Интерполяционная теорема для исчислений частичных предикатов Хао Вана Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Н.Бежанишвили

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ИСЧИСЛЕНИЙ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕДИКАТОВ ХАО ВАНА

Abstract. The paper deals with the Hao Wang calculi of partial predicates PP and EP. It is shown that an analogue of the Craig interpolation theorem holds in PP and EP.

Введение

Cвою знаменитую интерполяционную теорему У.Крэйг доказал для классического исчисления предикатов [1]. Она гласит, что (а) для всякой классически доказуемой импликативной формулы А з С, если ^и С имеют общие предикатные буквы, то существует такая формула И, содержащая лишь те предикатные буквы, которые входят одновременно ив А ив |—, что классически доказуемы также формулы A з B и B з C . Кроме того, (b) если A и C не имеют общих предикатных букв и A з C доказуема, тогда доказуемы —A или C. К.Шютте показал, что интерполяционная теорема справедлива также для интуиционистского исчисления предикатов [2]. Е.Расева установила аналоги этой теоремы для m-значных исчислений предикатов Э.Поста [3], а Л.Максимова дала полную характеристику как всех суперинтуиционистских

пропозициональных логик, так и нормальных модальных пропозициональных логик, расширяющих S4, для которых справедлива теорема Крэйга [4,5]. Ссылки на работы, исследующие версии интерполяционной теоремы для других систем, можно найти в указанных выше статьях.

В настоящей работе рассматриваются исчисления частичных предикатов Хао Вана и для них устанавливается справедливость аналогов интерполяционной теоремы Крейга.

Исчисление частичных предикатов Хао Вана

В классическом исчислении предикатов CP и обычной теории множеств мы имеем дело только с полностью определенными предикатами и множествами. Естественным обобщением такого подхода Хао Ван считает привлечение к рассмотрению также частично определенных предикатов и множеств. Одной из возможных реализаций подобного обобщенного подхода является его исчисление частичных предикатов PP (см.[6]), которое Хао Ван считал хорошей основой для альтернативного способа устранения антиномий логики без введения типовых ограничений.

Алфавит PP содержит логические связки для отрицания, дизъюнкции и импликации Хао Вана: —,v и ^, квантор существования 3, неограниченные множества Ind: индивидных переменных, Fun: n — арных функциональных букв (n > 0) , Prd: n — арных предикатных букв (n > 0) . Знаки конъюнкции и квантора всеобщности л и V вводятся с помощью обычных определений (алфавит PP может также содержать конкретные функциональные и предикатные знаки).

Термы (Trm) и атомарные формулы (Atm) определяются обычно.

Формулы (Frm) образуют такое наименьшее множество, что Atm ^ Frm и если x е Ind, а A и B - не содержащие знака ^ формулы, то —A, A v B, A ^ B, 3xA е Frm. Заметим, что, согласно этому определению, ни одна формула не содержит итерации знака ^.

Интерпретация PP. —I и v удовлетворяют трехзначным таблицам Лукасевича. Y(3xA(x)) = t тогда и только тогда, когда Y(A(x)) = t хотя бы для одного значения x; Y(3xA(x)) = u тогда и только тогда, когда Y(A(x)) Ф t ни для какого значения x и Y(A(x)) = u хотя бы для одного значения x; Y(3xA(x)) = f тогда и только тогда, когда Y(A(x)) = f для всех значений x . Наконец, Y(A ^ B) = t тогда и только тогда, когда для всякого означивания Y всякий раз, когда Y(A) = t, имеем также Y(B) = t.

Отметим, что ни одна не содержащая знака ^ формула не является общезначимой.

Формулу будем называть контрадикцией, если она ни при каком означивании не принимает значения t.

Аксиомы РР имеют вид A ^ B, где A и B - такие бескванторные формулы, что для всякого означивания ¥, если ¥(A) = t, то ¥(В) = t.

Правила вывода РР

для введения кванторов:

A ^ B(y) A ^ B(s) B(y) ^ A B(s) ^ A A ^ VxB(x) ' A ^ ЗхВ(x) ' ЗхВ(x) ^ A ' VxB(x) ^ A ' где A, B е Егш, x, у еInd, s е Тгт и у не входит свободно в

A;

для сокращения сторон ^:

A л A л B ^ C A ^ B у B у C

' A ^ B у C '

где A, B, C е Ргш;

для протаскивания кванторов: пусть A, B, C, -О е Егш, x е Ind и x не входит свободно в B, а C = О означает, что замена подформулы С на О или О на С в любую теорему РР вновь дает нам теорему РР; тогда имеем: —ЗхА( х) = Vx—А( х), -^хА( х) = Зх—А( х), Зх(А(х) у В) = ЗхА(х) у В,

Зх(А(х) л В) = ЗхА(х) л В, Vx(А(х) у В) = VxA(х) у В, Vx(А(х) л В) = VxA(х) л В.

Хао Ван показал что РР является корректным и полным (т.е. для всякого ¥, из ¥( А) = t следует ¥ (В) = t тогда и только тогда, когда А ^ В является теоремой РР). Он также установил, что сечение является допустимым правилом РР и исследовал соотношение РР с СР. Кроме того, Хао Ван построил альтернативное по отношению к РР исчисление ЕР, которое отличается от РР лишь толкованием импликации: ¥(А ^ В) = t в ЕР тогда и только тогда, когда для всякого означивания ¥ из ¥ (А) = t следует ¥(В) = t и из ¥( А) = и следует

¥(В) Ф / (язык, интерпретация, с только что указанным единственным отличием, и правила вывода для ЕР те же самые, что и для РР, а ограничительное условие аксиом ЕР соответствует интерпретации знака 4 в ЕР).

А.Роуз сформулировал независимую и полную систему аксиом для пропозиционального фрагмента РР и установил необходимое и достаточное условие доказуемости бескванторных формул в РР (ср. [7] ).

Критерий Роуза для РР. Будем говорить, что бескванторная формула А 4 В удовлетворяет критерию Роуза, если для каждого такого дизъюнктивного члена С дизъюнктивной нормальной формы формулы А, который в качестве конъюнктивных членов не содержит ни одну атомарную формулу вместе с ее отрицанием, существует такой дизъюнктивный член П дизъюнктивной нормальной формы формулы В, что множество конъюнктивных членов П является подмножеством множества конъюнктивных членов С .

Аналоги теоремы Крейга для РР и ЕР

Пусть А - не содержащая знака 4 формула в предваренной нормальной форме, а Qy - такой квантор всеобщности (существования) префикса А, которому предшествуют п вхождений кванторов существования (всеобщности) Ох{ ,..., Ох{ (п > 0) .

1 п

Тогда [А3]/п ([А^]/п) обозначает формулу получаемую из А

вычеркиванием Qy и заменой всех связанных этим квантором всеобщности (существования) вхождений 5 4р в А термом /пр(х{ ,...,х{ ) ,

где /п - первый в алфавитном порядке

п — арный функциональный знак, не входящий в А (при п = 0, все связанные квантором Qy вхождения переменной у

меняются первой в алфавитном порядке констатой /^, не

входящей в А ).

Если префикс предваренной формулы А не содержит квантора всеобщности (существования) Qy , тогда [А3]/п ([А^]/п)

просто совпадает с А .

Далее полагаем, что

^ ] п п = [[AQ ] п п ] п .

1 /п1 /пк+1 ^ 1 /п1 /пк 1 /пк+1

■Ч " р к+1 "^к р к+1

[АУ ] т т 4 [В3 ] п п будем называть результатом

/ 1... / к ? 1... ? 1

ПЕ -преобразования формулы А 4 В, если ее левая сторона не содержит вхождений квантора существования, а правая сторона -вхождений квантора всеобщности. Если, к тому же, А и В -предваренные нормальные формулы, то результат ПЕ -преобразования А 4В будем обозначать формулой ПА'4 ЕВ', где А' и В' - бескванторные части А и В , соответственно.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующими легко устанавливаемыми свойствами РР (ЕР):

(1) Ни одна не содержащая знака 4 формула не является доказуемой в РР (ЕР).

(2) Для любых А и В , (А л —А) 4 В доказуема в РР .

(3) Если А и В - пропозициональные буквы и А отлична от В, то (А л —А) 4 В не доказуема в ЕР.

(4) Если А 4 В и В 4 С доказуемы в РР (ЕР), то А 4 С также доказуема в РР (ЕР).

(5) Для любых А е Егш, х е 5 е Тгт, формулы

УхА( х)

4 А(5) и А(5) 4 ЗхА(х) доказуемы в РР (ЕР).

(6) Навешивание кванторов всеобщности или существования над обеими сторонами доказуемой в РР (ЕР) формулы А 4 В вновь дает доказуемую в РР (ЕР) формулу (только порядок кванторов в обеих сторонах 4 должен быть одним и тем же).

(7) Если А и В - бескванторные формулы, а А# и В# - их дизъюнктивные нормальные формы, соответственно, то А 4 В доказуема в РР (ЕР) тогда и только тогда когда А# 4 В# доказуема в РР (ЕР).

(8) Если А° и В° - предваренные нормальные формы формул А и В , соответственно, то А ^ В доказуема в РР фР) тогда и только тогда, когда А° ^ В° доказуема в РР фР).

Исходя из (8), (5), (4) и (6), мы легко установим (ср., например, [9]) еще одно свойство

(9) Формула А ^ В доказуема в РР фР) тогда и только тогда, когда ПА' ^ ЕВ' доказуема в РР фР).

Для всякого п >0 мы каждому результату ПЕ -преобразования ПА' ^ ЕВ' формулы А ^ В соотнесем множество термов Eп, которое будем называть универсумом Эрбрана п -ой степени: E1 содержит все свободные индивидные переменные, входящие в формулу ПА' ^ ЕВ', а в случае, когда последняя формула не содержит свободных индивидных переменных, E1 = {х} , где х -первая в алфавитном порядке индивидная переменная, не входящая в формулу ПА' ^ ЕВ'; E п+1 = E п и {Ит (s1,..., sm ): кт еFun, входящая в ПА'^ЕВ', т > 0, s1,...,sm е Eп}, другими словами, Eп+1 содержит все термы, принадлежащие E п, все константы формулы ПА' ^ ЕВ', а также все образованные с помощью входящих в ПА' ^ ЕВ' функциональных знаков термы, всевозможными аргументами которых являются элементы E п.

Заметим, что для всякой формулы А и всякого п >0 число термов, принадлежащих E п, конечно, так как любая формула

является конечной последовательностью знаков и, следовательно, может содержать лишь конечное число термов (а конечные комбинации конечных множеств всегда дают конечные множества).

Теперь следующим образом определим раскрытие А] п -ой степени формулы А (п >0): А] = А, А е Atm,

А] = А], А у В] = ^[А] у^[В], А ^В] = ^[А] В],

^[ЗхА( х)] = Ю[ А(51)] V... А(5д)], где 51,..., 5д все термы, принадлежащие универсуму Эрбрана п -ой степени Е п.

Из определений л и V прямо следует, что

Ю[А л В] = Ю[А] лЮ[В] и

^УхА(х)] = ^[А(51)] л... лЮ[А(5Ч)], где 51,...,5ч - все термы, принадлежащие Еп (ср. [8] и [9]). В дальнейшем мы будем интересоваться лишь раскрытиями п -ой степени формул вида: ПА 4 ЕВ . Из определения следует, что ^[ПА 4 ЕВ] является бескванторной формулой.

Следующие ниже утверждения мы будем явно формулировать только для исчисления РР.

Критерий Эрбрана-Роуза для РР. Будем говорить, что формула А 4 В, где А и В - предваренные формулы, удовлетворяет критерию п -ой степени Эрбрана-Роуза, если критерию Роуза для РР удовлетворяет раскрытие п -ой степени формулы ПА' 4 ЕВ', которая получается из А 4 В в результате ее ПЕ -преобразования, а А и В' - бескванторные части А и В , соответственно.

Лемма 1. Бескванторная формула вида А 4 В является доказуемой в РР тогда и только тогда, когда она удовлетворяет критерию Роуза (ср. [7]).

Доказательство. Если бескванторная формула А 4 В удовлетворяет критерию Роуза, нетрудно убедиться, что для всякого означивания ¥ , всякий раз, когда ¥( А) = I, то и ¥ (В) = I, т.е. А 4 В является аксиомой и, следовательно, она доказуема в РР.

А если А 4 В не удовлетворяет критерию Роуза, мы сможем так выбрать значения термов и предикатных букв, чтобы все атомарные формулы, входящие без знака отрицания в дизъюнктивные члены дизъюнктивной нормальной формы А формулы А в качестве конъюнктивных членов, получили

значение t, а все атомарные формулы, входящие в

. #

дизъюнктивные члены А со знаком отрицания, получили значение /. Но так как каждый дизъюнктивный член

дизъюнктивной нормальной формы В # формулы В в таком

случае в качестве конъюнктивных членов содержит атомарные формулы или отрицания атомарных формул, которые не входят в А#, им можно будет придать значение и и тогда формула А ^ В окажется ложной. ■

Лемма 2. Если раскрытие ^[ПА'^ ЕВ'] п-ой степени формулы ПА' ^ ЕВ' удовлетворяет критерию Роуза для РР, то формула ПА' ^ ЕВ' доказуема в РР.

Доказательство. Если условие леммы выполняется, то согласно лемме 1, ^[ПА' ^ЕВ'] является аксиомой и поэтому доказуема в РР. Но тогда мы сможем навесить надлежащие кванторы на стороны бескванторной формулы ^[ПА' ^ЕВ'], которая имеет вид

)] ,т, Л ] ^

ЩЗу2.ЗуВК у 2,..., уу)], -,] у ... уЩЗу2.ЗуЛ*г , у2..., уу)] »! -,]

где 51,..., е Eп, и соответствующим образом протащить их во внутрь с помощью правил для введения и протаскивания кванторов, а затем, пользуясь правилами для сокращения сторон ^, постепенно устранить все возникшие ненужные повторяемые конъюнктивные и дизъюнктивные члены. Таким образом на определенном шаге мы выведем формулу

)1 т. л ^

[Зy2...^yvB(sl,У2,...,уг)] п1 п, у...у [Ву2..3угВ^г,у2...,уг)] п,

р р р р

и, проделав то же самое с ней, сперва получим

Ух1 Ух2 ...У^ А(х1, x2,..., уу ) л ... л Ух1 Ух2...Ух^ А(х1 , x2,..., х№ ) ^ Зу 1 Зу 2.3уМ у^ у 2,..., уу) у ... у Зу 1 Зу 2...3у УВ( Уl, у 2..., yvК а затем, устранив все повторения, выведем желаемую формулу

Ух1...Ух^А(xl,...,^) ^Зу1...ЗууВ(Уl,...,уу), т.е. ПА' ^ЕВ'. ■

Теорема 1. Формула А ^ В доказуема в РР тогда и только тогда, когда существует такое число п > 1, что А ^ В

9,

9,

удовлетворяет критерию п -ой степени Эрбрана-Роуза (теорема Эрбрана для РР).

Доказательство. Справедливость импликации справа налево прямо следует из предыдущей леммы. Для получения обратной импликации, заметим, что аксиомы РР общезначимы, а правила вывода, как легко можно убедиться, сохраняют общезначимость. Следовательно, если А 4 В доказуема в РР, то она общезначима. Поэтому достаточно показать, что если формула А 4 В не удовлетворяет критерию Эрбрана-Роуза ни для какого п > 1, то она не общезначима. Согласно свойству (9), мы без ограничения общности можем предположить, что А 4 В имеет вид ПА' 4 ЕВ'.

Итак, пусть формула А 4 В имеет вид ПА' 4 ЕВ' и она не удовлетворяет критерию Эрбрана-Роуза ни для какого п > 1. Но тогда ее раскрытие ^[ПА'4 ЕВ'] п -ой степени ни для какого п > 1 не будет удовлетворять критерию Роуза.

Рассмотрим универсумы Эрбрана п -ой степени (п > 1) для

нашей формулы Е1зЕ2,...,Еп,... и попытаемся опровергнуть ПА' 4 ЕВ' в их объединении Е = Е1 . Очевидно, что Е счетно

¿Е®

(т.к. оно является бесконечным объединением конечных множеств) или конечно.

Условимся также, что для всякого п > 1 (^[ПА' 4ЕВ'])# обозначает дизъюнктивную нормальную форму раскрытия п -ой степени формулы ПА' 4 ЕВ'.

Теперь, каждой свободной индивидной переменной х соотнесем значение х е Е , каждому функциональному знаку /т функцию Гт, отображающую т -ки термов ^,...,из Е в термы вида /т (^ ,..., ) е Е, и каждой предикатной букве Рт -

предикат Рт, принимающий значение t для т -ки термов в: ,..., в: из Е , если для некоторого п > 1 Рт ,..., ) входит в

¿1 ¿т ¿1 гт

раскрытие (^[ПА'])# п -ой степени без знака отрицания, принимает значение /, если Рт(в: ,...,) входит в раскрытие

(^[ПА'])# п -ой степени со знаком отрицания, и, наконец, принимает значение и , если для некоторого п Рт (в,- ,..., ) входит в

¿1 ¿т

раскрытие (^[ЕВ'])# п -ой степени со знаком отрицания или без него, но ни для какого п Рт(в. ,...,в) ) не является конъюнктив-

¿1 ¿т

ным членом дизъюнктивного члена раскрытия (^[ПА'])# п -ой степени.

Индуцируя такое означивание на все формулы, мы сможем построить контрмодель для формулы ПА' 4 ЕВ' и доказать, что она опровержима в ней. ■

Следствие. Для любой доказуемой в РР предваренной формулы вида ПА 4 ЕВ существует такая доказуемая в РР бескванторная формула (являющаяся на самом деле ее аксиомой), из которой можно вывести ПА 4 ЕВ, пользуясь только лишь свойствами (4), (5), (6) исчисления РР, а также правилами для протаскивания кванторов и сокращения сторон 4.

Доказательство. Если ПА 4 ЕВ доказуема в РР, тогда, согласно теореме 1, существует такое число п > 1, что раскрытие ^[ПА 4 ЕВ] п -ой степени формулы ПА 4 ЕВ является аксиомой РР. А из нее способом доказательства леммы 2 мы легко сможем вывести ПА 4 ЕВ , пользуясь лишь свойствами (4), (5), (6) РР и правилами для протаскивания кванторов и сокращения сторон импликации Хао Вана. ■

Теорема 2. Для всякой доказуемой в РР формулы А 4 С (а) если А и С имеют по крайней мере одну общую предикатную букву, то существует формула В , содержащая лишь те предикатные буквы, которые входят одновременно в А и С , такая, что в РР доказуемы формулы А 4 В и В 4 С ; (Ь) если же А и С не содержат общих предикатных букв и в РР доказуема А 4 С , то А является контрадикцией (интерполяционная теорема для РР).

Доказательство. (а) Сначала рассмотрим случай когда А и С - бескванторные формулы. В силу свойства (7) мы без ограничения общности можем предположить, что они являются дизъюнктивными нормальными формулами. Пусть А имеет вид

т п к Ь

^ ^ , а С - вид ^ ^ Я^ , где все и Я^ являются атомар-

' =1 1 =1 ¿=1 7=1

ными формулами или отрицаниями атомарных формул. По усло-

т п к Ь

вию теоремы формула А ^ С, т.е. ^^Рц ^ ^^Щ , дока-

¿=1 1=1 ¿=1 1=1

зуема в РР, но тогда, согласно лемме 1, формула

т п к Ь

^ ^ Р 1 ^ и ^ Яу удовлетворяет критерию Роуза и поэтому для

'=1 1=1 ¿=1 1=1

Щ

каждого дизъюнктивного члена ^ Р ^ (1 < I < т) формулы А ,

1=1

который в качестве конъюнктивных членов не содержит ни одной атомарной формулы вместе с ее отрицанием, существует дизъ-

Ч

юнктивный член ^ Я^ (1 < / < к) формулы С, такой, что мно-

1=1

жество его конъюнктивных членов является подмножеством мно-

Щ

жества конъюнктивных членов дизъюнктивного члена ^ Р ^

1=1

(1 < I < т) формулы А . Теперь в качестве В мы можем выбрать

формулу, получаемую из А , если из каждого дизъюнктивного

п

члена ^ Р1 формулы А вычеркнем все такие его конъюнктив-

1=1

ные члены Р1 , которые содержат не входящую в С предикатную

букву, за исключением случая, когда ^ Р^ в качестве конъюнк-

1=1

тивных членов не содержит атомарной формулы и ее отрицания с

не входящей в С предикатной буквой. Если же ^ Р1 содержит

1=1

атомарную формулу и ее отрицание с не входящей в С предикатной буквой, то последнюю мы можем заменить в них на любую предикатную букву, входящую в С . Нетрудно проверить, что

формулы А 4 В и В 4 С будут удовлетворять критерию Роуза. Поэтому, согласно лемме 1, они доказуемы в РР.

Для рассмотрения общего случая, в силу свойства (9), мы без ограничения общности можем предположить, что формула А 4 С имеет вид ПА' 4 ЕС', где А и С' - бескванторные части А и С , соответственно. По условию теоремы формула А 4 С , т.е. ПА'4 ЕС' доказуема в РР. Но тогда согласно следствию теоремы Эрбрана, существует вывод формулы ПА' 4 ЕС' из некоторой бескванторной доказуемой формулы D 4 F , в котором используются только лишь вышеуказанные свойства (4), (5), (6) и правила для протаскивания кванторов и сокращения сторон 4. При этом D есть некоторое раскрытие ^[ПА'] формулы ПА', а F - раскрытие ^[ЕС'] формулы ЕС'. Согласно утверждению нашей теоремы, которую мы уже доказали для бескванторных формул, существует формула E, содержащая лишь те предикатные буквы, которые входят одновременно в D и F, такая, что в РР доказуемы формулы D 4 E и E 4 F . Но тогда, с помощью свойства (9), а также правил для протаскивания кванторов и сокращения сторон 4 , мы сможем вывести формулу ПА' 4 ПЕ , а с помощью свойств (4), (5), (6) и правил для протаскивания кванторов и сокращения сторон 4, - формулу ПК 4 ЕС'. Ясно, что ПЕ будет содержать лишь те предикатные буквы, которые входят одновременно в ПА' и ЕС' . Поэтому она и сможет выполнять роль интерполянты В.

(Ь) Если бескванторные формулы А и С не имеют общих предикатных букв, то очевидно, что формула А 4 С может удовлетворять критерию Роуза для РР (и, следовательно, быть доказуемой в РР) в том и только в том случае, когда А является контрадикцией. Для случая же, когда А является кванторной формулой, справедливость нашего утверждения при любом С устанавливается с помощью правил для введения кванторов. ■

Учитывая особенности ЕР и надлежащим образом трансформируя критерий Роуза для ЕР, аналогичным способом можно показать, что утверждение (а) интерполяционной теоремы имеет силу и для ЕР, а утверждение (Ь) будет справедливо для

EP лишь в том случае, если A является контрадикцией, а C -классической тавтологией.

Литература

1. Craig W. Linear reasoning. A new form of the Herbrand-Gentzen theorems,

Journal of Symbolic Logic, 22 (1957), 250-268.

2. Schutte K. Der Interpolationssatz der intuitionistischen Prädikatenlogik,

Mathematische Annalen, 148 (1962), 192-200.

3. Rasiowa H. The Craig interpolation theorem for m-valued predicate calculi,

Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, 20 (1972), 341-346.

4. Максимова Л.Л. Теорема Крэйга в суперинтуиционистских логиках и

амальгамируемые многообразия алгебр // Алгебра и логика, 16, N6 (1977), 643-681.

5. Максимова Л.Л. Интерполяционные теоремы в модальных логиках и

амальгамируемые многообразия топобулевых алгебр // Алгебра и логика, 18, N5 (1979), 556-586.

6. Wang H. The calculus of partial predicates and its extension to set theory I,

Zeitschrift fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 7 (1961), 283-288.

7. Rose A. A formalization of the propositional calculus corresponding to

Wang's calculus of partial predicates // Zeitschrift fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 9 (1963), 177-198.

8. Herbrand J. Recherches sur la theorie de la demonstration // Travaux de la

Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III sciences mathematiques et physique, no. 33 (1930), 128 pp. (английский перевод: Investigations in proof theory, с комментариями и исправлением одной леммы см. в Herbrand, Logical Writings, D.Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1971, 44-202).

9. Hilbert D., Bernays P. Grundlagen der Mathematik II // Zweite Auflage,

Springer-Verlag, Berlin, 1970 (рус. пер.: Основания математики II. Наука, Москва, 1982).