CC BY
36
УДК 517.97
doi: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-140-144
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ В КЛАССЕ ГЛАДКИХ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ1
© Поплевко Василиса Павловна
кандидат физико-математических наук, доцент Иркутского государственного университета
Россия, 664003, ул. Карла Маркса, 1, e-mail: vasilisa@math.isu.ru
Исследуется задача оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Управляющие воздействия выбираются из класса гладких функций, удовлетворяющих интегральным ограничениям. Для задачи получено необходимое условие оптимальности вариационного типа в классе допустимых гладких управлений. Предложена основанная на необходимом условии схема метода улучшения допустимого управления и про -ведена численная реализация в системе MATLAB 7.0. Приведены результаты расчетов. Проведенный численный эксперимент показал, что предложенный метод улучшения гладких управляющих воздействий, удовлетворяющих интегральным ограничениям, может эффективно применяться для решения данного класса задач.
Ключевые слова: полулинейная гиперболическая система, гладкие управления, необходимое условие оптимальности, итерационный метод улучшения допустимого управления.
OPTIMUM CONTROL OF HYPERBOLIC SYSTEMS IN THE CLASS OF SMOOTH
CONTROL ACTIONS
Vasilisa P. Poplevko
PhD, A/Professor, Irkutsk State University
1 Karla Marksa st., Irkutsk 664003, Russia
The problem of optimal control of first order semi-linear hyperbolic equations system was studied. Control actions were selected from the class of smooth functions satisfying the integral constraints. We obtained the necessary optimality conditions of variational type in the class of admissible smooth controls. The condition of optimality was proved, and a scheme of iterative method was proposed. The numerical experiment was carried out in MATLAB 7.0 system. The results of numerical experiment showed that the proposed method of improving the smooth control functions could be effectively used to solve this class of problems.
Keywords: semi-linear hyperbolic system, smooth control, necessary condition of optimality, iterative method for improving the admissible control.
Введение
В классе гладких управляющих воздействий исследуется задача оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Рассматривается случай, когда функция, входящая в правую часть системы, определяется из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают при моделировании ряда процессов химической технологии [1]. Управляющие воздействия стеснены интегральными ограничениями.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую систему полулинейных гиперболических уравнений первого порядка
х, + A( s, t) х = f (x, y, s, t), (1)
(s,t) еП, П = S XT, S = [s0,sj, T = [t0, tj.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ №14-01-00564)
Здесь х = х(s, t)- n -мерная вектор-функция, A = A(s, t) - диагональная матрица n х n , У = У(t) - m-мерная вектор-функция. Дополнительно введем предположение, что диагональные элементы at = at(s,t), i = 1,2,..n, матрицы коэффициентов знакопостоянны в П :
a¡(s, t) > 0, i = 1,2,...,m1; at (s, t) = 0, i = m1 +1, m1 + 2,...m2; at(s, t) < 0, i = m2 +1, m2 + 2,...n. Составим две диагональные подматрицы: A+ (s, t) размерности m1 x m1 и A~ (s, t) размерности (n - m2) x (n - m2) из положительных и отрицательных диагональных элементов матрицы A соответственно. Из вектора состояния х = х(s, t) выделим два подвектора, соответствующих положительным и отрицательным диагональным элементам матрицы A :
Х = (Х1, X2,...Xm1), Х = (Xm2+1, Xm2+2,...Xn).
Начально-краевые условия для системы (1) зададим в следующем виде
x(s, t0) = х0(s), s е S; х+ (s0, t) = r¡(t), x~ (s¡, t) = ^(t), t e T. (2)
Функция y(t) определяется из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений
y, = g (y, u, t), t е T,
y(t0) = У0. (3)
В качестве множества допустимых управлений выберем совокупность гладких на T функций, удовлетворяющих интегральным ограничениям
|Ф .(u(t))dt = Lj, j = 1,2,...k, (4)
T
с дополнительным условием однородности подынтегральных функций
Фj (Xu) = ГФj (u), а > 1.
Требуется найти допустимое управление, доставляющее минимум целевому функционалу
J(u) = х^, tj), s)ds + ЦF(х, s, t)dsdt ^ min . (5)
S П
на решениях задачи (1)-(3).
Задача (1)-(5) рассматривается при следующих предположениях на параметры:
1) диагональные элементы at = at (s, t), i = 1,2,...n матрицы A непрерывно дифференцируемы в прямоугольнике П ;
2) функции х0(s), r¡(t), ¡u(t) непрерывны на S и T соответственно;
3) вектор-функция f (х, y, s, t) и скалярные функции (р(х, s), F(х, s, t) непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные и ограниченные частные производные по х, y и х соответственно;
4) функция g(y, u, t) непрерывна, непрерывно дифференцируема по своим аргументам и имеет ограниченные производные по y, u.
Решение начально-краевой задачи (1)-(2) понимается в обобщенном смысле как решения интегральной системы уравнений, построенной на характеристиках исходной гиперболической системы [2].
2. Необходимое условие оптимальности
Введем следующие функции
H О, х, y, s, t) = (щ, f (х, y, s, t)) - F (х, s, t), h( P, ^ ^t) = ( P, g (^ u, t)).
Потребуем, чтобы функции ^(s, t), p(t) являлись решениями следующей сопряженной задачи:
у/, + A(s, t )ys + Asy = - Hz х, y, s, t), y/(s, t;) = -фх (х( s, t;)),
у- (s0, t) = 0, w+ (^ t) = 0; (6)
Р, =~hy (p, У,u, t) - JHyds, p(ti) = 0. (7)
У
s0
В [3] было сформулировано необходимое условие оптимальности для данной оптимизационной задачи с поточечными ограничениями на управляющие функции.
Необходимое условие оптимальности в случае интегральных ограничений на управление сформулировано в следующей Теореме.
Теорема. Если процесс {и, у} является оптимальным в задаче (1)-(5), всюду на отрезке Т выполняется условие
(К (Р(*), у(0, и(*), X), и,(X)) -- •(К (р(г), у^), и^), X), и\ = 0, X е Т. (8)
а
Замечание. В случае, когда в интегральные ограничения управления входят линейно (а = 1), условие (8) запишется в более простой форме (аналогичные результаты были получены в работе [4])
{К(р(х), у(х),и(х), X),^ = 0, X е Т. (9)
На основе полученного условия оптимальности можно построить численный метод решения задач оптимального управления (аналогично [3,4]).
3. Общая схема метода
Введем в рассмотрение скалярную функцию
©( Р (X), У(,), и (X), X) = (Ни (р(Х), у (X), и(Х), X), иг (X)) -1 •{ Ни ( р(Х), у(Х), и(Х), X), и\.
Пусть задано начальное приближение из класса допустимых функций и 0( X). Опишем
переход от ик (X) к ик+1(X), к = 0,1,2,____ На управлении ик (X) находятся
хк ук ( X), у/к (М), рк ( X) решения прямой и сопряженной систем и строится со(рк(X),ук(X),ик(X),X). Если юк(X) = 0/ е Т, то управление ик удовлетворяет необходимому условию оптимальности, и алгоритм заканчивает свою работу. Если необходимое условие не выполняется, строится гладкая вариация управления ик по правилу [4]:
ик( X) = (1 + £к <5( 0)ик( X + 8кдк( X)), где
¿к (X) = к ' М
ук(t)= (t ~ t0)(ti ~t)&k , M = max (ti -10) max | ®k I ,eT
Yk (t)
Параметр st определяется из численного решения задачи одномерной минимизации
s к : J (ик) ^ min, ее [0,1]
среди значений 1,1,1,.... Случай, когда найденное значение параметра очень близко к нулю,
соответствует неулучшению функционала на шаге метода. Следующее приближение находится по формуле
ик+1 = ик ,к = 0,1,2,...
Sk 5 5 5
4. Численный эксперимент
Рассмотрим работу описанного выше метода на тестовом примере. В квадрате [0;1]х[0;1] рассмотрим задачу оптимального управления
x1 + x1s = x1 + x2 + 3 y1, x1(0, t) = 0, x1(s,0) = 1;
х2( + 2x2, = x2 - j2, x2(0, t) = 0, x2(5,0) = 5. yu = -u +12, y,(0) = 1, Уг, = ^ У2(0) = 1.
Допустимые управления - гладкие функции, удовлетворяющие интегральному ограничению
i 1
J u(t )dt = —. 0 3
Целевой функционал имеет вид
J(u) = J (x1 (5, t1) - rj1 (5))2 + (x2 (5, t1) ~-q2 (5))2 ds ^ min,
S
- 2
где функции Tj1 (5), r/2(5) подсчитаны надопустимомуправлении u(t) = — (1 -1).
В качестве начального управления аналитически была подобрана функция
u0 = u0(t) = 1(sin2^t +1). Значение целевого функционала J(u0) = 2,8335 .
Результаты вычислений приведены в таблице 1:
_Таблица 1
5 h(5) 5) xk(5,О xk(5,О
0 0 0 0 0
0,17 7,3764 -0,19271 7,3791 -0,19393
0,38 13,298 -0,42972 13,3001 -0,43102
0,56 16,105 -0,62852 16,1072 -0,62997
0,75 17,73 -0,8358 17,7334 -0,83475
0,87 18,587 -0,96649 18,593 -0,96774
1 20,366 -1,1089 20,374 -1,1099
Значение целевого функционала на выходе процедуры J(и1) = 0,00027221 ; величина невязки метода тах ®к (0 = 0,0014792; количество итераций 98; причина остановки алгоритма - дос-
геТ
тижение заданной точности по значению функционала.
Рассмотрим работу метода при постоянной управляющей функции. Возьмем начальное
управление и) = 1. Значение целевого функционала J(и0) = 0,031325 .
Результаты вычислений приведены в таблице 2:
_Таблица 2
5 ^1(5) 5) xk(5,О xk(5,О
0 0 0 0 0
0,17 7,3764 -0,19271 7,3831 -0,20393
0,38 13,298 -0,42972 13,307 -0,43892
0,56 16,105 -0,62852 16,138 -0,63057
0,75 17,73 -0,8358 17,753 -0,85575
0,87 18,587 -0,96649 18,621 -0,98014
1 20,366 -1,1089 20,394 -1,1202
Значение целевого функционала на выходе процедуры J(ик) = 0,0097656; величина невязки метода тах ®к (г) = 0,081655; количество итераций 130; причина остановки алгоритма - не-
1еТ
улучшение по значению функционала ^(ик) - J(и1 > 10 6).
Заключение
Для задачи оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка в классе гладких управлений, удовлетворяющих интегральным ограничениям
была предложена основанная на необходимом условии схема метода улучшения допустимого управления и проведена численная реализация в системе MATLAB 7.0. Численный эксперимент показал, что на результат вычислений влияет выбор начального приближения.
В случае интегральных ограничений на управляющие воздействия (в отличие от поточечных ограничений) есть возможность рассматривать постоянные функции управления. Однако при таких управляющих функциях метод работает менее эффективно.
Проведенный численный эксперимент показал, что предложенный метод улучшения гладких управляющих воздействий может эффективно применяться для решения данного класса задач.
Литература
1. Демиденко Н. Д., Потапов В. И., Шокин Ю. И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. - Новосибирск: Наука, 1983. - 271 с.
2. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1978. - 686 с.
3. Аргучинцев А. В., Поплевко В. П. О задаче управления сосредоточенными параметрами в правых частях полулинейных гиперболических систем // Изв. ИГУ. Сер. Математика. - 2015. -Т. 11. - С. 3-12.
4. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление гиперболическими системами. - М.: Физмат-лит, 2007. - 165 с.
References
1. Demidenko N. D., Potapov V. I., Shokin Yu. I. Modelirovanie i optimizatsiya sistem s raspre-delennymi parametrami [Modeling and Optimization of Systems with Distributed Parameters]. Novosibirsk: Nauka, 1983. 271 p.
2. Rozhdestvenskii B. L., Yanenko N. N. Sistemy kvazilineinykh uravnenii i ikh prilozheniya k ga-zovoi dinamike [Systems of Quasi-linear Equations and their Applications to Gas Dynamics]. Moskow: Nauka, 1978. 686 p.
3. Arguchintsev A. V., Poplevko V. P. O zadache upravleniya sosredotochennymi parametrami v pravykh chastyakh polulineinykh giperbolicheskikh sitem [On the Problem of Lumped Parameters Control at the Right Sides of Semi-Linear Hyperbolic Systems]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstven-nogo universiteta. Seriya «Matematika» - Proceedings of Irkutsk State University. Series «Mathematics». 2015. V. 11. Pp. 3-12.
4. Arguchintsev A. V. Optimal'noe upravlenie giperbolicheskimi sistemami [Optimal Control of Hyperbolic Systems]. Moskow: Fizmatlit, 2007. 165 p.
