Оптимальное проектирование внутренней структуры функционально-градиентных материалов при малой концентрации включений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ МАЛОЙ

КОНЦЕНТРАЦИИ ВКЛЮЧЕНИЙ

ДИСКОВСКИЙ А. А.1, д. т. н, проф., ПРУДЬКО Е. И.2, к. т. н., доц.

1 Кафедра высшей математики, Национальная металлургическая академия Украины, пр. Гагарина, 4, 49600, Днепр, Украина, тел.+38(0562)470375, e-mail: [email protected]

2 Кафедра высшей математики, Государственное высшее учебное заведение «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», ул. Чернышевского, 24-а, 49600, Днепр, Украина, тел.+38(0562)7563453, e-mail:[email protected]

Аннотация. Постановка проблемы. При оптимальном проектировании внутренней структуры функционально-градиентного материала (ФГМ) на основе классического метода осреднения в случаях малой концентрации включений, когда размеры включений много меньше расстояния между ними, возникают значительные вычислительные трудности. Цель исследования - разработка варианта метода осреднения, позволяющего эффективно решать задачи оптимизации внутренней структуры ФГМ при малой концентрации включений, и иллюстрация его на конкретных примерах. Вывод. Предлагаемая методика позволяет решать задачи расчета и оптимального проектирования внутренней структуры ФГМ конструкций с переменной величиной включений и с переменным шагом между ними по единой методике. При этом оптимизация проводится с помощью двух механизмов. Первый - выделения у закрепленных краев приграничных участков, в которых включения отсутствуют. Второй механизм оптимизации заключается в перераспределении размеров включений по закону, совпадающему с законом распределения внешней нагрузки. При переменном шаге между включениями шаг должен уменьшаться на участках с большей интенсивностью внешней нагрузки.

Ключовi слова: функционально-градиентный материал,оптимальное проектирование внутренней структуры, метод осреднения, продольная деформация стержня

ОПТИМАЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ ВНУТР1ШНЬО1 СТРУКТУРИ ФУНКЩОНАЛЬНО-ГРАД1СНТНИХ МАТЕР1АЛ1В ЗА МАЛО1 КОНЦЕНТРАЦП ВКЛЮЧЕНЬ

Д1СКОВСЬКИЙ О. А.1, д. т. н, проф., ПРУДЬКО О. I.2, к. т. н, доц.

1 Кафедра вищо! математики, Нацюнальна металургшна академiя Украши, пр. Гагарша, 4, 49600, Дтпро, Укра!на, тел.+38(0562)470375, e-mail: [email protected]

2 Кафедра вищо! математики, Державний вищий навчальний заклад «Придшпровська державна академiя будiвництва та архгтектури», вул. Чернишевського, 24-а, 49600, Дтпро, Укра!на, тел.+38(0562)7563453, e-mail:[email protected]

Анотащя. Постановка проблеми. Щд час оптимального проектування внутршньо! структури функцiонально-градieнтного матерiалу (ФГМ) на основi класичного методу осереднення у випадках мало! концентрацп включень, коли розмiр включень багато менший, нж вщстань м1ж ними, виникають значш обчислювальш труднощг Мета до^дження - розробка варiанта методу осереднення, що дозволяе ефективно розв'язувати задачi ошгашзацп внутршньо! структури ФГМ за мало! концентраци включень, та шюстращя його на конкретних прикладах. Висновок. Пропонована методика дозволяе розв'язувати задачi розрахунку i оптимального проектування внутршньо! структури ФГМ конструкцш зi змшною величиною включень i з перемшним кроком мiж ними за единою методикою. При цьому оптимiзацiя проводиться за допомогою двох механiзмiв. Перший - видшення бiля закрiплених кра!в прикордонних дiлянок, у яких включення вщсутш. Другий механiзм оптимiзацü' полягае в перерозподш розмiрiв включень за законом, що збтаеться iз законом розподшу зовнiшнього навантаження. У разi перемшного кроку мiж включеннями крок повинен зменшуватися на дiлянках iз бшьшою iнтенсивнiстю зовнiшнього навантаження.

Ключовi слова: функцiонально-градieнтний матерiал,оптимальне проектування структури, метод осереднення, поздовжня деформащя стрижня

STRUCTURAL OPTIMIZATION OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS WITH SMALL CONCENTRATION OF INCLUSIONS

DISKOVSKY A. A.1, Dr. Sc. (Tech), Prof, PRUDKO O. I.2, PhD., Ass. Prof.

1 Department of Higher Mathematics, National Metallurgical Academy of Ukraine, Gagarina 4, Dnepr, UA-49600, Ukraine. Tel. +38(0562)470375, e-mail: [email protected]

2 Department of Higher Mathematics, State Higher Educational Establishment «Prydneprovska State. Academy of Civil Engineering and Architecture»', 24-a, Chernyshevskogo str., Dnipro, 49600, Ukraine, Tel.+38(0562)7563453, e-mail: [email protected]

Summary. Raising of problem.With an optimal design of inner structure of functionally graded material (FGM) based on the classical method of homogenization procedure, in cases of low concentration of inclusions, when the size of inclusions is essentially less than the distance between them, leads to computational difficulties. Purpose - the research to develop a homogenization procedure, allowing solving effectively the problem of optimizing the internal structure of FGM at low concentrations of inclusions and illustration with specific examples. Conclusion. The proposed method allows solving tasks of calculation and optimal design of the internal structure of FGM structures with variable inclusions and with a variable step between them using the same methodology. The optimization is performed using two mechanisms. The first allocation is fixed at the edges of the border areas in which inclusions are absent. The second optimization mechanism is the distribution of inclusions sizes under the law, coinciding with the distribution law of an external load. Alternate step for the step should be reduced in areas with greater intensity of the external load.

Keywords: functionally graded rod, homogenization method, functionally graded inclusion size, functionally graded step between inclusions

Постановка проблемы. Снижение материалоемкости силовых элементов конструкций в условиях наиболее полного использования резервов их прочности, жесткости и надежности является одним из важнейших требований прогресса в судно-, авиа-, ракето- и космическом машиностроении, строительной индустрии и т.д. В этих целях широко применяются композитные материалы и конструкции.

Вместе с тем, возможности улучшения характеристик традиционных регулярных композитных материалов на сегодняшний день во многом исчерпаны. Значительным резервом в этом направлении является использование второго поколения композитных материалов - функционально-градиентных материалов (ФГМ), квазирегулярных гетерогенных материалов, у которых механические или геометрические характеристики

неоднородностей или их распределение непрерывно изменяются по заданному закону.

Этот закон, определяющий структуру ФГ материала, должен отвечать условиям нагружения ФГМ конструкций. При этом следует учитывать, что даже в тех случаях, когда из-за большей стоимости или трудностей технологического характера возможности применения ФГМ

оптимальной структуры ограничены, исследования оптимальных проектов имеет большое значение, так как позволяет теоретически оценить качество

традиционных конструкций.

Анализ публикаций. Для расчета ФГМ конструкций, как правило, применяют различные варианты МКЭ [1-3]. Но оптимизация структуры ФГМ для конкретных задач с помощью МКЭ вызывает значительные вычислительные трудности, поскольку требует больших серий решений прямых задач. Для регулярных композитов альтернативой МКЭ служит метод гомогенизации [4-6], который позволяет свести исходную краевую задачу в многосвязной области к рекуррентной последовательности краевых задач в односвязных областях. При этом, как правило, коэффициенты уравнений состояния аппроксимируются отрезками ряда Фурье при небольшом количестве членов. В работах [7-11] были предложены модификации метода осреднения, позволяющие рассматривать прямые и обратные задачи для функционально-градиентных материалов.

Цель исследования. Малые отрезки рядов Фурье хорошо описывают коэффициенты уравнений состояний ФГМ конструкций только при большой концентрации включений (зерен, волокон и т. п.), когда расстояние между включениями имеет тот же порядок, что и их характерный размер. При малой же концентрации, когда расстояние между включениями много больше их размеров, коэффициенты уравнений состояния представляют собой периодические импульсные функции. В этом случае реализация метода осреднения в аналитическом виде вызывает определенные трудности. При этом аналитические

решения важны при проектировании конструкций из композитных материалов и особенно конструкций из ФГМ. Поэтому при малой концентрации включений выгоднее использовать предлагаемый ниже вариант метода осреднения, в котором используется малость размеров включений по сравнению с расстоянием между ними. Предлагаемая методика проиллюстрирована на примере модельной задачи - продольной деформации стержня из ФГМ. Диаметр стержня сопоставим с размерами включений.

Основной материал. 1. Включения переменной величины. Закон изменения размеров включения может быть задан, например, в виде функции У = У(х), определяющей объём включения в зависимости от координаты X его расположения. Заменим включения сосредоточенными упругими вставками, жесткости которых характеризуют

влияние включений.

Если количество включений П велико и расстояние между ними 1 = 21 много меньше характерного размера конструкции, в данном случае / << Ь -длины стержня. Тогда для исследования продольной деформации

двухкомпонентного стержня можно применить следующий вариант метода осреднения. Запишем уравнение равновесия стержня между упругими вставками в безразмерном виде

й2и

dx2

= Ч,

(1)

Z V

где х = -; и =-; v - продольное

смещение; q

р(х) 1к0

; р(х) - распределенная

внешняя нагрузка; к0 =Е0Р; Е0 -коэффициент упругости базового материала стержня (матрицы); F - площадь поперечного сечения.

Условия сопряжения на / - ом упругом сечении можно записать так

( du\'

( du\'

(«)- = («Г; (-) - [-) = Ши, (2) где (...) ; (...)+ - соответственно предел слева и справа в точке х = i ; к{х) = -.

к о

1.1. Методика осреднения. Введем переменную % = х/е, где е = 1/п «1, которую будем считать независимой от переменной х. Перемещение и представим в виде асимптотического разложения

и = и0(х) +Е2и1(х, +Е3и2(х, + •••, (3)

где и5, (5 = 1,2,...) периодические по ^ функция с периодом п. Подставляя разложение (3) в уравнение (1) и условия (2), получаем осредненное уравнение продольной деформации двухкомпо-

нентного стержня:

d2u0

+ k(x)u0 = q.

(4)

эффекты

dx2

Микромеханические описываются составляющей разложения и1 , которая находится из уравнения

(5)

1.2. Обратная задача. Существенным преимуществом предлагаемого подхода к исследованию конструкций из ФГМ является то, что он позволяет ставить и эффективно решать задачи оптимизации -задачи определения оптимальных характеристик внутренней структуры материала, обеспечивающих заданные свойства конструкции. В качестве

примера рассмотрим задачу определения функции к(х), обеспечивающей

наибольшую продольную жесткость рассматриваемого двухкомпонентного

стержня при заданной распределенной нагрузке q(x). Без потери общности, выберем граничные условия в виде

ио(0) = 0; ^ =0 (6)

ах х=п

В качестве меры жесткостных свойств стержня выберем податливость,

ограничившись нулевым приближением для смещения

1 = fu qu0dx ^ mink. (7)

В качестве ограничения естественно выбрать условие постоянства суммарного объёма включений

£k(x)dx = c. (8)

На практике размеры включений имеют технологические ограничения. Из этого следует еще одно ограничение для целевой

функции kmin <k(x) <kT

которое

удовлетворяется введением

вспомогательной функции управления в (х)

к = а + ysind,

& max

(9)

Y

где

0.5 (кт1п + ктах).

Относительно вспомогательной функции управления в{х) рассматриваемая обратная задача (10) - (16) запишется так

/ = ци0йх ^ ттв /"ятб^х = с; (10)

d2u0 dx2

+ (а + ysin0)uo = q;

и„(о) = ° (£)„, = <>. (11)

Приравнивая нулю вариацию

функционала Лагранжа задачи (10), (11) получаем условие оптимальности

С05в(и1~Х) = 0, (12)

где Я - множитель Лагранжа. Из условия оптимальности (12) следует, что функция управления к(х) представляет собой кусочно-непрерывную функцию

к =

^min, % £ (0, Хх);

±-j= ,х £ (x1,L).

(13)

Постоянная Лагранжа Я находится из изопериметрического условия (14), которое принимает вид

qdx = ±V!(c-fcminx1). (14)

Координата точки х1 находится из условий непрерывности в этой точке смещения и деформации стержня (к этим условиям приводят соотношения на изломах экстремалей Вейерштрасса-Эрдмана [9]).

1.3. Пример оптимизации. С целью иллюстрации рассмотрим задачу (4) - (8) для q = рх, р = const, при кт¿п = 0. Для числового примера выберем следующие параметры п = 100; с = 102 — 103. График зависимости х1 от суммарной величины включений с представлен на рисунке 1. Оценим эффективность предлагаемой оптимизации. Для этого этого сравним удлинение стержня при оптимальном распределении жесткостей эквивалентных сечений и удлинение стержня регулярной структуры с одинаковым суммарным объёмом включений. Для рассматриваемых параметров относительное уменьшение удлинения S составляет для с = 102,5 =

46.6 %; с = 5 • 102, = 49.1%; с = 103,5

49.7 %.

Хл 15

—100% п

Рис. 1.

2. Переменный шаг между включениями. Другой технологической возможностью обеспечения градиентности свойств конструкций является

использование ФГМ у которых размеры включений одинаковые, но шаг между ними меняется по заданному закону. Рассмотрим базовый двухкомпонентный стержень с одинаковыми упругими вставками k = const. Зафиксируем количество вставок п и будем менять расстояние между ними I по некоторому закону. Для описания закономерности изменения шага введем функцию /(х), такую, что /(х¿) = i, тогда шаг между включениями 1//'(х). В работе [8] получены условия для сохранения неизменным количества вставок

/(0) = 0; f{n) =п; fx) >0. (15) 2.1. Прямая задача расчета. Если толщину вставок устремить к нулю, то уравнение продольной деформации стержня при шаговой градиентности можно записать в виде

^ + kY?=i5(f(x1)-i)u = q, (16) где 8 - дельта функция Дирака. Введем переменную /(х), тогда

х

-ГЧл).

Относительно

новой

переменной уравнение (16) запишется так

+ = (17)

¿(Г1) п

где ^ = ^

Уравнение (17) представляет собой уравнение с периодически разрывными

коэффициентами, и для него можно применить схему осреднения, аналогичную методики п. 1.1. В результате получаем осредненное уравнение продольной деформации двухкомпонентного стержня с переменным шагом между включениями

d2u0

+ kf'(x)u0 = q.

а**""........ - (18)

2.2. Обратная задача. Рассмотрим обратную задачу для уравнения (18) с граничными условиями (6). В качестве управляющей выберем

^ = &/'(х). Минимизировать

функцию будем

податливость стержня

^ тЫф. (19) Условия сохранения количества включений (15) приводят к изопериметрическому ограничению для целевой функции

/0П 4>йх = кп. (20)

На целевую функцию также

накладываются технологические

ограничения, аналогичные (15), которые будут выполнятся автоматически после введения вспомогательной целевой функции (9). Тогда рассматриваемая задача будет совпадать с задачей п. 1.2.

20 40 SO 80 100

Рис. 2. Номограмма для определения оптимального размещения включений, обеспечивающего наибольшую продольную жесткость стержня при q = рх

2.3. Пример оптимизации. Рассмотрим оптимизацию переменного шага между включениями для q = рх, р = const,

'Фтт = 0, последнее условие означает, что на интервале (0, х1) включения отсутствуют. Таким образом, получаем частную задачу, рассмотренную в п. 1.3 (при к = тр). После определения целевой функции по формуле (13), функцию /(х), определяющую оптимальные координаты вставок, находим интегрированием. При этом постоянную интегрирования определяем с помощью второго условия (15) 0, х е (0,хх);

/(х) =]зр(х2-п2)

+ п,х е (х1,п).

(21)

2х1к

График функции /(х) при р = 100; к = 10; п = 100 представлен на рисунке 2.

Заключение. Предлагаемая методика позволяет решать задачи расчета и оптимального проектирования внутренней структуры ФГМ конструкций с переменной величиной включений и с переменным шагом между ними по единой методике. Эти задачи оказались математически

идентичными, отличие состоит в разных физических смыслах коэффициентов уравнений состояния и целевых функций.

При этом оптимизация проводится с помощью двух механизмов. Первый -выделения у закрепленных краев приграничных участков, в которых включения отсутствуют. Второй механизм оптимизации заключается в

перераспределении размеров включений по закону, совпадающему с законом распределения внешней нагрузки. При переменном шаге между включениями шаг должен уменьшаться на участках с большей интенсивностью внешней нагрузки. Указанные механизмы оптимизации, очевидные с физической точки зрения, нашли свое математическое обоснование в настоящей работе.

Можно ожидать, что предлагаемая методика будет также эффективна при расчетах и оптимальном проектировании более сложных гетерогенных конструкций, описываемых дифференциальными

уравнениями более высокого порядка.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 3rd International Symposium on Structural and Functional Gradient Materials : proceedings, 10-12 October 1994, Swiss Federal Institute of Technology of Lausanne, Switzerland / edited by B. Ilschner, N. Cherradi. - Lausanne, Switzerland : Presses polytechniques et universitaires romandes, 1995. - 731 р.

2. Suresh S. Fundamentals of functionally graded materials : processing and thermomechancial behaviour of graded metals and metal-ceramic composites / S. Suresh, A. Mortensen. - London : IOM Communications Ltd., 1998. - 165 р.

3. Hirai T. Functionally Graded Materials / Т. Hirai // Materials Science and Technology - A Comprehensive Treatment / eds. R. W. Cahn, P. Haasen, E. J. Kramer. - Weinheim, 1996. - Vol. 17B : Processing of Ceramics, рart 2 / ed. R. J. Brook. - Р. 293-363.

4. Bolshakov V. I. Effective shear modulus and microscopic stresses in a fibred-reinforced composite materials with interphases / Bolshakov V. I., Danishevs'kyy V. V. // Строительство, материаловедение, машиностроение : сб. науч. тр. / Приднепр. гос. акад. стр-ва и архитектуры ; под общ. ред. В. И. Большакова. - Днепропетровск, 2006. -Вып. 36, ч. 3. - С. 167-173.

5. Bolshakov V. I. Asymptotic multiscale modelling of heat conduction in fibre-reinforced composite material with imperfect bonding / Bolshakov V. I., Danishevs'kyy V. V. // Aims for Future of Engineering Science : рroceedings the International Scientific Forum, Davos, 4-10 July, 2006. - Davos, Switzerland, 2006. - P. 97-107.

6. Bolshakov V. I. Propagation of elastic waves in periodic composite structures / V. I. Bolshakov, V. V. Danishevs'kyy, D. Weichert // Строительство, материаловедение, машиностроение: сб. науч. тр. / Приднепр. гос. акад. стр-ва и архитектуры. - Днепропетровск, 2008. - Вып. 45 : Стародубовские чтения, ч. 1. - С. 31-39.

7. Andrianov I. V. Homogenization of the irregular cell-types constructions / Andrianov I. V., Awrejcewicz J., Disk-ovsky A. A. // 8th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2005), Lodz, Poland, December 12-15, 2005 : рroceedings / Technical University of Lodz ; eds. J. Awrejcewicz, J. Mrozowski, D. Sendkowski. -Poland, 2005. - Vol. 2. - Р. 871-876.

8. Andrianov I. V. Homogenization of quasiperiodic structures / Andrianov I. V., Awrejcewicz J., Diskovsky A. A. // Journal of Vibration and Acoustics. Transactions of the ASME. - 2006. - Vol. 128, iss. 4. - Р. 532-534.

9. Andrianov I. Asymptotic investigation of corrugated elements with quesi-periodic structures / Andrianov I., Awrejcewicz J., Diskovsky A. // 10th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2009), Lodz, December 7-10, 2009 : рroceedings / Technical University of Lodz ; eds. J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, P. Olejnik, J. Mrozowski. - Poland, 2009. - Vol. 2. - Р. 523-532.

10. Andrianov I. Homogenization of the functionally-graded materials / Andrianov I., Awrejcewicz J., Diskovsky A. // 11th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2011), Lodz, December 5-8, 2011 : рroceedings / Technical University of Lodz ; eds. J. Awrejcewicz. - Poland, 2011. - Р. 55-62. - Available at: http://www.academia.edu/22581684/Homogenization_of_the_functionally-graded_materials.

11. Andrianov I. V. Sensitivity analysis in design of constructions made of functionally-graded materials / Andrianov I. V., Awrejcewicz J., Diskovsky A. A. // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C : Journal of Mechanical Engineering Science. - 2013. - Vol. 227, iss. 1. - Р. 19-28.

REFERENCES

1. Ilschner B. and Cherradi N., eds. 3rd International Symposium on Structural and Functional Gradient Material: proceedings, 10-12 October 1994. Swiss Federal Institute of Technology of Lausanne. Switzerland: Presses polytechniques et universitaires romandes, 1995, 731 р.

2. Suresh S. and Mortensen A. Fundamentals of functionally graded materials: processing and thermomechancial behaviour of graded metals and metal-ceramic composites. London: IOM Communications Ltd., 1998, 165 р.

3. Hirai T. Functionally Graded Materials. Materials Science and Technology - A Comprehensive Treatment. Processing of Ceramics. Weinheim, 1996, vol. 17B, рart 2, pp. 293-363.

4. Bolshakov V.I. and Danishevs'kyy V. V Effective shear modulus and microscopic stresses in a fibred-reinforced composite materials with interphases. Stroitel'stvo, materialovedenie, mashinostruenie [Construction, Materials Science. Mechanical Engineering]. Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture. Dnepropetrovsk, 2006, iss. 36, part 3, pp. 167-173.

5. Bolshakov V.I. and Danishevs'kyy V. V. Asymptotic multiscale modelling of heat conduction in fibre-reinforced composite material with imperfect bonding. Aims for Future of Engineering Science: рroceedings the International Scientific Forum, 2006, 4-10 July. Davos, Switzerland, 2006, pp. 97-107.

6. Bolshakov V.I., Danishevs'kyy V.V. and Weichert D. Propagation of elastic waves in periodic composite structures. Stroitel'stvo, materialovedenie, mashinostruenie [Construction, Materials Science. Mechanical Engineering]. Prydniprovs'ka State Academy of Civil Engineering and Architecture. Dnepropetrovsk, 2008, iss. 45: Proceedings in memory of Starodubov, part 1, pp. 31-39.

7. Andrianov I.V., Awrejcewicz J. and Diskovsky A.A. Homogenization of the irregular cell-types constructions. 8th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2005): proceedings. Technical University of Lodz. Poland, Lodz, December 12-15, 2005, vol. 2, pp. 871-876.

8. Andrianov I. V., Awrejcewicz J. and Diskovsky A.A. Homogenization of quasiperiodic structures. Journal of Vibration and Acoustics. Transactions of the ASME. 2006, vol. 128, iss. 4, pp. 532-534.

9. Andrianov I., Awrejcewicz J. and Diskovsky A. Asymptotic investigation of corrugated elements with quesi-periodic structures. 10th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2009): proceedings, December 710, 2009. Technical University of Lodz. Poland, 2009, vol. 2, pp. 523-532.

10. Andrianov I., Awrejcewicz J. and Diskovsky A. Homogenization of the functionally-graded materials. 11th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications (DSTA 2011): proceedings, December 5-8, 2011. Technical University of Lodz. Poland, 2011, pp. 55-62. Available at: http://www.academia.edu/22581684/Homogenization_of_the_functionally-graded_materials.

11. Andrianov I. V., Awrejcewicz J. and Diskovsky A.A. Sensitivity analysis in design of constructions made offunction-ally-graded materials. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2013, vol. 227, iss. 1, pp. 19-28.

Рецензент: Плеханов А. В., д-р т. н., проф.

Надшшла до редколеги: 11.11.2016 р. Прийнята до друку: 01.12.2016 р.