanika [Automation and Remote Control], 2014, no. 10, pp. 39-51.

Aleksandrov A. G. Optimal'nye i adaptivnye sistemy [Optimal and adaptive systems]. Moscow: Vysshaia shkola 1989. 263 p.

Gabasov R., Kirillova F. M., Kuz'menkov D. S. Optimal'noe upravlenie v real'nom vremeni spet-sial'noi sistemoi s raspredelennymi parametrami [Real-time optimal control of a special system with distributed parameters]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2014, vol. 54, no. 12, pp. 1839-1850.

Glumov V. M., Zemliakov S. D., Rutkovskii V. Iu. Adaptivnoe koordinatno-parametricheskoe upravlenie nestatsionarnymi ob"ektami: nekotorye rezul'taty i napravleniia razvitiia [Adaptive coor-

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 17 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (print)

dinate-parametric control of non-stationary objects: some results and directions of development]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Telemechanics], 1999, iss. 6, pp. 100-116.

Zemliakov S. D., Rutkovskii V. Iu. Funktsional'naia upravliaemost' i nastraivaemost' sistem koordinatno-parametricheskogo upravleniia [Functional controllability and customizability of coordinate-parametric control systems]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Telemechanics], 1986, iss. 2, pp. 21-30.

Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniiam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow: Nauka. 1976. 576 p.

Kostetskii G. I., Kuz'menkov D. S. Optimal'noe upravlenie sistemoi s raspredelennymi par-ametrami [Optimal management of a system with distributed parameters]. Novye mate-maticheskie metody i komp'iuternye tekhnologii vproektirovanii, proizvodstve i nauchnykh issledovaniiakh: mate-rialy XXI Respublikanskoi nauchnoi konferentsii studentov i aspirantov (g. Gomel', 19-21 marta 2018 g.) [New mathematical methods and computer technologies in engineering, production and scientific research: Proceedings of the XXI Republican Scientific Conference of Students and Postgraduate Students (Gomel, March 19-21, 2018); ed. by O. M. Demidenko]. Gomel': Gomel'skii gosudar-stvennyi universitet imeni Frantsiska Skoriny, 2018, pp. 15.

Letov A. M. Analiticheskoe konstruirovanie reguliatorov. I [Analytical design of regulators I]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 1960, vol. 21, iss. 4, pp. 436-441.

Letov A. M. Analiticheskoe konstruirovanie reguliatorov. II [Analytical design of regulators. II]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 1960, vol. 21, iss. 5, pp. 561-568.

Letov A. M. Analiticheskoe konstruirovanie reguliatorov. III [Analytical design of regulators.

III]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 1960, vol. 21, iss. 6, pp. 661-665. Letov A. M. Analiticheskoe konstruirovanie reguliatorov. IV [Analytical design of regulators.

IV]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and telemechanics], 1961, vol. 22, iss. 4, pp. 425-435. Pishchukhin A. M., Akhmed'ianova G. F. Optimal'noe upravlenie ekonomicheskoi bezopasnost'iu

regiona [Optimal management of economic security of the region]. Fundamental'nye issledovaniia [Fundamental research], 2020, no. 12, pp. 180-185.

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics], 1977. Moscow: Nauka, 1977. 736 p.

El'sgol'ts L. E. Differentsial'nye uravneniia i variatsionnoe ischislenie [Differential Equations and Variational Calculus]. Moscow: Nauka, 1969. 424 p.

Pishchukhin A. M., Akhmedyanova G. F. Optimal organization of multi-profile production. Journal of Physics: Conference Se-ries, 2019, vol. 1333, no. 7. Available at: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1333/77072020/pdf (acessed: 06.06.2022).

Zhabko A. P., Provotorov V. V., Shindyapin A. I. Optimal control of a differential-difference parabolic system with distributed parameters on the graph. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2021, Vol. 17, iss. 4, pp. 433-448.

Сведения об авторах

Гульнара Фазульяновна Ахмедьянова - кандидат педагогических наук, доцент; https://orcid.org/0000-0003-3284-7794, ahmedyanova@bk.ru, Оренбургский государственный университет (д. 13, пр-т Победы, 460018 г. Оренбург, Россия); Gulnara F. Akhmedyanova -Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor; https://orcid.org/0000-0003-3284-7794, ahmedyanova@bk.ru, Orenburg State University (13, pr. Pobedy, 460018 Orenburg, Russia).

Александр Михайлович Пищухин - доктор технических наук, профессор; https://orcid.org/0000-0003-4655-6824, pishchukhin@.mail.ru, Оренбургский государственный университет (д. 13, пр-т Победы, 460018 г. Оренбург, Россия); Aleksandr M. Pishchukhin -

ISSN 1994-0637 Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 (print) Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5

Doctor of Technical Sciences, Professor; https://orcid.org/0000-0003-4655-6824, pischuchin@mail.ru, Orenburg State University (13, pr. Pobedy, 460018 Orenburg, Russia).

Заявленный вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 25.07.2022; одобрена после рецензирования 29.08.2022; принята к публикации 05.09.2022.

The article was submitted 25.07.2022; Approved after reviewing 29.08.2022; Accepted for publication 05.09.2022.

Вестник Череповецкого государственного университета • 2022 • № 5 ISSN 1994-0637 19 Cherepovets State University Bulletin ^2022 • No. 5 (print)