CC BY
24
Расчет и конструирование
УДК 531.3
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖУЩИХ СИЛ И МОМЕНТОВ ШАГАЮЩИХ АППАРАТОВ С ТРЁХЗВЕННЫМИ КОНЕЧНОСТЯМИ
А.И. Телегин, В.Б. Фёдоров
Предложены общие уравнения динамики (УД) шагающих аппаратов (ША) с трёхзвенными конечностями (ТК). Выведены формулы вычисления динамических реакций в опорных точках. Для ША в трёхопорном состоянии шесть обобщённых движущих сил (ОДС) звеньев опорных ТК (ОТК) выражены через оставшиеся три ОДС этих ОТК. Получены формулы вычисления ОДС звеньев ОТК, минимизирующих квадратичный (относительно ОДС) критерий качества. Приведён пример.
Ключевые слова: шагающий аппарат, уравнения динамики, первая задача динамики, динамические реакции, движущие силы и моменты сил, оптимизация.
Введение. В монографии [1] рассматривается задача оптимального распределения движущих моментов в шарнирах звеньев ног в процессах ходьбы конкретного шестиногого ША. Решение этой задачи разбивается на два этапа. Сначала на основе упрощённой модели ША, представленного в виде корпуса с массами ног, сосредоточенных в точках их подвеса к корпусу, оптимизируются распределения сил реакций в опорных точках. Затем для каждой ноги определяются оптимальные (в смысле минимума суммы квадратов движущих моментов ноги с весовыми коэффициентами) распределения шарнирных моментов движущих сил.
В предлагаемой статье рассматривается задача оптимального распределения движущих сил и моментов сил в кинематических парах (КП) ОТК в трёхопорных состояниях ША. Решение задачи разбивается на три этапа. Сначала на основе точных и общих УД звеньев ОТК выводятся формулы вычисления динамических реакций связей в опорных точках этих ОТК. Затем из точных УД корпуса определяются шесть ОДС в КП звеньев ОТК через оставшиеся три ОДС, которые названы независимыми ОДС (НОДС). В заключение для поиска оптимальных НОДС решается конечномерная оптимизационная задача. Найденные решения позволяют вычислить оптимальные значения ОДС трёх ОТК и им соответствующие распределения динамических реакций в опорных точках ША в процессах ходьбы и выполнения различных маневров.
1. Рассматриваемые ША состоят из корпуса, к которому подвешены четыре или более ТК. Общее число ТК обозначим через N. ША через ТК взаимодействует с опорной поверхностью (ОП). С ОП жёстко свяжем систему координат (СК) 0ХУ2, которую будем называть абсолютной СК (АСК). Ось 0У АСК направим против силовых линий гравитационного поля. С корпусом ША жёстко свяжем СК 01Х1У121 с ортами /1, ]1, к1 и назовём её СК корпуса (СКК). Звенья ТК условимся различать по номерам 1, 2, 3. Корпус с 1-м звеном }-й ТК образует первую КП, в которой корпус является базовым телом, а первое звено - смежным. Первое звено }-й ТК со 2-м звеном образуют вторую КП }-й ТК, в которой 1-е звено является базовым, а 2-е - смежным звеном этой КП. Второе звено с 3-м звеном }-й ТК образуют третью КП }-й ТК, в которой 2-е звено является базовым, а 3-е - смежным звеном этой КП. В рассматриваемых ША КП, связывающие звенья ТК друг с другом и с корпусом, могут быть как поступательными (ПКП), так и вращательными (ВКП). Осью ПКП является прямая, параллельная направлению поступательного перемещения смежного тела относительно базового. Осью ВКП является ось вращения смежного тела пары относительно базового. Для идентификации 1-й КП }-й ТК будем использовать переключатель 5 }1 . Для 1-й ПКП }-й ТК 5}1 = 0. Для 1-й ВКП }-й ТК 5}1 = 1.
С 1-м звеном }-й ТК жёстко свяжем СК 0}1Х}1У}12}1 с репером },, к}1. Точку 0}1 разместим на оси 1-й КП. Одну из осей 0}11}1, или 0}1к}1 направим вдоль оси этой КП и её орт
обозначим через , т. е. р^ є{ , к, }. Единичные векторы р,1 , Pj2, р, будем называть
ортами ,-й ТК. Начальное положение точки О,і относительно базы і-й КП будем называть базовой точкой і-го звена j-й ТК и обозначать её через ОО . Точку О°х назовём точкой подвеса j-й ТК. Все точки Од неподвижны относительно корпуса ША. Контакт конца опорной ТК (конца 3-го звена этой ТК) с ОП будем считать точечным. Через О, обозначим точку контакта ,-й ТК, если она опорная. Центр масс (ЦМ) і-го звена,-й ТК обозначим через С,і .
2. УД ША и реакции в опорных точках. Назовём базисому-й ТК некомпланарные векторы
вп, Єу2, Єуз, вычисляемые по формуле Єуі =5уіРуі +5уіРуі х г°, і=1,2,3, где т° = О°Р
5^ = 1 — 5^ . Используя утверждения 2, 3, 6 статьи [2], докажем:
Утверждение 1. УД рассматриваемых ША представимы в следующем виде
то ( - я)+ЕЕтл ((« - я)- р=Ер,; (1)
у=1 і=1 у=1
то К х( - я)+ 1С •ё + йх 1С -й +
N 3 р --------------- _ -| _ 3 _
ЕЕ тлО°1Сл х(л -я) + Гл ^л +йл хГл •“л -М = Е.п хО; (2)
у =1 1=1
п=1
И,, -= ё,, • р.,, і = 1,2,3; і = 1,2,3, (3)
у1 ^П1 у1 .у где Яп =5 п¥п +5 ,іМ
у1 П1 П1 П1 П1' 3
, (4)
Нл = 5цРц • Етк (к — Я) + 5рР]г • Е т]к°°лС,к х ( — Я) +] • ] + ю]к х ] •
к=/ к=/
т0 - масса корпуса, Ж - абсолютное ускорение ЦМ корпуса, Я - ускорение свободного падения, т^ - масса /-го звена _)-й ТК, Жд/ - абсолютное ускорение ЦМ /-го звена у-й ТК, Р -главный вектор внешних сил, действующих на корпус ША, - сила реакции в опорной точке
у-й ТК, Яс = ОС1, С1 - ЦМ корпуса, 1С - тензор инерции корпуса относительно его ЦМ, ю,г -абсолютные угловые скорость и ускорение корпуса, 1С - тензор инерции /-го звена у-й ТК относительно ЦМ этого звена, ю^, Ъ/ - абсолютные угловые скорость и ускорение /-го звенау-й ТК, М - главный момент внешних сил, действующих на корпус, Г0у = °°у, - движущая сила
вдоль оси /-й ПКПу-й ТК, Му/ - движущий момент силы относительно оси /-й ВКПу-й ТК.
Для вычисления ю^, Ъ/, Жд можно использовать следующие рекуррентные формулы
Юд = ® + 5у1<1у\р1, Ъ1 = г + 5уЦдУд + ю х ю71, Ж) = Ж + г х °°° + Ю х (ю х 00° + 2К),
юл = юл/—1 + 5лд], Ъл/ = Ъ/—1 + 5р/ + ]1 х ,
Ж/ = Ж;—1 + 5]1—1^1]1—1 Р//—1 + Ъл—1 х °Л—1°л + юЛ/—1 х (юЛ/—1 х °Л—1°л + 25уг—1<?уг—1 р/—1), г = 2,3,
Ж}1 = ЖЛ + 5]1с1]1р]1 + в]./ х °°]1С]1 + ю]/ х (ю]/ х °л' С]/ + 25]/^7]/р]/),
где V - абсолютная скорость ЦМ корпуса, Яц - обобщённая координата (ОК) /-го звена ]-й ТК.
Если 5 ї = 0, то в качестве qji можно выбрать координату точки С,і на оси О^р^ . Если 5 ,і = 1,
п
то Цц - угол поворота і-го звенап-й ТК относительно своей базы.
Доказательство. Введём обозначения Е0к = Н0к — ¥к, Н0к = Е т0/ (Жс/ — Я) . Тогда согласно
/ >к
утверждению 6 статьи [2] получим Е0к = Н0к — ¥к = Е Fп■ . Для корпуса ША к = 1. Следователь-
/ >к
3
но, уравнение поступательного движения корпуса примет вид Е01 = Н01 — Р1 = Н01 — Р = Е
]=1
3^+1 N 3
где Н01 = Е т0/ (Жс/ — Я) = т0 (Ж — Я) + ЕЕт]-/ (д — Я), Жс/ - абсолютное ускорение ЦМ /-го
/=1 ]=1 /=1
тела [2]. Отсюда получаем УД (1). Аналогично из утверждения 6 статьи [2] получим следующее
_ 3 ____ _
уравнение вращения корпуса ША вокруг его ЦМ Еп = Е °°Л х Р.] ,
]=1
где Е11 = т0Яс х (Ж — Я) + 1С • Ъ + юх 1С • ю +
N 3 г- ------- _ _ 3 _
+ЕЕ тР°°]1С]1 х((]1 - §)+^ •Ъл/ +ю дх 1] •ю у/ - м=Ег0]х 0.
л=1 /=1ь J л=1
Правая часть этого уравнения получается из следующих преобразований
3 3 3
Е(МГ] + °01°Л3 х К] ) = Е(°°3°л х РГ] + °°°3 х ) = Е°°Л х Р] .
]=Г ' ]=1У ' ]=1
Отсюда получаем УД (2).
Если /-е звено у-й ТК образует со своей базой ПКП, то согласно утверждению 6 статьи [2] его
3 _ _
УД имеет вид р]/ •Е т]к (]к — Я) — F]■/■ = р/ •Fr]■. Если /-е звено у-й ТК образует со своей базой
к =/
ВКП, то согласно утверждению 6 статьи [2] его УД имеет вид
3
р./ •Е т]к°‘//С]к х((]к — Я) + ] • в]к +юук х] •«у к=/
=р./ • (м + °лС‘Л3 х г.)=р/ х о;;0, • ,
—Мл =
так как для рассматриваемых ША М., = °°3° . х Е, и °°1°°ъ + °°3° . = 0°,° .. Умножим 1-е
из этих УД на 5. , а 2-е на 5,/ и просуммируем их. Тогда с учётом принятых обозначений получим УД (3).
Согласно утверждению 3 статьи [2] получим
ю,1 = Ш+ 50,1р,1 , Ш,2 = ю,1 + 52Я] 2р2 , ю,3 = ю, 2 + 5, 3Я/3р, 3 ,
8,1 = 8 + 50,1р,1 +юх Ш,1, Ёу2 = Ъ,1 + 5,2Яу2р,2 + ю,1 хю,2 , Ё,3 =Ъ2 + 5,3Я,3р,3 + ю,2 х ю,3 .
Аналогично, из утверждения 2 статьи [2] получим
ЖЛ = Ж/ + 5]-/Ч]1р]1 +Ё/ х °ЛСЛ + юЛ х (юЛ х °лСЛ + 25]/р]/ ) , где Ж,1 = Ж + Ъ х °°°1 +юх(юх °°°1 + 2V) ,
Ж! = Ж] + 5]1Я/1 р]1 + 8]1 х °у1°у2 + ю]1 х (ю]1 х °у1°у2 + 25]1Я]1р]1) ,
Ж] = Ж] + 5 ] 2 Я ] 2р ] 2 + 8 ] 2 х °у'2°/3 + ю Л 2 х (ю у 2 х °у'2°/3 + 25 у 2 Я у 2р / 2 ) .
Утверждение доказано.
Из (3) можно выразить р, . Для этого используем репер д-й ТК, векторы ё1, ёД, ёД которого вычисляются по формулам ё1 = ё,2 х ёд3 / й,, ёД = ёд3 х ёд1 / й,, ёД = ёд1 х ё,2 / й,, , = 1, 2, 3, где
_ _ _1 _2 3 _ _
й, = ё 1 •є,2 х ёп3. Векторы ёп ,ё, ,ё, некомпланарны, так как некомпланарны векторы ё,1,ё,2,ё,3 . Утверждение 2. Разложение силы р. по векторам реперад-й ТК имеет вид
р,=Е (,1 - Я п. ))■ <5>
і=1
Доказательство. Для трёх звеньев (і = 1, 2, 3) ТК из (3) получим систему трёх уравнений ёд • Р, = И,1 - 2,1, ё,2 • Р, = Ип2 - Я,2 , ё,3 • Р, = И,3 - 2,3. Используя формулу вычисления вектора по трём скалярным произведениям и понятие репера д-й ТК, получим искомую формулу (5). Утверждение доказано.
3. Выражение ОДС через НОДС. Из (1) можно выразить ОДС звеньев любой ТК. Утверждение 3. ОДС звеньев первой ОТК выражаются через ОДС второй и третьей ОТК, а также остальные силовые факторы по формуле
( 3 А
011 = Ии - ё1
Е01 -Е Рд
п=2 У
і = 1,2,3, (6)
где Е01 - левая часть УД (1).
Доказательство. Подставим в УД (1) вместо Рг1 формулу (5). Тогда получим
3 3
Е01 =Е(Я11 -211) ё/ +Ерд .
1=1 П=2
Отсюда для определения искомых ОДС получим векторное уравнение
Е(011 - Иц ) =Е рд - Е01. (7)
1=1 П=2
Представим его в виде
3 _ _
[((1 - И11) е12 х е13 + (Я12 - И12 ) е13 х е11 + (13 - И13 ) е11 х е12 ] ] = Е ] - ].
п=2
Умножим последовательно это равенство скалярно на ёц,ё^2,ё13 . Тогда получим три равенства
( 3 А
011 - Иц- = ё1
Е рд - Е01
V п=2 У
(і = 1,2,3). Отсюда следует искомая формула (6). Утверждение
доказано.
Из (2) можно выразить три ОДС через остальные силовые факторы. Уравнение, позволяющее это сделать, содержит выражение
0>21г12 х е2 + 022г12 х е22 + 023г12 х е2 + 0лг13 х е3 + 032г13 х е3 + Й3Г13 х е33 , (8)
где д13= О/1О/3 , д12 = ОіА2 .
Определение 1. Три линейно независимых вектора из множества ЯЕ = { Г12 х ё2, Г12 х ё2 , д12 х ё2 , д13 х ё3 , Г13 х ё3 , Г13 х ё3 |
обозначим через 51, Т2, 5"3 и назовём трёхопорным базисом (ТБ) ША. Три вектора 5"о1, Jo2, Jo3 из
— ( _1 _2 _3 _1 _______2 _3 1
множества Е = { ё2, ё2 , ё2 , ё3, ё3 , ё3 | (из реперов 2-й и 3-й ОТК), соответствующие векторам ТБ, т. е. являющиеся векторными множителями в формулах их вычисления, назовём порождающими векторами ТБ. ОДС 0Л, 2, Ях3 из множества Я = {021, 022, 023, 031, 032, 033},
соответствующие векторам ТБ в (8), т. е. являющиеся скалярными множителями перед векторами ТБ в (8), назовём зависимыми ОДС. Оставшиеся величины множеств ЯЕ, Е и 2 обозначим
соответственно через с1, с2, с3; со1, сО2, со3 и 01, 02, 03. Последние три скалярные величины
составляют НОДС.
Введение ТБ связано с необходимостью представления суммы (8) в виде
3
Е(к+0к ск).
к=1
Вопрос существования ТБ рассмотрим в последнем разделе. Здесь введём в обращение понятие трёхопорного репера (ТР) ША, векторы ё1, ё2, ё3 которого вычисляются по формулам
ё1 = 52 х 53 / s , ё2 = 53 х 51 / 5 , ё3 = 51 х 5“2 / 5 , где 5 = 51 • 52 х 53 .
Утверждение 4. Зависимые ОДС второй и третьей ОТК выражаются через НОДС и остальные силовые факторы ША по формулам
Q, = h, — e, •ХQc, i = 1, 2, з, k=1
3
r01 x E01 + Х(( 2krl2 x e2 + H3kr13 x e3 I ) k=1
11
(9)
(10)
где Е11 - левая часть УД (2).
Доказательство. Подставим в УД (2) вместо F ■ формулу (5). Тогда получим
Eii = Х ro j x Frj = roi x Х(Hii Qi,) ei + r02 x Х (H2i Q2i )
j=1
i=1
i=1
e2 +r03 X Х(3, Q3i ) e3
i=1
Вместо Е(1/ — Нц) ) подставим выражение (7), где вместо ¥г2, ¥г3 подставим выраже-
/=1
ния из (5). Тогда получим
3 3 3 3
E11 = r01 ХХХ( jk Qjk ) ej +r01 xE01 +r02 ХХ( 2k Q2k ) e2 + r03 X Х(Н 3k Q3k )
j=2 k=1
3
k=1
k=1
= (r02 r01 ) X Х (H2k Q2k ) e2 + (r03 r01 ) X Х (H3k Q3k ) e3 + r01 X E01 = r01 X E01 +
k=1
k=1
+ Х(H2kr12 X e2 + H3kr13 X e3 ) r12 X (Q21e2 + Q22 e2 + Q23 e2 ) r13 X (Q31 e3 + Q32 e3 + Q33 e3 ).
k=1
Выделим в последнем выражении ТБ. Тогда для определения зависимых ОДС второй и третьей ОТК с учётом равенств Т13 = 703 — Т01, Т12 = Т02 — Т01 получим уравнение
Х Qsksk = r01 Х E01 + Х^2kr12 X e2 + H3kr13 X e3 ) )
)-)-XQa .
k=1 k=1 k=1
Отсюда по формулам коэффициентов разложения вектора с учётом введённых обозначений получаем искомую формулу (9). Утверждение доказано.
Замечание 1. Если начало АСК поместить в точку Ot1, то % = 0, Т13 = Т03, Т12 = % и 3' )-))
J
Х((2k.02 X Є2 + Нз^.03 X Єз ) —j
'3k'03
k=1
Утверждение 5. ОДС звеньев первой ОТК выражаются через НОДС и остальные силовые факторы ША по формулам
Q1i = h, — ei, •ХQkik , ' = 1 2, 3, k=1
( 3 3 3
rrk
(11)
где ht = Н. — e
li
V
Eoi — ХХН
J=2 k=1
Jke] +ХН
J =1
JSoj
А з
, qk = ^k — Х(Є] • ^) j=1
0J '
Доказательство. Из (6) и (5) получим
( 3 3 А 3 3
Яи = Ни - ёц
а, = ни - ё1;
ек
Ел -ХХн* ёк -ё1,•ХХя**] •
ч ]=2 к=1 ) ]=2 к=1
Выделим в последнем выражении три зависимые и три независимые ОДС. Тогда получим
Е01-Х Х н]кё] - ё1, • Х Я^ок+Х Яксок
ч ]=2 к=1 ) V к=1 к=1
Если вместо зависимых ОДС подставить выражения из (9), то получим
(
3 3
А
1 ]к е]
3
а, = нь. - ёь. • Е01 -ххн
V ]=2 к=1
С использованием обозначения получим
3 С 3 А 3
-ё., •! н, -ё, •Ея.] =1V к=1
3
X
к=1
•V- е1, •Х^ сок.
а, = ь+е1,•Х е] •ХЯ
] £_,^к'" к ] =1V к=1 )
- е1, •Х Як сок = ^ - е1, •Х Як к=1 к=1
сок -
ХкгС- )
]=1
С учётом обозначения qk получим искомую формулу (11). Утверждение доказано.
4. Оптимальные НОДС. Полученные формулы вычисления шести ОДС звеньев ОТК через НОДС этих ОТК эффективно использовать при решении задачи поиска оптимальных программных движений (ходьбы) ША по известным алгоритмам. Если при этом минимизируется сумма квадратов ОДС (с заданными весовыми коэффициентами), то можно использовать Утверждение 6. Значения НОДС ША, минимизирующих функцию
/ = х ( ( + к2,Я2, + кцЯ3), ,=1
вычисляются по формулам
С Я1 А «11 «12 «13 А -1 С «1 А
Я2 = 2 2 « 2 сГ «23 «2
V Я3 ) 3 2 « 3 сТ «33 V «3 )
3 где «] = х(ks^н^ёrс] + к1,к,е1, • q]
(12)
,=1
3 Г
12
= X к еи • q2 е1, • ql + К,е, • С2 ег • С1) , «13 = X к к • q3e1, • ^ + к,е, • С3е, • С1),
,=1
«23 _ Х( к • q3e1,■ • q2 + кя,е, • с3е, • с2 ), ) , к1 - коэффициенты функции /, соответствующие
,=1
ОДС я, и Я.
Доказательство. Минимизируемая функция имеет вид
/ = Х ( • + к2,Я22, + к3,Я2г) = Х ( Я1 + (Я + к,Я,2).
,=1 ,=1
Здесь из ОДС 2-й и 3-й ОТК выделены НОДС. Подставим вместо и Я,, их выражения (11) и (9). Тогда получим
3
1=Х
,=1
С 3 А 2 С 3 А 2
к1, ь - е1, •Х ЯкЯк + кп н, - е •Х ЯкСк + к,Я,2
V к=1 ) V к=1 )
Из необходимых условий экстремума получим для ] = 1, 2, 3
а/
дЯ
=Х
] ,=1
С 3 А С 3 а
2,1, ь - е1, •Х Яkqk 1 (, • qj) + 2к• н, - е, •Х Якск 1 • ^ С] )
V к=1 ) V к=1 )
+ 2к]Я] = 0.
После элементарных преобразований получим
3 3 3
Е вк Е (( • ЧН • Ч] + Кё • скё • с}-)+= Е (к«Не • р • Ч]),
к=1 і=1 і=1
3
где ] = 1, 2, 3. Эта система с учётом обозначения для а] представима в виде Е а]квк = а] ,
к=1
33
где а11 = к1 + Е (і • Ч1Є1і • 4 + кз& • ^ • с1 ) , а12 = Е (і • Ч2е1і • Ч1 + К,е, • С2е • С1) , і=1 і=1
33
а13 = Е (Ні • Ч3е1і • Ч1 + к*,еі • С3еі • С1) , а21 = Е (Ні • Ч1Є1і • Ч2 + Н • С1е, • С2 ) , і=1 і=1
33
а22 = к2 + Е(к1іЄ1і ^ Ч2е1і • Ч2 + ksiei • С2еі • С2 ) , а23 = Е(к1іЄ1і • Ч3Є1і • Ч2 + ksiei • С3Єі • С2 ) , і=1 і=1
33
а
31
= Е (к1іе1і • Ч1Є1і • Ч3 + к^іеі • С1еі • С3 ) , а32 = Е (к1іе1і • Ч2Є1 і • Ч3 + Мі • С2Єі • С3 ) =
;=1 ;=1
3
азз = кз + Е (Н • Ье1, • Ч? + Кё • ё3ё • ёз).
;=1
Отсюда с учётом введённых обозначений получим формулу (12). Утверждение доказано.
5. Пример. Выведем формулы вычисления реакций и оптимального распределения ОДС в опорных точках многоногого ША с ПКП совершающего равномерное прямолинейное перемещение вдоль горизонтальной прямой так, что первая опорная нога расположена по правому борту ША, а две другие по - левому.
Оси 01 , 01к1 СКК расположим в плоскости, проходящей через точки подвеса опорных ног (/ = 1, 2, 3). Ось 01 / направим против ё, т. е. ё = -gj1• В качестве Р/1, р/2, Р/3 выберем орты
1/1, 1/2, 1/3 . ПКП устроены так, что рд = /д = ±к , р/2 = 1/2 = ± ;1 , р/3= 1/з = -/. Здесь и везде в дальнейшем верхний знак перед векторами соответствует ногам правого борта ША, а нижний знак соответствует ногам левого борта. По определению = //; . Следовательно, векторы
репера /-й ноги определяются по формулам е1 = + ; х /1 /(-1) = ±к1, е/ = + /1 х к1 /(-1) = ±;1,
е3 = к1 х ;1 /(-1 = -/1, (/ = 1, 2, 3), так как й/ = ^ •//2 х //3 = -^ • ; х /1 = -1. Величины Н/г вы-
числяются по формуле Н]і = ]]і •Е т0к (ук _ ё), где Щк = тлк . Здесь считается, что все ноги
к=і
ША одинаковы.
_ 3 _ _ 3
Для равномерного прямолинейного движения Н]і = ]^ •Е т0к (-ё) = -]^ • (-ё]1)Е т0к , т. е.
к=і к=і
Н]1 = Н] 2 = 0 и Н]3 =-то3ё . Следовательно,
^ = Е(Н - в]і ) ) = ±(-ЕЛ) к1 ± (Р2) ) + (ё + Е;3 ) ) = + Е;1к1 + Р]2І + (т03ё + Р]3 ) , і=1
так как вц = . В последнем выражении верхний знак (минус) перед движущими силами р1,
Р] 2 соответствует ногам правого борта ША, а нижний знак (плюс) - ногам левого борта.
ОДС звеньев первой опорной ноги выражаются через ОДС второй и третьей опорной ноги по _ N 3 _
формуле (6), где Е01 =~ё т0 -ё ЕЕт0і = ~Мё =Мё]1, М - масса ША. Так как первая опор-
]=1і=1
ная нога расположена по правому борту ША, а две другие - по левому, из (6) получим
k1 • [Mg Jl - FHk1 - FH l1 - (m03g + F23 ) Jl - F31k1 - F3211 - (m03g + F33 ) Jl ] - ]l + ]
Fii --
F12 - l1 •\_Mg J1 F21k1 FH l1 (m03g + F23 )j1 F31k1 F3211 (m03g + F33 ) J1 ] - FH + ] ,
F13 - “m03g + Л • [Mg j1 - F21k1 - F221 - (m03g + F23 ) h - F31k1 - F327 - (m03g + F33 ) 7 ] =
= -m03 g + Mg - m03 g - F23 - m03 g - F33 .
Начало АСК поместим в точку Ot1, тогда % - 0, T31 - Т03, T21 - r02. Из множества RE - -{r02 X r02 X ^% X ;l,r03 X k1,r03 X ^Г0з X ;і)
выберем ТБ { ^ ^ S, } где si - X ; - ~r02p , S2 - -% X j1 - -r03q , S3 - ~r02 X l1 - ~r02Vi, где
£ф - sin ф, ф - угол от Т02 до іь . Единичный вектор p лежит в ОП и направлен перпендикулярно вектору Т02 так, что {r02, j1, p } - правый базис. Единичный вектор q лежит в ОП и направлен перпендикулярно вектору % так, что { %, J1, q } - правый базис. Тогда Soi - ef --/i, So2 - Є33 --jb
Qsl - Q23 - F23, Qs2 - Q33 - F33 , Qs3 - Q22 - F22 , сї r02 Xk1 r02Sah1 ,
с2 --r03 Xk1 - -r03s^./l, с3 --r03 Xl1 --r03sy jl, Col - Go2 --k1
Q2 = Q31 = F31, Q3 = Q32 = F32, где sa = sin a , sp = sin P, sy = sin у, a - угол от r02 до P - угол
от r03 до k1, у - угол от r03 до /1 .
Зависимые ОДС выражаются через НОДС по формуле (9), где
Hі - Є
N 3
H23r02 X e2 + H33r03 X e3 + MRc X g + ЕЕm0kO J1C k X g
J -1 k-1
- Є • Jl X
N 3
H 23r02 + H33r03 + ^MgRc + g ЕЕ^-іС^
7 =1 ^=1
Векторы ТР вычисляются по формулам
ё = ^ X 7з /(-5/02% ) = (-%Ч) х (-г025ф7і) / (-5аГ02% ) = -Ча /(5уг02 ) ,
ё2 = 53 х ^1 /(-^аГ022Г03 ) = -Г025ф71 Х (-Г02р) / (-5аГ02Г03 ) = Ра / (\Г03 ) ,
ёз = 5 Х 52 /(-5аГ022Г03 ) = (-Г02р) Х (-Г03Ч) / (-^4% ) = - 71 / (Уо2 ) , так как 5 = 51 • ^ х 53 = (-Г02Р) • (-Г03Ч) х (-Г025ф71) = -5</02/03 , ^5ф, = 81П V , V - угол от Р
до ч (от Т02 до Т03). Единичный вектор лежит в ОП и направлен перпендикулярно вектору Ч так, что { Ч, 71, Ча } - правый базис. Ча коллинеарен вектору Т03 . Единичный вектор ра лежит в ОП и направлен перпендикулярно вектору р так, что { р, ]1,ра } - правый базис. ра коллинеарен вектору Г)2 . Следовательно, Н3 = 0 .
ОДС звеньев первой опорной ноги выражаются через НОДС по формулам (11),
3 3 ^ ( 3 2
(
где h, - Hil - eil •
Mghi- ЕH;з e]+ЕH;soj . Отсюда hi- -ki • hi fMg + ЕH;з- ЕH;
\
h2 - -l1 './I
J-2 2
J -1
J-2
J -1
- 0,
Mg +Е HJ з -Е HJ
J-2
J -1
- 0 . По формуле qk - с
ok
/-i
)
Е(Є/ • ck ) so/ получим
q1 - -k1 - qa /(sVr02) • (sar02hl)7l + Pa / (sVr03) • (sar0^^/1)7l - h1 / (sфr02) • (sar0^^/1)l1 - -k1 - sa 1 / Sp ; q2 - -k1 - qa /(SVr02 ) • (spr03;1 );1 + pa / (sVr03 ) ' (spr037 )j1 - !/1 / (Vo2 ) ' (spr0^^J1 )l1 - -k1 - Spr03l1 / (Vo2 ); q3 --l1 -qa /(V02) • (syЪЖ + pa / (syr03) • (syr03;i)j1 ^^/1 /(sфr02) • (sy WlH - -l1- syr03l1 / (sфr02).
Оптимальные НОДС ША, минимизирующие функцию J, вычисляются по формуле (2),
где a; -
з
I (ksk • cj + кї№ї, • Я/ ) - ksiH1e1 • cj + ks2H2e2 • cj + k13h3e13 • qJ,
i-1
e13 • q1 = -;1 • (-k1 - sa41 ^) - 0 , e13 • q2 = -;1 • (-k1 - sp r0311 (Sфr02 )) - 0 , e13 • Яз = -;1 • (-i1 - syr03T 1 (V02)) - 0, e1 • С1 = -qa • (-r02- 0 ,
e1 • c2 = -qa ^ф^ • (-r03 Vl) - 0, e1 • c3 = -qa I( V02:) • (-r03syll) - 0 ,
e2 • c1 = Pa I(s^r03 ) • (-r02sah ) - 0, e2 • c2 = Pa I(s^r03 ) • (-r03s^^/i) - 0,
e2 • c3 = Pa I(s^r03 ) • (-r03 sy ;1) - °-
Следовательно, ab - a2 - a3 - 0 и НОДС F21 - F31 - F32 - 0. По (11) QXi - F1;. - ht, т. е.
^ll - F12 - 0 , F13 - h3 - H13 ( j1) • j1
Mg + IHJ3 -IHJ
J-2
J -1
--m03 g + Mg - 2m03 g - H1 - H2 .
Заключение. Предложен новый вид УД ША с ТК, которые можно использовать для решения различных задач динамики и управления ходьбой такими ША. Получены формулы вычисления динамических реакций и оптимальных ОДС в ОТК для заданных программных движений ША. Эти формулы можно использовать для решения первой задачи динамики ША, а также в алгоритмах оптимального управления ходьбой ША, описанных в работе [1].
Литература
1. Охоцимский, Д.Е. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата / Д.Е. Охоцимский, Ю.Ф. Голубев. - М. : Наука, 1984. - 312 с.
2. Телегин, А.И. Алгоритмы решения первой задачи динамики произвольных систем тел / А.И. Телегин, А.В. Абросов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2001. - Вып. 1. -№ 6 (06). - С. 3-9.
Телегин Александр Иванович. Доктор физико-математических наук, профессор, декан электротехнического факультета, заведующий кафедрой «Системы управления и математическое моделирование», Южно-Уральский государственный университет, филиал в г. Миассе, шай@ miass.susu.ru.
Фёдоров Виктор Борисович. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация механосборочного производства», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск), [email protected].
Поступила в редакцию 25 марта 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry” _____________2014, vol. 14, no. 2, pp. 5-14
THE OPTIMUM DISTRIBUTION OF DRIVING FORCES AND MOMENTA OF WALKING APPARATUS WITH THREE-PART LIMBS
A.I. Telegin, South Ural State University, branch in the Miass, Miass, Russian Federation, [email protected],
V.B. Fedorov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]
General dynamics equations (DE) of walking apparatus (WA) with three-part limbs (TPL) have been suggested. Formulas for calculating dynamic reactions in ful-
crums devices have been derived. For (WA) in three-fulcrum condition six generalized driving forces (GDF) of the parts of fulcrum TPL (FTPL) three-part limbs have been expressed through the remaining three GDF generalized driving forces of these fulcrum three-part (FTP) limbs. Formulas for calculating GDF the generalized driving forces of the parts of fulcrum three-part limbs FTP minimizing the quadratic (the rest of GDF) quality criterion have been obtained. An example has been given.
Keywords: walking apparatus, dynamics equation, the first task of dynamics, dynamic reactions, driving forces and force moments, optimization.
References
1. Okhotsimskii D.E., Golubev Yu.F. Mechanika i Upravlenie Dvizheniem avtomaticheskogo sha-gaiushego apparata [Mechanics and Motion Control automatic walking machine]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 312 p.
2. Telegin A.I., Abrosov A.V. Algorithms for solving the first problem of the dynamics of arbitrary systems of bodies. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mechanical Engineering Industry, 2001, iss. 1, no. 6 (06), pp. 3-9. (in Russ.)
Received 25 March 2014
