CC BY
7
7. Balandina, G. V., Ponoma-riov, Yu. Yu., Sinelnikov-Muryliov, S. G. Customs administration in Russia: what should be the modern procedure. — M. : Delo RAN EPA, 2019. — P. 82-83.
8. Dobrolyubova, E. I, Yuzha-kov, V. N., Efremov, A. A. [and oth.]. Digital future of governance by results. — M. : Delo RAN EPA, 2019. — P. 10-17.
9. On the Main Directions for Implementation of Digital Agenda of Eurasian Economic Union until 2025 : [Decision of Supreme Eurasian Economic Council № 12 from 11.10.2017] [Electro-
nic resource]. — Mode of access : https ://www. garant.ru.
10. Agreement on labeling of goods by means of identification in Eurasian Economic Union (Almaty, 02.02.2018) [Electronic resource]. — Mode of access : http ://www.consultant.ru.
11. Protocol on Information and Communication Technologies and Information Interaction within Eurasian Economic Union (Appendix № 3 to the Treaty on Eurasian Economic Union) (Astana, 29.05.2014) [Electronic resource]. — Mode of access : https://base.garant.ru.
П. В. Николенко
ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАЕМНЫХ СРЕДСТВ В ЗАДАЧЕ О НАИСКОРЕЙШЕМ ВЫХОДЕ НА ЗАДАННЫЙ УРОВЕНЬ ФОНДОВООРУЖЕННОСТИ
Аннотация
В модели «инвестиции-потребление» рассматривается вопрос о наискорейшем достижении фондовооруженности благоденствия. Это такой уровень фондовооруженности, при котором потребление максимально при стационарном режиме работы. Изучается вопрос об оптимальном способе расходования заемных средств, которые привлечены для уменьшения времени выхода на указанный уровень фондовооруженности. Указана максимальная величина заемных средств, которые могут быть использованы для достижения указанной цели. Если заемные средства привлечены в меньшем объеме, то расходовать их нужно в максимальном темпе, начиная с момента, способ вычисления которого указан в статье.
Ключевые слова
Производственная функция, фондовооруженность, управление, принцип максимума Понтрягина.
P. V. Nikolenko
OPTIMAL FORM OF BORROWED FUNDS IN PROBLEM OF THE FASTEST EXIT TO A GIVEN LEVEL OF CAPITAL-TO-LABOR RATIO
Annotation
In model of investment-consumption, question of the fastest achievement of well-being capital ratio is considered. This is a level of capital-to-capital ratio, at which the consumption is maximum in stationary mode of operation. Question of optimal method of spending borrowed funds, which are attracted to reduce the time to reach this level, is being studied. Maximum amount of borrowed funds that can be used to achieve this goal is indicated. If the borrowed funds are attracted in a smaller amount, then they should be spent at maximum rate, starting from moment the method of calculation of which is specified in article.
Keywords
Production function of capital-to-labor ratio, management, Pontryagin maximum principle.
Введение
Постановка задачи об оптимальной форме заемных средств.
Динамика фондовооруженности (см. [1], [2]) в модели инвестиции — потребление подчинена закону:
к = и/(к) — /к, где к — фондовооруженность; / — производственная функция; / — коэффициент амортизации производственных фондов;
управление и = и(/)ь[0, 1] — доля произведенной стоимости, которая возвращается в производства в виде инвестиций.
Поясним уравнение динамики фондовооруженности. Рассмотрим промежуток времени [£, С + ДГ ], за это время фондовооруженность изменится на величину которая состоит из
двух слагаемых: за время ^г объем списанных фондов в расчете на одного работающего составит величину /^А'(Г) Д£ (с точностью до малых более
высокого порядка), за время ^Г фонды
возрастут за счет инвестиций в расчете на одного работающего на величину ¡{■Г^ачГ'-^Г (с точностью до малых более высокого порядка). Таким образом, Дк = uf(k^At — \ikAt, деля это
уравнение на ^Г и переходя к пределу при ДГ —» О, получаем уравнение динамики фондовооруженности.
Величина (1 — и/(к)составляет потребление в данный момент времени. Если выбрать и в текущий момент времени из условия и/(к) — = 0, то процесс станет стационарным: фондовооруженность, инвестиции и потребление будут оставаться неизменными. Такое значение фондовооруженности ^ ,
при котором потребление максимально при стационарном режиме, называется фондовооруженностью благоденствия. Она однозначно определяется условием f (к) = / (предполагается, что для производственной функции выполняются
обычные условия: ? :: 0, ' 0). Если рассматривается достаточно длительный промежуток времени [0, Т], в
начальный момент к(0) = к0 < к и поставлена задача выбора управления г/так, чтобы фондовооруженность достигла значения : к(Т) = К , и потребление за весь промежуток времени оказалось максимальным, то, как показано в [1], [2], указанное управление имеет вид: и = 1 до момента достижения величиной к значения , после этого
и=тт.
Таким образом, пока и = 1 потребление отсутствует. Пусть с целью сокращения времени достижения величиной
кзначения о , в процесс привлечены заемные средства объема 5, которые поступают в виде потока $(1). Таким образом,
до момента такого, что к(- - ■' = , фондовооруженность меняется по закону: ■(' = ^(к) + ^
где 0 < (50 — предельная способ-
ность поглощения инвестиций),
Дк) = /(к) — Ик, ¡^ 3
Поставим вопрос о поиске потока который обеспечит наискорейший выход на фондовооруженность . Таким образом, следует так управлять интенсивностью поступающих средств, чтобы фондовооруженность максимально быстро достигла значения ^.
Материала и методы
Формулировка и исследование возникающей задачи теории управления.
Запишем полученную задачу как задачу теории управления и воспользуемся для ее исследования принципом максимума Понтрягина (см. [3, с. 320]).
= ' о min (1) * = F(k) + ^ , s(0G[0, (2) B1=i*1s(t)dt s= 0(3) в2 = k (0) — k0
0 (4)
в, = к(Ч)-к = 0 (5) Требуется найти ттВ0 при выполнении условий (2) — (5).
Прокомментируем условия (1) — (5). Условие (1) означает, что отыскивается процесс минимальной продолжительности; в условии (2) записан закон динамики фондовооруженности; условие (3) означает, что заемные средства
Обозначим оптимальный процесс
Л
символом (у, ^, ■>). Выпишем условия
оптимальности ( ^, , ).
а) стационарность по к :
- р - рГф) = 0 (6)
б) трансверсальность по к :
Р (0) = К , Р (¿1) = — (7)
в) оптимальность по 5 :
= (8)
следовательно,
Р'
Uo.
если А± > р
если < р )
г) стационарность по ^ :
Я0 -ьЯ^^) + =0 (9)
При этом надо рассмотреть случаи /. ; = 1 и /. : = 0. Пусть /. ; = 1.
1) Рассмотрим случай 1 + А^^^) = 0, тогда из (9) следует, что Я3 = 0 ,
равны 5; условие (4) показывает, что на момент начала процесса фондовооруженность составляла величину К ; условие (5) показывает, что к моменту завершения процесса достигнута фондовооруженность я; . Отметим, прежде
всего, что если заемные средства поступают постоянным потоком в течение всего времени, то есть выполняется условие: = Е(к) + : , то время процесса
составит величину + Я(),
а вся затраченная сумма это =
Таким образом, не следует занимать больше, чем . Далее полагаем, что заемные средства Л" меньше, чем 5 Составим функцию Лагранжа.
—Л + я 2(к (0) — к 0) + ЛЭ(к(*1) — к)
так как ^ 0, и из (7) и (6) получаем - : - ^ = 0.
Тогда 1 I 0 и в силу (8) _ -с: , чего не может быть, так как ■ -V
2) Рассмотрим случай 1+ Я1£(1г:1)--:> 0.
Тогда из (9) получаем Л3 < 0, так как к * 0 и из (6) с учетом (7) следует, что р положительна и монотонно убывает. Поэтому из (8) следует, что либо 5 константа (что для нас интереса не представляет, поскольку ), либо
принимает два значения: сперва £о , потом, на завершающем этапе, нуль.
3) Рассмотрим случай 0. Тогда из (9) получаем, что А3 -:> 0 и из
(6) и (7) получаем, что .■-■' отрицательна и монотонно возрастает. Поскольку /. _
в этом случае отрицательна, может принимать два значения: сперва нуль и
на завершающем этапе : . Пусть /. - = 0.
4) Рассмотрим случай ; , = 0. Тогда из (9) получаем Л0 = 0, из (6) и (7) получаем : = <■'■: = 0, .■-^ = 0. Из нетривиальности набора (''■, р) получаем, что
_= 0, тогда ■' = 0 и, следовательно, в силу (8), _ :: 0 и _ : чего не
может быть в силу
5) Рассмотрим случай ; ^ г , , 0.
Тогда из (9) получаем, что Л3 < 0 и из (7) и (6) следует, что ^ положительна и монотонно убывает. Откуда ■> может принять два значения: сперва , потом
нуль.
6) Рассмотрим случай А^С^) < 0. Тогда из (9) получаем, что ^з > 0 и из
л
(7) и (6) следует, что может принять два значения: сперва нуль и на завершающем этапе : . Результаты
Принцип максимума Понтрягина выделил два процесса, которые могут оказаться оптимальными. В первом
случае -5 = ■>: от момента нуль до момента, когда заемные средства окажутся израсходованными, в этот момент фондовооруженность достигнет величины
гк1 с?к к '
къ такой что = 5 (10).
Во втором случае ^ = 0 от момента нуль до момента достижения фондо-
вооруженностью значения п 2, после
чего принимает значение :, где ■"-: однозначно определяется из уравнения Л <1к Бо к
'к2 р(к)+
Обсуждение
Рассмотрим пример. Пусть к ) =
тогда г ) = и,
таким образом фондовооруженность благоденствия = 1000. Пусть на нулевой момент времени фондовооруженность составляет величину - = 800 и
придельная способность к поглощению инвестиций 5 = 100. Сравним три различных способа займа суммы 5 = 102,4. В варианте А) средства поделены так, что поступают равномерно пока фондовооруженность не достигнет значения ^ ; в варианте Б) средства поступают в максимальном темпе - начиная с нулевого момента времени в соответствии с формулой (10); в варианте В) средства поступают в максимальном темпе на финальном отрезке времени в соответствии с формулой (11). Согласно доказанному оптимальным окажется вариант Б) или В)
А) Если положить _ 50, то получим
рЮЭО &к
л
300 50= 2,048 = , = Я.
Занятые средства равномерно распределены на весь промежуток времени. Время = 2,048.
Б) Пусть поток определен в соответствии с формулой (10).
5 г100,если С < 1,024
I 0, если С > 1,024 тогда, решив задачу Коши
+л100 получим ¿(1,024) = 957.
-юоо ак
к(0) = 800
г!чии ак
Вычисляем интеграл )953 ^ 0,94. Тогда время достижения величиной к значения = 1000 есть = 0,94 + 1,024 = 1,964.
В) Пусть поток : определен в соответствии с формулой (11). Проводя вычисления, получаем
в 2 о юо = 1,024
г320 ¿к
^зоо =0,405
Таким образом, Г3 = 1,429.
Оптимальным является поток ■> - .
Выводы
Привлекаемые средства следует расходовать в максимальном темпе 5 - . Пока заемные средства тратятся, процесс протекает по закону:
А в остальное время по закону:
Для выбора момента начала потребления заемных средств, следует сравнить два варианта с использованием формул (10), (11).
Не следует занимать более, чем величина
Этой суммы хватит, чтобы весь период роста фондовооруженности действовал закон (12).
Библиографический список
1. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику. — М., 1984.
2. Николенко, П. В. Непрерывные математические модели : учеб. пособие. — Ростов н/Д, 2014.
3. Алексеев, В. М., Тихомиров, В. М., Фомин, С. В. Оптимальное управление. — М., 1979.
Bibliographic list
1. Ashmanov, S. A. Introduction to mathematical economics. — M., 1984.
2. Nikolenko, P. V. Continuous mathematical models : textbook. — Rostov-on-Don, 2014.
3. Alekseev, V. M., Tikhomirov, V. M., Fomin, S. V. Optimal control. — M., 1979.
k0
Г. Б. Пивоварова, Т. В. Третьяченко
ДОСТУПНОСТЬ ЖИЛЬЯ В СОВРЕМЕННЫХ РЕАЛИЯХ РАЗВИТИЯ ПЕРВИЧНОГО РЫНКА ЖИЛОЙ НЕДВИЖИМОСТИ
Аннотация
В статье рассматривается вопрос доступности жилья в РФ, уровень которого как в отечественной практике, так и зарубежной практике «определяется с помощью таких коэффициентов, как: коэффициент доступности жилья, индекс доступности приобретения жилья, доля семей, имеющих возможность приобрести стандартное жилье с помощью собственных и заемных ресурсов» [1 ].
Авторы статьи исследуют вопросы влияния на уровень доступности жилья не только размера процентной ипотечной ставки, объема совокупного дохода семейного хозяйства, но и, с текущего года, законодательных изменений в области долевого строительства. В статье приводится сравнительный анализ методов расчета доступности жилья с использованием указанных коэффициентов, делаются выводы о том, что, во-первых, в условиях РФ наиболее емко действительность доступности жилья отражается через долю семей, имеющих возможность приобретения стандартного жилья с привлечением ипотечного кредита; во-вторых, изменение законодательных норм в области долевого строительства негативно отразилось на уровне доступности жилья; в-третьих, показана зависимость уровня доступности жилья от размера ипотечной ставки.
