CC BY
47
УДК 621.391.26:681.301
М.П.Бородицкий, А.И.Калякин Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов при коррелированных информационных и неинформационных
параметрах
Проблема фильтрации непрерывных сигналов, информационные параметры которых подвержены воздействию различного рода помех, является актуальной при построении систем радиолокации, радионавигации, гидроакустики, связи и т.д.
Задача фильтрации резко усложняется, еслй информационные и неинформационные параметры сигнала, изменяющиеся при воздействии помех, коррелированы. Пусть непрерывный сигнал представляет собой случайный процесс вида [1]
11, = 0-5 (х„ Г) + . (1)
Здесь 5(хр1)— скалярная функция многомерного марковского процесса х~{=(х1г...,хп1), определяемого коэффициентами переноса о(- (/, х1,...,хп) и диффузии Ъу(1, хь...,хп)\ ,...,и; 0—случайная величина, принимающая значения 0, 1; £ —
белый гауссовский шум—производная винеровского процесса, причем
Щ,= 0, Ж„-Ъ + , = М(т).
Обозначим через т|° реализацию процесса, наблюдаемую на отрезке [0, /]; Щ(х/)=р (х,11]® , 0 =1)— апостериорную плотность вероятности (АПВ) параметра Зс^ сигнала; Л —отношение правдоподобия; 7г= 1пЛ — логарифм отношения правдоподобия; х=(х^...,хп)' (1х = ёху... с!хп.
Тогда уравнения совместного обнаружения и фильтрации для процесса (1) имеют вид [2]
Ш,
+ Цг, х) IV, (х) ■
х) Щх) Эх
Щх)
где £(/, х) = -у£(/, х)
О
V
(¡г,
ёг
£(/, х)
(2)
(3)
Начальные условия для (2), (3) определяются так:
Щх); г,
(=0
= 0, г = 0
'^0(^1..........................хп )•
где Щ(х)— известная функция, причем Щ(х) ■■
Пусть АПВ Ж,(х) зависит от двух групп переменных:
Щх) = Х2); Ту = (х{,... ,**); Тг = (хк+ь... ,х„); к < п,
где х[ соответствует информационным, а Щ— пеипформационным параметрам.
Для уменьшения количества измерений необходимо сформировать АПВ только и I гформа ционных параметров
Щ (Х1) =\Щ (*ь х2) ¿4 - ¿Ч+г ■ ■ ■ ^хп- ^
Выведем уравнение, которому Удовлетворяет Ж},(Х[). Для этого проинтегрируем уравнение (2) по и с учетом того, что
Ж, (*1, Т2) = Ж1г (ВД, (Х2 1 х[),
ПОЛУЧИМ
/
ч IV- к ? 1 к г)2
V-? ЪЩ-
/= 1 ' <>1 ■ ' _ +1(/, ХІ) Ж^ху) - Г ]і(/, Х[) Жу{Ту) ¿її
(5)
,
где <?,{/, л1) = ¡а1 (/, х,, х2) (х2 I хх) ;
—««•
Ов
¿¿Х?, х]) - Х|, Ж2, (х^ I Ту)(Щ-,
1(1, х[) = ¡1 (1, Ту, Т2) 1¥ъ (Т2 | Зф Щ ;
©о
Щ = ^0© ; ^о(^х) = ¡Щ)(х~Ь *2> ¿*2 ■
!'=0
Чтобы замкнуть уравнение (5), необходимо найти уравнение, которому удовлетворяет }¥ь(х2\Ту).
Пусть И/! (Ту, х^) удовлетворяет уравнению (2), а Жу^Ту), определяемое выражением (4), является решением уравнения (5). Выведем уравнение для Ж2,(х2 ¡х[).. Для этого подставим соотношение (4) для Щ(х[, хЦ) в (2) и с учетом уравнения (5) после преобразования получим
^-1г=-£
і=і
■Л ! /=1
1=1+к
-Ду
¡,М
і:
'Эх,Эх,- 2/+ Эху11 дх,"
Эх,-
2 ЭХ; ЭХ, :
¿,>=1+аЛ ' /
п к Ы1+к уЛ V
( ~г>
а
(б)
^2, +1 Жу,Жъ -1ГГцЩ,.
Преобразуем ряд слагаемых полученного уравнения. Так как Щ(~ Ж1((ху...х£,
п ( -2 а
" з2
X
і=і+к
Эх,
•сг,- ГКІ;
і-1+к
ґд '
~аі ах;
И С учетом того, ЧТО Ьу~ Ър получим
’ /: /I X X п к -X X
Ы /=1+Аг 1 ' •/ ^ к п / Ы+£ >1 О 1 ' J J
W2l =
(7)
= 2ж2,£ х
г=1 j=i+k
Тогда уравнение (6) с учетом (7) может быть представлено в виде
м
«,~Х
hl
+ Wy
2t
i=l+k ij=i+k i=l j=l+k
J i i-i * J
ij=l
Э2 j_.
Эх,-Эх,- '-/ +Эх/- Эх,- П 1(
Э2
|-д«^И£
F=1 l>i L ■' -
Начальные условия для АПВ W2t задаются в виде
1Г, , —, тг, I — ч х2)
2/ о 02(Х2 *Xj)’ 02(Х2 ' Xl) =
(8)
(9)
Уравнение (8) существенно упрощается при следующих предположениях, которые часто встречаются на практике:
a,{t, Ту, Т2) = a,{t, ху) при i = a,{t, xÿ, Щ = er,{Г, х£) при / = 1 + к,...,п;
Ър, Ту, Т2) = Ър, Т2) при ij=l,...,k; bp, Ту, 5ç) = bp, Т2) при ij= 1 + к,...,п; bp, х[,^) = Ов остальных случаях.
Тогда из (5) следует, что о=о), ¿—й^при i,j= 1,..., к, и уравнение (8) примет вид
W2t=-£
М
“Г X
г=1 + W2l
»,
ЭХ:
2^ "J Эх,- Эх,-
Ж2,+
п И л
Т Т "V ^ 1 V"' о 1
1~1~Ъ ¿j^' + yX - - è;i
(10)
2^-* Эх,- дх: у ¿=1+*- ’ у=1+Ат
Уравнение (10) с учетом начальных условий (9) позволяет реализовать алгоритм оптимальной фильтрации непрерывных сигналов, представляющих собой случайный процесс вида (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М..Радио и связь, 1993.
2. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.:Сов. радио, 1978-.
