Оптимальное управление орбитальной ориентацией космического аппарата на основе алгоритма с прогнозирующей моделью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.3:681.5

Е.А. Микрин1,2, Н.Е. Зубов1,2, С.С. Негодяев2,3, А.В. Богачев1,2

1 Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П. Королёва

2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

3 Центральный научно-исследовательский институт химии и механики им. Д.И. Менделеева

Оптимальное управление орбитальной ориентацией космического аппарата на основе алгоритма с прогнозирующей моделью

Рассматривается задача построения орбитальной ориентации КА на основе алгоритма оптимального управления с прогнозирующей моделью с использованием параметров Род-рига-Гамильтона. Получены аналитические выражения для вычисления управлений.

Ключевые слова: оптимальное управление, орбитальная ориентация, космический аппарат, прогнозирующая модель, параметры Родрига-Гамильтона.

I. Введение

Во время полета космического аппарата (КА) систематически используется орбитальная ориентация. Она необходима для проведения некоторых научных экспериментов, осуществления сближения КА и выполнения ряда других задач. Многократность повторения этого режима при длительном сроке активного существования КА, ограниченные запасы рабочего тела на борту КА, высокая точность построения ориентации требуют исследования вопросов оптимизации данного режима. В данной статье продолжаются исследования, начатые в [1], которые основаны на использовании методов синтеза оптимального управления с помощью метода аналитического конструирования по критерию обобщенной работы в редакции с прогнозирующей моделью. Отличие заключается в том, что в описании вращательного движения КА используется форма записи уравнений, основанная на применении кватернионов вместо направляющих косинусов, и в качестве действия внешних моментов учитываются не только гравитационный и управляющий моменты, но и магнитный, аэродинамический, а также момент от светового давления.

II. Уравнения движения космического аппарата

Для записи уравнений движения космического аппарата вокруг центра масс введем правые системы координат [1-3]:

Охуг — система координат, жестко связанная с КА. Точка О — центр масс КА; оси Ох,Оу,Ог — главные центральные оси инерции КА.

ОХУZ — орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса вектора точки О относительно центра Земли, ось ОХ направлена по касательной к орбите в сторону движения КА, ось OY перпендикулярна плоскости орбиты.

OZ\Z2Zз — магнитная система координат, связанная с вектором Н напряженности магнитного поля земли в точке О. Оси магнитной системы координат относительно орбитальной определяются матрицей направляющих косинусов ^МрЦ.

OZс\Zс‘lZcз — солнечная система координат, связанная с вектором Б светового потока в точке

О. Оси солнечной системы координат относительно орбитальной определяются матрицей направляющих косинусов

Пусть система координат Охуг вращается относительно инерциального пространства с угловой скоростью ш (ш = [шх]т), а соответственно базис ОХУZ — с угловой скоростью

0 = [вх,ву,Єг ]т.

Кинематическое уравнение, определяющее положение базиса Охуг относительно базиса ОХУZ с использованием параметров Родрига-Гамильтона, в соответствии с [2, 3] будет иметь вид

2Л = Л о ш - 0 о Л, (1)

или в виде скалярных соотношений запишется так:

2А о = - [Аі(юх — @х) + А2(юу — ду) + А3(юZ — ^

2А1 = А0(юх — дх) + А2(юг + ) — А3 (юу + ду ), (2)

2А2 = А0(юу — ду ) + А3 (юх + дх ) — А1(юг + ),

2А 3 = А0(юг — ) + А1(юу + ду ) — А2 (юх + д х) ■

Динамические уравнения пространственного вращательного движения КА имеют вид

<?х юх + (Jz Jy )юу юх = M1,

^ую у + (^х Jz )юxюz = M2, (3)

Jzю z + (<^у <^х)юхюу = M3,

Зх, Jy, Jz — момент инерции КА относительно осей Ох,Оу,Ог; М1,М2,Мз — проекции суммарного момента внешних сил на оси связанной СК, действующих на КА.

Матрица направляющих косинусов [о^] для пересчета вектора заданного в орбитальной системе координат в связанную выглядит так [2]:

D0P6 = ы =

an a 12 a2i a22 азі аз2

аіз

а23

азз

А2 + - А2 - 2(А 1А 2 + А о А з) 2( А1А з - А о А 2)

2(А 1А 2 - А о А з) А2 + АО - А2 - А3 2( А 2 А з + А0А1)

2(А 1 Аз + А о А 2) 2( А 2 А 3 - А0А1) А3 + Ад - А2 - А2

(4)

Из внешних моментов, действующих на КА, помимо управляющего момента Му, будем учитывать потенциальные составляющие магнитного Мт и аэродинамических Ма моментов, гравитационный момент Мд, а также момент сил светового давления Мс. Тогда для проекций моментов можно записать:

■\1: = Мд.,, + Мт1 + Ма,1, + МС1 + Му.¿(* = 1,3). (5)

Гравитационное поле считаем центральным ньютоновским. Проекции гравитационного момента в связанной системе координат имеют вид [4]:

Мд1 ' Л)°23а'33,

Мд2 1' ^' ІЗ^'ЗЗ?

МдЗ , ( Jy Л-)а'13Я'23-

(6)

R*vv

Здесь ¡л — гравитационная постоянная Земли; R — расстояние от центра притяжения.

Угловая скорость орбитального движения определяется соотношением в = (m/R3)1/2.

В дальнейшем будем рассматривать случай движения КА по круговой орбите, что соответствует значению в = const.

Магнитный момент в проекциях на оси связанной системы координат будем вычислять по формулам [4, 5]:

Mmi = H (m2 bi3 - тзЬі2), Mm2 = H(тзbii - тіЬіз), Мтз = H (ті Ьі2 - m2bii),

(7)

где m = (mi,Ш2,тз) — дипольный момент спутника,

H = HmN/r3 — модуль вектора H,

N = ^1 + 3 sin2 и sin2 i, г — текущее расстояние от центра масс Земли до точки O, i — наклонение орбиты к плоскости экватора, и — аргумент широты, to — время прохождения КА через перигей для эллиптических орбит, bi,j — направляющие косинусы между магнитной и связанной системами координат. Для круговых орбит N =1,

и = 0. Переход от магнитной системы координат к связанной осуществляется матрицей

bii Ь і2 Ьіз

лмаг DCB Ь2і Ь22 Ь2з = О о р ра г

Ьзі Ьз2 Ьзз

аіі аі2 аіз h іі h і2 h із

= а2і а22 а2з h2i h22 h^

азі аз2 азз hзl hз2 hзз

где hj определяются соотношениями

cos u sin г

cos u cos г

Mi

N

2sinu

пз

h-2i

i2

cos г

ізі

Ni 2i Ni

h2з = 0 2 sin u sin i

«32

h-22

NNi '

Ni sin i

= N ’

2 sin u cos i

hзз =

N cos u

NNi

N1 = "/і + З sin2 II.

При учете действия сопротивления атмосферы введем следующие предположения [4]:

— атмосфера неподвижна в абсолютном пространстве;

— действие атмосферы на КА сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против вектора скорости центра масс КА относительно воздуха; коэффициент сопротивления не зависит от ориентации КА относительно набегающего потока;

— влиянием атмосферы на поступательное движение КА пренебрегаем.

Пусть Га = (Га1,Га2,Га3) — радиус-вектор

центра давления относительно центра масс КА, Ув = (Уві,,Ув2,Увз) — скорость центра масс КА относительно воздуха в орбитальной системе координат; ее проекции рассчитываются по формулам

vB1 =

т Уд’

Vb2 = 0, Увз = 0.

Тогда проекции аэродинамического момента Ma = (Mai,Ma2,Ma3) в связанной системе координат имеют вид [7]:

Mal = Q(ra3ai2 - Га2a 13),

Ma2 = Q(raiai3 - Ta3ail),

Ma3 = Q(ra2ai1 - Ta3ai2). (8)

Здесь Q = pVjScx/2 — сила сопротивления, p — плотность атмосферы, S — площадь миделева сечения КА, сх — коэффициент лобового сопротивления.

Несмотря на то, что орбиту КА считаем круговой, при вычислении плотности набегающего воздушного потока даже малую эллиптичность орбиты следует учитывать. Зависимость этой плотности можно представить следующим образом:

p=pp exp{n[1 - cos 6(t - ta)]}.

Здесь п = 1/2ln(pa/pp), pa, pp — плотность атмосферы в апогее и перигее соответственно.

Момент от давления солнечных лучей в проекциях на оси связанной системы координат будем вычислять по формулам [4]:

Мсі = Рс (Г2Є13 - Г3Є12),

Мс2 = Рс (Г3Є11 - Г1Є13),

МС3 = Рс (Т1Є12 - Г2Є11), (9)

где г = (г1,г2,гз) — радиус-вектор положения центра солнечного давления КА относительно центра масс, Рс = ~г(^)25' — модуль вектора силы от давления солнечных лучей, с — скорость света, Ео — величина потока энергии светового давления, К — расстояние от центра солнца до КА, До — радиус орбиты Земли относительно Солнца, Б — площадь проекции поверхности КА, Єі- — направляющие косинусы между солнечной и связанной системами координат. Переход от солнечной системы координат к связанной осуществляется матрицей

eii Єі2 еіз

0 С о ^ сэ Є21 Є22 Є23 = fa О о И р fa 0 с 43 О о\ и

езі Є32 езз

an a12 a13 d 11 d12 d13

= a2i a22 a23 d2i d22 d23 .

азі a32 a33 d3i d32 d33

где dij при угле в между плоскостью орбиты и вектором S определяются соотношениями

cos в sin в 0

— sin в cos в 0

0 0 1

Проекции управляющего момента Myi в общем

виде могут создаваться как с помощью двигателей, создаваемое угловое ускорение которых или регулируется в некотором диапазоне, или является постоянным, так и другими исполнительными органами [2]. Назначение конструируемых управлений Myi заключается в оптимальном, в определенном смысле, гашении заданных угловых скоростей <¿x,Wy,wz и ориентации КА по орбитальным осям, то есть приведение его в положение, при котором имеет место: Ао = 1, Ai = Л2 = A3 = 0,

^X - ^z - 0,^y - в.

Для определения управляющих моментов Myi воспользуемся принципом минимума обобщенной работы [6] и соответствующим ему алгоритмом с прогнозирующей моделью [1].

III. Прогнозирование вращательного движения КА

Векторные дифференциальные уравнения процесса управления ориентацией КА запишем так:

• ---- гМ 'Т* 'Т* I 'Т* ---- Г

' — \ ^-/} ^-/ y J } ^-/ y —

x = [ Aq, Ai, A2, A3 ]T,

(10)

F = 0,5

( A1(ux Qx) A2(uy Qy) A3(uz Qz))

( A Q(ux — Qx) + A2(uz + Qz ) — A3 (uy + Qy ))

( A Q(uy — Qy ) + A3(ux + Qx) — A1 (uz + Qz ))

( A Q(uz — Qz ) + A1(uy + Qy ) — A 2 (ux + Qx ))

ху = [<лх,шу]т, и — вектор управлений.

Согласно общему алгоритму с прогнозирующей моделью [5], при прогнозировании и = 0 и, следовательно,

const.

а уравнения (10) имеют вид ХП = F (хп,хП),

0.

(11)

(12)

где индекс «П» означает прогнозируемые значения компонент векторов состояния и управления КА.

В соответствии с условием (11) уравнения (10) представляют собой автономные линейные, а значит, имеют явное аналитическое решение. Аналитическое решение первого уравнения при условии (11) и вх = ву = 0z = const запишем в форме:

Aq (t)

Ai (t) A 2(t)

A3(t)

ut Qt 1 ut 0i

= (cos — cos------1---— sin — sin —Atí+

v 0 2 ш0 0 0

1 ut Qt 1 ut Qt

H— sm — cos —A H-----------------cos — sin —tí)

lü 2 2 0 2 2

Aq(0)

Ai(0)

A2(0)

Аз(0)

(13)

где

ш = sJujUO) +^2(0) +^2(0), Є =^02(0) + 02(0) +02(0)

0 ux uy uz

ux 0 uz uy

uy uz 0 ux

uz uy ux 0

0 Qx Qy Qz

—Qx 0 Qz Qy

y 1 Qz 0 Qx

z 1 Qy Qx 0

A =

B

В соответствии с тем, что ХП = 0, уравнения (3) для прогнозирующей модели превращаются в аналитические соотношения, которые определяют значения внешних моментов Мх, Му, Мг для обеспечения условия (11). Эти соотношения запишутся так:

Mn(t)

Mn(t)

(Jz Jy )uy (0)uz (0).

(Jx Jz )ux(0)uz (0).

(14)

= (Jy — Jx)uy (0)uz (0).

Формулы (13) — (14), (11) полностью решают задачу точного аналитического прогнозирования вращательного движения КА.

u

u

u

x

y

z

П

y

IV. Выбор минимизируемого функционала

Возможны два варианта построения орбитальной ориентации КА. В первом случае предъявляется требование выполнения маневра в заданный момент времени с заданным вектором состояния и с учетом затрат по расходу топлива. Во втором — требование к времени не предъявляется. При этом в соответствии с принципом минимума обобщенной работы, который положен в основу синтеза оптимального управления, задача ставится как задача минимизации функционала, «штрафующего» за ошибки ориентации, а не как задача точного выполнения граничного условия на правом конце [6]. Рассматривается задача построения орбитальной ориентации КА из любого текущего положения связанной системы координат КА относительно орбитальной в окрестность совмещения связанной системы координат с орбитальной. Если выполнение маневра построения орбитальной системы координат требуется осуществить за заданное время, тогда за выход в эту окрестность отвечает прежде всего терминальная часть функционала V к [6], которую зададим в виде положительно определенной квадратичной формы разностей фактических и заданных значений параметров углового положения и относительных угловых скоростей. В этом случае функция Уз к имеет вид

Узк = 0,5

г 3 L^=0

¡(^(¿к) - АМз)2 +

(ік) — шХз)2 + аК(шп (ік) — '

;уз) +

+ ак(^П (ік) —

^гз)

2

где а2 к = 0,6) — весовые коэффициенты.

Если требование по времени построения орбитальной ориентации не предъявляется или в случае поддержания орбитальной ориентации решается задача нетерминального управления [6] со скользящим интервалом оптимизации Т, и функционал должен отражать качество переходных процессов построения ориентации и расход топлива, то эти требования можно задать с использованием интегральных функций Qкaч, Qр [6]. Данные функции будут иметь вид

«ач = 0,5

3

/_^в'к(^П (1к)—^^з)2+вА(иП(1к)—ихз)2 + L^=0

+в^(шУП(ік) — ^уз)2 + в6 (шП(ік) — ^гз)2

Qp

Му 1 + Му 2 + Myi

Jx Jy Jz

Qp

Ml M2 + M3

+

Jx Jy Jz

Поскольку для прогнозируемого движения iux = ujy = iuz = 0, 6x = ву = 0z = const, то на основании выражений (14) с учетом аналитических соотношений (6) -(9) можно записать алгебраические выражения, которые определяют проекции моментов Myi через параметры вектора состояния и управления КА:

Mlyt) = (Jz-Jy )Шу (0)^z (0)-Mg1—Mm1-Ma1—Mc1, M2y t) = (Jx-Jz )^x(0)^z (0)-Mg2—Mm2—Ma2—Mc2,

M(y t) = (Jy -Jx)Ux(0)Uy (0)-Mg3-Mm3-Ma3-Mc3-Таким образом, главная часть функционала обобщенной работы, учитывающая указанные факторы и показатели, может быть назначена в виде

Ir = УЗк(хп (tk),xn (tk ),tk) +

Qp(^n ,^Zn)dt+

tk+T

Кач(хП (t) ,хП(т) ,t) + ,^n)]dT

tk

t+T

Ir

[Q кач (хП(т),хП (t),t) + QP(un^n,un)}dT-

Компонентами вектора управления в данной задаче, согласно предыдущему, являются производные угловых скоростей. Принцип минимума обобщенной работы допускает использование в функционале различных норм вектора управления. В данной задаче можно использовать наиболее простую норму — квадратичную. Тогда полный функционал обобщенной работы запишется в виде

I

I = 1Г + 0,5 [ит(т)К-1и(т) + и^пК-1иоп(т)]Л.

о

(15)

Здесь К — диагональная матрица положительных коэффициентов, иоп — неизвестный до решения задачи оптимизации вектор управления в оптимальной системе.

Итак, рассматриваемая задача оптимизации переориентации КА заключается в том, чтобы указать управления, доставляющие минимум функционалу (15), на решение систем (8) или (10).

V. Решение задачи оптимизации ориентации КА

В виду наличия аналитических решений (13) уравнений (12) свободного движения и в соответствии с выражением (11), решение задачи оптимизации естественно записать в виде аналитической формы алгоритма с прогнозирующей моделью [6].

д т

и — «он — — /| .

дх

0

или

Т

или

Здесь ^{...} — транспонированная матрица Якоби (матрица — столбец). С учетом вторых уравнений систем (8), (10) будем иметь

дт

Ху + К —/г = 0.

(16)

Решение интегродифференциального уравнения

(16) в реальном времени, синхронно с поступлением параметров векторов х(0), ху (0) от бортовой аппаратуры, означает формирование оптимального, в смысле минимума, функционала обобщенной работы (15) управлений.

Уравнения (16) в скалярной форме зависят от вида функций функционала 1г. Для случая построения орбитальной ориентации за заданное время с минимизацией внешнего момента оно в скалярной форме запишется так:

~Амз]+

и=0 х( и)

+a'^(ujn(ti) - Шхз) -

[Ф1 (т ),z (т) + Ф2 (т ),y (r)]dA - 0.

-у-г-2^

^у + щ\

м=0 d,y(^

[\ (tK ) - Амз] +

+а5(шП(^) - ,уз)

[Фз(т ),z (т) + Ф2 (т )Шх(т)№ \ - 0

(17)

Со z+< ^2

3 ;С>ЛП(#К) п

U=0

' doz(t^

[Фз(т ),у (т) + Ф1 (т )<Мх(т)^т \ - 0

где

°x,y,z -- °x,y,z (tи). oo — °{^и). T ----- tK tи,

PK -

¡j,x,y,z

1 1 ( 0,5,0 y zT\°,\

sin(-^T)cos(-0T) A*^ - ’ +

+a’K(°Z}(tK) - ,z3) ‘

где Ф1 - signM^Jx -Jz )/Jy, Ф2 - sign M3}(Jy-Jx)/Jz Ф3 - sign M^Jz - Jy )/Jx, U ^и e [0,tk ]) — момент времени поступления измерений компонент векторов состояния и управления КА от бортовой аппаратуры. Не представляет большого труда привести выражения для уравнений (17) при других видах функционала /г.

Решения уравнений (17) имеют вид

°x (t ,x(t и)

°y () - °У^и)

£ t) °z (tи )

- ty^/au[^n (tK) - Лиз}х

и=о

kKPK k1 Pxu 1 k p ,n(tK) °x3]

X kK PK k0 Pyu -t k2K aK )K )K t (t П (y П (z JL - °уз]

kKPK k3 Pzu . k3KaK - ,z3]

-t(tk - tи)

^[Ф, (t

^2К[ФзOz (t

kK[<$3°y(t

Ф2 Oy (U )] Ф2Ox(tи)] Ф1 Ox(t^]

(18)

4 ,1s 0,5,0 y zTA*u

+ cos( -UJ0T) cos( -6>T)~—^

+

4 4 s 0,5,0 y zTA

+ cos(-LV0T) sin(- вт)----------------

2 2 , n

*d

-+

-sin(-w0T) sin(-6УГ)А*^у^ + B^x,y,z\ = AM (tn), fj, = 0,3,

A* -Ao -

A* -A2 A*

-°x^1- °Ул0- °0Л0,

о0л0 + о0л2 - о0л0,

= о0л0 - о0л1 + о0л3,

0 0 0 0 0 0 -,z л0 + шу л1 - Oxл2,

A* -ox

0 / , .3

A

A*

(-л0 о2 - А,)/^/

1x -(л0о2 - A*o0 )/ol, (л0°2 - A*°0 )/о0,

A3x- (-л0,0- A*°x)/о‘0,

A

oy

A

1y

л0°0 - A3°x)/,0,

(-л0о0 - A*^)/^, (л0, - A* о0)/о3,

А0у - (ло°о - А0,у)/,0,

A3y - (-л1о0 - Aз,y)/,3,

(-л°о0 - А0о0)/и3,

13y A*

Aoz

A*

A1z A*

A0z A* -A3z -

A*0d -

- (л0 ,0 - А1 о0)/и - (-л°о0 - А0о0)/'

A1d

d

= (л°°0 - А3°0)/°3, о0л0 - о0л1 + о0 л3, — oулo - °0л1 + OXЛ0,

A0d - о0л1 + о0л0 + о0л0, о0л0 + о0л0 - о0л0,

A3d

A*d

ox

-(л

■3 о0

A

*d м0 0 Ox

)/о

A*d

A1 x

A*d

A

(л0 о0 - A1d о0 )/о3

-(л

0,0 1 о0

A

d0

)/,

/i*d /\0 0 A*d 0\/

А3ж - (л0°0 - А3 )/1

3x

A*d

oy

A*d -

A1y -

A*d

A0y

A*d -A3y -

\*d

oz

(л0,0 - A0d,0)/,3,

( л0,0 A*d,0) /,

(-л1о0 - A1 Oy

(л0,0 - A0d,0)/,3,

( \ 0 0 л*а 0\/

(-лз°0 - A3 ,y)/,t

Aod - (-л0,0 - A0d ,0)/

A1d -(-л0,0 - A1d,0)/,

o

o

o

1

x

y

z

0

0

3

0

3

0

3

0

3

0

x

3

0

3

0

0

^ = (А0,2 - A*2du0z)/^

Ad = (А0,2 - азС)/сЗ,

Bz = —0,5Tsin(0,5cT) sin(0,50T)с^! y z/czA2,

B1 = 0,5Tsin(0,5cT) sin(0,50T)с^! y z/czA3,

B2 = 0,5Tsin(0,5cT) sin(0,50T)с^! y z/czAz,

B3 = -0,5Tsin(0,5cT) sin(0,50T)с^! y z/czA1.

Запишем уравнения системы (3) в виде, разрешенном относительно управляющих моментов:

Mly (t) =

= Jxù x + (Jz — Jy )ùycz — Mg1 — Mm1 — Ma1 — Mc1, M2y (t) =

= Jy С y + (Jx — Jz )ùxùz — Mg2 — Mm2 — Ma2 — Mc2, Msy (t) =

= JzС z + (Jy — Jx)ùxùy — Mg3 — Mm3 — Ma3 — Mc3-

(19)

Подставим в выражения (19) значения Сx, Сy, Сz, cx, cy, cz, определяемые согласно (17), (18). В результате уравнения (19) дают решение обратной задачи динамики вращения жесткого КА, в котором угловая скорость дается компонентами вектора xy, полученными в реальном времени в результате решения задачи текущей оптимизации вращательного движения КА. Последнее имеет принципиальное значение. Дело в том, что недостатком управлений, получаемых на основе обычного метода решения обратной задачи динамики, является высокая чувствительность к ошибке модели. Это делает невозможным применение этого метода для синтеза управлений. В данном случае этот недостаток теряет силу, так как, согласно (17), (18), величины cx, cy, cz связаны с оценкой вектора состояния КА. Следовательно, получаем проекции управляющих моментов Myx, Myy, Myz как управляющие воздействия в системе с обратными связями, а системы с управлением по принципу обратной связи являются малочувствительными к ошибкам модели.

Проекции моментов Myx, Myy, Myz представляют собой непрерывные сигналы, а значит, они могут быть реализованы с помощью различных управляющих органов, в том числе и двигателями с регулируемым ускорением. В случае двигателей с постоянным ускорением необходимо входные непрерывные сигналы Myx, Myy, Myz преобразовать в дискретные, то есть надо сформировать последовательность импульсов, зависящую от входных сигналов. В каждом канале управления дискретный импульс должен иметь постоянную амплитуду, равную величине постоянного углового ускорения, создаваемого двигательной установкой, и длительность импульса Tu, зависящую от входного сигнала. Эту длительность определим из выражения

aiT = a’^TH.

Здесь Т — заданный период повторения импуль-

Д

сов; аI — постоянное значение ускорения, создаваемого двигателем в г-м канале управления; а — значение ускорения «условного» двигателя (двигателя, создающего изменяемое угловое ускорение) в г -м канале управления, равного в момент начала действия импульса:

Мх , у , г

О* = -т---

^х,у,г

Таким образом, управление орбитальной ориентацией КА сводится к последовательному выполнению следующих операций. По результату измерения векторов состояния и управления КА с использованием выражений (11) прогнозируется положение КА на момент Ьк окончания режима ориентации. По результатам прогноза и измерений в соответствии с (17), (18) или других, не приведенных в рамках данной работы соотношений, и на основании выражений (19) определяются необходимые управляющие моменты, реализуемые двигательной установкой. Данный цикл вычислений повторяется, как только поступят новые значения параметров вектора состояния и управления КА от бортовой измерительной аппаратуры.

VI. Заключение

В работе получено аналитическое решение задачи управления орбитальной ориентацией КА. За полноту этого общего решения алгоритм с прогнозирующей моделью расплачивается условиями, накладываемыми на динамические свойства КА и на структуру критерия, отражающего предъявляемые к управлению требования.

Укажем эти условия:

1. Уравнения движения КА (7) — (10) линейны относительно управляющих воздействий.

2. Область возможных значений управляющих воздействий незамкнута.

3. Минимизируемый функционал (15) является квадратичным относительно вектора управления.

Перечисленные условия практически не влияют на процесс управления КА. В большинстве случаев эти условия приводят к несильным ограничениям в практических задачах. Так, удовлетворение условия 2 при ограниченных управляющих воздействиях в реальной системе может быть обеспечено соответствующим выбором К в (15).

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации в рамках контракта с Минобрнауки России № 13. G25.31.0028.

Литература

1. Зубов Н.Е. Алгоритмическое обеспечение автоматического режима орбитальной ориентации космического аппарата // Изв. АН СССР. Тех. Кибернетика. — 1990. — № 2. — С. 193.

2. Теоретические основы проектирования ин-формационно-управляющих систем космических аппаратов / под ред. Микрина Е.А. — М.: Наука, 2006.

3. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. — М.: Наука, 1973.

4. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965.

5. Сарычев В.А. Овчинников М.Ю. Движение спутника с постоянным магнитом относительно центра масс // Космические исследования. — 1986. — Т. 24, № 4. — С. 527.

6. Справочник по теории автоматического управления / под ред. Красовского А.А. — М.: Наука, 1987.

7. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Влияние сопротивления атмосферы на одноосную гравитационную ориентацию искусственного спутника // Космические исследования. — 1982. — Т. 20, № 5. — С. 659.

Поступила в редакцию 26.09.2010.