CC BY
38
Серия «Математика»
2011. Т. 4, № 3. С. 32-41
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.97
Оптимальное управление процессом ректификации в колонне *
A. В. Аргучинцев
Иркутский государственный университет
B. П. Поплевко
Иркутский государственный университет
Аннотация. В статье рассматривается процесс ректификации в колонне, описываемый системами дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В классе гладких граничных управлений, удовлетворяющих интегральным ограничениям, получено неклассическое необходимое условие оптимальности. Проведен численный эксперимент при различных входных данных и начальных приближениях.
Ключевые слова: ректификация, гладкое управление, необходимое условие оптимальности, интегральные ограничения.
В качестве модельной задачи в статье рассмотрен процесс разделения смесей в ректификационных колоннах, описываемый гиперболической системой первого порядка. Управлениями являются функции отбора готового продукта внизу (испаритель) и вверху (конденсатор) колонны. С математической точки зрения, особенностью поставленной задачи является то, что управления: 1) входят в правые части дифференциальных связей на границах колонны - в испарителе и конденсаторе; 2) принадлежат классу гладких функций, которые могут удовлетворять дополнительным ограничениям, задающим балансы потоков сырья и готовой продукции в колонне.
1. Постановка задачи
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00713) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
Для данной задачи разработан оптимизационный алгоритм, эффективность которого проверена на ряде прикладных химико-технологических задач. Была проведена серия расчетов для разделения смесей различного типа в ректификационных колоннах К-21, К-34 (колонны Самарского СКБ "Нефтехимавтоматика"). В качестве примера приведен процесс ректификации в колонне К-34 (установка сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами).
Математическая модель процесса ректификации представляет собой систему уравнений, записанных относительно концентраций компонентов [5]:
д (СхХі) д (Ьхі)
д^ = куі (Уі - Уі ) + Фхі , (1.1)
д(°уУі) + д(Уу) = к (у* - у.) + ф ді + де = і (Уі Уі ) + фуі ’
N N
Ехі = 1, ^2уі = 1’ і = 1’К-
і= 1 і= 1
Здесь Хі, у і - концентрации і-го компонента в жидкой и паровой фазе соответственно, в - координата вдоль колонны, і - время работы колонны, Ох, Су - количество жидкости и пара в колонне соответственно, кУІ - коэффициент массопередачи, у* - равновесная концентрация компонента в паре, ФХі , ФУі - вводимый поток жидкости и пара в колонну соответственно.
Концентрация компонентов, находящихся в испарителе, определяется из уравнения материального баланса
а(Яу(1)у(в0,1)) = [Ц(і) + Гх(і)]хі(во,і) - [У(і) + Ш(і)]уі(во,і), (1.2)
Уі(во,іо) = Уіо(во), і = 1,Ж;
= Ь(і) + Гх(і) - У (і) - Ш (і), Яу (іо) = Яуо-Уравнения материального баланса в конденсаторе
а(Ях(і')Х(в1’^ = у(і)уі(в1,і) - [Ц(і) + Б(і)\хі(в\,і), (1.3)
аі
Хі(ві,іо) = Хіо(ві), і = 1, Ж;
аЯХ() = У (і) - Ь(і) - Б(ї), Ях (іо) = Яхо. аі
В граничных условиях (1.2), (1.3) присутствуют управляемые потоки О(і), Ш(і). Здесь Яу, Ях - количество жидкости в испарителе и конденсаторе соответственно.
Цель задачи - достижение заданных параметров 9ц, 621 в конечный момент времени
Здесь N - число компонентов в смеси, Кц, К2І - коэффициенты, определяющие ценность продукта.
Управления (потоки В(і), Ш(і)) удовлетворяют дополнительным ограничениям, задающим баланс потоков сырья и готового продукта в колонне за весь период работы
Предполагается, что функции управления принадлежат классу гладких функций.
В работе [1] при определенных предположениях исходная гиперболическая система была преобразована к системе
Для задачи оптимального управления дифференциальными связями на границе (1.2)—(1.6) в работах [1, 3, 4] были получены необходимые условия оптимальности гладких управлений, удовлетворяющих поточечным и интегральным ограничениям, предложены методы улучшения допустимых управлений.
Приведем основные формулировки.
3 = ЁУ [Кіі(хі(ві,і) - ви)2 + К2і(уі(в0,і) - 92і)2] ді
N
(1.4)
(1.5)
т
дХі^’і) - Сідх%^ ^ = аі(в,і)хі(в,і) + Ьі(в,і)уі(в,і) + Еіі(в,і), (1.6)
ді дв
дУі<£ ^ + С2 0Уід)в ’ ^ = ач (в, і)Хі (в, і) + Ы (в, і)уі (в, і) + Г2і (в, і), і = 1^,
где
аі (в ,і)
с^х(і)фхі(в) - сікУ(і)р(в,і) - Ґ(і) Ґ(і)
аі (в, і) = с2кр(в
, ^2і (в ,і) = 0,
2. Необходимое условие оптимальности
Введем следующие функции
Н (фф, х, у, в, Ь) =< ф1 (8, Ь),а(в, Ь)х(в, Ь) + Ъ(в, Ь)у (в, Ь) + Г1 (в, Ь) > +
+ < ф2(в, Ь), а(в, Ь)х(в, Ь) + Ь(в, Ь)у(в, Ь) + Г2(в, Ь) >, н(1)(р(1) ,х,у,г) =< р(1\г), ^ + П(') (у(в1,ь) - х(в1,ь)) > -
Чх
-К1(х(в1,Ь) — 01)2,
Ь(2)(р(2),х,у,Ь) =<Р(Ч),^Щ^(х(во,Ь) - у(во,Ь))
Чу
-К (у(в0,Ь) - 02)2.
Тогда сопряженная задача примет вид
~д1 - °1 ~дв~ = -аТ(в,Ь)Ф1 - аТ(в,Ь)Ф2,
ф1 (в,Ь) = 0, ф1(во,Ь) = — р(2)(Ь);
С1 Чу
^ф2 + с2 -дфг = -Ьт (в,Ь)ф1 - ьТ (в,Ь)ф2, ф2(в,ь) = 0, ф2(в1,Ь) = — Ь(^ + °(^р(1)(Ь); (2.1)
С2 Чх
(1'Р^ = ^(^+^(Ь)Р(-1ЧЬ)-£1ф1(в1,Ь)+2К1(х(в1,1)-в1), р(1)(Ь1) = 0;
(1'Р^ У(Ь + Е(^Р(2)(Ь)-С2ф2(во,Ь)+2К2(у(во,Ь)-в2), р(2)(Ь{) = 0.
Необходимое условие оптимальности в случае интегральных ограничений на управления сформулировано в следующей теореме.
Теорема 1. Если процесс {В,Ш,х,у} является оптимальным в рассматриваемой задаче, тогда всюду на Т выполняется условие
Ьт (р(1)(^,х(в1,г),у(в1,г),г)п = о, ь(^^1(р(‘2')(Ь),х(во,1),у(во,1),г)ш = о, ь е т,
где р(1(Ь), р(2(Ь) - решение сопряженной задачи (2.1).
Доказательство основано на использовании специальной вариации, сохраняющей гладкость допустимых управлений [3, 4].
3. Оптимизационный алгоритм
Опишем общую схему алгоритма.
1. Выбираются начальные гладкие управления Б0(Ь), Ш0(Ь), удовлетворяющие интегральным ограничениям (1.5). Пусть с помощью численного метода на к-ой итерации найдены управления Бк (Ь), Шк (Ь).
2. На управлениях Бк(Ь), Шк(Ь) находим решение прямой хк(в,Ь),
ук(в,Ь) и сопряженной задач фк(в,Ь), фк(в,Ь), рк\ь), рк2(Ь).
3. На полученных решениях вычисляется значение функционала
.]к = .]к(Бк(Ь),Шк(Ь)) (1.4), строятся функции и((}\ь) и (Ь):
шк)(Ь) = ^ г(р(к)(Ь),х к (в1,Ь),ук (в1,Ь),Ь)0 к (Ь),
и к) (Ь) = Ь^(р(к)(Ь),х к (в0,Ь),ук (во,Ь),Ь)Ш к (Ь).
Далее, проверятся условие оптимальности и^(Ь) = 0, и((2\ь) = 0. Если условие оптимальности выполнено, метод заканчивает свою работу.
4. Если данные управления не удовлетворяют условию оптимальности, строятся их гладкие вариации:
о^к (ь) = (—+^к ¿УтБ (ь+¿»т
(I) = (1 + £2к ¿¡(г)(1))Шк (I + е2к ¡¡2)(1)),
= ^Кт ■ ^ ^'
Л1)Ь\ = (Ь - Ь0)(Ь1 - Ь)ик1)(Ь) (2) = (Ь - Ь0)(Ь1 - Ь)и^ (Ь)
к (Ь1 - к (Ь1 - Ь0)111ах|и (2)(Ь)|’
К1 = ^ ^(Ь) I К2 = татх ^(Ь) 1.
Параметры £1 к, £2к определяются из численного решения одномерной задачи минимизации
£1к ,£2к : ^ (Вк£1к (1),Шк2к (Ь))= тт Зк (Б^ (1),Шк2 (Ь)).
£1,£2^[0,1\
5. В качестве к + 1-приближения выбираются
Бк+1(Ь) = Б£1к(Ь), Шк+ (Ь) = Шк2к(Ь),
и итерационный процесс продолжается дальше.
Критерием остановки служит одна из ситуаций (аналогично [2]), полученных на k-й итерации метода:
а) выполнение с заданной точностью необходимого условия опти-
мальности для функций Dk(t), Wk(t). Например, близость к нулю соответствующих функций (t), (t) в каждой точке t G T можно
гарантировать, если справедливы соответствующие неравенства
max \ш (1)(t)\ < 10-5, max\и (u\t)\ < 10-5;
t е T k t e T k
б) достижение заданной точности по значению функционала. Поскольку минимальное значение функционала известно и равно J* = 0, то условием остановки может быть, например, неравенство
Jk < 10-3;
в) неулучшение значения функционала, полученного на предыдущей (к — 1)-й итерации, например
Jk — Jk-1 > 10-6.
Задача удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, доказанной в [2]: 1) целевой функционал ограничен снизу; 2) функции, входящие в правую часть гиперболической системы (1.1), линейны по состоянию процесса (по концентрации); следовательно, их производные удовлетворяют условию Липшица; 3) функции, входящие в правую часть дифференциальных условий на границах (1.2), (1.3), линейны по состоянию и управляющим потокам; следовательно, их производные удовлетворяют условию Липшица.
Тогда последовательности управлений, генерируемые методом, являются релаксационными, то есть
J(Dk+1, Wk+1) < J(Dk, Wk), к = 0,1,2,..., и сходятся в смысле
^W(Dk) = J sk1')(t)u<j}')(t)dt ^ 0, к ^ ж,
T
^-2) (Wk) = J 6^ (t)ukf1 (t)dt ^ 0, к ^ ж.
T
Рассмотрим тестовый пример.
4. Численный эксперимент
В качестве примера приведен процесс ректификации в колонне К-34, предназначенной, в частности, для сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами (разделяемая многокомпонентная смесь сведена к бинарной [5]).
В качестве входных данных были выбраны следующие данные одного из режимов работы колонны: Т = [0, 20] - временной промежуток работы колонны; 5 = [0, 20] - геометрические размеры колонны; зо = 0 - координата испарителя, $1 = 20 - координата конденсатора; с1 =36 м/ч, С2=520 м/ч - потоковые коэффициенты жидкости и пара соответственно; Ях=50 кмоль, Яу=30 кмоль - удерживающие способности в конденсаторе и испарителе соответственно. Параметры для целевого функционала: К1^ = К2^ = 1, г = 1, 2 - весовые коэффициенты, определяющие ценность продукта; в11 = 0, 84;, в12 = 0,16; в21 = 0, 2; в22 = 0, 8.
В качестве управления выбирается отбор готового продукта в конденсаторе - Б(Ь) (бутан), в испарителе - Ш(Ь) (пентан) соответственно.
Пример
При проведении численного эксперимента применялась следующая методика построения конкретного варианта задачи оптимального управления. На первом этапе задавались концентрации компонентов в готовых продуктах, удовлетворяющие начальным условиям, и функции отбора готового продукта в испарителе Ш*(Ь) и конденсаторе Б* (Ь), а именно
Б*(Ь) = —2 8ш(Ь/4) + 6еоз(Ь/2) — 68'ш(Ь) + 34,
Ш *(Ь) = со&(Ь/2) — 48ш(Ь/6) — 8ш(Ь) + 60.
Остальные параметры задачи, такие как поток жидкости в колонне Ь(Ь), поток пара в колонне V(Ь), вводимый поток ЕХ(Ь) = 94, 07 и коэффициенты задачи определялись по этим функциям. Значение функционала на этом процессе 3* = 0, 0003.
Далее решалась оптимизационная задача с начальными управлениями:
Б0(Ь) = 8ео8(Ь/2)+ 32,
Ш0(Ь) = —88\пЬ + 61,
удовлетворяющими интегральному ограничению (1.5). Значение функционала на начальном приближении 30 = 5, 46.
Результаты вычислений - на рис. 1 и в табл. 1.
Рис. 1.
Таблица 1.
N г Б* (Ь) Б0(Ь) Бк(Ь) Ш *(Ь) Ш 0(Ь) Ш к(Ь)
1 0 40 40 40 61 61 61
6 2,222 30,836 35,549 30,831 58,201 53,08 58,197
13 5,333 31,6 24,885 31,9 56,818 67,587 56,810
20 8,444 24,476 28,234 24,468 54,752 59,234 54,746
26 11,111 43,729 37,974 43,735 57,897 54,913 57,902
32 13,778 33,912 38,577 33,917 56,893 68,426 56,899
40 17,333 37,492 26,191 37,488 59,272 55,331 59,277
46 20 25,306 25,306 25,301 59,010 59,010 59,013
Алгоритм закончил работу, достигнув заданной точности по значению функционала на 123 итерации (3к = 0, 00056). Управления на выходе близки к оптимальным на всей области определения. При этом
т ах \и[1)(Ь)\ = 0, 0031, 111ах {¿^(Ь)! = 0, 0019.
Проведенные численные эксперименты для оптимизации процесса ректификации показали, что предложенные методы улучшения гладких управляющих воздействий, стесненных интегральными ограничениями, в задаче оптимального управления начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем могут эффективно использоваться для численного решения указанных задач.
Список литературы
1. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление граничными условиями гиперболической системы на примере задачи химической ректификации / А. В. Аргучинцев, В. П. Поплевко // Труды XV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». - Иркутск, 2011.
- Т. 3. - С. 36-40.
2. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление гиперболическими системами / А. В. Аргучинцев. - М. : Физматлит, 2007. - 168 с.
3. Аргучинцев А. В. Задачи оптимального управления, возникающие при моделировании процессов химической ректификации / А. В. Аргучинцев, В. П. Поплевко // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2009. - Т. 2, № 1. - С. 52-63.
4. Аргучинцев А. В. Оптимизация гиперболических систем при интегральных ограничениях на гладкие управления / А. В. Аргучинцев, С. А. Авдонин, В. П. Поплевко // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 3.
- С. 28-40.
5. Демиденко Н. Д. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами / Н. Д. Демиденко, В. И. Потапов, Ю. И. Шокин. - Новосибирск : Наука, 2006. - 551 с.
A. V. Arguchintsev, V. P. Poplevko
Optimal control of process of fractionization in a tower
Abstract. A process of fractionization in a tower is considered. This process is described by a system of first-order partial differential equations. A non-classic necessary optimality condition is given for the optimal control problem in a class of smooth admissible controls. Functions of controls are satisfied by integral constraints. The numerical experiment is carried out.
Keywords: fractionization, smooth control, necessary optimality condition, integral constraints
Аргучинцев Александр Валерьевич, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)20-13-07 (prorectornir@isu.ru)
Поплевко Василиса Павловна, кандидат физико-математических наук, преподаватель, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)20-13-07 (vasilisa@math.isu.ru)
Arguchintsev Alexander, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)20-13-07 (prorectornir@isu.ru)
Poplevko Vasilisa, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)20-13-07 (vasilisa@math.isu.ru)
