CC BY
35
В выражении для действия (38) мы опустили член, содержащий бесконечную константу регуляризации ku (см. формулу (17)), так как он
может быть уничтожен добавлением космологического члена ji f d2t^g в исходное струнное действие.
Действие (38) отличается от стандартного струнного действия вторым слагаемым, пропорциональным скалярной кривизне. Из-за этого слагаемого теория не является Ларенц-инвариантагой в D+1-мерном пространстве-времени. Почти все остальные качественные черты критической струнной теории полностью сохранены здесь. При D= 1 мы получаем теорию в двухмерном пространстве-времени, которая в настоящее время рассматривается как пробная модель для исследования ряда вопросов в теории струн (см. [10—14], там же имеются более подробные ссылки).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. М.: Мир, 1990. Т. 1, 2.
2. Tseytlin А. A. Int. I. Mod. Phys. 1989. P. 1257. ,
3. Siegek W. Introduction to sring field theory. World Scientific. Sinqapore, 1988. 570 p.
4. Gross D., Miqdcil A. Phys. Rev. Lett. 1990. 64. 127.
5. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука,
1979.
6. D’Hoker Е., Phono D. IE. Rev. Mod. Phys. 1988. 60. P. 917.
7. Polyacov A, M. Phys Lett. 19817103 B. P. 207.
8. David F. Mod. Phys. Lett., 1988. A3. 1651.
9. Mavromatos N. E., Miramontes J. L. Mod. Phys. Lett. 1989. A 4. P. 1847.
10. Polyacov A. Mod. Phys. Lett. 1991. A 6. P. 635.
11. Aref’eva I. Ya., Zubarev A. P. \ Mod. Phys. Lett. 1991. A 7. P. 677.
12. Klebanov I. R., Polyakov A. M. Mod. Phys. Lett. 1991. A 6. P. 3273.
13. Witten E. Nici. Phys. 1992. В 373. P. 187.
14. Aref’eva I. Ya., Medvedev P. B., Zubarev A. P. Interaction of C=1 discrete
states from string field theory. Preprint SMI — 17, 1992.
УДК 535.3; 539.2
А. В. ГОРОХОВ, В А. МИХАЙЛОВ
СЖАТЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ТЕРМОСТАТА И КИНЕТИКА ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ
Рассмотрена кинетика модельной двухуровневой системы, взаимодействующей с тер-мостатом, у которого наряду с белым шумом существуют так называемые «сжатые» флуктуации. Выведены уравнения, описывающие релаксацию N одинаковых двухуровневых атомов в таком «сжатом» термостате. Методом когерентных состояний получено уравнение Фоккера-Планка для ковариантного символа матрицы плотности. Для случая изолированного двухуровневого атома получено точное решение. Покат зано, что при специальном выборе начальной матрицы плотности, на начальной ста-дии релаксации, наблюдается интерференциальная картина по углу, которая отсутствует, если термостат не имеет «сжатых» флуктуаций. Это свойство, в принципе,
может быть использовано для «тестирования» «сжатия» термостата.
Сжатый свет является одним из наиболее ярких явлений в квантовой электродинамике, не имеющим классического аналога и обе-
щающим исключительно важные применения в оптических системах связи с предельно низким уровнем шума и в детектировании грави-
тационных волн. Сжатие (см. обзоры [1—3]) предсказано в большом числе квантовомеханических систем, таких как вырожденный параметрический усилитель, кооперативная резонансная флуоресценция, процессы четырехволнового смешивания, лазеры на свободных электронах. Растет число экспериментальных работ, в которых сообщается о наблюдении сжатия.
Необычные свойства сжатого света могут проявиться в особенностях поведения взаимодействующего с ним вещества, поэтому интересно исследовать его влияние на динамику и кинетику точно решаемых квантовых систем (гармонические осцилляторы, спин в магнитном поле, /г-уровневые атомы и т. п.).
Так, в недавней работе [4] было теоретически обнаружено, что приготовленная суперпозиция квантовых состояний моды электромагнитного поля достаточно долго сохраняется и с учетом взаимодействия с термостатом при условии, что в термостате наряду с обычным белым шумом 'существуют и так называемые сжатые флуктуации [5].
Целью данной работы является изучение специфики воздействия «сжатого термостата» на кинетику двухуровневых атомов. Здесь мы уделим основное внимание принципиальным вопросам: выводу кинетического уравнения, описанию его решений и анализу. Возможные оптические следствия рассмотрены нами ранее [6].
Вначале установим вид кинетического уравнения для матрицы плотности некоторой эквидистантной системы. Гамильтониан полной системы зададим в виде
Й = Йа+ ЙЬ + ЙШ, (1)
где Йа — гамильтониан эквидистантной подсистемы, динамикой которой мы будем интересоваться; при этом [Йа, Л+] = А£Л+, [Яа, А-] = = —Л£Д_, АЕ — расстояние между любыми соседними уровнями, а Д+
операторы переходов между ними; Йь = 2^со/; #+/#/ — гамильтониан
” У
термостата (диссипативной подсистемы, которая моделируется набором большого (в пределе, бесконечного) числа гармонических осциллято-
ров с частотами со/=юо = А/?/"£);
==:: 2(//А+&/ + //Л _£?/+)
I
— оператор взаимодействия эквидистантной подсистемы и термостата, выбранный в приближении вращающейся волны.
Матрица плотности всей системы удовлетворяет хорошо известному уравнению
ШЛ9Г = [Я, р], (2)
формальное решение которого можно найти по теории возмущений,
предварительно перейдя в представление взаимодействия (Й0 = Йа + -{-Нь). Как и обычно [7—9], считаем, что матрица плотности имеет вид
р(0 = р«(0-рв(0), (3)
где рв (0) = соп&1 — матрица плотности термостата (приближение необратимости), и после усреднения по состояниям термостата приходим к кинетическому уравнению для редуцированной матрицы плотности
Ра (/) •
Как и в [4, 5], будем считать, что в термостате наряду с обычным тепловым шумом, который связан с отличными от нуля корреляторами <#+/#/> И <#/#+/> (здесь <Р>=£рв(Ррв(0))), существуют ненулевые сжатые флуктуации <#+/#+/>=#:0 и <#/ #/>^0. .
В работах [4, 5] корреляторы <#/#/> и <#+/#+/> введены чисто феноменологически, однако их легко рассчитать, задавшись явным
видом матрицы плотности р8(0). Рассмотрим, например, «фотонную тепловую баню», вакуумный вектор в гильбертовом простраснтве состояний которой является сжатым, и выберем
рв (0) = ехр [—Нв/kT] /Sp exp [—Йв/kT],
где
Яв=ЗЩ)Йв5{i|) , 3(g) = ШЩ
5(|j) = exp [ — |Л+2) /2] — оператор
Столера [1], \-, = пе1®>—комплексный параметр сжатия в /-той моде. В этом случае имеем:
<^i)M^)>=([«v>+ -f) ch2r<--------------И ei<0,(*'~i2) bn*
<6i(ti)6+i (/2)>='[ (<v> + 4) ch2r> + 4-i e-^'~t2) ън,
Г . . (4)
<6j (/i) 6i (t<>) > =i[ (<v> -\-«у—) ete,sh2ri] e IC0'^1 ' ^6n,
tfM*2)>M[.(<v> + ~)e~i9!sh2r,] ei&l(lf'+h) 6ji.
Здесь < v> •=,{exp. ( — 1]~!-
Действуя далее как в [7, 8], получаем кинетическое уравнение:
= —2~ {(<Я> + ~~2— ) [2Л-раА+— А+А-ра —рaA+Aj\,+
•• /s /•' .-V /ч / n - /\ А /X /ч У-
+ [2А±раА~ — А—А+ра — раА-А+] 4-5 [Л+Л+ра + раЛ+Л+ —
— 2Л-фаЛ4-] + 5 [Л _Л_.раг + раЛ-Л _ — 2Л_раЛ_]}. (5)
•Здесь y=2n\fi\2g((Oi) !оз = Wo ,
<«> = [<V>ч-------1—) Ch2r,-----[-] |w = ; '¥j = Q, + 2argfr,
s=[«v> + _i_)e'*iV -5А2гЛ 1ш/ = в>0.
Если параметры 5 = 0 (сжатиеотсутствует), то <п> = <v> и уравнение (5) переходит в обычное кинетическое уравнение для эквидистантной системы.
Уравнение (5) описывает, например, релаксацию в системе N одинаковых двухуровневых атомов, которые находятся в области с линейными размерами, много меньшими длины волны А,о резонансного перехода между уровнями (задача Дике). В этом случае
- „ ЛГА . ” _ _ JV а ^ .
£- = J- = ; Л4- = /+ — 2 о*: ; J+ являются генераторами (при-
7.--1 а 1 ~
водимого) представления группы 5[/(2) — группы энергетического спина. При этом полный энергетический спин У сохраняется в процессе релаксации, т. е. состояния с разными У распадаются независимо, каждое со своим характерным временем.
Для описания релаксации в подпространстве с фиксированным
Т ,Т N N , , 1
значением У (У = —, — 0-------1, 1 или —9— в зависимости от
того, четное или нечетное полное число атомов) используем представление когерентных состояний группы 5Щ2) |г> = (1+гг)_/
(ехр (е/+) |У1—У> (см., например, [10]) и представим матрицу
плотности в диагональном виде:
^ / у\ 2/ + 1 »* сИ^ег-сИтг п/ _ ,,1Ч , . . , ./пх
Ра (0 = ----— ] —.-га— • Р 2; *) |2> <2|, ,(6)
где Р(г, г, /) — контрвариантный символ матрицы плотности.
Подставляя (6) в (5), после некоторых вычислений, аналогичных выполненным .в [Ю], получим, что функция /(2, г\ /) =
= Р(г, 2, /)/(1+гг)2 удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка
~ЪГ = 2 У * ~дТ [(<«> + 1) !(2/г + —0— г2 + г2Р) +
+ <^п^> (—2]х~\----^г-1-22 —----) + 5 ( —---р 2 —— 22) -)-
4 сг аг 1 хог ог 7
+ г2] +к.с.}/. (7)
ох *■
В данной работе мы ограничимся разбором особенностей решения уравнения (7) для У =— (изолированный двухуровневый атом).
Если У невелико, то эффективным методом отыскания решений является разложение по сферическим функциям
/(г, 2,/) = 2 2 ^м(0У1м(2,2) (1+гг)-2. (8)
Функции Уии(гуг) образуют полную и ортонормированную систему функций на С по мере й\х(гуг)=(1Нег-(11тг/(\-\-zz)2 и удовлетворяют уравнениям
[ (1 + гг)2 + £ (£ + 1) ] Уьм (гг) = 0,
(2—|=----2 —) Уци (г} г) = МУШ (г, г),
которые подстановкой г=е~1'* —сводятся к уравнениям для
обычных сферических функций У£м(Ф, ф). Явный вид функций У1М(г, г) приведен в [10].
После подстановки формулы (8) в уравнение (7) оно сводится к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для функций У71м(0» условия Коши для которых определяются начальной
матрицей плотности ра(0).
Ввиду того, что уравнение (7) — эволюционное уравнение (параболического типа), удобно найти его пропагатор К(г, ^). Этому
решению соответствует ра(0) — '\г'> <.г'[, где \г'> — когерентное состояние.
104
Если произвольной начальной матрице плотности ра(0) соответствует контрвариантный символ Р0(2), то матрице ра (^) ставится в соответствие символ
Р(г,/) = I йр{г')К{г,Цг',0)Ро{г'). (9)
Для / =—*— пропагатор имеет вид
К(г,1\г',0)= -1- +Ую;(г,2) [?ю(г', 2')е~Т,г+ .(1-е_П)] +
+ {У„ {г, г) г')сЦт |5| -0+?.-, (г', г')-е‘хр «МтИО ] +
+ У1-1(г,2)![У1-1!(2',2')с'/1(Т|5|0+Уп(г/>г/) е^А^ИО1]), (10)
где Г— (2<л> + 1)у; е~‘*= 5/|^|. ‘
Легко проверить, ЧТО при / -V ОО (10) приводит к символу «равновесной» матрицы плотности
Р„(г,г) = (1 + 2<„;+, -£§-)■ <П)
Д Е
и если параметр сжатия 5 = 0, то (2</г> + 1)-1 = ( -у-).
Выберем начальную матрицу плотности в виде чистого состояния
Ра (0) — |Ф> <Ф|,
1 /7С /тс
где Ф> = [2(1—/т<—2о]2о>)] 2 (^4|^0>+^ 4|—^0>)—
суперпозиция двух когерентных состояний |г0> и ||—20> (аналогия с работой [4]), и введем функцию
Я (в, (ф, 0 = <0, ф| р (^,) 10, ф> =1 ^К)РК/) |<г/|0,ф>|2. (12)
Здесь |в, ф> = |г>. '
Явный вид функции 7?(0, ф, /) следующий:
. 1 . 2-?°________________________________________________
Я(в,<р;0 = (И^2 {1+№г*-|---------1И—в— е~Г" +
+ 2<я> + г 1 +21'§-|— tg~- е-Г [сй|ф8ш(ф0—<р) +
+ 5/1 (] 5| у/) эт (фо + ф—Ч^)]}. (13)
0 0 (При выводе учтено, ЧТО 2 •=■£-*?' —; 2о = —).
Из формулы (13) видно, что при временах / — Г-1 последние два слагаемых приводят к «интерференционной картине» по углу ф, которая исчезает, если термостат является обычной тепловой баней, т. е. при 5 — 0. .
Таким образом, кинетика двухуровневого атома в фотонной бане со сжатыми флуктуациями имеет любопытные качественные особенности, которые можно попытаться использовать для «тестирования» сжатия термостата.
Важный случай кооперативной релаксации большого числа двухуровневых атомов при / оо, а также учет нестабильности сжатого термостата будут рассмотрены <нами отдельно.
Работа выполнена при финансовой поддержке Международного научного фонда, Российского фонда фундаментальных исследований правительства РФ, грант №J64100.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Walls D. F. Squeezed States of Light//Nature. 1983. V. 306. P. 141—146.
2. Смирнов Д. Ф., Трошин А. С. Новые явления в квантовой оптике: антигруппировка и субпуассоновская статистика фотонов, сжатые состояния//УФН. 1987. С. 233—271.
3. Боголюбов Н. Н. (мл), Козеровски М., Чан Куанг, Шумовский А. С. Новые эффекты в квантовой электродинамике/'/ЭЧАЯ. 1988. Т. 19. С. 831—863,.
4. Kennedy Т. А. В., Walls D. F. Squeezed Quantum Fluctuations and Macroscopic Quantum Coherence//Phys. Rev. A. 1988. V. 37. P. 152—157.
5. Gardiner C. WCollett M. /. Input and Output in damped Quantum Systems: Quantum Stochastic differential Equations and Master Equation//Phys. Rev. A. 1985. V. 31. P. 3761—3774.
6. Горохов А. В., Михайлов В. В. Кинетика двухуровневых атомов, взаимодействующих со «сжатым» термостатом//Световое эхо и пути его практических применений: Тез. докл. IV Всесоюз. симп. Куйбышев, 1989. С. 59.
7. Белавин А. А., Зельдович Я. Б., Переломов А. М., Попов В. С. Релаксация квантовых систем с эквидистантным спектром//ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 264—274.
8. Dekker Я. Classical and Quantum Mechanics of the Damped Harmonic Oscillator// Phys. Rept. 1981. V. 80. P. 1 — 112.
9. Альперин М. М., Клубис Я. Д., Хижняк А. И. Введение в физику двухуровневых систем. Киев: Наукова Думка, 1987. 224 с.
10. Горохов А. В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч. III//Куйбышев: Изд-во КуГУ, 1983. 96 с.
УДК 530. 1
С. М. ПОБЕРЕЗКИН
ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Принят только первый постулат Эйнштейна об эквивалентности инерциальных систем отсчета. Полученные преобразования имеют самый общий вид, их множество, целый, класс. Найдено и одно из решений — вместо второго постулата о постоянстве скорости света взято линейное правило сложения скоростей. Сделана попытка физически осмыслить этот интересный вариант.
1. Математическая часть. Теория относительности, постоянство скорости света и релятивистская скорость
В математической части работы сделана попытка вывести преобразования, подобные преобразованиям Лоренца, основываясь только на одном первом постулате Эйнштейна [1; 2]: законы, по которым
изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения относятся.
Удается получить преобразования:
