ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗГИБАЮЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КОЛЬЦЕВОЙ НАГРУЗКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 658.1

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗГИБАЮЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КОЛЬЦЕВОЙ НАГРУЗКИ

АЛИЕВ ДАМАД АХМЕД ОГЛЫ

Ученый секретарь Научно-Производственного Предприятия "Нефтгазавтомат",

г. Сумгайыт, Азербайджан

Аннотация. Приводится решение задачи оптимального проектирования круглой трехслойной пластинки типа "сэндвич" с тонкими несущими слоями, которые изгибаются под воздействием статической кольцевой поперечной нагрузки. Материалы несущих слоев одинаковые, однородные, идеально-пластические, подчиняются условию текучести Треск-Сен Венана и ассоциированному закону течения. В качестве критерия оптимальности принимается минимальность веса несущих слоев. Определены реализуемые пластические режимы, составлены условия оптимальности для этих режимов и уравнения равновесия пластинки. В цилиндрической системе координат (проведенной в центре тяжести пластинки) с помощью соответствующих граничных условий и условий непрерывности, определены законы изменения скорости прогиба и оптимальной толщины несущих слоев в областях реализации пластических режимов. Изложена процедура определения границы раздела реализуемых пластических режимов.

Ключевые слова: круглая пластинка, толщина несущих слоев, минимальный вес, кольцевая нагрузка, скорость прогиба, текучесть, пластические режимы, изгибающий момент

Постановка задачи. Так как научно-теоретические исследования по проектированию тонких слоистых минимального веса элементов конструкции имеют важное значение для приборостроения, машиностроения и авиационной техники [1], то решение следующей рассматриваемой задачи тоже будет актуальным.

Круглая трехслойная пластинка (типа "сэндвич") с радиусом К изгибается под действием статической кольцевой поперечной нагрузки интенсивностью Ц . Пластинка

состоит из двух одинаковых тонких несущих слоев переменной толщины Н, разделенных заполнителем из легкого материала постоянной толщины Н >> Н. Материал несущих слоев пластинки является несжимаемым, однородным, идеально-пластическим и подчиняется условию текучести Треск-Сен Венана и ассоциированному закону течения. Найдем законы изменений скорости прогиба (Ж) и толщины несущих слоев при условии минимальности веса несущих слоев пластинки.

Решение задачи. В центре тяжести пластинки проводим цилиндрическую систему координат ГфЕ, где Г радиальная координата, а вертикальная ось Z направлена вниз (рис.1). Составим уравнение равновесия пластинки:

М + м1 - м2 = 0(Г) (1)

Ф г

Л

V V V \t_\f

\|/ \|/ \|/ \|/ \|/

/

.a

b

-► r

i

z

q

q

Здесь Q - перерезывающая сила, М1 и М2 являются изгибающими моментами в радиальном и окружном направлениях.

Ввиду однородности материала несущих слоев, критерия оптимальности описывается условиями относительного минимальности объема, предложенные Друккером и Щильдом [2]:

M, M, Л

—-^ = const

2h

W'

X = -W , Л =--

r

(2) (3)

Здесь х и X являются скоростями кривизны в радиальном и окружном направлениях. Таким образом, поставленная задача приводится к решению уравнений (1) - (3) с учетом граничных условий, условий непрерывности функций Ж (г), Мх (г), Ж'(г) , М[(г) и

определению законов изменений функций Ж (г) и Н(г).

Так как материалы подчиняются условию текучести Треск-Сен Венана и ассоциированному закону течения, то вследствие изгиба выбранной поперечной нагрузки несущие слои будут принимать пластические формы, характеризующиеся угловыми точками шестиугольника текучести Треск-Сен Венана (рис.2).

М2 В

О Е

Если обозначить чеоез <7 поедел текучести матеоиала несущих слоев при растяжении (при сжатии), то Рис.2. Шестиугольник теоучести Треск - Сен Венана. будет определяться

как М0 = оИН .

Для простоты записи производную функции по г условно обозначим штрихом. С помощью условий оптимальности определяем условия реализации пластических режимов и схематическую форму изменения скорости прогиба соответствующих угловым точкам шестиугольника текучести. Полученные результаты представим в виде наглядной таблицы (Табл.1).

C

Табл.1

Условия реализации пластических режимов

Режимы Изгибающие моменты Условия для W(r), X, W"(r), x Форма изменения функции W (r)

W (r) X W" (r) x

A Mi — M2 — M0 - + - +

B Ml — 0, M2 — M0 - + + -

C M — -M0 , M2 — 0 - + + -

D Mi — M2 —-M0 + - + -

E M — 0, m2 — -m - + - +

F M — m0 , m2 — 0 + - - +

С учетом симметричности конструкции, нагрузки, формы закрепления и формы изгиба, а так же с учетом информации, представленной в табл.1, определяем: форма

пластического изгиба несущих слоев при 0 < r < R должна соответствовать режиму A , при R1 < r < R - режиму C . Здесь Г — R1 является общей границей реализации режимов A и

C.

С помощью уравнений (2), (3) и условий реализации режимов A и C составляем уравнения оптимальности для реализации этих пластических режимов:

-oHhW" - — W'

-r-— const (0 < r < R)

2h 1

oHhW "- 0

-— const (R < r < R)

2h

Для упрощения записей введем следующее обозначение:

2const

oH

Тогда уравнения оптимальности примут вид:

W'' +1W' — -Р (0 < r < R ) (4)

r

W" — Р (R1 < r < R) (5)

Если умножить обе части уравнения (4) на r , то получим:

(rW')' — -fir Найдем решения этого уравнения:

W' = -0,5 ,r +

C

Ж = -0,25 рт2 + С 1п т + С2

Найдем решения уравнения (5):

Ж' = ¡т + С

Ж = 0,5 ¡т2 + Сът + С

(0 < r < R ) (0 < r < R )

(R < r < R) (R < r < R)

(6)

(7)

(8) (9)

Для оределения выражений постоянных интегрирования Сх, С2, С3 и С4 будем пользоваться условиями непрерывности и граничными условиями для функций Ж (т) и

Ж'(т).

С учетом условия Ж'(т) = 0 при т = R, из (8) получим: С3 = —¡Я . С учетом условия непрерывности функции Ж'(т) при т = R1, из (6) и (8) получим:

С = 15 —дад

С учетом условия Ж(т) = 0 при т = R, из (9) получим: С4 = 0,5 ¡Я2 . Для непрерывности функции Ж(т) при т = Rl, из (7) и (9) получим:

Q = 0,75/R - J3RR + 0,5pR - Q ln R

Таким образом:

W (r) =

- 0,25,prг + Qln— + 0,75 PR2 - PRR + 0,5pR1 0 < r < R Ri

0,5,r2- pRr + 0,5,R2 R < r < R

Для определения общей границы реализации пластических режимов А , С и закона изменения оптимальной толщины несущих слоев рассматриваемой конструкции предлагаем следующую процедуру:

Для областей 0 < т < а , а < т < R ,в которых реализуется пластический режим А ,принимается Мх = М2 = М0 , определяются соответствующие выражения изгибающего момента М1 (т) и составляются уравнения равновесия, соответствующие равенству (1); Для областей R < т < а + Ь , а + Ь < т < R ,в которых реализуется пластический режим С , принимается Мх = —М0, М2 = 0 , определяются соответствующие выражения изгибающего момента М (т) и составляются уравнения равновесия, соответствующие равенству (1); Проводится решение уравнений равновесия и определяются выраженияМг (т) для характерных областей;

С учетом граничных условий и условий непрерывноси для Мх (т), М[(т) определяются постоянные интегирования, участвующие в рещениях уравнений равновесия и общая граница т = R реализации пластических режимов А и С (необходимо отметить, что при

переходе границы т = R1 радиальный изгибающий момент М1 (т) меняет свой знак, поэтому за условие непрерывности Мх (т) при т = Я1 следует принимать Мх (Я1) = 0 );

r

определяется закон изменения оптимальном толщины несущих слоев оптимальном слоистои

круговой пластинки:

Кг ) =

аИ

M x(r ) аИ M ¿r )

аИ

0 < r < R,

R < r < R

Полученные результаты. Найдено решение задачи проектирования круглой слоистой пластинки минимального веса, изгибающейся под воздействием статической поперечной кольцевой нагрузки постоянной интенсивности. Определены законы изменения скорости прогиба и оптимальной толщины несущих слоев для реализуемых пластических режимов. Изложена процедура определения границы раздела реализуемых пластических режимов.

ЛИТЕРАТУРА

<

1. D.3.3liyev. Оптимальное проектирование тонкостенных элементов конструкций. "Kibernetika va informatika problemlari". 24-26 oktyabr 2006-ci il. Baki §., Beynalxalq konfransin materiallari, I cild, sah.84-86.

2. D.0.9liyev. Konturlari boyu barkidilmi§ dairavi lovhalarin optimal layihalandirilmasi Sumqayit Dovlat Universitetinin "Elmi xabarlar" jurnali (Tabiat va texniki elmlar bolmasi), 2018, №1, sah.18-22.