Оптимальное распределение массы между ступенями двухступенчатого самолета для максимизации крейсерской дальности полета Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ IX А Г И Том XIII 1982

№ I

УДК 629.735.33.015

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ МЕЖДУ СТУПЕНЯМИ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО САМОЛЕТА ДЛЯ МАКСИМИЗАЦИИ КРЕЙСЕРСКОЙ ДАЛЬНОСТИ ПОЛЕТА

В. В. Скшгенко

Рассмотрена задача о выборе оптимального с точки зрения крейсерской дальности полета распределения начальной массы между ступенями двухступенчатого самолета. При некоторых допущениях получено приближенное решение задачи в аналитическом виде. Рассмотрены случай свободного выбора точки посадки первой ступени и случай возвращения ее к месту взлета. Проведено сравнение крейсерских дальностей полета одно- и двухступенчатого самолетов, и указаны области преимущества той и другой схем.

При проектировании ряда типов самолетов обеспечение большбй дальности полета имеет первостепенное значение. При заданной массе перевозимой полезной нагрузки дальность полета можно увеличить в определенных пределах за счет роста взлетной массы самолета, однако эта возможность ограничена. Другой путь повышения дальности — использование принципа ступенчатости, широко применяемого в ракетной технике.

В данной работе рассматриваются лишь ступенчатые самолеты крейсерского типа, т. е. те, для которых основной вклад в дальность вносит участок квази-горнзонтального полета с постоянной скоростью. Требование обеспечения большой дальности полета предопределяет то, что в качестве силовой установки на них должны применяться различные типы воздушно-реактивных двигателей. Практическое значение имеет рассмотрение составных самолетов с малым числом ступеней, прежде всего двухступенчатых, и сравнение их летно-технических характеристик с аналогичными показателями самолетов обычной схемы (одноступенчатых).

В печати опубликовано большое число работ, посвященных рассмотрению различных вопросов теории ступенчатых ракет. Характерной особенностью этих работ является использование линейных зависимостей между массой сбрасываемой конструкции ступени и конечной массой и тягой двигательной установки ступени и соотношений, определяющих идеальную скорость ракеты или скорость вдоль заданной траектории. При этих предположениях рассмотрепы задачи об оптимальном распределении массы ракеты между ступенями с целью получения максимальной конечной скорости при заданном отношении начальной массы ракеты и массы полезного груза, достаточно полное отражение этих вопросов дано в работе В. А. Ильина [1]; там же дан обзор работ, опубликованных по этой тематике до 1960 г. Вопросы теории ступенчатых ракет рассмотрены также в монографиях [2]—[4].

Известны многочисленные работы по оптимизации режимов движения и параметров самолетов обычной схемы (см., нанример, [5]). Рассмотрению же ступенчатых самолетных систем крейсерского типа уделялось сравнительно мало

внимания. На большие потенциальные возможности использования принцина ступенчатости применительно к самолетам с ВРД для полета на максимальную дальность указал А. Ферри, выступая в дискуссии на 21-й лекции, посвященной, памяти братьев Райт, прочитанной Алленом [6].

В данной работе в приближенной постановке рассматривается вопрос об оптимальном выборе одного из основных параметров двухступенчатого самолета-отношения начальных масс ступеней. Основное внимание уделяется получению решения в аналитической форме, что позволяет выявить некоторые общие закономерности, снраведливые для двухступенчатых самолетов в широком диапазоне скоростей полета.

Постановка задачи. Рассмотрим двухступенчатый самолет, состоящий из последовательно функционирующих первой (разгонно-маршевой) и второй (маршевой) ступеней. При этом первая ступень разгоняет вторую вместе с входящей в нее полезной нагрузкой до крейсерской скорости и за счет собственного запаса топлива обеспечивает выполнение части крейсерского полета. Будем называть эту часть траектории участком полета первой ступени. После израсходования онределениого запаса топлива оставшаяся часть первой стунени (конструктивные элементы, силовая установка, топливо для посадки н т. п,) отделяется и выполняет посадку, а вторая ступень выполняет оставшуюся часть полета (участок полета второй ступени).

Анализируются два варианта посадки первой ступени носле разделения. В первом эта стунень снижается и выполняет посадку вблизи трассы полета (свободный выбор точки посадки). Во втором варианте, имеющем больший практический интерес, предусматривается возвращение первой ступени к месту взлета.

Фиксируем начальную массу двухступенчатого самолета и массу полезной нагрузки тп н и рассмотрим задачу об оптимальном распределении начальной массы между первой и второй ступенями составного самолета. Оптимизируемый параметр — относительная взлетная масса второй ступени .

Критерий оптимальности — максимум дальности крейсерского полета системы. Поскольку в ряде случаев перераспределение массы между ступенями мало влияет на дальность участков разгона н снижения и расход топлива при этом, решение поставленной задачи дает и приближепиое решение задачи о максимуме полной дальности. '

Дальность крейсерского горизонтального полета Ь в днаназоне скоростей до первой космической определяется выражением

, У1К . т* т

1 ~ V* 1п тк -

с точностью до множителя, учитывающего влияние центробежной силы инерции, совпадающим с известной формулой Бреге [6]. Коэффициент в формуле (1),

У1К

называемый в дальнейшем параметром дальности В =--------------, характери-

‘-тг

зует эффективность режима крейсерского полета, определяемого величиной крейсерской скорости V, крейсерским аэродинамическим качеством К и удельным импульсом двигателей /. Множитель -------------уъ~ • гДе ^1 — первая космиче-

ская скорость, учитывает влияние центробежной силы инерции, существенное

при больших скоростях полета. Отношение начальной массы аппарата тя

к конечной тк зависит от располагаемого запаса топлива, т. е. определяется совершенством конструкции н систем аппарата.

Как отмечалось ранее в литературе (см., например, [6]), существует аналогия между выражением для крейсерской дальности самолета (1) и выражением для характеристической скорости Кхар ракеты — формула К. Э. Циолковского

\ - /Пн

Ухар = ,

#■ .

которая используется в качестве критерия онтимальности при выборе параметров (массы н тяговооруженности) ступеней в задачах ракетодинамики. В силу этого имеется аналогия между результатами онтимального раснределения массы по ступеням составного самолета и ступенчатой ракеты [1—4].

Определение дальности полета. Будем считать, что ступени самолета могут иметь различные значения V, К и I. Дальность крейсерского полета системы складывается из дальностей крейсерского полета первой и второй ступеней.

Дальность крейсерского полета первой ступени Ь1 в случае свободного выбора точки ее посадки запишем в виде:

1 — тт0

£1 = В11п —------2^-, (2)

"‘ни, + тг

где Вг — параметр дальности первой ступени (причем ввиду совместного полета аэродипамическое качество первой ступени должно определяться с учетом наличия второй ступени), тхр = тхр/т£ — относительная масса топлива на разгон, тт1 — — относительная масса первой ступени в конце ее крейсер-

ского полета (относительная инертная масса первой ступени, включающая массу конструкции, силовой установки и оборудования, отнесенная к начальпой массе двухступенчатого самолета; в данной задаче сюда можно отнести и топливо для посадки), т2 — т2/тъ — относительная масса второй ступени.

Дальность крейсерского полета второй ступени

13 = В-21п-------—------, (3)

— . "*п.н

ти„ +

Щ

ин4

где В2 — параметр дальности второй ступени, т„ ——^—относительная

_ 1 т<1

инертная масса второй ступени, -^_п,н = — относительная масса полезной

/722 ^*2

нагрузки второй ступени.

В настоящей работе не рассматривается случай полета с очень большими крейсерскими скоростями, сравнимыми с первой космической, когда оптимальным (с возвращением аппарата в исходную точку) является полет в плоскости большого круга [5], поэтому вариант с возвращением первой ступени к месту взлета можно рассмотреть, используя полученные выражения (2) и (3). Действительно, в этом случае первая ступень должна выполнить полет до точки разделения и обратно. Предполагая, что параметры дальности первой ступени с учетом и без учета второй ступени одинаковы, и не учитывая затрат топлива на разворот, можно приближенно считать, что в этом случае вклад участка полета первой ступени в полную дальность составляет половину величины, определяемой (2).

Тогда общее выражение для суммарной дальности крейсерского полета системы можно записать в виде

Ь = Ь2, т (4)

I

где {А=1 при свободном выборе ТОЧКИ посадки первой ступени, (А =-7р при

возвращении первой ступени к месту взлета, а Ьг и Ь2 определяются соотношениями (2) и (3).

В рамках данной постановки задачи (разделение ступеней происходит в крейсерском полете) оптимизируемая величина т2 имеет двустороннее ограничение

т2 гшп ^ т2 т2 тах- (5)

Нижний предел Щтт соответствует случаю, когда масса второй ступени настолько мала, что эта ступень уже не располагает топливом, так как состоит лишь из инертной массы и полезной нагрузки:

т2 1ШП

1 - «ин,

Естествепно, при этом £25=0 и крейсерская дальность системы обеспечивается целиком за счет участка полета первой ступени.

/ .

Верхний предел т2 тах соответствует ситуации, когда вторая ступень настолько велика, что запаса топлива на первой ступени достаточно только для разгона системы до крейсерской скорости:

т2 max —1 теин1 ттр-

При этом Lx— 0 и весь крейсерский полет выполняется только второй ступенью.

Итак, задача сводится к определению величины т2, доставляющей максимум дальности L(4) при ограничении (5). Точное решение поставленной задачи существенно осложняется тем, что величины Ви В2, тхр являются до-

статочно сложными функциями т2, определяемыми конкретным типом летательного аппарата. Точное решение задачи требует использования численных методов с учетом взаимосвязей между отдельными параметрами двухступенчатого самолета.

Однако в ряде случаев варьирование т2 не приводит к значительным изменениям аэродинамического качества ступеней, а следовательно, и параметров В\, В2, тгр и относительных инертных масс тИН1 и тин^ ступеней. Тогда, вводя

допущение о ностоянстве этих величин при варьировании т2, можно получить приближенное аналитическое решение задачи. Это решение можно использовать для качественного анализа и выявления общих закономерностей, а также как исходное приближение при точном численном решении»

Определение оптимального распределения массы между ступенями. Как следует из постановки задачи (/ns — const, тп н = const), по мере увеличения

относительной массы второй ступени на второй ступени уменьшается относительная масса полезной нагрузки wn н/ш3, увеличивается относительный запас топлива и, в силу (3), возрастает ее дальность 12* Дальность полета первой ступени при этом сокращается, так как сокращается размещенный на ней запас топлива. Из-за нелинейного характера этих изменений зависимость полной дальности L от т2 может иметь внутренний максимум.

Условие наличия внутреннего экстремума (4) —=—=0 дает квадратное

\ d/Tl2 I

относительно т2 уравнение, положительный корень которого определяет оптимальное значение относительной массы второй ступени

«г»Pt = л[ - (-S- -1Y + ■ mi- ?■. (J- _ Л <б)

' тнн, 4тт, ' '* 1 2тт, . ' ** -

где безразмерный параметр В = fy/Bi характеризует относительный уровень эффективности крейсерского полета ступеней.

После вычисления /n20pt необходимо проверить выполнение ограничения (5). Случай m2 opt> m2 тах формально может соответствовать разделению ступеней при разгоне; рассмотрение этой ситуации выходит за рамки постановки задачи.

Анализ выражения (6) показывает, что основной вклад в величину m20pt вносит первое слагаемое подкоренного выражения, остальные слагаемые носят характер поправок, а наиболее существенным параметром, определяющим т2 0рь является относительная масса полезной нагрузки «п н. В частном случае при равенстве параметров дальности (Bl=^B2 = Bi 5 = 1) оптимальное распределение масс зависит лишь от относительной массы полезной нагрузки тп н и отношения инертных масс ступеней

-vh

Если равны н относительные инертные массы (тт =тин,— тин)> т0 оптимальное распределение масс между ступенями зависит лишь от относительной массы полезной нагрузки __

Рис. 1

Заметим, что в последнем случае подобия ступеней по параметру дальности и относительной инертной массе при условии свободного выбора точки посадки первой ступени (|а=1) массы полезной нагрузки, второй ступени и начальная масса двухступенчатого самолета образуют геометрическую прогрессию

При этом дальность крейсерского полета первой ступени Ьх несколько меньше второй £2 за счет затрат топлива на разгон

В случае малых крейсерских скоростей, когда расход топлива на разгон мал, эти дальности близки между собой. Полной симметрии результата можно достичь, если в качестве функционала рассматривать не истинную дальность крейсерского полета, а так называемую возможную крейсерскую дальность: дальность крейсерского полета при условии, что в начальный момент самолет уже обладал требуемыми скоростью и высотой. Формально для этого достаточно положить ттр = 0. Тогда в рассматриваемом случае подобия ступеней возможные крейсерские дальности и /,2 совнадают.

В задаче об оптимальном распределении масс в ступенчатой ракете с точки зрения максимизации ее характеристической скорости имеет место аналогичный результат: нри одинаковых параметрах стуненей их массы образуют геометрическую нрогрессию, а приращения характеристической скорости каждой ступени одинаково [1—4].

Последующие результаты иллюстрируют полученные соотношения.

На рис. 1 показано изменение крейсерской дальности нолета самолета на участках первой и второй ступеней и полной крейсерской дальности Ь в зависимости от т2. Здесь и далее все дальности отнесены к дальности участка

полета первой стунени нри тпг = пцт[П) т. е. I =—-------- ------- . Полная даль-

Ь\ — —

_ т*-т2т’т

ность Ь имеет четко выраженный максимум, положение и величина которого определяются нараметрами ступеней системы (рис. 2).

Условие возвращения первой ступени к месту взлета означает, что только половина крейсерской дальности первой ступени вносит вклад в полную дальность системы, ноэтому в этом варианте величина нримерно в 1,5—1,7 раза больше, чем в случае свободного выбора точки посадки. Заметим также, что в этом случае максимум полной дальности в зависимости I. (т2) выражен более слабо (см, рис. 1 и 2).

Ьі = В 1п

, Ь2=В1п

L

7RMfif 0,83, ffirp 8jB5

b,sf

/

/

/

/

^ вез возвращения первой ступени

/

✓

/

с возвращением »

/

/

/

/

/

/ . /

о

0,3

0,4 тг

Рнс. 2

Области преимущества самолетов одно- и двухступенчатой схем. Переход от самолета одноступенчатой схемы к самолету двухступенчатой схемы приводит к дублированию основных агрегатов, т. е. к увеличению инертной массы, что неизбежно сокращает общий запас топлива на борту н может ухудшить аэродинамическое совершенство аппарата. С другой стороны, при двухступенчатой схеме в процессе полета часть массы (первая ступень) отделяется, что ведет к увеличению полной дальности полета. Поэтому прн определенных значениях параметров ступеней двухступенчатая схема может иметь преимущество в дальности по сравнению с одноступенчатой.

С этой целью рассмотрело отношение L—L\L0 крейсерских дальностей двухступенчатого L и одноступенчатого Л0 самолетов (индекс „О* и далее относится к одноступенчатому самолету) с одинаковой взлетной массой ms и массой полезной нагрузки тп н, причем в двухступенчатом самолете распределение масс при изменении его параметров всякий раз выбирается оптимальным образом в соответствии с (6).

Результаты расчетов (рис. 3) показывают, что при больших величинах тп и преимущество в дальности имеет одноступенчатая схема (L<1), но по мере уменьшения тп н преимущество переходит к двухступенчатой схеме (£>1). Это объясняется тем, что с ростом tfinn (и соответственно т% opt) влияние на дальность полета увеличения начальной инертной массы двухступенчатого самолета при принятом предположении о том, что mHHl = const, тИн,—const, преобладает над влиянием снижения конечной инертной массы за счет'отделе-ния первой стунени.

В случае подобия одноступенчатого ti обеих ступеней двухступенчатого самолетов (£] = В2 = В0, /гсин, = /пин, = mHHo > я*тр =* ттро) область преимущества двухступенчатой схемы при /л = 1 определяется неравенством

Отсюда следует, что преимущество двухступенчатой схемы проявляется лишь при достаточно малых относительных массах полезной нагрузки, причем область этого преимущества расширяется по мере снижения инертных масс самолетов (рис. 4).

'"/«><! ~ т2тпХ

т ом

Рис. 3

^инО ^„0, Я1ян2 Н1 л Во - В1~ Вг

М1И = *1Р=0№

[рОНИЦй ^2ар( ^2тах

Преимущество ооносмдпенчатсц схемы (I </)

Ореамдщесмве двдхсйупенм/пм схем к/ (I> })

~Пг орь ■ Пино = тии, ^тин2 = 0,5; п,ё -0,05, В, = в1 /В0 :1 ~Г,2;£г=1

------без возвращения перЯоа ту лена

------с Возвращением « *

0,3

В,02

ОМ ОМ *

Рис. 4

ОМ

м П I

При фиксированной величине инертной массы тин выигрыш В' дальности при переходе от одно- к двухступенчатой схеме также увеличивается при снижении тпн. Это объясняется тем, что при очень малых полезных нагрузках вторая ступень также сравнительно невелика. В таком случае при сохранении подобия аппаратов крейсерские дальности одноступенчатого самолета и первой ступени сближаются, а оптимально выбранная вторая ступень добавляет примерно такую же дальность.

Использование двухступенчатой схемы дает наибольший эффект при свободном выборе точки посадки первой ступени ({1=1), а условие возврата ее

в точку взлета ^(х= —^ вызывает определенную потерю дальности. На рис. 5

показано сокращение полной крейсерской дальности при наложении условия

возврата ^(х=— | по сравнению с первым вариантом (ц = 1), причем в каждом

из них распределение масс по ступеням выбиралось оптимальным образом.

3 1, HIия

L~Lsojb А

L - крейсерская дальность без Sоj6ращения

i Lgajs ” с возвращением

Рис. 5

На основании проведенного исследования можно сделать вывод о том, что при достаточно малой относительной массе полезной нагрузки (примерно менее 5% при принятых в работе допущениях) использование в крейсерском полете двухступенчатой схемы может заметно увеличить дальность полета самолета.

Автор выражает благодарность Л. М. Шкадову за обсуждение результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А. Элементарная теория ступенчатых ракет. Труды ЦАГИ, 1960.

2. Ми еле А. Механика полета, т. 1. М., „Наука*, 1965.

3. Воробьев Л. М. К теории полета ракет. М., ,Машиностроение*, 1970.

4. Москаленко Г. М. Инженерные методы проектирования в ракетодинамике. М., „Машиностроение*, 1974.

5. Ш к а д о в Л. М., Илларионов В. Ф., Б у х а н о в а Р. С., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., „Машиностроение*,

1972.

6. Allen Н. J. Hypersonic flight and re-entry problem. The twenty-first wright brother’s lecture. „J. of the Aeronautical Sciences*, vol. 25,

N 4, 1958.

Рукопись поступила 7/V 1980 г-