CC BY
36
УДК 556.18
Алоев Толя Баширович
кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных информационных технологий aloev@list.ru
Асланова Елена Михайловна
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и теории функций aslanova.elena@list.ru
Жемухов Руслан Шихарбиевич
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и теории функций aslanova.elena@list.ru
Жемухова Марина Мухамедовна
кандидат технических наук, доцент кафедры машины и аппараты пищевых производств aslanova.elena@list.ru
Оптимальное
ПЛАНИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ
ВОДОХОЗЯЙСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ
Tolya B. Aloev
candidate of technical Sciences, associate professor at the Department of automated information technologies aloev@list.ru
Elena M. Aslanova
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the mathematical analysis and theory of functions aslanova.elena@list.ru
Ruslan Sh. Zhemukhov
candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor at the Department of mathematical analysis and theory of functions aslanova.elena@list.ru
Marina M. Zhemukhova
candidate of technical Sciences, associate professor at the Department of food productions devices aslanova.elena@list.ru
Optimal
DEVELOPMENT PLANNING OF WATER SYSTEM
Аннотация. В данной статье отмечены ключевые моменты для планирования развития водохозяйственной системы. При планировании развития водохозяйственной системы целесообразно использовать оптимизационные модели, отражающие основные особенности этой проблемы. Они включают возможные условия функционирования ВХС, альтернативные варианты ее развития, а также правила их сравнения и отбора. Проблема выбора оптимальных параметров водохозяйственной системы описывается в работе экстремальной задачей определения параметров сети и потоков в ней. Для обоснования параметров водохозяйственной системы предложены четыре модификации потоковой модели, с различной детальностью учитывающие динамические и стохастические особенности её функционирования.
Ключевые слова: моделирование; планирование; оптимизация параметров; сеть; граф; динамическая модель; стохастическая модель; целевой функционал; водохозяйственная система.
Annotation. When planning the development of water system it is advisable to use an optimization model that reflects the main features of this problem. They include the possible modalities of WES, alternative options for its development, as well as the rules for their comparison and selection. The problem of choosing the optimal parameters of the water management system described in the work is one of the extreme problem of determining the network parameters and flows in it. For justification of parameters of the water management system four modifications threading model, with various granularity taking into account the dynamic and stochastic features of its functioning are proposed.
Keywords: modeling, planning, parameter optimization, network, graph, dynamic model, stochastic model, target functionality, water system.
В работе водохозяйственная система (ВХС) изображается сетью. Элементы сети соответствуют элементам ВХС - источникам воды, участкам рек и каналов, водохранилищам, водопользователям; их взаимодействие в модели
осуществляется при перемещении потоков, которые соответствуют перемещению воды в ВХС. Проблема выбора оптимальных параметров ВХС описывается экстремальной задачей определения параметров сети и потоков в ней.
267
Учет стохастичности и неопределенности протекающих процессов порождает различные потоковые модели выбора параметров ВХС. В рассматриваемых моделях предполагаются известными параметры существующей ВХС: пропускные способности и КПД каналов и участков рек, емкости водохранилищ и зависимости потерь воды из них, мощности пользователей и характеристики эффективности использования ими воды и т.п., избыточный набор реконструируемых и вновь строящихся элементов с их параметрами, полученными в результате предварительных проработок, и возможные условия функционирования системы [1]. Решение проблемы состоит в выборе из допустимых наборов параметров элементов ВХС оптимального. В данной работе под оптимальными понимаются параметры элементов, при которых минимизируются затраты за расчетный период. Затраты включают эксплуатационные расходы и капитальные вложения; в них учитывается также эффект от использования водных ресурсов [2].
Сравниваются решения, получаемые в четырех моделях, отличающихся характером учета условий функционирования ВХС. Наиболее общей из них является стохастическая динамическая модель, в которой случайный процесс поступления и использования воды дан в виде конечного множества характерных реализации и функционирование рассматривается в дискретном времени. Если множество характерных реализаций состоит из одного элемента, то из этой модели выделяется детерминированная динамическая модель. Из этой же модели при представлении расчетного периода одним временным отрезком получается двухэтапная стохастическая статическая модель. Если множество характерных реализаций содержит один элемент и расчетный период представлен одним временным отрезком, то из этой же модели следует детерминированная статическая модель.
Оптимальные векторы задач, которыми описываются указанные модели, сравниваются по характеру результатов и вычислительным сложностям их получения. Все четыре модели формируются как модели выбора параметров одной ВХС
Для каждого r -го из всех R элементов ВХС выделяется конечное множество ar возможных
вариантов его развития ra; в их число включается также вариант, соответствующий отказу от строительства элемента. Если r -й элемент существует и его реконструкции не предполагается, то множество ar содержит один вариант -исходный. Варианты развития ВХС формируются из вариантов развития элементов, взятых по одному из всех множеств ar.
Функционирование ВХС рассматривается в дискретном времени t из расчетного периода T = [t0,tN] , разбитого точками t на N временных промежутков длительностью ht. Возможные изменения параметров элементов приведены к одному моменту времени 10. Случайный процесс поступления и использования воды в ВХС пред-
ставлен конечным множеством W характерных реализаций с их вероятностями pw.
В моделях реализуется двухэтапная методология планирования ВХС [1, 2], в соответствии с которой сравнению подлежат все возможные сочетания параметров элементов, причем при заданных сочетаниях параметров рассматривается оптимально функционирующая система. Стратегическими переменными первого этапа служат характеристические функции вариантов развития элементов дга , принимающие значение 1, если принят ra -й вариант, и 0 - в противоположном случае.
Каждый вариант развития включается в модели как функционирующий элемент. Так как элементы ВХС могут функционировать только по одному варианту, то их характеристические функции связаны условиями
Zhra= 1 r е R (1)
ra^ar
Тактическими переменными второго этапа в моделях выступают потоки в дугах и запасы на складах сети r(i,S), изображающей все рассматриваемые варианты развития элементов ВХС - существующие и возможные. Множество вершин i соответствует местам расположения источников, водохранилищ, соединений рек и каналов, изъятия и возврата вод. Множество дуг S соответствует пользователям, участкам рек и каналов, а также включает дополнительно вводимые дуги.
Пользователи, участки каналов и русел рек изображаются дугами с усилением и запаздыванием. Поток vSa в начале sa -й дуги, соответствующей sa -му варианту развития s -го пользователя, участка канала или реки при реализации w стохастичес ких условий, связан с потоком
в ее конце vkW равенством
С = kWat vWat-q , (2)
с неотрицательным запаздыванием QSWat между моментами поступления и возврата воды и коэффициентом усиления, значения которого лежат в пределах 0 < kSWat < 1.
Требования предприятий промышленного, сельскохозяйственного и энергетического производства, обеспечение санитарных и рыбохозяйственных попусков и судоходных глубин, а также пропускные способности участков каналов и русел рек порождают ограничения сверху и снизу на потоки в дугах:
VWat < VsWat < V! (3)
Источники воды с неуправляемыми расходами (например, речной сток) изображаются располагаемыми в вершинах источниками потока задан-
268
ной интенсивности ЬЩ0. Источники воды с управляемыми расходами (например, переброски вод из других регионов) изображаются в виде фрагментов r(i,S); каждый из этих фрагментов содержит вершины, число которых равно числу вариантов развития этого источника. Во введенных вершинах располагаются источники потока
заданной интенсивности ЬЩ, , соответствующей наибольшему количеству воды, которое может быть получено от источника в единицу времени. Каждая из вершин соединяется с остальной частью r(i,S) исходящими из нее дугами so1 и
so2 с коэффициентами усиления kSWl1 = 1 и
k<Wa2 = 0 ; эти дуги заходят в вершину, изображающую створ, через который вода источника поступает в ВХС. Поток so1 - й дуги моделирует интенсивность поступления воды источника в ВХС, поток so2 -й изображает неиспользуемую в системе часть интенсивности источника.
Водохранилища и моря рассматриваются как единое целое с расположенными на них пользователями и изображаются располагаемыми в
вершинах i е i складами, запасы которых WO соответствуют количеству воды в водохранилищах и морях. При этом склады, изображающие моря, располагаются в вершинах, которым инцидентны только заходящие дуги, что соответствует отсутствию возврата вод морей в ВХС.
Требование пользователей и особенности водоемов накладывают ограничения на объемы воды в водохранилищах и морях, которые в модели выделяют множества возможных значений запасов на складах:
<t £ wWt £ wLt. (4)
Зависимости потерь воды из водохранилищ и морей на фильтрацию и испарение в модели аппроксимируются линейными
S<f = , (5)
с коэффициентами потерь g ы.
В качестве критерия оптимальности принимается функция затрат
Fo =30Р-Ц Z Pio = Ua + EHKo - Z Z Pio , (7)
i
где uа - эксплуатационные издержки, EH - ноp-мативный коэффициент эффективности капитальных вложений, Ка - капитальные затраты.
В соответствии с особенностями формируемой модели затраты Fo удобно представить в виде
двух слагаемых FO и FO . Fi вкпючает капитальные затраты EHKo и часть эксплуатационных издержек иа, значения которых не зависят от режима функционирования элемента. F(0i
включает часть эксплуатационных издержек иа , значения которых зависят от режима функционирования элемента, и взятый с обратным знаком ДОХОД ОТ производимой продукции ZZ/P/O .
/'
Функционал затрат ВХС является суммой функционалов затрат ее элементов Fr, которые состоят из слагаемых, характеризующих развитие элемента F/ и его функционирование F1 , т.е.
Fr = Fi + Fi .
Функционал F/ отражает затраты Fra ввода вариантов развития:
F (hr)= Z Frohro . (8)
roear
Так как в соответствии с (1) одна из характеристических функций hro., ro е аг, равна единице, а
остальные - нулю, в функционале F/ только одно слагаемое, соответствующее отличной от нуля функции hro., отлично от нуля. Таким образом, в (8) учитываются затраты только принимаемого варианта развития элемента.
Функционирование ro -го варианта развития
элемента ВХС оценивается математическим ожиданием затрат функционирования
Закону сохранения количества воды в модели соответствует система уравнений неразрывности потоков в вершинах сети
ZkaT+1 - Wot ] =
ioeai
= h
ZC,
..e.s+
2> so, -s<0t + bi
soeSi
i е i , (6)
где под S+ понимается множество дуг сети
r(i,S), заходящих в i -ю вершину; S- - множество дуг, исходящих из нее.
Fi = M d*ra)=Z Р Так) (9)
Ш ШЕЙ
зависящих от режимов функционирования элемента
Xro = fa, Ш Е й} И < = fa^ t е Т}
В модели каждому варианту развития элемента при реализации стохастических условий Ш соответствует элемент roe R = I u S сет и r(i,S) -
дуга или склад. В соответствии с этим х“ о бо-значает при roe S поток ro -й дуги VO , ПРИ rO е i - запас rO -го склада .
269
Предполагается, что функции />S\xWxJ представимы в виде суммы
dc)=i;с (с) ■ (10)
teT
Функции С (x.) выпуклы в сил у закона убывающей доходности, в соответствии с которым с увеличением количества воды у пользователя падает эффективность использования единицы
ее объема. Функции f . (xZ.t) предполагаются обладающими свойством С (0) = 0 для всех t е T . Это предположение не нарушает общности рассмотрения. Если f . (0)* 0 (это имеет место, например, в оросительных системах, где f .(0) означает затраты, связанные с потерей
Литература:
1. Данилов-Данильян В.И. Управление водными ресурсами. Согласование стратегий водопользования / В.И. Данилов-Данильян, ИЛ. Хранович М. : Научный мир, 2010. 232 с.
2. Моделирование водохозяйственных систем (эколого-экономические аспекты; под ред. ВТ. Пряжинской. М. : ИВП РАН, 1992. 350 с.
урожая из-за отсутствия поливов), то в (10) осуществляется переход к функции
f rat (x“t )= f г. (xrat )- f .rat (0)-
Это уменьшение функционала F. компенсируется равным ему увеличением функционала F. , что достигается увеличением значений затрат
F. на величину
ЕрТС (0).
weQ teT
При формализованном описании сложной проблемы выбора параметров ВХС допустима аппроксимация функционалов затрат реальных пользователей функционалами (9) и (10).
Literature:
1. Danilov-Danil’yan V.'. Water Resources Management. Coordination of water use strategies / V.I. Danilov-Danil'yan, I.L. Khranovich M. : NAUCHNYI MIR, 2010. 232 p.
2. Modeling of water systems (environmental and economic aspects); ed. V.G. Pryazhinskaya. M. : WPI RAS, 1992. 350 p.
270
