Определенности в классической логике Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.М.Анисов

ОПРЕДЕЛЕННОСТИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ*

Abstract. The article discusses the problem of argumentation modelling in the context of uncertainty by means of the classical first-order logics of predicates. It shows the existence of formulae that exclude the appearance of uncertainty situation.

В работах [1] и [2] в рамках классической логики был введен оператор неопределенности «н». Кратко воспроизведем формальный ход рассуждений из этих работ. Пусть Т - аксиоматическая теория в языке L классического исчисления предикатов первого порядка. Сопоставим каждому n-местному атомарному предикатному символу Р(хь ..., xn) языка L n-местный атомарный предикатный символ Р*(хь ..., xn), а каждому n-местному функциональному символу 1;(хь ..., xn) - n-местный функциональный символ 1;*(хь ..., xn). Индивидные константы (если они вообще имеются) оставим без изменений. Получим язык L*. Теперь заменим в аксиомах и правилах вывода теории Т каждое вхождение предикатных и функциональных символов на соответствующие символы со звездочкой. Результат описанной замены для аксиомы А обозначим через А*. В итоге получим теорию Т* в языке L*, содержащую в качестве аксиом только формулы вида А*.

Объединим полученные теории в одну. Получим теорию Т и Т* в языке L u L*. Теория Т и Т* вряд ли может кого-то заинтересовать. Просто она содержит два параллельных ряда аксиом, отличающихся лишь наличием или отсутствием звездочек в их формулировках. Однако понятие формулы претерпело существенное изменение. Формулами теории Т и Т* отныне являются не только формулы языка L и формулы языка L* по отдельности, но и смешанные формулы, содержащие как символы без звездочек, так и символы со звездочками. Пусть А - какая-либо формула языка L u L*. Через А* обозначим результат одновременной замены в А каждого предикатного или функционального символа без звездочки на соответствующий символ со звездочкой, а каждого предикатного или функционального символа со звездочкой на соответствующий символ без звездочки.

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 01-03-00300а.

Произвольные формулы А и А* будем называть сходными в теории Т и Т*. Так определенная операция * на формулах обладает следующим очевидным свойством.

Предложение 1. Любая формула А графически совпадает с А**, но ни одна формула А не совпадает с А*.

Положим Ьн = Ь и Ь* и {н}, где «н» - символ новой унарной логической связки.

Добавим к Т и Т* важное определение. Точнее, схему определений. Для любой формулы А языка Ьн аксиомой является следующая формула:

нА о ((А & -А*) V (—А & А*)). (н)

Содержательный смысл данной схемы аксиом состоит в утверждении неопределенности А. В частности, если А - формула языка Ь и Ь* (это означает, что в А нет вхождений оператора «н»), то А неопределенна тогда и только тогда, когда она выполнена в модели теории Т и Т*, а сходная с ней формула А* не выполнена в той же модели, или, наоборот, А не выполнена, но А* выполнена.

Теорию Т и Т* с присоединенной схемой определений нА о ((А & —А*) V (—А & А*)) в качестве новой аксиомной схемы назовем минимальной теорией с неопределенностью Тн в языке Ьн. Короче, минимальная

Тн = Т и Т* и {нА о ((А & —А*) V (—А & А*))}.

Дальнейшее изложение развивает идеи из [1] и [2]. Нам понадобится также следующая система натурального вывода классической логики предикатов первого порядка из [3]: А ^ А (р); А, В ^ А&В (&в); А&В ^ А (&у1); А&В ^ В (&у2); А ^ А V В ^в1); В ^ А V В ^в2); Г, А |— С и Г, В |— С ^ Г, (А V В) |— С ^у); Г, А — В ^ Г — (А ^ В) (^в); А, (А ^ В) — В (^у); Г, А — В

и Г, А |--В ^ Г |--А (—в); ——А — А (—у); Аь ..., Ап,

..., А вывод ^ А1, ..., Ап — А (введение знака выводимости —в); |— А ^ А (удаление знака выводимости |—у); Г |— А(у) ^ Г — УуА(у) (Ув); УуА(у) ^ А(1) (Уу); А(1) ^ ЗуА(у); ЗуА(у) ^ А(а) (Зу) (в правилах для кванторов у - индивидная переменная языка логики предикатов, 1 - терм, а - какое-либо новое имя, не входящее в исходный перечень имен языка).

Если Т - пустая теория (не содержащая прикладных аксиом), то Тн есть множество формул в языке Ьн, доказуемых в классической логике предикатов, плюс расширение, полученное за счет присоединения схемы нА о ((А & —А*) V (—А & А*)). Символ « |—» означает доказуемость в такой теории Тн, т.е. для доказуемой в Тн формулы А используется запись — А. Если Т расшире-

ние Тн, то пишем Т |— А для формулы А, доказуемой в Т. Отметим, что расширения минимальной теории с неопределенностью Тн могут быть произвольными. Но в контексте проблемы неопределенности важно соблюдать принцип дублирования:

Если к аксиоматической теории Т добавлена формула А в качестве новой аксиомы, то к Т в качестве аксиомы добавляется и формула А*.

Формулы, добавляемые к минимальной теории с неопределенностью Тн в качестве аксиом, могут иметь смешанный характер, т.е. содержать и символы без звездочки, и символы со звездочкой. В любом случае при соблюдении принципа дублирования требуется добавление смешанной формулы А сопровождать добавлением сходной формулы А*.

Назовем формулу А абсолютно определенной, если — —I нА. Если Т - расширение теории Тн, то формулу А, для которой Т |— —нА, назовем абсолютно определенной в теории Т. По аналогии можно было бы ввести понятие абсолютной неопределенности формул, для которых — нА, однако такое понятие было бы пустым, как показывает следующее утверждение.

Предложение 2. Не существует формулы А, для которой верно

— нА.

Если бы было |— нА, то было бы |— ((А & —А*) V (—А & А*)). Устраним из ((А & —А*) V (—А & А*)) все вхождения оператора «н» (если таковые имеются), используя схему (н). Получим вместо А формулу В, а вместо А* формулу В*, причем В и В* -формулы классической логики предикатов. Ясно, что — ((В & —В*) V (—В & В*)), т.е. эта формула доказуема в классическом исчислении предикатов первого порядка. По теореме полноты она логически общезначима: |= ((В & —В*) V (—В & В*)). Возьмем произвольную модель М = <и, 1> (где и - непустое множество, а I

- функция интерпретации) формулы ((В & —В*) V (—В & В*)). Определим функцию интерпретации I'. Для каждого предикатного символа Р или функционального символа Г без звездочки оставим прежнее значение ДР) = 1(Р), Г (Г) = 1(Г), а для каждого предикатного символа Р* или функционального символа Г* положим 1'(Р*) = 1(Р), ,Т(Г*) = 1(Г). Получим структуру М' = <И, 1'>, которая является моделью формулы ((В & —В*) V (—В & В*)) (поскольку она общезначима) и в которой символы без звездочек и соответствующие символы со звездочками интерпретируются одинаково. Следовательно, формула В выполнена в М' при приписывании V тогда и только тогда, когда В* выполнена в М' при приписывании V.

Допустим, В выполнена в М' при приписывании у. Тогда выполнена и В*, но —В* не выполнена и конъюнкция (В & —В*) не выполнена. Формула —В не выполнена, так что конъюнкция (—В & В*) также не выполнена. Значит, дизъюнкция этих конъюнкций ((В & —В*) V (—В & В*)) не выполнена в М' при приписывании у в противоречии с предположением о ее общезначимости. Допустим теперь, что В не выполнена в М' при приписывании у. Тогда (В & —В*) не выполнена и, так как В* не выполнена, (—В & В*) также не выполнена, что вновь противоречит предположению об общезначимости ((В & —В*) V (—В & В*)).

Таким образом, структура М' не является моделью формулы ((В & —В*) V (—В & В*)), и эта формула не является логически общезначимой. Значит, она не доказуема в классическом исчислении предикатов. Отсюда не доказуема и формула ((А & —А*) V (—А & А*)), т.е. формула нА, что и требовалось доказать.

Разумеется, полученный только что результат не отменяет возможности выводить в прикладных теориях (расширяющих исчисление предикатов принятием логически не общезначимых формул в качестве аксиом) формулы вида нА в качестве теорем.

Легко доказывается следующее утверждение. Предложение 3. — (нА о нА*) и |— (нА о н—А).

В самом деле, нА о ((А & —А*) V (—А & А*)), а нА* о ((А* & —А**) V (—А* & А**)). Поскольку, в силу предложения 1, А** есть А, ((А* & —А**) V (—А* & А**)) есть ((А* & —А) V (—А* & А)). Классическая логика высказываний дает — ((А & —А*) V (—А & А*)) о ((А* & —А) V (—А* & А)), т.е. — (нА о нА*).

Вновь используя нА о ((А & —А*) V (—А & А*)), распишем н—А: н—А о ((—А & ——А*) V (——А & —А*)) о ((—А & А*) V (А & —А*)) о нА.

В общем случае эквивалентность вида (А о А*) не доказуема. Более того, даже если А теорема теории Т, т.е. Т |— А, то А* не обязательно теорема этой теории. Однако в случае логически общезначимых формул имеет место следующий факт. Предложение 4. |— А ^ |— А*.

Доказательство основано на построении не имеющей прикладных аксиом минимальной теории с неопределенностью Тн. Это просто заданное в произвольном языке Ь и Ь* и {н} исчисление предикатов, дополненное схемой (н). Например, можно взять приведенную выше систему натурального вывода и пополнить ее аксиомной схемой (н). Применению прямого правила вывода вида (в линейной записи) В1, ..., Вп ^ С в доказательстве А преобразуется в шаг В*1, ..., В*п ^ С* в доказательстве А*, поскольку пра-

вила вывода сформулированы для любых формул - в нашем случае, для любых формул языка Ь и Ь* и {н}. Аналогичным образом преобразуются шаги применения правил косвенного вывода. Так же действуем и в случае применения схемы (н): схема формул нА* о ((А* & —А**) V (—А* & А**)) есть просто частный случай схемы нА о ((А & —А*) V (—А & А*)), которой вместо формулы А (которая, заметим, может содержать символы со звездочкой) взята формула А* (которая может символов со звездочкой и не содержать - так будет в том случае, если все предикатные и функциональные символы, входящие в А, помечены звездочкой).

Впрочем, если аксиоматическое расширение Т минимальной теории с неопределенностью Тн удовлетворяет принципу дублирования, то предложение 4 можно усилить.

Предложение 5. Если Т дублированное расширение минимальной теории с неопределенностью Тн, то

Т — А Т — А*.

Предложение 6. Если А доказуема, то как А, так и — А являются абсолютно определенными:

— А I--1 нА и — —н—А.

Допустим, |— А и нА. Из А получаем —(—А & А*). Так как нА о ((А & —А*) V (—А & А*)), логика высказываний дает (А & —А*) и затем —А*. Но по предложению 4 из |— А вытекает |—

А*. Получили противоречие. Следовательно, |— А ^ |--нА.

Аналогично доказывается |— А ^ |--¡н—А.

В системе натурального вывода из [3] доказательство последнего утверждения (при пропуске рутинных деталей) выглядит следующим образом.

1. |— А док.

2. н—А доп.

3. н—А о ((—А & ——А*) V (——А & —А*)) акс. (н).

4. ((—А & А*) V (А & —А*)) 2, 3 лог.выск.

5. А 1, — у.

6. —(—А & А*) 5, лог. выск.

7. (А & —А*) 4, 6, лог. выск.

8. —А* 7, &у2.

9. — А* 1, предл. 4.

10. А* 9, — у.

11. н—А — А* 1,2,9,10, — в.

12. н—А |--А* 1 - 8, — в.

13. |--,н—А 11, 12, —в.

Следствие. — —I А ^ |— —I нА.

С учетом предложения 6 и его следствия получается, что логически общезначимые и противоречивые формулы являются абсолютно определенными. Но так и должно быть! Какая неопределенность может возникать в отношении такого рода формул?

И снова результат предложения 6 можно распространить на дублированные расширения.

Предложение 7. Если Т дублированное расширение минимальной теории с неопределенностью Тн и Т — А, то как А, так и —А являются абсолютно определенными в теории Т: Т — А ^ Т — —I нА и Т — —н—А.

Доказательство повторяет с очевидными модификациями доказательство предложения 6.

Рассмотрим понятие равенства. Как известно, исчисление предикатов с равенством первого порядка получается добавлением к чистому исчислению предикатов следующих аксиом. А1 Ух(х = х)

А2 У х1 Ух2... У хпУу 1У у2... У уп((х1 = у1 & Х2 = У2 & ... & Хп = Уп) — (А(хь х2, ..., хп) — А(уь у2, ..., уп))

Соблюдая принцип дублирования, получаем еще одну пару аксиом. А1* Ух(х =* х)

А2* Ух!Ух2...УхпУу:Уу2...Ууп((х: =* у: & Х2 =* У2 & ... & Хп =* Уп) — (А*(х1, х2, ..., хп) — А*(у1, у2, ..., уп))

Пусть ИП= есть исчисление предикатов с равенством. Положим Тн= = ИП= и ИП=* и {нА о ((А & —А*) V (—А & А*))}. Любопытным представляется следующий факт.

Предложение 8. Понятие равенства является абсолютно определенным в теории Тн=, т.е. Тн= |--н(х = у).

Приведем (опять пропуская очевидные шаги) формальное доказательство сделанного утверждения.

1. н(х = у) доп.

2. н(х = у) о ((х = у & х Ф* у) V (х Ф у & х =* у)) (н).

3. ((х = у & х Ф* у) V (х Ф у & х =* у)) 1, 2, лог. выск.

4. (х = у & х Ф* у) доп.

5. х = у 4, &у1.

6. х Ф* у 4, &у2.

7. х =у — (х =* х — х =*у) А2 (здесь в качестве А взята схема формул х =* 1).

8. (х =* х — х =*у) 5, 7, —у.

9. х =* х из А1*.

10. х =*у 9, 8, —^у.

11. н(х = у), (х = у & х Ф* у) — х Ф* у 1 - 6, — в.

12. н(х = у), (х = у & х Ф* у) |— х =*у 1 - 10, — в.

13. н(х = у) |--|(х = у & х Ф* у) 11, 12, —в.

14. (х Ф у & х =* у) доп.

15. х Ф у 14, &у1.

16. х =* у 14, &у2.

17. х =* у — (х = х — х = у) А2* (здесь в качестве А вновь взята схема формул х =* X так что А* из аксиомы А2* есть х = X в силу совпадения А и А** по предложению 1).

18. (х = х — х = у) 16, 17, —^у.

19. х = х А1.

20. х = у 19, 18, —у.

21. н(х = у), (х Ф у & х =* у) — х Ф у 1-3,14-16, —в.

22. н(х = у), (х Ф у & х =* у) — х = у 1-3,14-20, —в.

23. н(х = у) |--|(х Ф у & х =* у) 21, 22, —в.

24. н(х = у) |--|(х = у & х Ф* у) & —(х Ф у & х =* у)

13, 23, лог. выск.

25. н(х = у) --|((х = у & х Ф* у) V (х Ф у & х =* у))

24, лог. выск.

26. н(х = у) |--, н(х = у) 25, (н).

27. н(х = у) — н(х = у) лог. выск.

28. |--,н(х = у) 27, 26, —в.

Аналогично доказывается утверждение Тн= — —н(х =* у), так что все равно, о каком равенстве (= или =*) идет речь - в любом случае понятие равенства остается абсолютно определенным.

Разумеется, не любое понятие будет абсолютно определенным. Например, в теории множеств 2Бн = и 2Б* и {н} не удастся доказать |--н(х е у), так что понятие принадлежности не является абсолютно определенным. В частности, аксиома существования пустого множества ЗхУу(у ё х) будет продублирована аксиомой ЗхУу(у ё* х). Обычным образом можно доказать, что пустое множество единственно, но единственность будет относиться к предикату е и к предикату е* по отдельности. Намереваясь ввести индивидную константу 0, обозначающую пустое множество, мы не обязаны считать это множество определенным. Ничто не мешает принять аксиому нУх(х ё 0). По предложению 3 отсюда моментально последует и { нУх(х ё 0)} |— нУх(х ё* 0), так что принцип дублирования будет выполнен автоматически. Поскольку нУх(х ё 0) о ((Ух(х ё 0) & —Ух(х ё* 0)) V (—Ух(х ё 0) & Ух(х ё* 0)), либо в смысле отношения е, либо в смысле отношения е * (но не того и другого вместе) множество 0 окажется непустым.

Помимо рассмотренной выше абсолютной определенности существует и другая разновидность определенности. Некоторые

формулы могут быть проинтерпретированы лишь единственным образом. Например, формула УхР(х) в каждом непустом универсуме и должна получить интерпретацию 1(Р) = и, чтобы быть истинной, тогда как формула ЗхР(х) в более чем одноэлементном универсуме может быть истинной при разных интерпретациях.

Эти соображения приводят к следующему определению. Назовем формулу А языка Ь классического исчисления предикатов первого порядка абсолютно категоричной, если А имеет модель и для любых двух структур М1 = <И, 11>, М2 = <И, 12> языка Ь из условия М1 Ф М2 следует, что либо А истинна в точности в одной из структур М1 или М2, либо А ложна и в М1, и в М2. Можно выразиться короче (но менее точно), сказав, что во-первых, абсолютно категоричные формулы выполнимы и, во-вторых, в каждом универсуме они имеют не более одной интерпретации. Примерами абсолютно категоричных формул будут следующие предложения: УхР(х), —ЗхР(х), УхУу—Я(х, у), УхУу(х = у) & УхР(х). Первые три формулы имеют единственные обеспечивающие их истинность интерпретации в каждом универсуме, а последняя формула единственным способом выполнима только в одноэлементном универсуме.

Пусть язык Ь классического исчисления предикатов первого порядка содержит двухместную предикатную константу Я и не содержит никаких других предикатных, функциональных или индивидных констант.

Предложение 9. Множество W абсолютно категоричных замкнутых формул языка Ь неразрешимо.

Рассмотрим множество W' = {А | А е W и А имеет вид (УхУу—Я(х, у) V В)}. Любая формула вида (УхУу—Я(х, у) V В) принадлежит W' тогда и только тогда, когда либо В истинна если и только если УхУу—Я(х, у) истинна, либо В е П, где П - множество замкнутых противоречивых формул языка Ь. Действительно, если ни один из этих двух случаев не имеет места, то В ^ Пи, следовательно, класс моделей предложения В не пуст. Более того, существует модель М, в которой формула В истинна, а формула УхУу—Я(х, у) ложна. Иначе выполнялась бы метаимпликация М |= В ^ М |= УхУу—Я(х, у). Но формула УхУу—Я(х, у) ложна в любой структуре М' = <И, 1'>, где Г (Я) = 0, откуда получилось бы, что В ложна в таких М'. Следовательно, всякий раз, когда структура <И, 1> является моделью В. имеем 1(Я) = 0. Это означает, что для любой структуры М (М |= В ^ М |= УхУу—Я(х, у)) противоречит предположени. Итак, существует структура М = <И, 1> такая, что М~|= В и неверно М |= УхУу—Я(х, у). Ясно, что 1(Я) Ф

0. Пусть 1'(Я) = 0. Тогда М |= УхУу—Я(х, у) V В, М' |= УхУу—Я(х, у) V В, где М' = <и, Г>, т.е. УхУу—Я(х, у) V В ё W'.

Пусть теперь для любой структуры М языка Ь выполнено условие М |= В ^ М |= УхУу —I Я(х, у). Очевидно, что для каждой структуры М (М |= УхУу—Я(х, у) ^ М |= УхУу—Я(х, у) V В). Поскольку УхУу—Я(х, у) принадлежит W, эквивалентная ей формула УхУу—Я(х, у) V В также принадлежит W. В случае В е П вновь для всякой структуры М языка Ь имеем М |= УхУу—Я(х, у) ^ М |= УхУу—Я(х, у) V В, откуда УхУу—Я(х, у) V В е W.

Допустим, что W' разрешимо. Всякий раз, когда применение разрешающей процедуры к произвольной замкнутой формуле языка Ь вида УхУу—Я(х, у) V В дает утвердительный ответ о принадлежности данной формулы множеству W', будем рассматривать предложение В. Согласно только что полученному результату, либо В эквивалентно формуле УхУу—Я(х, у), либо В е П. Мы можем эффективно установить, какой именно из этих двух возможных вариантов реализован. Поступим следующим образом. Сотрем в формуле В все канторы и каждой атомарной подформуле формулы В вида Я(х, у) присвоим истинностное значение 0 («ложь»). Так как других атомарных подформул в формуле В нет, эффективно вычислимо значение получившейся формулы В' по правилам классической логики высказываний. Если значение В' окажется равным 1 («истина»), то В имеет модель и, тем самым, В эквивалентна УхУу—Я(х, у). Если же истинностное значение В' равно 0, то В е П. Чтобы убедиться в сказанном, осталось получить следующий результат.

Для любой формулы А и структуры М = <и, 1> языка Ь, в которой 1(Я) = 0, А' (здесь А' получается из А посредством описанного на примере предложения В преобразования) принимает значение 1 в том и только в том случае, когда М |= А.

Докажем это утверждение индукцией по длине формулы А. Если А - атомарная формула Я(хъ у), то А совпадает с А'. По определению, значение Я(хъ у) равно 0. Поскольку 1(Я) = 0, при любой оценке свободных переменных х; и у формула Я(х;, у) не выполнена в М. Отсюда Я(х;, у^ ложна в М, т.е. неверно, что М |= Я(х„ у).

Разбор вариантов с пропозициональными связками очевиден, поэтому сразу перейдем к случаю совпадения А с формулой вида УхС(х). По предположению индукции, С(х)' имеет значение 1 ^ М |= С(х). Допустим, значение С(х)' равно 1. Тогда значение УхС(х)' также равно 1, поскольку УхС(х)' совпадает с формулой С(х)'. Так как М |= С(х), будет выполнено М |= УхС(х). Пусть теперь М |= С(х). Снова получаем М |= УхС(х). Но УхС(х)' сов-

падает с формулой С(х)', откуда значение УхС(х)' оказывается равным 1.

Таким образом, если имеется разрешающая процедура для W', по каждой формуле УхУу—Я(х, у) V В е W' можно эффективно определить, выполнено В е П или В ^ П. А так как для всякого предложения В е П существует формула УхУу—Я(х, у) V В е W', множество П оказывается разрешимым, что в силу известного результата о нерекурсивности П и тезиса Черча ведет к противоречию. Следовательно, W' неразрешимо. Очевидным образом, если W разрешимо, то и W' разрешимо. Из этого факта и неразрешимости W' вытекает неразрешимость W.

ЛИТЕРАТУРА

1. Анисов А.М. Логика неопределенности и неопределенности во времени // Логические исследования. Вып. 9. М., 2002.

2. Анисов А.М. Неопределенности в классической логике // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XVI. М., 2002.

3. Анисов А.М. Современная логика. М.: ИФ РАН, 2002.