CC BY
5Оптический параметрический генератор с ячейкой
поглощения
Е.А. Титов1'2, Н.Е. Кафидова2
'Институт Лазерной физики СО РАН, Новосибирск, Россия 2Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия
Аннотация. В работе выведено уравнение для матрицы плотности в представлении Вигнера, которое описывает оптический параметрический генератор в вырожденном режиме ниже порога генерации. Используя это уравнение найдены дисперсии для квадратурных операторов поля внутри резонатора, спектральные плотности двухвременных корреляторов квадратур для поля вне резонатора. Решена задача о ПГ с ячейкой поглощения внутри резонатора. Резонансное поглощение считалось слабым.
Ключевые слова: лазерная физика, оптика, генерация, резонатор, поглощение
Введение
Сжатые состояния света дают возможность преодолеть квантовый предел в оптических измерениях, делая фазозависимые измерения, в которых используется только квадратура поля с уменьшенными квантовыми флуктуациями. В 90-тые годы сжатые состояния и их экспериментальное наблюдение и приложения были подвергнуты всесторонним исследованиям, которые были суммированы в нескольких обзорах и книгах [1-4]. Нас интересует приложение к нелинейной лазерной спектроскопии сверхвысокого разрешения, поскольку использование сжатых состояний позволяет сильно увеличить отношение сигнал/шум. Перестраиваемый источник сжатого света [5] был использован для спектроскопических измерений атомного цезия. Относительно дробового шума, связанного с вакуумными флуктуациями, увеличенная чувствительность продемонстрирована для наблюдения резонанса насыщенного поглощения с увеличением сигнал /шум на порядок [6].
В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи. В параметрическом генераторе пучок накачки взаимодействует с нелинейным кристаллом, помещенным в резонатор, генерируя сигнальный и холостой пучки. Поскольку частоты сигнальной и холостой мод совпадают, генератор работает в вырожденном режиме. Обычно для описания параметрического генератора в вырожденном режиме ниже порога используются уравнения для операторов рождения и уничтожения в представлении Гейзенберга. Ниже для описания работы параметрического генератора выводится уравнение для матрицы плотности поля в представлении Вигнера. Решая это уравнение в стационарном случае, в подпороговом режиме получены дисперсии квадратур поля внутри резонатора. Используя уравнение для матрицы плотности была найдена спектральная плотность корреляторов квадратур для поля вне резонатора. Согласно [4], двух-временная корреляционная функция выходного поля связана с определенным образом упорядоченной двухвременной корреляционной функцией поля внутри резонатора.
В последнем пункте статьи решена задача о параметрическом генераторе с ячейкой поглощения, где поглощение учитывается в линейном приближении.
1. Матрица плотности в представлении вигнера
В работе [7], используя трактовку вторичного квантования, введенную М. Лэксом для описания внутреннего состояния одиночной системы, методами квантовой теории поля построена матрица плотности осциллятора. Получены уравнения для матрицы плотности, использованные в квантовой теории лазера. Уравнения выведены в «координатном» q - представлении, что дает возможность построить матрицу плотности осциллятора в произвольном представлении.
Таким образом, дана матрица плотности в «коор-
Б (а,, о,) г_,
динатном» представлении 1 2 [7
В представлении Вигнера будем иметь:
,р (а1 - а 2)
(1)
б(а 1,а2) = |dpe,p(01 -а2)w ((а 1 + а2)/2,р)
Б (о , а ) = Б(1,2) ^ Дальше 1 2 . Операторы уничто-
жения и рождения в координатном представлении имеют вид:
а =a(Qq + f^V ), а+ = сс(Пд ),
а = 1 /
V2*
Q
V = 8 / 8 q
(2)
Определим, как действуют операторы ' на матрицу плотности в представлении Вигнера. Имеем
^£>(1,2) = | с1ра (О + )е'РРИг {Я,р) =
= | dpeippblw (Я ,р)
(3)
где
a „ + a , a „ = а ( Q R + —V „), a
R и ^ R v R ' ^ и
2
'Q
= ia( p + -v и ),R = (qi + q 2 ) / 2 j P = q 1 - q2
2 p
b
a ¡D (1,2) = J dpeippb ¡W (R , p )
Ti
bi = al + a+P'a+R = a ~ R)>a+P =
h Q
= - ia (p--v )
2 p
a2D (1,2) = J dpe'PPb2W (R , p ), a2+D (1,2) = J dpe'PPb+ W (R , p), b2
г.+ + + o„ = a „ - a .
2 R p
Введем обозначения: «ОЛ = у ,ар = у выражения:
Тогда для операторов получим
1 1
b, = v, + — v + i( v + — v ),
1 y1 4 ,1 (y 2 4
+ 1 1
b1 = V1- 7 v y- ' (y 2- 7 v у2
b 2 = v 1 + 7 v y- i (y 2+7 v y^
+ 1 1
b + = V, —v + i( V--v ),
2 V1 4 y 2 4 y
(4)
Вывод уравнений удобно производить в комплексных переменных:
г = У! + ¡У2, г = У; - ¡у2.
Тогда:
1 - +
b = z + — v , b j 2
_ 1
z - — v , 2
- 1 + 1 -
b = z + — v ,b 2 = z - — v , 2 2
V = д / д z, V = д / д ~.
(5)
гласно [7], уравнение для матрицы плотности в представлении Вигнера будет иметь вид:
-у ( V г + V г ) Ш Член релаксации:
IV г* \ г • V? • V V >1Г
2у
(8)
где к - ширина линии пропускания резонатора, и полное уравнение:
IV = {-у{У: + v?) +г(у; + v v мп
(9)
Возвращаясь к переменным
У, V 2 •
z = y1 + iy 2> z = y1 - iy 2> V = — (д / dy1 - iд / дy 2),
2
- 1
v = — (д / дyt + iд / дy2 )
получим
(10)
3
Й7 = — -уДг - y)W +
д y 1
2 (11)
д v д2 д2
+ -y 2 (v +у )W + - ( - + —)W
д y 2 4 д y 1 д y 22
В стационарном состоянии для равных нулю потоков имеем
Шо(Уl,У2) = Шо(У 1)Шо(У2), у 3 Ш. (У,)
УДу - у)Шо(У,) +--^^ = о
4 3 У;
у 3Ш.(У2)
У 2 (у + У )Ш о( У 2) +--= о
4 ЗУ 2
2. Параметрический генератор в подпоро- Тогда ГОВОМ РЕЖИМЕ
W о( y l, y 2) =
4*1
а. : : v + у
2 -Я,У, -я,у, _/
— e 11 2 2,a 2 = 2-
Гамильтониан, описывающий вырожденный параметрический усилитель, в представлении взаимодействия имеет вид [3,4]
<,Л = о,< y ■> = 20-
(12)
U ■ У t 2 + 2 ч
H = - г — (a - a ) 2
Введем квадратурные эрмитовы операторы поля
+ а - а + 7 = а + оз , 7 = -
(6)
а, а у
- операторы уничтожения и рождения, ' - кон-
Ги
1 , где 1,2 - пропорциональны безразмерным операторам координаты и импульса
У1,
i д
i д
станта, пропорциональная нелинейной восприимчи- осциллятора поля. В переменных 12 имеем вости 2- порядка для кристалла и амплитуде внешнего поля. Переход в представление взаимодействия мож- 7 = 2 у но рассматривать как переход в систему отсчета вращающуюся с собственной частотой резонатора. Со-
- Y 2 = 2 y 2 ---,
2 3y 2 2
/ , \ yjaa „ „ д , 4
\Y1 2= -J J ^ dy 2 (2 y 1 + i-) W о( y^ y 2) = -
3 V 2
2 a v - у
+
{' 2)
v + у У ^ v ,
' , когда '
2
то есть испытывает 50% сжатие внутри резонатора [3,
4].
Б (0) = а(0)Б0 Б0
0 , где 0 - начальная матрица плотности системы.
Sp (a + (0)a + (t)D ) = Sp (a + (0)e -'"'D a + (0)e'"') =
3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫХОДНОГО ПОЛЯ
Зависящие от времени квадратурные амплитуды поля внутри резонатора есть
у(г) = а(г) + а+(1), у2 (г) = -,(а(г) - а+ (1)),
а (г), а (г) „
где операторы в гейзенберговском пред-
ставлении с гамильтонианом (4). Соответствующие эрмитовы корреляторы запишем в виде [4]
/(а (г) а (0) + а+(0) а+ (г) + \ о 12 (*) = ±( (13)
' \+а+(г) а (0) + а+(0) а (г)) /
где х ' - знак среднего. Согласно выводу, сделанно-
У (г )У. (г')
му в [4], двухвременные корреляторы г г для квадратур внутри резонатора упорядоченные определенным образом будут определять корреляторы вне резонатора. Для этого необходимо записать
У. (г )У. (г')
г г в виде нормального произведения, для
а (г)а (г')
4 ' к ' расположить операторы в хронологиче-
а+ (г) а+ (г')
ском порядке, для в обратном хроноло-
гическом порядке и усреднить. Спектральную плотность корреляторов внутри резонатора определим как
Gi 2(®) = - Г d'e,MGi 2 (')
(14)
= Sp (a (0) D (')), D (') = e - '"'a (0) D e""
= 0 )£>(/)), ¿(О = е-Ш'6у (0)е'т
В(0) = В0а + ( 0)
Яр (а + (1) а (0) Б 0) = Яр (а + (0) Б (г)),
Переходя в этих выражениях к представлению Вигнера, получим матрицы плотности
ГГ (V., (V.,
1 2 1 2 , которые удовлетворяют
тому же нестационарному уравнению, что
w с( ^ ^ 2, г)
(11) с соответствующими начальными
условиями:
W (0) = bjv0 /Г ill! />.1Г
. Таким
образом, уравнения для 1 2 и 1 2
имеют вид
(Г = v' / 4)
W(yi,y2,T) = -Za.y.lf +
9
8 2W
8 У i
8 У i
+-2 a2y2W +
8 У 2
2
8 2W
(15)
8 У 2
2ж
а спектральная плотность вне резонатора есть
$ 1,2(® ) = 2У 0 1,2 О )
где 2у - ширина линии пропускания резонатора. Спектр определяется относительно частоты резонатора, так что ® = 0 соответствует частоте резонатора [4].
Имеем набор следующих средних:
Sp (a (') a (0) D ) = Sp (e'"'a (0) e - '"'a (0) D ) =
W (yi, y2,0) = biW0 см. (4). Тогда
выражение для оператора
W (yi, y2,0) = ^(i - ^)yi + '(i - у)У21 W0
(16)
Уравнение для ^ идентично уравнению для ^ с начальным условием
Ж (V,, у2,0) = Ь2Ж0
Ж (у1,у2, 0) = Г(1 - —) V; - / (1 " — Н'2 ]г0
^ 2 2 -I , (17)
Следуя работе [8] (см. также [9]), мы считаем что нестационарные величины мало отличаются от стацио-
IV (г), IV (г)
нарных, так что можно представить в
виде разложения по малым зом:
yi,
1
. Таким обра-154
v
+
b
2
W (y1, y2,г) = Z1(r)bWo + х2(т)b2Wо, X1 (о) = 1, х2(о) = о,
Здесь производная по времени ' = 4 т ^у . Решая систему (21) методом одностороннего преобразования Фурье, получим систему алгебраических уравнений для величин
Zi(0) = 1; Z2(0) = 0.
1
(18)
X*2(m ) = -J dt^1_2(t)
t) e
То что в [8,9] разложение по малым флуктуациям ведется на фоне больших средних значений не должно смущать, поскольку мы можем формально ввести
средние
W = о
(>1,) *о
2 к
+
Тогда" 1-2(" ) """ дает
X12(m ) = 2 Re X1+2(m )
и простое вычисление
сделать разложение и положить Результаты совпадают. Используя (18),
G 1 2 ( Г ) для 1,2 получим
im + v у X,(m) = 2 Re-, x2(m) = 2Re —
а а
А = (im + v + у )(im + v - у )
G1 = Alxl + A2x2 + A1x1 + A4x2 + A4x, + + A3z2 + AJ1+A1Z!
Кроме того, вычисления показывают, что Тогда
Z 1.2 Х\:
G2 = ~(Alz1 + А2Х2 - А3х1 ~ А4х2 + А4Х, + А3Х2 ~
-'42Х1 ~ Л1х2 )■
(19)
1 a,
A = J J dyx dy 2 bxW о = -(1 --4 -
J J 2 a, ">
1a
-(1 -—)
2 a, 2
1 a,
A 2 = J J dy 1 dy 2 b b 2W о = -(1 +
J J 2 a, 0
1a
-(1 - —),
2 a2 2
1 a.
A 3 = J J dy 1 dy 2 b1+ b1W о = -(1 -—) +
J J 2 a, 0
1a
-(1 -—),
2 a, 2
G 2 (m ) = 4-(1 --4( хД®) -X2(®)) =
2 a2 2
2 У
(22)
m + (v + у )
Из (14) имеем
4vу
S, Am) = +-
1.2 4 2
a + (г + y)
Вне резонатора необходимо добавить спектр дробового шума, связанного с вакуумными флуктуация-ми [4], то есть
б;;' (®) = 1 + ^1,2(®)
Этот результат совпадает с ответом из [4], который был получен другим способом.
. . + 1 a, A 4 = J J dy 1 dy 2 b b 2W о = -(1 - -L) -
J J 2 a, 1
. (20)
1a
-(1 -—)
2 a2 2
Подставляя разложения (18) в уравнение (15), полу' ) .
чим уравнения для
4. Ячейка поглощения
Чтобы учесть влияние ячейки поглощения на сжа-
7
тие квадратур 1,2, добавим к гамильтониану (6) член, учитывающий резонансное взаимодействие поля в
резонаторе с системой ^ неподвижных двухуровне-
„ > С вых атомов с частотой 21 .
Имеем
Х^-^Х^ + УХ, Х2 = ГХ1-*'Х
(21)
7-т- t /- + k k .
H = gk (a + aa+ )
(23)
Константы связи
зависят от пространственной
структуры поля. В случае неподвижных атомов мож-
но положить
gk = g = dsph /
V2, d -
дипольныи
i / 2
ph = (4^®2i / ^ )
v / Г
1 , где г - од-
будем считать, что параметр нородная полуширина линии атома. В результате получим
iW (z,z,t)= g>\lkW (z,z ,/) +
k
+ g^i2kW ( Z , F, ' )
(24)
r = 1 r2ik = - 'SZ / Г- 'g / Г
Г3 k ij
V W
2W (25)
Добавляя в уравнение (24) члены из гамильтониана (7) и потери, получим в стационарном случае
матричный элемент перехода, напряженность поля фотона, ^ -объем резонатора,
Л = 1 СГ
1 - матрицы Паули. Частота генерации в нашем случае совпадает с частотой резонатора и мы считаем, что резонатор настроен на частоту перехода
а
21, то есть, все расстройки равны нулю.
Вывод уравнений для матрицы плотности осциллятора в представлении Глаубера сделан в [10] (см. также [7]). Если использовать в представлении Вигнера комплексные переменные (5), то вывод аналогичен выводу системы уравнений в [10,7]. Мы хотим учесть влияние линейного поглощения. Ниже выписаны полная совместная система уравнений для матрицы плотности квантового осциллятора и двухуровневой системы в представлении Вигнера. Необходимость в исследовании такой полной системы состоит в том, что возникает вклад в коэффициент диффузии из-за линейного поглощения, который нужно учесть. При анализе этой системы уравнений все эффекты, связанные с насыщением перехода в двухуровневой системе, будут отброшены. Кроме того, мы
- у (Vz + Vz)W0 + v(Vz + Vz + V V)W0 + +'(gNr21) - '(gNr2i ) W0 = 0
g N g N V W 0 gNr2i = -'-Z - '--
,(26)
Г 2 W„
где
(27)
ас ^ V W0,
- ' -( Z + -),
2 2 W„
где
а0 = g N / Г
-ненасыщенный коэффициент по-
глощения в центре линии на единицу длины. Возвра-
У1 2
щаясь к переменным 1, 2 , получим уравнение для W„
-Уi(v + а0c /2 - у)W0 +
8 У i
8
+-y2 (v + а 0c /2 + у )W0 + (28)
8 У 2
v + а „ c / 2 82 8 2
+-0-(—+ —)W 0 = 0
4 8 У i 8 У 2
Линейное поглощение при резонансном взаимодействии перенормирует потери в резонаторе и
а
коэффициент диффузии. Коэффициенты 1,2 (12) в этом случае равны
a i, 2 = 2
г + а0с / 2 + у v + а „ c / 2
'21» + Г,21* = ~ 'ё
v W 2W
'з* + Г'з* = Г " 2i8(zr21t - Zri2*)
Г г
где 21 12 к - недиагональные матричные элементы
матрицы плотности
атома
(ri2k = r2ik )
Таким образом, линейное поглощение разрушает сжатие, но обратимым образом - увеличение накачки ^
3к 11 к 22 к - разность диагональных матричных элементов нижнего и верхнего уровней
(г,, + = 1) _ 11 к 22 к . В стационарном случае, в линейном
приближении по поглощению имеем
восстанавливает сжатие.
Заключение
Выведено уравнение для матрицы плотности оптического параметрического генератора с ячейкой поглощения ниже порога генерации. Показано, что поглощение в стационарном случае уменьшает сжатие, но увеличение накачки позволяет его восстановить. Учет эффекта насыщения поглощения сильно усложняет картину и пока не анализировался.
Литература
[16] J. Opt. Soc. Am. // 1987. v.B4, no. 10. © Automatics & Software Enginery. 2023, N 2 (44) http://jurnal.nips.ru/en
k
g
k
k
[17] Davidovich L. // Rev. Mod. Phys.. 1996, v. 68, no. 1, p. 127
[18] Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. ФМ: Москва, 2003
[19] Walls D.F., Milburn G.J. Quantum Optics. SpringerVerlag, 1995
[20] Wu Ling-Au, Xiao Min, Kimble H.J. //J. Opt. Soc. Am.. 1987, v. 4, no. 10, p. 1465
[21] Polzik E.S., Carri J., Kimble H.J. // Phys. Rev. letts. 1992, v. 68, no. 20, p. 3020
[22] Titov E.A. // Laser Phys.., 2002. v. 12, no. 9, p. 1273
[23] Казанцев А.П.// ЖЭТФ. 1971, т. 61, no. 11, с. 1790
[24] Багаев С.Н., Курбатов А.А., Титов Е.А. // Квант. электр.. 1997, т. 29, no. 10, с. 901; Bagayev S.N., Kurbatov A.A., Titov E.A. // Laser Phys. . 1997, v. 7, no. 5, p. 1091
[25] Казанцев А.П., Сурдутович Г.И. // ЖЭТФ. 1969, т. 56, no. 6, с. 2001
Optical Parametric Oscillator with Absorption Cell
E.A. Titov1,2, N.E. Kafidova2 institute of Laser Physics SB RAS, Novosibirsk, Russia 2Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia
Abstract. The paper derives an equation for the density matrix in the Wigner representation, which describes an optical parametric oscillator in a degenerate mode below the generation threshold. Using this equation, the dispersions for quadrature field operators inside the resonator and the spectral densities of two-time quadrature correlators for the field outside the resonator are found. The problem of PG with an absorption cell inside the resonator has been solved. The resonant absorption was considered to be weak. Key words: laser physics, optics, generation, resonator, absorption
REFERENCES
[1] J. Opt. soc. Am. // 1987. v.B4, no. 10.
[2] Davidovich L. // Rev. Mod. Phys.. 1996, v. 68, no. 1, p. 127
[3] Scully M.O., Zubairy M.S. quantum optics. FM: Moscow 2003
[4] Walls D.F., Milburn G.J. Quantum Optics. Springer-Verlag 1995
[5] Wu Ling-Au, Xiao Min, Kimble H.J. //J. Opt. soc. Am. 1987, v. 4, no. 10, p. 1465
[6] Polzik E.S., Carri J., Kimble H.J. // Phys. Rev. letts. 1992, v 68, no. 20, p. 3020
[7] Titov E.A. // Laser Phys.., 2002. v. 12, no. 9, p. 1273
[8] A.P. Kazantsev// ZhETF. 1971, v. 61, no. 11, p. 1790
[9] Bagaev S.N., Kurbatov A.A., Titov E.A. // Quantum. electr. 1997, v. 29, no. 10, p. 901; Bagayev S.N., Kurbatov A.A. Titov E.A. // Laser Phys. . 1997, v. 7, no. 5, p. 1091
Наталья Евгеньевна Кафи-дова - Старший преподаватель кафедры Лазерных систем НГТУ. Новосибирск, проспект К. Маркса, д.20.
E-mail: kafidova@corp.nstu.ru
Евгений Анатольевич Титов
- доктор физ.-мат наук, прфес-сор, главный научный сотрудник ИЛФ СО РАН. Новосибирск, просп. Лаврентьева 15Б.
E-mail: ls@ftf.nstu.ru Статья получена 14.06.2023.
[10] Kazantsev A.P., 56, no. 6, p. 2001.
Surdutovich G.I. // ZhETF. 1969, v.
Natalya Kafidova - Senior Lecturer of the Department of Laser Systems, NSTU. Novosibirsk, Prospekt K. Marx, 20.
E-mail: kafidova@corp.nstu.m
Evgeny Titov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chief Researcher, ILP SB RAS.
Novosibirsk, ave. Lavrent'eva 15B.
E-mail: ls@ftf.nstu.ru
The paper has been received on 14/06/2023.
