Оптимальное управление конечным температурным состоянием однородного стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК517.977.56

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОНЕЧНЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫМ СОСТОЯНИЕМ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ

ГИБКИНА Н.В., ПОДУСОВ Д.Ю., СИДОРОВ М.В.

Рассматривается задача оптимального управления нагревом однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. Под оптимальным управлением в данной задаче понимается задание такого краевого режима на концах стержня, который в конечный момент времени обеспечит распределение температуры в стержне, наиболее близкое (в смысле некоторой метрики) к желаемому распределению температур.

Введение

Актуальность исследования. Задачи оптимального управления процессами теплопроводности возникают во многих областях науки, техники и промышленного производства. В частности, такие задачи связаны с нагревом металла под прокатку или термообработку, сушкой и обжигом сыпучих материалов во вращающихся печах, обработкой металлических стержней для турбин энергетических электростанций и силовых промышленных установок, агломерацией, дистилляцией, получением монокристаллов, индукционным нагревом и многими другими производственными процессами [1].

Развитие и усложнение структуры производства приводит к тому, что проблемам моделирования режимов автоматизации технологических процессов посвящается значительное количество исследований. В ходе технического производства необходимо стремиться минимизировать затраты сырья, временных и человеческих ресурсов, одновременно с этим повышая качество производимой продукции в смысле близости ее показателей к установленным стандартам, а также полностью использовать все возможности оборудования в целях повышения производительности. Вследствие влияния различных факторов снижается качество выпускаемой продукции и увеличивается количество производственного брака, что приводит к необходимости разработки таких методов управления, которые бы обеспечивали наилучшее в некотором смысле протекание исследуемых процессов.

Формально речь идет о сложных системах, состояние которых характеризуется одним или несколькими параметрами, распределенными в пространстве и времени. В силу высокой сложности технологических

производственных процессов и особенностей физических процессов распространения тепла, возникающих в ходе производства, для математического моделирования используются краевые задачи математической физики, а управление определяется функционалом специального вида, структура которого зависит от целей управления. В ряде случаев управляемую систему можно считать одномерной.

Теория оптимального управления позволяет подбирать параметры, которые обеспечат оптимальное в некотором смысле функционирование исследуемого процесса.

Таким образом, разработка новых и усовершенствование существующих методов оптимального управления процессами теплопроводности является актуальной научной проблемой.

Для решения задач оптимального управления процессом распространения тепла в стержне используются сеточные методы в сочетании с методами оптимизации (методы проекции градиента и условного градиента) [3, 4, 8], методы, основанные на разложении в ряды Фурье [1, 2, 6], и другие [1].

Как известно, процессы теплопроводности описываются параболическими уравнениями [9, 10]. Кроме того, параболическими уравнениями описываются нестационарные процессы диффузии, фильтрации и др. Теоретическое исследование, а также различные постановки задач оптимального управления, описываемых параболическими уравнениями, проведено в

[5, 11].

Каждый из перечисленных методов обладает рядом достоинств и недостатков. К основным недостаткам сеточных методов, например, следует отнести то, что решение задачи получается в виде массива чисел, дающих значение температуры только в отдельных точках расчетной области. Поэтому более эффективным представляется использование методов, основанных на представлении решения в виде непрерывной функции - линейной комбинации некоторых базисных функций.

Цели и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка математических методов оптимального управления конечным температурным состоянием однородного стержня за счет управления температурным режимом на его концах.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- сформулировать соответствующую целям работы задачу оптимального управления процессом теплопроводности в однородном стержне;

- используя метод Фурье, получить решение задачи теплопроводности в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью (без внутренних источников тепла) при заданных краевых и начальном условиях;

РИ, 2014, № 2

9

- рассмотреть различные способы задания управляющих воздействий (в виде отрезка ряда Фурье и в виде кубического сплайна);

- провести вычислительные эксперименты для разных параметров процесса оптимального управления конечным температурным состоянием однородного стержня.

1. Постановка задачи

Имеется однородный стержень 0 < x < L с теплоизолированной боковой поверхностью (внутренние источники тепла отсутствуют) и с заданным температурным режимом на его концах. Через u = u(x,t) обозначим температуру стержня в точке x в момент времени t. Пусть u| = ф(х), 0 < x < L - распределение температуры в стержне в начальный момент времени t=0. Требуется, управляя температурным режимом на концах стержня, к заданному моменту времени T > 0 распределение температуры в стержне сделать как можно более близким к заданному распределению

температур y(x), 0 < x < L .

Формальная постановка задачи оптимального управления конечным температурным состоянием стержня имеет вид: минимизировать функционал

J(p) = llU(x>T; Р) - y(x)llL2(0,L) =

L

= J (u(x,T; р) - y(x))2 dx (1)

0

при условии, что u = u(x,t) = u(x,t;p) является решением начально-краевой задачи:

du = 2 д 2u ¥=a

0 < x < L, t > 0,

(2)

ult=0 =9(x), 0 < x < L, (3)

du n

a -dx+ p1u

= P1 (t), t > 0.

x=0

(4)

a 2

du

dx

+ p2u

= P2 (t), t > 0,

x=L

(5)

2

где a , L, a1, a2, P1, P2 - заданные положительные константы, ф^) - заданная функция из L2(0,L).

В уравнении (2) а2

k

коэффициент температу-

рс

ропроводности материала стержня; р - плотность материала; с - удельная массовая теплоемкость; k -коэффициент теплопроводности стержня.

Предполагается, что р = (р1 (t), P 2 (t)) - управление, принадлежащее множеству

М = {р = (Pi (t),P2(t)) Є L2 (0,T) X L2 (0,T), p;2” < P1 (t) < Pmax, рГ < P2 (t) < Pmax (6)

почти всюду на [0,T]} , где p^” < pj”ax, P2” < P2™.

Возможны также и другие ограничения, накладываемые на управление р [1, 11].

Исследование разрешимости задачи (1)-(6) проводится аналогично схеме, приведенной в [4].

2. Построение оптимального управления

Сначала получим решение задачи (2)-(5) методом Фурье. Сделаем замену

u(x,t) = w(x,t) + v(x,t), (7)

где v(x,t) - новая неизвестная функция, а

w(x,t) =

(x - L)

2a2L + p2L2' "' 2a1L + piL‘

-P 2 (t) + -

2 Pi(t). (8)

Функция w(x, t) выбрана так, чтобы удовлетворять неоднородным краевым условиям (4)-(5).

Тогда для функции v(x, t) получим начально-краевую задачу с однородными краевыми условиями:

dv 2 d2v _.

г— = a—T + f(x,t), 0 < x < L, t > 0.

dt dx

vt=0 = ¥(x), 0 < x < L ,

-ai fv+eiv

= 0, t>0;

(9)

(10)

(11)

x=0

a2 + e2v

= 0, t>0,

x=L

(12)

где

f(x,t) = a2

(

2

V2a 2L + P 2L

x2

2 P 2 (t) +

(x - L)

2a1L + P1L

2 P1(t)

2a 2L + p 2L‘

P2(t) -

2a1L + P1L‘

-Pi(t), (13)

2

2

x2 (x - T )2

¥<x)=ф(x) - 2222-P 2(0) - lady P'<0).(14)

Собственные значения задачи (9)-(12) есть [7]

^ =

n = 1, 2,..., где Zn — n -й положительный

корень трансцендентного уравнения

ctgC =

a1a2Z PjP2L (a1e2L + a2e1L)Z

(15)

2

n

10

РИ, 2014, № 2

а соответствующие им собственные функции Ф n (x) имеют вид [7]:

где 0n = arctg

Фn (x) = sin(x + 0n )

aiV ^ n

Pi '

где {Qk}, {Rj} - системы базисных функций в L2(0,T) .

В этом случае

2 m2

V(x) = 9(x) -

Z WO) -

2a2L+PjL2 % j j

Кроме того,

(x - L)2 m

Z qkQk(0),

ІІф II2 = L Л + (aia2Zn + PlP2L )(alP2L + a2PlL) 'I

" nt2(0-L)_2 1 (a2zn +Pi2L2)(a2Zn + P2l2) J '

Тогда решение задачи (9)-(12) будем искать в виде ряда:

f(x,t) =

(

= а2

2aiL + P1L k=1

п, m2 г* mj

-ZrjRj(t) + T Qt2 Z9kQk(t)

2a2L + P2L j=1

V“~ 2^^H2

2 m

2aiL+PiL k=1

x

v(x,t) = Z Тп(ОФ n(x).

n=1

(16)

2a2L + P2L2 j

Z rj--(x^ ZqkQk(t).

2aiL + PiL k=1

Подставив ряд (16) в уравнение (9) и начальное условие (10), получим, что функции Tn(t), n = 1, 2,..., являются решением задач Коши

Tn (t) + ^ na2Tn(t) = fn(t),

Тогда

Tn(0) = .n ,

где

... = ( Фп )L2(0,L) ^ ||_ ||2

^nIL2(0,L)

f,Фn )L2(0,L)

(17)

fn(t) = „2

ф

nllL2(0,L)

( L

Vn = X-jo

Ф

nllL2(0,L)

(22)

j ф©Фп(^-

V 0

-Zqk , (?k(0)T2 j6-L)2Фп(S)d^

k=1 2aiL + piL2J

0

( m

п = 1, 2,...,

(18) fn(t) = -

1

2a

Z rjRj(t|^TT-+rL21 ф"®^‘

2 L

NlL^n vj=^ 2a2L+^

и имеют вид:

Tn(t) = Vne"V ‘ + jfn (T)e"Xna (t_T)dx, п = 1, 2,... (19)

0

С учетом (8), (16) и (19) решение задачи (2)-(5) имеет вид:

u(x,t) = ZVne ^фn (x)

+

-Zjfn(T) e"Xna2(t_T)dx• фn(x)

+

n=1 0

x2

(20)

2 L

mi 2a

+ Z qkQk(t)------- 2 n

k=1 k k 2aiL + PiL^ n

j Фп (£)d£ -

Ф 2 (t) + -

(x - L)2

2a2L + P2L2‘^'' 2a1L + P1L/

-^i(t)

Аппроксимацию функций p.1(t), p.2(t) будем искать в виде

m2 1 L

Z^'^iOLxe#4®^- (23)

mi 1 L

ZqkQk(t) ftT2 j6-L)2Фп(^

k=1 2aiL + P1L2 0

n = 1, 2,...

Подставив (21)-(23) в (20) и вычислив полученную функцию при t = T , получим

mi m2

u(x, T) = Z qkAk(x) + Z rjBj (x) + C(x), (24)

k=1

j=1

где

w(t) = Z qkQk(t), ц2(t) = Z rjRj(t), (2i)

j=i

k=1

Ak(x) = Z, ^2(x> x

n=i| ф n

|2

Il2(0, L)

1

n=1

+

РИ, 2014, № 2

11

1

2ajL + P1L2

- Qk(°)j (5- L)2 Ф n(5)d5- e-x-

X,a2T

L T

-2a2JФп(^|Qk(x)e"Xna (T-X)dx- (25)

- J (5- L)2 Фп (5)d5j Qk (x)e"Xna (T-T)dT

X

+

L _____

§(2) = J®2 (x)dx , j = 1,Ш2,

0

L

°k1) = J Ak (x)(C(x) - y(x))dx, k = 1,mj,

0

L _____

°(2) = J Bj (x)(C(x) - y(x))dx , j = 1,m2,

0

+ (x -L)2Qk(T), k = 1,m1.

Ф n (x)

||2

llL2(0,L)

Bj(x)= £

nФ nil

2a2L + P2L2

- Rj(0)J 52Ф n(5)d5- e-X n

-Xna2T

L T

,2f^ /йч-ійГт. ._4e-Xna2(T-t)

-2a2 J Фп(5^ Rj(T)e-

dT-

(26)

- J52фn(5)d5JR-(T)e-Xna2(T-T)dT

1

+

L

n = J (C(x) - y(x))2dx .

0

Задачу оптимизации (28) нужно дополнить ограничениями на управление (6) или другими [1, 11].

3. Вычислительный эксперимент

Для проведения вычислительных экспериментов в задаче (1)-(6) при разных значениях m были выбраны следующие значения параметров: L = 1, a = 1, T = 1. Начальное значение температуры в стержне ф^) = 0. Функция pj(t) считается заданной, поэтому управление р заключается в определении функции p2(t).

Управление p2(t) будем искать в виде отрезка ряда Фурье:

+ x2Rj(T), j = 1,m2,

C(x)=£ІІЛ

n=1 IФ

Фп (x)

-Jф(5)Фп№ e‘

-X,a2T

nllL2(0,L)

. (27)

Таким образом, задача оптимального управления конечным температурным режимом нагревания однородного стержня (1)-(6) сводится к задаче оптимизации:

L ( г

J(p) = J £qkAk(x) + £r]BJ(x) + C(x) - y(x)

0 v k=1

j=1

dx =

2

^ . nkt ^ nkt

P2 (t) = V 20 + £ P2k sin~ + £ V2k C0S~ ,

k=1 T k=1 T

или кубического сплайна:

t

m+1

P2(t) = £ rkB3 I --k

k=-1 v T

где

B

,(z) = 4 [(z + 2)+ - 4(z +1)++ 6(z)

- 4(z -1)++ (z - 2)3+

(29)

(30)

= £ qi2§k1)+£ f j + 2££qkrjTkj + (28)

k=1

j=1

k=1 j=1

m m

(f(z))+ =

f(z), f(z) > 0, 0, f(z) < 0,

T

T =—. m

mj m2

+ 2£ qkok1) + 2£ rjO(2)

k=1 j=1

+ П ^ min ,

qk, k=l,m1, rj, J=1,m2

На управление P2(t) накладываются следующие ограничения:

P2 (0) = 0,

L _____ ________

где Ykj = J Ak(x)Bj (x)dx, k = 1,m1, j = 1,m2,

0

L _____

§k1) = J Aj^(x)dx, k = 1,m1,

0

0 <p2(t) < 10, tє (0,T].

Случай 1. Пусть левый конец стержня поддерживается при температуре окружающей среды, равной 0, а управление заключается в задании при t є (0,T] температурного режима на правом конце стержня. Этот случай соответствует следующим значениям пара-

12

РИ, 2014, № 2

метров в краевых условиях (4)-(5): a1 = 0, Р1 = 1, a2 = 0 , Р2 = 1. Функция р,1 (t) известна: ц1 (t) = 0 .

В этом случае собственные значения Xn

nn

L

2

n = 1,2,..., а собственные функции Фп(х) = sin n = 1,2,....

На рис. 1 приведен график функции p,2(t) оптимального управления нагревом правого конца стержня вида (29) для m = 5, а на рис. 2 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени T = 1. При этом

||u(x,T) - y(x)||L2(0,L) = 0,18-10-4.

m2(t)

|u(x,T)-y(x)|

На рис. 3 приведен график функции p,2(t) оптимального управления нагревом правого конца стержня вида (30) для m = 10 , а на рис. 4 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени T =1 . При этом

|u(x,T)-y(x)\

x

Рис. 4.

Случай 2. Пусть левый конец стержня теплоизолирован, а управление заключается в задании при t є (0, T] теплового потока на правом конце. Этот случай соответствует следующим значениям параметров в краевых условиях (4)-(5): a1 = 1, Р1 = 0, a2 = 1, Р2 = 0. Функция (t) известна: (t) = 0.

В этом случае собственные значения Х0 = 0 ,

2

X

n

nn

~

n = 1,2,..., а собственные функции

^(x) =1, Фп (x) = c°s-^,

n = 1,2,....

На рис. 5 приведен график функции p,2(t) оптимального управления тепловым потоком на правом конце стержня вида (29) для m = 5, а на рис. 6 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени T = 1. При этом

l|u(x,T) - y(x)|L2(0,L) = 0,57-10"1.

l|u(x,T) - ^x^L)

0,13 10-4.

РИ, 2014, № 2

13

m2 (t)

|m(x,T)- _y(x)|

Рис. 8.

|u(x,T)-y(x)|

На рис. 7 приведен график функции p,2(t) оптимального управления тепловым потоком на правом конце стержня вида (30) для m = 10 , а на рис. 8 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени Т = 1. При этом

||u(x,T) - y<x)||L!№L( = tuxicr1.

Случай 3. Считаем, что на левом конце стержня происходит конвективный теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (температура окружающей среды равна 0), а управление заключается в задании при t є (0, Т] температурного режима на правом конце стержня. Этот случай соответствует следующим значениям параметров в краевых условиях (4)-(5): а! = 1, ft = 1, а2 = 0, 02 = 1. Функция ^(t) известна: p.j (t) = 0 .

В этом случае собственное значение , n = 1,2,..., определяется как n -й положительный корень уравнения tgV^L = _а^К, а собственные функции Р1

Фп(х) = sin^(х-L), n = 1,2,....

На рис. 9 приведен график функции p,2(t) оптимального управления нагревом правого конца стержня вида (29) для m = 5 , а на рис. 10 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени T =1 . При этом

||u(x,T) - y(x)|L_(0,L) = О-39 ■10-1.

14

РИ, 2014, № 2

|и(х,Т)-y(x)\

Рис. 10.

На рис. 11 приведен график функции p,2(t) оптимального управления нагревом правого конца стержня вида (30) для m = 10 , а на рис. 12 - соответствующий этому случаю модуль разности желаемой y(x) = x и фактической u(x,T) температур в конечный момент времени Т = 1. При этом

Выводы

Предложен метод построения оптимального управления конечным температурным состоянием однородного стержня. Предложено аппроксимировать управляющие функции отрезком ряда Фурье и кубическим сплайном. Проведены вычислительные эксперименты для различных температурных режимов, поддерживаемых на концах стержня. Видно, что при использовании различных типов аппроксимации сохраняется структура оптимального управления нагревом стержня р,2 (t). Предложенный метод отличается от изве-x стных методов тем, что начально-краевая задача для температуры решается аналитически и оптимальное управление также ищется в аналитическом виде. Полученные результаты могут быть использованы при расчете оптимальных программ управления температурным режимом в производственных технических процессах. Выбор типа аппроксимации управляющего воздействия определяется техническими возможностями производственного процесса. В этом состоит научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

||u(x,T)-y<x)||L!№L) = 0,38 lo-1.

m2(t)

Литература: 1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управ -ления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с. 2. БутыринВ.И., ФильштинскийЛ.А. Оптимальное управление температурным полем в стержне при программном изменении зоны управления // Прикладная механика. 1976. Т. 12, №8. С. 115 - 118. 3. ВабищевичП.Н. Вычислительные методы математической физики. Обратные задачи и задачи управления. М.: Вузовская книга, 2009. 268 с. 4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: В 2-х кн. Ч. II. Мн.: МНЦНМО, 2011.434 с. 5. ЛионсЖ.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с. 6. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. М.: Наука и техника, 1981.344 с. 7. Мартинсон Л.К., МаловЮ.И. Дифференциальные уравнения математической физики. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с. 9. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н.. Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Наука, 2004. 416 с. 10. Тихонов А.Н., СамарскийА.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с. 11. ФурсиковА.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

Поступила в редколлегию 17.04.2014

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Г ибкина Надежда Валентиновна, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, оптимальное управление и его приложения, математическая физика, актуарная и финансовая математика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Подусов Денис Юрьевич, магистрант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и оптимальное управление, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ. -мат. наук, доц., доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

РИ, 2014, № 2

15