Оптимальная расстановка оборудования в мног опредметном производстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СГ16ГУ. Сер 5. 2003. Вып. 4 (№ 29)

В. К. Тютюккн

ОПТИМАЛЬНАЯ РАССТАНОВКА ОБОРУДОВАНИЯ В МНОГ ОПРЕДМЕТНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Рассматриваем многопредметное производство с разнонаправленными технологическими маршрутами изготовления предметов. В этих условиях возникает задача расстановки (размещения, назначения) станков на имеющиеся в наличии площадки (места) в каком-то ограниченном пространстве так, чтобы минимизировать суммарный грузооборот (работу по перемещению в процессе изготовления всех предметов труда). Эта задача относится к области проектирования производственной системы. Ее решение во многом определяет производительность и затраты функционирования всей системы машин.

В условиях непоточного производства, рассматриваемого ниже, она является с математической точки зрения квадратичной задачей о назначениях1 (т.е. усложнением задачи о назначениях2). Известные математики (Тьяллинг Купманс, удостоенный вместе с Л.В. Канторовичем в 1975 г. Нобелевской премии по экономике, И.В. Романовский) опубликовали лишь постановку этой задачи. Возможно сведение ее к задаче о назначениях.3 Представляется целесообразным находить точное решение этой задачи каким-либо методом целенаправленного перебора вариантов, например методом ветвей и границ. Известна неудачная попытка применения экономистами указанного метода."1 Ниже предлагается корректное применение этого метода, предполагающего решение задачи о назначениях, например, венгерским методом.5

Исходные данные

Пусть в данном цехе имеется т станков, которые должны быть расставлены на имеющиеся т площадок (естественно, по одному на каждой). Термин «станок» понимается в широком смысле, т.е. им может быть отдельная единица технологического оборудования, группа оборудования, роботизированный комплекс, производственный участок, склад. Термин «площадка» тоже понимается в обобщенном смысле, т.е. под нею можно подразумевать часть не только площади, но и пространства (например, в случае использования подвесных промышленных роботов). Известны две следующие квадратные матрицы порядка т (с нулевой главной диагональю).

ТЮ'ГЮКНН

Виктор Константинович

- д-р экон наук, профессор кафедры экономической кибернетики СПбГУ Окончил математико-механический факультет СПбГУ (1964) и аспирантуру кафедры экономической кибернетики СПбГУ (1972). В Университете работает с 1965 г. Кандидатскую диссертацию защитил в 1973 г., докторскую - в 1989 г. Стажировался в университетах Франции (1976). Область научных интересов - производственный менеджмент, гибкие автоматизированные производства, микроэкономика. Автор более 30 научных публикаций, в том числе одног о учебною пособия с грифом министерства (в соавторстве) и одной монографии.

© В. К Тютюкин, 2003

Q=\\C^ \\~ матрица грузопотоков (т.е. весов перемещаемых предметов) с каждого 1 и

станка на каждый другой, элемент д .. которой означает грузопоток (т.е. вес перемещаемых предметов) с ('-го станка нау'-й (/ ,у = 1: т) в течение планового периода (год, месяц).

II Гу II - матрица расстояний между парами площадок, элемент г у которой

означает расстояние от /-й площадки до у'-й (/', у = 1: т ). Эти расстояния определяются с учетом схем проходов между площадками и средних точек начальной и конечной траекторий перемещений предметов труда. Поэтому в общем случае матрица Я не является симметричной ( г у Ф Г - )•

Если матрицы () и известны и, например, станки /' и у установлены на площадки к и / (соответственно), то грузооборот со станка ¡' на станок у составит величину д^Г^.

Таким образом, грузооборот зависит от относительного размещения станков по площадкам.

Заметим, что в качестве д .. можно понимать и некий обобщенный вес, например

количество перемещаемых предметов, число перемещений, стоимость перемещения единицы груза на единицу расстояния, приведенные затраты на перемещение предметов с /-го станка на у'-й. Построение матрицы является самостоятельной, предварительной задачей, решаемой на основе прогнозирования на плановый период номенклатуры изготавливаемых предметов и изучения технологических маршрутов их изготовления.

Покажем построение матрицы грузопотоков Q для цеха при следующих дополнительных предпосылках и исходных данных.

Пусть имеющиеся в цехе станки являются разнотипными. Это допущение равносильно тому, что на всех технологических (т.е. основных) операциях (для краткости, операциях), выполняемых в цехе, нет дублирующего оборудования, т.е. каждой операции взаимнооднозначно соответствует определенный станок. Отсюда следует, что т является количеством разнообразных видов не только имеющихся станков, но и выполняемых операций в цехе; и - широта (численность) номенклатурного плана, т.е. количество наименований предметов (деталей), которые должны быть изготовлены в цехе в плановом периоде.

По предмету у'-го (/' = 1 : п) наименования (для краткости, у'-му предмету) известны следующие характеристики:

УУу- программа выпуска (шт.) на планируемый период;

q¡ - штучный вес. Если в процессе изготовления предмета его вес меняется значительно, то в качестве принимаем некий средний в процессе его изготовления вес;

(ТМ), - технологический маршрут.

Технологические маршруты предметов предполагаются общего вида, т.е. являются разными (разнонаправленными). Знание технологического маршрута предполагает прежде всего знание его длины: т, -длина (ТМ),, т.е. общее количество технологических операций, необходимых для изготовления предмета у.

При допущении об отсутствии дублеров на операциях, сделанном выше, задать технологические маршруты можно с помощью указания, например привязки предмето-операций к станкам. В этом случае известен $ у - номер станка, на котором выполняется

1-я по порядку в технологическом маршруте операция у'-го предмета ( < т , I - 1: /я,-,

у = 1: п ). Таким образом, (ТМ), = ( 5 ( , 5 ^ , . . . , , . . . ,5т у ).

Далее, считаем, что технологический маршрут любого предмета не имеет петель, т.е. все необходимые для изг отовления предмета операции выполняются (станки используются) по одному разу. Из этого необходимо вытекает, что т, < т, при этом если для изготовления некоторого предмета у требуется выполнить все т операций, то т, = т , а если некоторые из них пропускаются (не требуются), то т, < т. Отсутствие петель в технологических

маршрутах предметов формально означает, что при / к, т.е. (ТМ), есть

некоторое размещение из т по /и, (/ = 1: п).

При таких дополнительных предпосылках и исходных данных элементы матрицы грузопотоков (<2 = || ||) рассчитываются по формулам д ^ = О (к = 1 : т) и

С] ^ = ^ У ¡^) ^ ^ '")' ^кг есть множество всех предметов, в

' ]^кг

технологических маршрутах которых за станком к сразу следует станок г (и, следовательно, операции на станках к и г являются смежными): = { _/' : $^ — А:,5( + | ; = г }•

Следовательно, матрица Q является квадратной порядка т и имеет нулевую главную диагональ.

Матрица грузопотоков обладает следующим очевидным балансовым свойством -сумма элементов к-й строки совпадает с суммой элементов /с-го столбца:

Ет у—л т

г = \Якг=1^г= 1Чгк- (к=1 ■■>»)■ С)

Можно заметить также, что обе эти суммы равны ^ д /V ■ > где О ^ есть

множество тех предметов, в технологические маршруты которых входит к-й станок, т.е. {] '■ к ^(ГМ); }. В частности, если к-й станок входит в технологические маршруты

всех предметов, то обе суммы (1) равны " а N

/—! / = ) " I .) '

Покажем построение матрицы грузопотоков для конкретных численных данных. Пример. Пусть для пяти предметов (л = 5) имеем следующие программы выпуска и штучные веса (табл. 1, строки 1-3). Рассчитываем вес на программу каждого предмета (табл.1, строка 4). Далее, пусть в цехе имеется шесть станков, т.е. могут быть выполнены шесть операций (т = 6), и заданы технологические маршруты (номера $ „ станков для

выполнения операций) всех предметов (столбцы табл. 2).

Таблица 1 Таблица 2

} 1 2 3 4 5

1000 500 1200 700 1500

<7/ 0,1 0,15 0,1 0,13 0,08

100 75 120 91 120

X 1 2 3 4 5

1 3 2 1 4 6

2 1 3 3 2 5

3 5 4 2 1 4

4 6 6 4 3 3

5 2 5 6 6 2

6 4 5 5 1

Тогда матрица грузопотоков, рассчитанная по указанному выше правилу, имеет следующий вид:

Я кг

0 0 211 0 100 0 >

211 0 75 220 0 0

100 240 0 75 0 91

0 91 120 0 0 195

0 0 0 120 0 100

0 100 0 0 406 0 ,

Так, например, следование за станком 6 сразу после станка 5 имеет место для технологических маршрутов предметов 2, 3, 4, 5 (см. табл. 2) и поэтому, беря веса на

программу этих предметов из табл.1, имеем ^ = 75 +120 + 91 + 120 = 406.

65

Допустимые планы и явный вид целевой функции задачи

Рассмотрим два способа задания допустимых планов задачи. 1-й способ; допустимые планы как матрицы назначений. Введем неизвестные в задаче и сформируем ограничения на них.

хзр —

( ^ , р = 1 : т ).

(2)

= 1 означает, что станок б назначается на площадку р , х 5р = 0 - в противном случае.

Совокупность неизвестных х5р образует квадратную матрицу порядка т : X = || хзр

У " V = 1 (,= 1:1*). (3)

р = 1 ьр

(Любой станок назначается только на одну площадку.)

У т х =1 0=1: т). (4)

(На любую площадку назначается только один станок.)

Ограничения (2)-(4) означают, что в каждой строке и каждом столбце матрицы X имеется только одна единица, т.е. X является матрицей назначений. Количество таких матриц равно т\.

Значением целевой функции (суммарного грузооборота) на плане X {Р{Х)) является сумма произведений одноименных (т.е. с одинаковыми номерами) строк матриц Q и ХКХ' (X'- транспонированная матрица А1), т.е.

^т \ ' т х-1 \ т т

(5)

Требуется найти матрицу назначений (т.е. матрицу, удовлетворяющую ограничениям (2)-{4)) X*, доставляющую минимум целевой функции (5): Р(Х*) =т\\\Р(Х). Таким

образом, получается квадратичная задача о назначениях.

2-й способ: допустимые планы как перестановки номеров площадок.

Пусть в матрице назначений Х= I

единица в ее 5-й строке стоит в столбце р5 ,

т.е. хХр =1 (5 = 1: т). Тогда этой матрице X взаимно-однозначно соответствует

перестановка номеров площадок Р =»( р^ ,Р2 ,...,рт), где р5 есть номер площадки,

на которой устанавливается 5-й станок (5=1: т). Количество всех таких перестановок равно т\ (как и количество матриц назначений).

Матрица ХЯХ' есть матрица/?^, получающаяся из матрицы Я расположением ее

строк и столбцов в порядке Р , т.е.

Pl P2 - Pl ■ ■ ■ Pm

Pl < 0 ■ V, •

Р: V, 0 . ■■ гргр.

Pi ГР.Р, ГР,Р, • ■ rp,p„

Рт Я". . . 0 /

- Rr

г

и ptp j

(6)

Целевая функция (5) (сумма произведений одноименных строк матриц Q и Rр ) примет вид

т х-' и j-

Требуется крйти оптимальную перестановку Р номеров площадок, т.е. такую, которая

доставляет минимум целевой функции (6): F(P*) = min F{P).

р

В дальнейшем будем решать (методом ветвей и границ) задачу именно в этой постановке, а не в постановке (2)-(5). Напомним этот метод применительно к решению задач упорядочения, а именно к поиску оптимальной перестановки Р*.

Схема метода ветвей и границ

Введем следующие обозначения:

М0 - множество всех перестановок чисел 1,2,... ,т (номеров площадок).

М

множество перестановок, начинающихся с последовательности pt, р,, ■■■,рк

РхРг-Рк

(к = 1 : т). (Количество этих перест ановок равно (т - к)\ )

Заметим, что если перестановка имеет длину т-\, т.е. имеет вид (р., р,, ..., р ),

1 2 г т~I

то единственный оставшийся неиспользованным в ней номер (р ) должен занять

т

единственное оставшееся свободное (последнее, т-е) место и, следовательно, оба соответствующие множества являются одноточечными:

(7)

= МР]РГ ={(/>,. Рг> -,РЯ » )■

IV (Мр р р ) - функция, заданная на всех множествах Ма и М^ р р (к = 1 : т), т.е. сопоставляющая оценки всем узлам дерева.

Эта функция может быть взятой в качестве нижней границы при минимизации функции Р(Р) (целевой функции), если она обладает следующими тремя свойствами.

1. Она является оценкой снизу для минимизируемой функции:

при к = 0 (глобальная оценка): IV (М0 ) < Р(Р) для V Р (т.е. Р е М0 ), при А = I : *и-1 : IV (М ) < Р(Р) для V Р е М

2. Монотонность (неубывание).

Это свойство означает, что при переходе к более мелким подмножествам оценка снизу не уменьшается (уточняется):

IV (М ) >]У (М ).

3. На одноточечном множестве (7) значение оценки снизу совпадает с точным

значением минимизируемой функции в этой точке:

) = Р(Р) '

Таким образом, оценки IV (М ) достаточно считать для к < т-2 (т.е. для

Р\Р 2"'Р к

(т-2) уровней дерева), оценки для узлов на (т-1) уровне дерева совпадают с точным значением целевой функции на соответствующей перестановке ( р,, р,, ) = Я и они дублируются для соответствующих узлов на последнем (т-\м) уровне дерева.

Построение нижней границы

Это построение основано на следующих известных свойствах скалярного произведения векторов.6

Пусть имеются два вектора а - (а,, а^ , . . ., а„) и Ь = (Ь\, Ь2 , . . ., Ь„). Тогда для них справедливы следующие три свойства.

1. Если рассматривать их координаты во всевозможных порядках, соответственно, Р/ и Р2 и скалярные произведения (,Ь^ ) получающихся векторов а^ и ь , то минимальное

из таких скалярных произведений получается, если координаты вектора а расположить в неубывающем (невозрастающем) порядке, а координаты вектора Ь - в невозрастающем (неубывающем) порядке.

2. Аналогичное утверждение, очевидно, справедливо, если у векторов а и Ь рассматривать неподвижные головные части любой одинаковой длины и допускать всевозможные перестановки координат этих векторов лишь в остающихся хвостовых частях этих векторов.

3. При этом также очевидно свойство монотонности: при любом одинаковом удлинении головных частей (за счет любых координат из их хвостовых частей) соответствующее минимальное скалярное произведение не уменьшается.

Для построения нижней границы проделаем следующее.

Выберем некоторое размещение (номеров площадок) из т по к (1 < к <т—2): Р"'=(/?!, р,, ..., рк ). Его можно рассматривать и как частичную перестановку (длины к)

номеров площадок, на которые уже назначены к первых станков, т.е. соответствующую некоторому узлу на к-м уровне дерева.

Для размещения Р(к) оценим грузообороты со всех станков / - как назначенных (1= 1: к, 1 < к < т-2 - случай 1), так и неназначенных (/' = к+1: т, 0 < к < т -2 - случай 2), на все остальные станки.

Случай 1. Возьмем но строку матрицы : <?' — ><?_, >•••><? ) (/ =1: По этой строке построим вектор с(к следующим образом:

Ч'к = (<7 „>-, Ч ,,.„, ),

где — • •• — ■

Как видно, у вектора выброшена его координата <7 (она равна нулю и находится в

головной части вектора), а его последние т-к координаты (<7 , / = ш ) расположены в неубывающем порядке.

Далее, возьмем р,-ю строку матрицы/? : г' ~(гр {,гр гр „) (1< /' < к). По этой

строке построим вектор гр'р р следующим образом: координату гр р выбрасываем (она

равна нулю), координаты перенесем в таком же порядке в головную

часть вектора (т.е. на первые к-1 мест), а остальные его т-к координаты (гр(1/ ф р ,р^,...,р1,...,рк) расположим в невозрастающем порядке в хвостовой части

вектора, т.е.

где г; >/-;>.„> г'т_к.

Грузооборот с любого из уже назначенных согласно частичной перестановке Р{к) станков / ( 1< / < к ) оценим скалярным произведением (д'к , грр р ), а со всех этих станков - их суммой:

^1М[,гРр'Рг Рк) . (8)

Случай 2. Для частичной перестановки Р{к) имеются неназначенные станки 5 (.$ = к+\:т ) и свободные площадки с номерами р ( р ф р , р ,..., р^ ; в частности,

при к = 0: р = 1, 2, . . . , т). Будем последовательно назначать все эти станки на все эти

площадки. В рассматриваемом случае по вектору 175 (,у= А+1: т) построим вектор

следующим образом: первые к координат (д^, у = 1: к) оставим на своих местах (при к = 0

таких координат пет), координату <7„. (находящуюся теперь, в отличие от случая 1, в хвостовой части вектора) выбросим (она равна нулю), а оставшиеся в хвосте вектора т-к-1 координаты расположим в неубывающем порядке, т.е.

Ч% =(<?„,<72,-,

ГДе < <Ч\ <•..<<„, .

Грузопотоки с каждого неназначенного станка 5 охарактеризуем вектором-строкой ц^ (5= к+1 \ т) и из всех т-к таких векторов составим матрицу <2к .

Далее, возьмем р -ю строку (р* Р1 ,Р7 >-">Рк) матрицы/? : !'Р = (г(1| > г„, >•••>'",„,,) ■ По

этому вектору построим вектор грр р следующим образом: координаты р , р р 1

вектора г'' перенесем в таком же порядке в головную часть вектора, т.е. на первые к мест (при к = О таких координат нет), координату г выбросим (она равна нулю), а оставшиеся т-к-1 координат расположим в хвостовой части вектора в неубывающем порядке, т.е.

У = (К У Г Г ^ У ^ г ^ ^

Р,Р,Рк ^ РР, ' РР, РР< ' I ' 2 т-к-\ )>

где г," > г{ > ... > .

Расстояния от каждой свободной площадки р охарактеризуем вектором-столбцом

гр ( Р ^ Р 1 > Р 2 >•••> Р к ) и из всех т~к таких векторов, упорядоченных, например,

по возрастанию номеров площадок, составим матрицу ■

Заметим, что матрицы такого вида будут использоваться ниже для случая к < т-2. Индексы в них означают (по построению этих матриц) номера строк, которые следует исключить из рассмотрения (т.е. рассматривать остальные строки матрицы Л ). В похожих

же по обозначению матрицах, но при к = т (Яр р р , т.е. Яр), введенных выше для расчета

целевой функции, фигурирующие в их обозначениях индексы означают, наоборот, используемые для их формирования номера строк и столбцов матрицы .

Перемножив две построенные матрицы, получим квадратную матрицу (т-к)-го

порядка р^ оценок вкладов в общий грузооборот всех неназначенных станков на все

свободные площадки:

& = СР,Р,-Р, =11(^,^.^)11.

В частности, при к = 0 : £ояо = в0 ■

Как видно, вклад в общий грузооборот назначения станка 5 на площадку р оценен также в виде скалярного произведения (д^ ,груЙ1...рк), (к < 5 < т , р Ф р , р ^ ,..., р ^ ), т.е. аналогично рассмотренным выше оценкам вкладов назначенных станков.

Значение целевой функции задачи о назначениях с матрицей Ср р р обозначим

через /{(¿¡¡р р )• Сумму этой величины и величины (8) и положим в качестве искомой функции:

* (МРМ У=2?-. . ...,,) + /<Ср>,, ). (9)

В частности, вершине дерева Ма сопоставляется оценка IV (М0 ) =/((?„).

Проверим, что так определенная функция (9) может быть взята в качестве нижней границы, т.е. эта функция обладает всеми тремя свойствами, предъявляемыми к нижней границе.

1. Проверим, что функция (9) является оценкой снизу для минимизируемой функции (в обоих случаях: к = 0 и к = 1 : т-\).

Случай 1.

Покажем, что функция (9) является глобальной оценкой снизу для минимизируемой функции. Действительно, для V Р=(рх, р2, ■■■>Рт ) (т.е. Ре М0) имеем:

1Г(м0) =лс,)=ле.лв) = яш,г:)\\)<тя:„,гррр

< И"=\(Ят,Гр{Рг..,Рт)= = РУР).

В этой цепочке равенств и неравенств:

а) первое неравенство (непревышение значения целевой функции задачи о назначениях с одной и другой матрицей) справедливо, так как элементы (<?*,г/)первой матрицы не

превосходят одноименных (в тех же строках и столбцах) элементов р р ) второй

матрицы по свойству 1 скалярного произведения (см. выше);

б) второе неравенство справедливо, ибо минимальная сумма элементов из разных строк и столбцов (решение задачи о назначениях) не больше любой суммы элементов из разных строк и столбцов той же матрицы, в частности, суммы, получающейся выбором в

матрице || (,Ят>гр р ...р )И из ее строки 5 элемента из столбца с номером, соответствующим

строке матрицы (т.е. при назначении станка 5 на площадку р5 ). Случай 2.

Для V Ре М , например Р = (р р ..., рк, рк^,...,рт), имеем:

г |г 2 к

Рк ) + ) < ЪЧЛч'тУР;Рг...Рт) +

= 17Лч'тУр;Рг...Рт)= 1Г-.17«ЯигР,Р1 =Г(Р).

В этой цепочке равенств и неравенств :

А. Первое неравенство справедливо в силу выполнения следующих неравенств:

а) (я'к->грр^..р)< (я'т'гр р р )> которое вытекает из свойства 2 скалярного произведения (см. выше);

б) / ( Ср р р ) I (Як ->г1[р, ...рК ) . которое выполняется, ибо минимальная сумма

элементов из разных строк и столбцов матрицы (решение задачи о назначениях) не больше любой суммы элементов из разных строк и столбцов этой матрицы, в частности, суммы,

получающейся выбором в матрице Ср р р из ее г'-й строки элемента из столбца с

номером, соответствующим строке р матрицы Я (т.е. при назначении станка / на

площадку р ),£</< т.

Б. Справедливость второго неравенства обосновывается аналогично рассмотренному выше случаю Аа ).

2. Проверим монотонное неубывание функции (9).

г

12 г к

^ )< f{GPiP^Ptj=w{MPiP^M у

В этой цепочке равенств и неравенств :

А. Первое неравенство справедливо в силу выполнения следующих неравенств:

а) (Як'гр р ...р ) 5 (ц'к+\'Гр р ...р ), которое вытекает из свойства монотонности (см. выше свойство 3 ) скалярного произведения;

б) j (Gp р р )< (Ук+]■>гр'~р\...рк J(Gpp р ), которое выполняется, ибо минимальная

сумма элементов из разных строк и столбцов матрицы (решение задачи о назначениях) не больше любой суммы элементов из разных строк и столбцов этой матрицы, в частности

суммы, получающейся выбором в матрице G элемента, соответствующего

Р ! Р г 'Р у

назначению станка /с+1 на площадку р ^ | , и оптимального решения задачи о назначениях

с матрицей G , получающейся из матрицы G вычеркиванием строки и

столбца, в которых стоит указанный элемент.

Б. Второе неравенство справедливо в силу выполнения неравенства

f(Gpp р ) < f(Gpp p i), ибо элементы матрицы Gpp pnt превосходят одноименных (в тех же строках и столбцах) элементов матрицы Gр р р ^ в силу свойства

3 (монотонности) скалярного произведения: (lk'rpip2...pt ) < ^(lk+\'f"pip^...pi ( ), где к+2 < S < m , р Ф p ,р з ,...,р .

3. Проверим совпадение значения функции (9) на одноточечном множестве с точным значением минимизируемой функции.

W ( мр р ^ )= z;i, (qi , г)^ ) = q,jrp Pi =F(P).

Далее рассмотрим разветвление узла ( p^ ,р г~>Р ( ) дерева (к = i : m - 2 ). Расчет

оценок (9) для соответствующих узлов ( pt,p^,...,pt ) на к- м уровне дерева ( рк-

номср площадки, на которую назначается к- й станок, рк Ф pt,p^,...,p ) удобно оформить в (-) виде таблицы (табл. 3). В табл. 3 скалярные произведения (Як .р. ) (оценки назначения станка к на площадку рк ) берутся из первой строки

уже найденной на предыдущем шаге матрицы Gр р р

Рк(Рк* Р1>Р2>-*Рк-0

я\~ - гр!...р1

* р \ -р к

~ ' " -—---_____ ГР,-Ря

(»21 1 2к 'ЧI2'--

' ' ~ .............. ГР, -Рк

, к -1 к-\ , (П-1,1 Чк-\,к '<?, Чт-к) * Р \ "Р к

к Р\-Р к

Р(Р * Р, >Р 2 ' Р А")

-------- о о ----__ р\рг~рк

С А + 1 * + 1 > СР]Р2-Рк

Ж (М )

Численный пример

Продемонстрируем решение задачи оптимальной расстановки оборудования методом ветвей и границ при следующих конкретных исходных данных.

Пусть количество станков (и площадок) т = 4, а матрица грузопотоков ( ) и матрица расстояний (Я) таковы:

'0 2 12 5 '0 3 12 2Ч

6 0 15 4 8 0 4 7

Л =

7 10 0 20 6 4 0 11

,9 8 14 0 9 10 о,

Решение

Шаг I Находим глобальную (т.е. сопоставляемую вершине дерева) оценку ЩМ0) . Выбросив нулевые элементы на главных диагоналях матриц 0 и Л , расположим оставшиеся элементы их строк, соответственно, в неубывающем и невозрастающем

порядках, причем вторую из полученных матриц транспонируем. Перемножая эти две матрицы во и (грузопотоков с 5-ГО станка в неубывающем порядке и расстояний от

р-й площадки в невозрастающем порядке, я,р = 1:4), получим матрицу •

р | 12 3 4

/12 8 11 1(Л (

3 7 6 9 2 4 4 5

1 (2 5 12 1

2 4 6 15

3 7 10 20

4 ,8 9 14,

63 99 100 1 1251

96 134 140 169

154 206 217 260

151 183 198 231

= Сп

Решая задачу о назначениях с этой матрицей (соответствующие ее элементы обведены прямоугольниками), получим :/(С0) = 125 + 140 + 154 + 183 = 602. Начинаем постепенно строить дерево, отдельные уровни которого соответствуют станкам, а узлы - номерам

площадок. Сопоставляем найденное число вершине дерева: > = !(Сд) =502 (см.

рисунок).

Станок (уровень

653

739

Рис. Дерево для нахождения оптимальной перестановки (в кружках - номера площадок).

Шаг 2. Разветвляем вершину дерева (рисунок и табл. 4), т.е. находим оценки для соответствующих узлов (р{) первого уровня дерева (р, - номер площадки, на которую назначается станок 1: р, = 1 : 4).

р, 1 2 3 4

63 99 100 125

р (р *рк ) 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

ч\ КР е, \ (8 6 5 4 7 11 10 ч4 4 9 , < 3 4 9 4 12 11 10 ,2 6 5, '12 4 10" 3 8 9 7 5, '2 7 11ч 12 8 6 ,3 4 4,

2(6 4 15] 3 7 10 20 4(9 8 \4) '13б1 14п1 705] '96 15? 16<>] '114 161 1171 '105 134 150]

1 20Н 232 315 181 758 263 1541 ,160 24& 260 198 232, 194 209 217

,184 1981 75 ( ,151 208 231) 1»56 183 203]

ЛСР]) 597 ' 558 523 505

¡у (м ) ^ 1 660 657 623 630

Напомним обозначения и поясним содержание строк в табл. 4:

') (о' оценка назначения станка 1 на площадку р (= 1 : 4). (а'-

I ' />| 11

грузопотоки в неубывающем порядке со станка 1 на остальные станки, г- расстояния в невозрастающем порядке от площадки до остальных площадок). Эти оценки берутся из первой строки уже найденной на шаге 1 матрицы С? а ;

2) р - номер свободной площадки {РФ Р Р 1 : 4 );

3) £?/ - матрица грузопотоков с неназначенных станков 5 ( 5 = 2, 3, 4). Для любого такого станка строкой записываются сначала грузопоток на назначенный станок (станок 1), а затем грузопотоки на остальные станки (кроме станка 5 ) - в неубывающем порядке;

4) к - матрица расстояний от свободной площадки р(рФр,р=\:4). Для

р | 1 '

любой такой площадки столбцом записываются сначала ее расстояние до площадки р

(занимаемой станком 1), а затем ее расстояния до остальных площадок (кроме площадки р )- в невозрастающем порядке;

5) Ср = £>1 р - матрица оценок вкладов в общий грузооборот поочередных назначений станков 2, 3, 4 на три свободные площадки р ( р Ф р , р =1:4);

6) ./(Ср )- оптимальное значение целевой функции задачи о назначениях с матрицей (сумма элементов матрицы, обведенных прямоугольниками), ( р = 1 : 4 );

7) ^ (М ) = (<?' ) + /{Ср )~ искомые оценки для узлов первого уровня

дерева (^ = 1 : 4). Переносим их из последней строки табл. 4 на соответствующие узлы

первого уровня дерева на рисунке.

Шаг 3. Так как минимальная из этих оценок соответствует узлу 3 (т.е. назначению станка 1 на площадку 3): IV (М3)= 623, то разветвляем именно этот узел (рисунок и

табл. 5), т.е. находим оценки для соответствующих узлов (3, р ^ ) второго уровня дерева (р - номер площадки, на которую назначается станок 2: р ^ Ф = 3, т.е. Р2 = 1,2,4).

Таблица 5

Р 2 1 2 4

(6, 11,4) (4, 11,6) (11,6, 4)

(2,5, 12) 115 135 100

з р2 114 161 171

Р (Р ¿3,р2 ) 2 4 1 4 1 2

' 4 10 4 8 5 7 9 V > '12 10 ' 3 9 .2 5 , 12 4 2 7 3 8,

Б 3 (1 10 20 4 1^9 8 14 Сз р2 '248 30С 19? 256 ч 154 260 ч160 232 '16« 258^1 ч166 204

498 386 368

727 682 639

Поясним содержание строк в табл. 5:

1) <7?- грузопотоки с уже назначенного станка 1 на назначаемый станок 2, а на остальные станки - в неубывающем порядке;

2) г 3 расстояния от уже занятой (первым станком) площадки р = 3 до

3 Р 2 '

площадки р^ для станка 2. а до остальных площадок - в невозрастающем порядке ( р^ = = 1,2,4);

! 3

3) ((?-> ,Г-> ) - оценка назначения станка 1 на площадку 3 при назначении станка 2

1 -> Р 2

на площадку р ( р ^ = 1, 2, 4 );

4) (<7 2 >г~Р2 ) ~ °Ценка назначения станка 2 на площадку р (р =1, 2, 4 ) при

3 у? 2 2 2

назначении станка 1 на площадку 3 грузопотоки с назначаемого станка 2: сначала на

назначенный станок I, а на остальные станки (кроме станка 2) - в неубывающем порядке:

- расстояния от площадки р ^ для станка 2: сначала до занятой станком 1 площадки

р! =3, а до остальных площадок (кроме площадки р ^ ) - в невозрастающем порядке. Эти оценки берутся из первой строки уже найденной на таге 2 матрицы ;

5) р - номер свободной площадки (р ФЗ, р ; р = 2, 4);

6)() - матрица грузопотоков с неназначенных станков 5(5= 3, 4). Для любого такого станка строкой записываются сначала грузопоток на назначенные станки (станки 1 и 2), а затем грузопотоки на остальные станки (кроме станкам) - в неубывающем порядке (в данном случае - грузопоток на единственный другой неназначенный станок);

7) - матрица расстояний от свободной площадки р ( р Ф 3, р^ ; р 7 = 1, 2, 4). Для любой такой площадки столбцом записываются сначала ее расстояния до площадок 3 (занятой станком 1) и р (занимаемой станком 2), а затем до остальных площадок (кроме

площадки р ) - в невозрастающем порядке (в данном случае - до единственной

оставшейся свободной площадки);

8) С-, = От Я1 ~~ матРица оценок вкладов в общий грузооборот поочередных

эр2 3 р 2

назначений станков 3 и 4 на две свободные площадки р (р Ф3,р^\ Р-,~ 1,2,4);

9) /'(С оптимальное значение целевой функции задачи о назначениях с

^ V 3 Р 1 '

матрицей (] (сумма элементов этой матрицы, обведенных прямоугольниками),

5 р 2

(/>2 = 1,2,4);

10) ¡У(М3р ) = ( Я 2 ,г}р2 ) + ( Я 2 , гЪр2 ) + /(<%)- искомые оценки для

узлов второго уровня дерева (р = 1, 2, 4). Переносим их из последней строки табл. 5 на

соответствующие узлы второго уровня дерева на рисунок.

Шаг 4. Гак как минимальная из оценок для всех неразвитых узлов дерева соответствует узлу 4 (т.е. назначению станка 1 на площадку 4): 630, то

разветвляем именно этот узел на первом уровне дерева (рисунок и табл. 6, заполняемая 100

/

аналогично табл. 5), т.е. находим оценки для соответствующих узлов (4 , р ^ ) второго уровня дерева (Р2~ номер площадки, на которую назначается станок 2: р ^ Ф р^ = 4, т.е. р2 = 1,2, 3).

__Таблица б

Р 2 1 2 3

(5, 10, 9) (9, 10, 5) (Ю, 9, 5)

168 128 125

105 134 150

2 3 1 3 1 2

(1 11 4 8 6 И 4, (2 11 3 4 12 6 у ( 2 7^1 12 4 1 3 8,

5 3 (1 Ю 20") 4 [9 8 14) (209 217 /

284 237 ч 194 249 )

1 183 203 V 210 215 156 207

/(СзР2 ) 400 447 401

IV (М4р) 673 709 676

Шаг 5. Так как минимальная из оценок для всех неразвитых узлов дерева соответствует узлу (3, 4) (т.е. назначениюстанка 1 на площадку 3, а станка 2 на площадку 4 ): УУ (М ) = 639, то разветвляем именно этот узел на втором уровне дерева (см. рисунок). В результате оказываемся на предпоследнем (третьем) уровне дерева, оба узла на котором имеют вид ( 3, 4, р где р3 = 1 или 2, т.е. соответствующие частичные

перестановки (длины «¡-1=3) имеют вид (3, 4, 1) и (3, 4, 2). Как отмечалось выше, расчет оценок для узлов на двух последних уровнях дерева можно не оформлять в виде таблицы (как это делалось на предыдущих шагах), а выполнить их равносильное вычисление в виде нахождения значения целевой функции для полных перестановок (3, 4, 1, 2) и (3, 4, 2, 1).

Для этого рассматриваем соответствующие матрицы

3 4 1 2 3 4 2 1

(0 2 12 5 > 3 ГО И 6 3 Г 0 11 4 61

6 0 15 4 4 10 0 5 9 — 12 , 4 10 0 9 5

9 7 0

7 10 0 20 1 12 2 0 3 2 4 8

.9 8 14 о, 2 И 7 8 о, 1 ,12 2 3 о,

находим сумму произведений одноименных строк первой и второй, а также первой и третьей из этих матриц:

* (М 34, ) = * (М 3412 ) = IV (3,4, 1,2)= Г (3, 4, 1,2)= 114+ 171 + 164 + 204 = 653,

IV (М 34, ) = IV (М 342| ) = IV (3,4,2, 1) = .р (3,4,2, 1)= 100 + 215 + 258 + 166 = 739.

Так как оценка для узла на последнем (четвертом) уровне дерева IV (3, 4, 1, 2) = 653 является минимальной по сравнению с оценками для всех неразвитых узлов дерева, то

перестановка (3, 4, 1, 2) = Р* является оптимальной и минимальное значение целевой

* *

функции (суммарного грузооборота) р = ^(Р ) = 653 .

'Романовский ИВ. Дискретный анализ. СПб., 2000. С 187.

" Там же.С. 183;Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М , 1977. С 194

' Абрамов Л.М., Голова В.Г., Горькова К.А Алгоритм решения задачи об оптимальной планировке оборудования И Применение математики в экономике. Л., 1967. Вып. 4. С. 10-20.

4 К о з л о в с к и й В.А., Козловская Э.А , Макаров В.М. Эффективность переналаживаемых роботизированных производств. Л., 1985. С. 101 - 119.

5Романовсий И В. 1) Дискретный анализ. С. 183-186; 2) Алгоритмы решения экстремальных задач. С 195 202.

''Романовский И В Дискретный анализ. С 33-

Статья поступила в редакцию 30 июня 2003 г.