Логическое всеведение и эпистемическое табличное исчисление предикатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Н.Бежанишвили

ЛОГИЧЕСКОЕ ВСЕВЕДЕНИЕ И ЭПИСТЕМИЧЕСКОЕ ТАБЛИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Abstract. In the article a predicate version of epistemic tableaux calculus Ep4 based on semantics of partial possible worlds is constructed and investigated. In particular, it is shown that Ep4 is sound and complete. This non-normal and non-monotonic tableaux calculus enables us to avoid the so-called paradox of logical omniscience.

Введение. Как известно, многие логики не считают стандартную семантику возможных миров удовлетворительным средством для адекватного анализа эпистемической логики (см. [3], [8], [7], [1], [4], [9]), ввиду того, что она предполагает так называемое. логическое всеведение. Пусть эпистемический оператор □ означает: «некое лицо знает, что...». На наш взгляд, предпочтительнее □ интерпретировать следующим образом: «на данном этапе развития знания известно, что...». Тогда логическое всеведение можно выразить утверждениями:

1) Если иимпликация A^B классически общезначима и формула QA истинна в возможном мире w, то DB также истинна в возможном мире w.

2) Если формула A классически общезначима, то QA истинна в возможном мире w.

Мы покажем, что в нижеописанном эпистемическом табличном исчислении предикатов логическое всеведение не возникнет ни в одном из вышеуказанных видов.

Табличное исчисление Ep4

Формальный язык. Алфавит языка Ep4 содержит неограниченный запас индивидных переменных (Ind), n-арных (n>0) предикатных букв (Prl), логические связки —, v для отрицания и дизъюнкции, квантор существования 3 и эпистемический модальный оператор □. Остальные связки и квантор всеобщности вводятся обычными определениями. Понятия формулы (Frm), атомарной формулы (Atm), а также свободных и связанных вхождений индивидных переменных в формулу определяются обычно. Пусть A -формула, а xb...,xn - все ее различные свободные индивидные переменные. Если n>0, будем называть A открытой формулой и

писать Л(х1,_,хп), а если п=0, - замкнутой формулой. Замкнутую формулу вида Ухь..УхпЛ называют замыканием всеобщности формулы Л и сокращенно обозначают через УЛ. Будем говорить, что формула Л полностью модализирована, если каждая атомарная формула, входящая в Л, находится в области действия некоторого эпистемического модального оператора формулы Л.

Семантика. Ер4-фреймом назовем упорядоченную четверку Рг=(Н^,Я,Б), где Н - множество (частичных возможных миров), содержащее непустое подмножество W (тотальных возможных миров); Я - бинарное отношение достижимости между мирами, рефлексивное и транзитивное в Н; Б - функция областей, определенная на Н, такая, что Б(у)^0, для всякого уеН и если <^,у)еЯ, то Б^)сБ(у); -^уеН.

Ер4-моделью является пара <Рг,У), где Бг есть Ер4-фрейм, а V -бинарная частичная функция, определенная на множестве Рг1хН, такая, что если п=0, то V(Pn,v)=T или ± или же поп^(Рп ,у), а если п>0, то V(Pn,v) есть пара (а, у), такая, что а,ус[Б^)]п и если veW, то апу=0 и аиу=[Б^)]п, а если veH-W, то апу=0, где [D(v)]n является п-кратным декартовым произведением множества Б^) на себя С^еН).

В случае, когда veW, функция V определена для всех Рп и v. Когда же veH-W, то при п=0 V может быть неопределенной для некоторых или ни для каких Рп и v, а при п>0 V(Pn,v)=(а,у), причем аиу^[Б^)]п для некоторых или ни для каких Рп и v.

Пусть, далее, И=иуеН D(v).

Если Л - атомарная формула, она является пропозициональной переменной Р0 или имеет вид Рп(хь.. ,,хп) (п>0).

При п=0 V(Pn,v) уже задана моделью. Пусть поэтому п>0, индивидным переменным хь...,хп сопоставлены элементы аь...,ап из и и пусть V(Pn,v) есть пара (а,у).При данном сопоставлении V(Pn(x1, . ,.,хп)^)=Т тогда и только тогда, когда (аь...,ап)еа; V(Pn(x1,.,xn), v)=± тогда и только тогда, когда (а1,.,ап)е у; в противном случае поп^(Рп(хь.. ,,хп)^).

Для любого v из Н при фиксированном сопоставлении элементов И свободным индивидным переменным Л и В:

V(—Л,v)=T тогда и только тогда, когда V(A,v)=±; V(—Л,v)=± тогда и только тогда, когда V(A,v)=T и поп^(Л^), в противном случае.

V(AvB,v)=T тогда и только тогда, когда V(A,v)=T или V(A,v) =Т; V(AvB,v)=± тогда и только тогда, когда V(A,v)=V(B,v)=±; в противном случае, поп^(Л^).

У(ПЛ,у)=Т тогда и только тогда, когда У(Л,и)=Т (и, следовательно, !У(ПЛ,у)) для всякого и из Н, такого, что (у,и)еЯ; У (ПЛ., у)=^, в противном случае (т.е. тогда и только тогда, когда поп! У (Л, у) или У(Л,у)=± для некоторого и из Н, такого, что (у,и)еЯ).

Наконец, пусть хь...,хп - все свободные переменные, входящие в формулу ЗуЛ(хь...,хп,у), и пусть им соответственно сопоставлены элементы аь...,ап из и. В таком случае, У(ЗуЛ(хь...,хп,у), у)=Т тогда и только тогда, когда существует элемент Ь из Б(у), такой, что У(Л(хь...,хп,у), у)=Т, если переменной у сопоставляется Ь; У(ЗуЛ(хь...,хп,у), у)=± тогда и только тогда, когда У(Л(хь...,хп,у), у)=^, если переменной у сопоставляется любой элемент из Б(у); в противном случае поп!У(ЗуЛ(хь...,хп,у), у).

Формула Л истинна в модели М, если Л истинна для всякого у из Л истинна в Ер4-фрейме Бг, если она истинна во всех моделях, базирующихся на Бг. Наконец, Л общезначима в классе Ер4-фреймов, если она истинна в каждом Ер4-фрейме.

Теория доказательств. Пусть -Бгш - множество всех меченых знаком «~» формул из Бгш. Таблицей будем называть подмножество множества Ргши~Бгш, составленное с помощью нижеследующих правил. Альтернативной системой таблиц назовем упорядоченное в виде дерева множество таблиц, а диаграммой - мно-жест-во альтернативных систем таблиц. В каждой такой системе одна из таблиц (а именно, начало дерева) является главной. Остальные таблицы 5 вспомогательны. Как главная, так и вспомогательная таблицы из 5 могут быть альтернативными напарницами таблиц, принадлежащих другим альтернативным системам.

Составление диаграммы для испытуемой формулы Л, в случае, когда Л замкнута, мы начинаем включением —Л в главную таблицу, а если Л открыта, тогда в главную таблицу помещаем —УЛ (ср. [6]). Затем продолжаем построение согласно следующим пропозициональным и кванторным правилам:

Г, ——Л Г, ——Л NN---; -Ш -;

Г, ——Л, Л Г, —I—Л, -Л

Г, — (Л^В) Г, -(Л^В)

N0 -; -Б -

Г, — (Л^В), —Л, —В Г, -(Л^В), -Л, -В

г, ^Б)

Б

-

Г, ^Б), А | Г, ^Б), Б Г, --^Б) Г, --^Б), --А |Г, -- (AvБ), —Б

Г, ПА Г, -ПА Г, -ПА Г, —ОА К —-; NK —-; -К —-; -ЯК

Г, ПА, А Га , -А Г, -ПА Г, --ПА

Г, ЗхА(х) Г, --ЗхА(х) Е -; -ЯЕ -;

Г, ЗхА(х), А(у) Г, --ЗхА(х), --А(у)

Г, -ЗхА(х) Г, -ЗхА(х) NE -; -Е -

Г, -ЗхА(х), -Аф Г, -ЗхА(х), -Аф

где ГсРгши-Ргш, Гп={ПБ: ПБеГ}, x,y,zeInd, причем у - новая, еще не всречающаяся ни в одной таблице индивидная переменная, z - каждая уже использованная переменная, а А,Б,А(х)еРгш. Вместо Ги{А} мы будем писать Г, А. Элементы множества -Ргш в дальнейшем будем называть выражениями.

Выражение -С назовем несущественно меченой, если формула С полностью модализирована, а таблицу будем называть немеченой, если среди ее меченых формул находятся только несущественно меченые формулы.

Следующие пропозициональные правила: NN N0, -Б,К, -К ,-КК, а также все кванторные правила: Е, -№, NE, -Е предписывают заменить в таблице 1 множество выражений, находящееся выше горизонтальной черты правила, множеством выражений находящимся ниже его черты. А правило NK предписывает из таблицы 1, содержащей множество выражений, находящихся выше горизонтальной черты правила, открыть новую вспомогательную таблицу 1', такую, что (1, 1;')еЛ, и поместить в 1' множество выражений, находящихся ниже горизонтальной черты правила. Наконец, правила Б и -N0 предписывают, исходя из таблицы содержащей множество выражений, находящихся выше горизонтальной черты правила, составить новую альтернативную систему таблиц У=(<$—{1;})и{1;'}, где множество выражений, находящихся выше горизонтальной черты правила, заменено в 1 множеством

выражений, находящихся ниже горизонтальной черты с левой стороны, а в 1 (напарнице таблицы 1) - множеством выражений, находящихся ниже горизонтальной черты правила с правой стороны.

Таблица тривиально замкнута, если она содержит некоторую формулу В вместе с —В или вместе с -В. Таблица замкнута, если она тривиально замкнута или находится в отношении Я хотя бы с одной замкнутой таблицей. Альтернативная система таблиц замкнута, если замкнута ее главная таблица. Ер4-диаграмой для Л будем называть множество всех альтернативных систем таблиц с главной таблицей, содержащей исходную формулу —Л (в контрмодели, если последняя существует, это будет означать, что Л не истинна, т.е. ложна или неопределенна). Ер4-диаграмма для Л замкнута, если замкнуты все ее альтернативные системы таблиц. Замкнутую Ер4-диаграмму, следуя Фиттингу, будем называть доказательством Л (см. [2]). В случае, когда существует замкнутая Ер4-диаграмма для Л, будем говорить, что Л является доказуемой в таб-личном исчислении Ер4 или теоремой Ер4 и писать |— Л.

Корректность. Подмножество 1 множества Ргши-Бгш будем называть выполнимым, если существует Ер4-модель (Н,',К,Б,У) и уеН, такие, что при некотором сопоставлении элементов И всем свободным индивидным переменным каждой немеченой или меченой формулы В, входящей в 1, У(В,у)=Т, если ВеБгш, и У(В,у)^Т, если Ве-Бгш. Предполагается, что на данном этапе развития знания истинность меченых формул не известна, кроме случаев, когда выражение В имеет вид -ПС или —ЛС, так как в этих случаях правила -К и -КК предписывают соответственно заменить такие выражения на формулы —ПС или ——ПС, которые принадлежат множеству Бгш (из-за того, что формула вида ПС всегда определена).

Очевидно, что ни одна тривиально замкнутая и, следовательно, замкнутая таблица не может быть выполнимой, потому что одна и та же формула в одно и то же время не может быть истинной и неистинной (т.е. ложной или неопределенной).

Нетрудно также проверить, что все наши правила построения таблиц сохраняют выполнимость. Другими словами, всякий раз когда выполнимы множества немеченых и меченых формул, находящиеся выше горизонтальной черты правил построения таблиц, выполнимы и множества немеченых и меченых формул, находящиеся ниже горизонтальной черты этих правил.

Рассмотрим, например, правило NK и предположим, что выполнимо множество немеченых и меченых формул {Г, —ПЛ.}. Тогда существуют Ер4-модель (Н,',К,Б,У) и уеН, такие, что при не-

котором сопоставлении элементов и всем свободным индивидным переменным формул, входящих в {Г,-ПА}, для каждой немеченой формулы Б из Г, У(Б,у)=Т, а для каждой меченой формулы Б из Г, У(Б,у)^Т. У(-ПА,у)=Т означает, что существует и из Н, такой, что (у,и)еЯ и У(А,у)^Т при том же сопоставлении элементов и свободным индивидным переменным меченой формулы А. Но поскольку все формулы Г немечены, Б(у)сБ(и) и Г^сГ, ввиду транзитивности Я все формулы из Г будут также истинными при том же сопоставлении элементов и свободным индивидным переменным формул Га. Таким образом, Ер4-модель <H,W,R,D,V) гарантирует выполнимость множества формул {Гп, -А}, откуда прямо следует, что правило NK сохраняет выполнимость.

Теперь рассмотрим правило -Е и убедимся, что и оно сохраняет выполнимость. Пусть множество немеченых и меченых формул {Г, -ЗхА(х)} выполнимо при некотором приписывании элементов и всем свободным индивидным переменным формул множества {Г, -ЗхА(х)}. Тогда существуют Ер4-модель (Н^ДБ^) и уеН такие, что при том же приписывании значений всем свободным индивидным переменным формул из {Г, -ЗхА(х)}^(Б,у)= Т, если Б - немеченая формула, и V(Б,у)^Т, если Б - меченая формула из {Г, -ЗхА(х)}. В частности, V(ЗxA(x),v)^Т при том же приписывании значений всем свободным индивидным переменным меченой формулы ЗхА(х). Но V(ЗxA(x),v)^Т означает, что в Б(у) не существует такой элемент Ь, для которого V(A(z),v)=Т, при том же сопоставлении элементов и, когда индивидной переменной z сопоставляется Ь, т.е. когда V(A(z),v)^Т для любого элемента Б(у), взятого в качестве значения z.

Аналогично можно убедиться, что остальные правила также сохраняют выполнимость.

Теорема 1. Если |- А в Ер4, то А общезначима в классе фреймов Ер4, для любой замкнутой формулы А (теорема корректности).

Доказательство. Мы установим контрапозицию утверждения те-оремы. Предположим, что замкнутая формула А необщезначима в классе фреймов Ер4. Тогда существуют Ер4-модель и уеН, такие, что V(A,у)=±. Но тогда

выполнима главная таблица Ер4-диаграммы с исходной формулой - А. С другой стороны, мы убедились, что наши правила построения Ер4-диаграммы сохраня-ют выполнимость и в тех случаях, когда они порождают формулы со свободными индивидными переменными. Поэтому такая Ер4-диаграмма с указанной исходной формулой -А никогда не зам-кнется.

Следовательно, Л не будет доказуемой в табличном исчис-лении Ер4 . ^

Семантическая полнота. Покажем, что если замкнутая формула Л не доказуема в Ер4, то существует опровергающая Ер4-мо-дель для нее. Отсюда в силу контрапозиции прямо следует семантическая полнота Ер4. В самом деле, если Л не доказуема в Ер4, тогда Ер4-диаграмма для Л не замкнута. В таком случае мы будем иметь две возможности. В первом случае, процесс построения Ер4-диаграммы для Л завершится в конечное число шагов, а во вто-ром, построение Ер4-диаграммы для Л не завершится, так как одно из наших правил всякий раз окажется применимым. В последнем случае будем говорить, что Ер4-диаграмма для Л бесконечна.

Мы рассмотрим только случай, когда построение Ер4-диаграм-мы завершается в конечное число шагов, а для получения опровергающей Ер4-модели, когда Ер4-диаграмма бесконечна, следует построить псевдотаблицы и воспользоваться леммой Кёнига аналогично методу Крипке, использованному им для построения опровергающей модели для незамкнутой бесконечной 84-диаграммы (см. [5]).

Предположим теперь, что Ер4-диаграмма для замкнутой формулы Л не замыкается. Тогда существует незамкнутая альтернативная система таблиц 50 с главной таблицей 1, содержащей исходную формулу —Л. Не замкнуты и все вспомогательные таблицы 5о, среди которых могут встречаться альтернативные напарницы других альтернативных систем. Система 50 упорядочена рефлексивным и транзитивным отношением Я0 между таблицами 50.

Определим Ер4-фрейм Рг0=(Н0,'0,К0,Б0) следующим образом: пусть 9 - функция, преобразующая таблицы 50 в элементы Н0, т.е. 9 является взаимно однозначным отображением 50 на Н0. Тогда '0 можно определить как подмножество Н0, содержащее все такие элементы 9(1) из Н0 (1е50), для которых 1 является немеченой таблицей. Множество '0 не пусто, так как 50 содержит по крайней мере одну немеченую таблицу - главную. Элементы Н0 упорядочены отношением Ио, соответствующим отношению Я0 между таблицами, причем, если 1', 1''е50, у1 =9(1') и у2 =9(1''), то (у1? у2)е И0 тогда и только тогда, когда (1', 1'')еЯ 0.

Остается определить функцию областей Б0 для Бг0. Каждой таблице 1 из 50 сопоставим неограниченное множество У1 cInd таким образом, чтобы множества, сопоставленные различным таблицам не пересекались, и при каждом применении правил Е и -NE к формулам из 1 новые индивидные переменные вводились в форму-

лы 1 только из У^ Если 1 - главная таблица системы £0 и у =0(1), тогда, так как исходная формула -А, соответственно -УА, не содержит вхождений свободных переменных, Б0(у) есть непустое подмножество Х1 множества Уь содержащее те элементы У1, которые появляются в формулах, входящих в 1 в результате применения правил Е и -КЕ, а если эти правила не применяются, тогда Б0(у) есть любое непустое подмножество Х1 множества У^ Пусть, далее, 1',1''е£0, у1 =0(1'), у2 =0(1'') и <уь у2)еК^; предположим также, что мы уже определили Б0(у1), тогда Б0(у2)=Б0(у1)иХ1", где Хг'сУ».

Очевидно также, что условие (d) функции областей Б0 всегда будет выполняться, поскольку из (уьу2)еКо следует Б0(у1) сБ0(у1)

=Б0(У2).

Теперь определим Ер4-модель М0 как пару <Рr0,V0), где Рг0 -вышеописанный фрейм, а Vo - частичная функция, определенная следующим образом.

Пусть п=0 и у=0(1), тогда V0(Pn,у)=Т, если 1 содержит Рп; V0(Pn, у)=^, если 1 содержит -Рп и поп^о (Рп,у) в противном случае, т.е. если 1 содержит одно из выражений -Рп или —|Рп, причем, в первом случае -Рп, не входит в 1, а во втором Рп не входит в 1 (в частности, поп^0(Рп,у), если 1 содержит оба выражения -Рп и —Рп). Кроме того, для всякой пропозициональной переменной Р0, такой, что 1 не содержит ни Р0, ни -Р0 и в 1 не входит та же меченая переменная, мы будем полагать,что Vo (Рп,у) принимает любое из значений Т или Это гарантирует определенность Vo для любой пропозициональной переменной и любого элемента W0.

Если же п>0, то Vo (Рп,у) есть пара <а,у), такая, что а={<хь..., хп) I Рп(х1,.,хп) входит в 1}, а у={<хь...,хп) I -Рп(х1,.,хп) входит в 1}. Очевидно, что а,ус[Б(у)]п и апу^0, поскольку 1 не замыкается.

Далее, <хь...,хп)ёа и <хь...,хп)ёу, если М0 содержит одно из выражений ~Рп(хь...,хп) или —|Рп(хь...,хп), причем, в первом случае, в 1 не входит -Рп(хь...,хп), а во втором случае в 1 не входит Рп(хь...,хп); в частности, <хь...,хп)ёа и <хь...,хп)ёу, если 1 содержит оба выражения -Рп(х1 ,.,хп) и —Рп(х1 ,.,хп).

Точно так же определяется М0 модель для псевдотаблиц (см. [5]).

Рассмотрим объединение И0=иуеН0Б(у), где у=0(1), 1е£0 и каждую формулу Б из любой таблицы £0 будем оценивать для сопоставления, при котором всякой индивидной переменной, входящей свободно в Б, сопоставляется одноименная переменная из и0, рассматриваемая как типографический объект.

При указанном сопоставлении значений свободным индивидным переменным У0(Рп(хь...,хп),у)=Т, если (хь..., хп)еа; У0(Рп(х1, .,хп),у)=1, если (хь...,хп)еу и поп!У0(Рп(хь ...,хп),у), если (хь..., хп)ёа и (хь...,хп)ёу.

Теперь мы сможем показать, что если Ер4-диаграмма для формулы Л не замыкается, но ее построение завершается в конечное число шагов, то М0 является опровергающей моделью для Л (аналогично рассматривается случай, когда Ер4-диаграмма не замыкается, однако ее построение не завершается в конечное число шагов, только вместо таблиц надо рассматривать псевдотаблицы; ср. [5]).

Лемма 1. Пусть М0 - вышезаданная модель.Тогда для всякой формулы В и всякой незамкнутой таблицы (псевдотаблицы) 1, такой, что у=9(1), из незамкнутой альтернативной системы таблиц (псевдотаблиц), при тождественном сопоставлении элементов И0 всем свободным индивидным переменным формулы В,М0 удовлетворяет следующим условиям:

(1) если В входит в 1, то У0(В,у)=Т;

(2) если —В входит в 1, то У0(В,у)=±;

(3) если —В входит в 1, то поп!У0(В,у) или У0(В,у)=Т;

(4) если -В входит в 1, то поп!У0(В,у) или У0(В,у)=± (основная лемма).

Доказательство проводится одновременной индукцией по логической длине формулы В. Если ВеЛ1ш, справедливость условий (1) - (4) непосредственно следует из определения У0.

Предположим поэтому, что В^Л1ш, тогда В имеет один из следующих видов: —С, С^С2, ПС или ЗхС(х). В каждом из этих случаев предположим, что всем свободным индивидным переменным формулы В сопоставляются одноименные индивидные переменные из И0, рассматриваемые в качестве типографических объектов.

Пусть В имеет вид —С. Покажем, что условие (1) нашей леммы будет выполняться. Опять воспользуемся индукцией по логической длине формулы С, которая может быть атомарной или иметь один из следующих видов: —Б, ИТ или ЗхБ(х).

В случае, когда СеЛ1ш, В имеет вид —С и выполнимость условия (1) следует из определения У0.

Если С имеет вид — Б, тогда В есть формула ——Б и поскольку последняя формула входит в незамкнутую таблицу 1, к ней применимо правило NN согласно которому в 1 также включается формула Б, имеющая меньшую логическую длину, чем В. Поэтому в силу индуктивного предположения для условия (1), У0(Б,у)=Т, а согласно правилу оценки для —, У0(В,у)=У0(——Б,у)=Т.

Если С имеет вид Р^Р2, тогда Б есть формула -(Р^Р2) и в незамкнутой таблице 1 к ней применимо правило N0, согласно которому в 1 включаются формулы -Р1, -Р2. В силу индуктивного предположения для условия (2), V0(—Р1,у)=V0(—Р2,у)=±, откуда сог-ласно правилам оценки для V и - следует, что ^(Б,у)=^(-(Р^ Р2),у)=Т.

Если С имеет вид ПР, то Б есть формула -ПР и к ней применимо правило NK, согласно которому составляется новая таблица 1', такая, что <1, 1')еЯ0 и в нее помещается выражение -Р. В силу индуктивного предположения для условия (4), поп^0(Р,и) или же V0(F,u)=±, где и=0(1'), а по правилу оценки для □, V0(□F,v)=±, где у=0(1). Следовательно, V0(B,v)=V0(—□F,v)=T.

Наконец, если С имеет вид ЗхР(х), тогда Б будет иметь вид -ЗхР(х), и поскольку таблица 1 не замкнута к Б применимо правило NE, согласно которому для каждой индивидной переменной zеD(v), у=0(1), в 1 включается формула вида - Р^). К ней применимо индуктивное предположение для условия (2), в силу которого V0(Р(z),у)=± при тождественном сопоставлении индивидных переменных из И0 всем отличным от z свободным индивидным переменным, входящим в Р^), когда переменной z сопоставляется любая переменная из И0. Отсюда согласно правилу оценки для З получаем, что V0(ЗxР(x),у)=±, а из последнего прямо следует, что V0(B,v)=V0(—Зx Р(х),у)=Т.

Мы показали, что условие (1) выполняется, если Б имеет вид -С. Остается рассмотреть случаи, когда Б имеет один из следующих видов С^С2, ПС или ЗхС(х).

Если Б имеет вид С^С2, то к таблице 1 применяется правило Б и составляется новая альтернативная система таблиц с напарницей 1' таблицы 1. При этом, в 1 включается С1, а в 1' - С2. Согласно индуктивному предположению V0(C1,у)=T или V0(C1,u)=T, где у=0(1), а и=0(1'). Из чего, в силу правила оценки для V, заключаем, что Vo(ClvC2,v)=T.

Если Б имеет вид ПС, то к ней применимо правило К и в каждую таблицу 1', такую, что <1,1')еЯ0 помещается формула С. В силу индуктивного предположения, для всякого и, такого, что (у,и)еЯо, где у=0(1), а и=0(1'), V0(C,u)=T. Но тогда, согласно правилу оценки для □, Vo(B,v)=Vo(□C,v)=T.

Наконец, если Б имеет вид ЗхС(х), к ней применимо правило Е, согласно которому в 1 включается формула С(у) с ранее не встре-чающейся ни в одной таблице индивидной переменной уеХ4 сУ^ В силу индуктивного предположения Vo(C(y),v)=T при тож-дест-венном сопоставлении элементов И0 всем отличным от у сво-бод-ным переменным, входящим в С(у), когда переменной у

сопостав-ляется уеХ4 сБ(у), где у=9(1). Но тогда, согласно правилу оценки для З, У0(В,у)=У0(ЗхС(х),у)=Т.

Итак, мы установили, что условие (1) нашей леммы выполняется. Точно так же можно установить выполнимость условий (2) -(4) леммы 1.

Рассмотрим, к примеру, два случая условия (3). Пусть В имеет вид ПС. Так как таблица 1 не замкнута и содержит выражение вида —ОС, к последнему применимо правило -NK и в 1 включа-ется формула ——ПС, а затем согласно правилу NN - формула ПС. В силу индуктивного предположения для условия (1),У0(ПС,у)=Т. Поэтому согласно правилу оценки для —, У0(В,у)=У0(——ПС,у)=Т и, следовательно, поп!У0(В,у) или У0(В,у)=Т.

Теперь предположим, что В имеет вид ЗхС(х). Так как таблица 1 не замкнута и содержит выражение —|ЗхС(х), к нему применимо правило -NE, согласно которому в 1 включается выражение -—С(у) с ранее не встречающейся ни в одной таблице индивидной переменной уеХ4 сУ^ В силу индуктивного предположения для условия (3), поп!У0(С(у),у) или У0(С(у),у)=Т при тождественном сопоставлении элементов И0 всем отличным от у свободным индивидным переменным, входящим в С(у), когда переменной у сопоставляется уеХ1 сБ(у), где у=9(1). Но в таком случае поп!У0(В, у)=поп!У0(ЗхС(х),у) или У0(В,у)=У0(ЗхС(х),у)=Т. ^ Лемма 2. Если диаграмма для замкнутой формулы Л не замы-ка-ется, то Л не общезначима в классе фреймов Ер4.

Доказательство. По условию леммы диаграмма для Л не замыкается, поэтому не замкнута по крайней мере одна из ее альтернативных систем таблиц (псевдотаблиц). Следовательно, не замыкается и главная таблица (главная псевдотаблица) этой системы с исходной замкнутой формулой —Л. Но в таком случае, согласно условию (2) леммы 1, существует опровергающая модель М0 для Л. Поэтому Л не общезначима в классе фреймов Ер4. ^ Теорема 2. Если Л общезначима в классе фреймов Ер4, то |— Л в Ер4 (теорема полноты).

Доказательство прямо следует из определения доказуемости в табличном исчислении и контрапозиции леммы 2. ^

Устранение логического всеведения. Классически общезначимой является формула ЗxP(x)^Зx(Q(x)v—Q(x)), однако нетрудно проверить, что Ер4-диаграмма для формулы ПЗхР(х)^ПЗх^(х^ —Q(x)) не замыкается. Этим устраняется парадокс логического всеведения в форме 1). С другой стороны, классически общезначимой является также формула Зx(Q(x)v—Q(x)), но легко можно

убедиться, что Ер4-диаграмма не замыкается и для формулы □3x(Q(x) v—iQ(x)) и, таким образом, устраняется парадокс логического все-ведения в форме 2). Из последнего факта следует, что табличное исчисление Ер4 является ненормальной (ввиду того, что в нем допустимым не является правило вывода: из A следует QA, для всякой формулы Л), а из устранимости парадокса логического всеведения в форме 1), следует, что табличное исчисление Ер4 немонотонно (так как в нем не является допустимым правило вывода: из Л^Б следует ПАзОБ, для всяких Л и B).

ЛИТЕРАТУРА

1. Fagin R.F. and Halpern J.Y. Belief, awareness, and limited reasoning // Artificial Intelligence. 1988. Vol. 34. P. 277-295.

2. Fitting M. Intuitionistic Logoc, Model Theory and Forcing, Amsterdam, North-Holland Publishing Co., 1969.

3. Hintikka J. Impossible possible worlds vindicated // Journal of Philosophical Logic. 1975. Vol. 4 . P. 475-484.

4. van der Hoek W. and Meyer J. Possible logocs for belief // Technical Report IR-170. Free University of Amsterdam, 1988.

5. Kripke S.A.. Semantical analysis of modal logic I. Normal modal prepositional calculi // Zeitschrift for mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1963. Bd. 9. S. 67-96.

6. Kripke S. A. Semantical considerations on modal logic // Acta Philosophica Fennica. 1963. Vol 16. P. 83-94.

7. Levesque H.J. A logic of implicit and explicit belief // AAAI-84. Austin, Texas, 1984. P. 198-202.

8. Rantala V. Impossible world semantics and logical omniscience // Acta Philosophica Fennica. 1982. Vol. 35. P. 106-115.

9. Wansing H. A general possible worlds framework for reasoning about knowledge and belief // Studia Logica. 1990. Vol. 49. P. 523-539.