CC BY
4УДК 621.4
Оптимальное управление нагревом диффузионной установки
А.В. Щагин, Йе Тун Тэйн
Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Для процессов эпитаксии и диффузии необходима стабильность параметров технологического процесса, так как от этого зависит повторяемость характеристик изделий [1—3]. Для повышения производительности установки необходимо сокращать время нагрева и охлаждения насколько это позволяют возможности оборудования.
С этой целью процесс нагрева можно разбить на два этапа. На первом этапе температуру реактора и нагревателя выводят на значение, соответствующее началу диффузии. На втором этапе за минимальное время переводят температуру на рабочее значение для технологического процесса и поддерживают ее с высокой точностью. Процесс вывода температуры на рабочее значение при этом должен быть совершен за минимальное время, так как интервал переходного процесса есть время нестабильности процесса диффузии. Управляющим воздействием является тепловой поток, представляющий собой разность потоков: приходящего от нагревателя и уходящего в окружающую среду.
При рассмотрении динамики системы на втором этапе разность между начальной и конечной температурой относительно невелика. Поэтому при анализе динамики системы на втором этапе можно принять уходящий тепловой поток постоянным. Однако это допущение не подходит для анализа системы на первом этапе, где температура изменяется от комнатной до 1000 °С. В этом случае задача оптимального управления относится к случаю, когда ограничение на управление зависит от состояния системы.
© А.В. Щагин, Йе Тун Тэйн, 2013
Задача оптимального управления на втором этапе рассмотрена в [4]. В настоящей работе решается задача оптимального управления на первом этапе - этапе вывода температуры на стартовое значение диффузии. Задача может быть решена исходя из следующих положений. 1. Движение системы может быть описано уравнениями в форме Коши [5-6]:
d9, 1 Л К
—1 =--9, +—и,
dt Т1 1 Т1
— = — 9]--9—,
dt Т— 1 Т— 2
(1)
где 91 - отклонение температуры нагревателя от заданного значения; 9 — - отклонение температуры реактора от заданного значения; и - управляющий тепловой поток; Т[, Т— - постоянные времени нагревателя и реактора соответственно; К - коэффициент передачи.
2. Заданным значением температуры является начальная температура второго этапа нагрева, т.е. температура начала диффузии.
Тепловой поток и равен разности
и = щ — и—, (2)
где и1 - тепловой поток от нагревателя,
0<щ <иш; (3)
и10 - предельный тепловой поток от нагревателя; и— - уходящий тепловой поток.
3. Уходящий тепловой поток зависит от температуры и его изменение описывается формулой
и— = и—о + I (91), (4)
где и—0 - уходящий тепловой поток при значении температуры, соответствующей окончанию
первого этапа; /- монотонно возрастающая функция —— > 0, I(0) = 0. Таким образом
d91
— и—0 — I(91) < и < ию — и—0 — I(91) . (5)
4. Требуется определить оптимальное управление, переводящее систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние (в данном случае в 0) за минимальное время.
Задача решается с помощью метода, известного как принцип максимума Понтрягина [7]: сначала определяют свойства управляющих воздействий, а затем из управляющих воздействий выбранного класса выбирают такое, которое приводит систему в начало координат.
Путем математических преобразований легко показать, что оптимальное по быстродействию управление принимает только крайние значения из допустимой области (5) и изменяет свое значение не более одного раза. Оптимальное управление найдем для частного случая
I (91) = ¿91, (6)
где Ь - коэффициент теплоотдачи.
Оптимальное по быстродействию управление системой (1-6) имеет вид
[- и—0 — ¿91 при £ < ^ и =\ (7)
[и10 — и—0 — Ь91 при £ > 0,
где S — 02--
2 г;-t
п
K'(u0 -Ansgn0;)i9; -K'(Uo -Ausgn9;) 1T -K'(u0 -Ansgn9;) + ^9;
- K'(u0 - An sgn 0;)
T2
i(\ — —10— , Au — —10, —1— — T ,-
0 2 20 2 1 + Kb 1 1 + Kb
В формуле (7) отличие управления при S < 0 от управления при S > 0 заключается в наличии или отсутствии u10 , т.е. потока от нагревателя. Поэтому закон управления сводится к тому, что нагреватель полностью включен при S < 0 и отключен при S > 0, или
Ju10 при S < 0
u, — [ (8)
1 [0 при S > 0.
Таким образом, оптимальное управление на первом этапе сводится к управлению нагревателем, который может иметь два состояния: полностью включен или полностью выключен согласно (8).
Литература
1. Yelverton M., Stoddard K., Cusson B., Timmons T. Improving diffusion furnace capability using modelbased temperature control in a production environment // IEEE International Symposium on Semiconductor Manufacturing Conf. Proc. (6-8 Oct. 1997). - 1997. - Р. D5, D8.
2. Grassi E., Tsakalis K. PID controller tuning by frequency loop-shaping: application to diffusion furnace temperature control // IEEE Transactions on Control Systems Technology (Sep. 2000). - 2000. - Vol. 8, N. 5. -P. 842-847.
3. Ng J., Aksikas I., Dubljevic S. Application of optimal boundary control to reaction-diffusion system with time-varying spatial domain // American Control Conference (June 29 - July 1 2011). - 2011. -Р. 2528-2533.
4. Йе Тун Тэйн. Оптимальное управление температурой диффузионной установки // Наука, образование, общество: проблемы и перспективы развития: сб. науч. тр. по материалам Междунар. науч.-практической конф. (29 марта 2013 г.). - Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2013. - Ч. 1. - С. 68-72.
5. Автоматизация технологического оборудования микроэлектроники: учеб. пособие для вузов по приборстр. спец. / А.А. Сазонов, Р.В. Корнилов, Н.П. Кохан и др. // Под ред. А.А. Сазонова. - М.: Высш. шк., 1991. - 334 с.
6. Пузырев В.А. Управление технологическими процессами производства микроэлектронных приборов. - М.: Радио и связь, 1984. -160 с.
7. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 336 с.
Поступило 30 апреля 2013 г.
Щагин Анатолий Васильевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой систем автоматического управления и контроля МИЭТ. Область научных интересов: системы автоматического управления.
Йе Тун Тэйн - аспирант кафедры систем автоматического управления и контроля МИЭТ. Область научных интересов: системы автоматического управления. E-mail: yettttt@gmail.ru
