CC BY
42
УДК 622.775
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ДИФФУЗИОННОГО РАСТВОРЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ПРИ ПОДЗЕМНОМ СКВАЖИННОМ ВЫЩЕЛАЧИВАНИИ
Л.Б. Сабирова
Рассмотрены физические модели диффузионного растворения и фильтрационного переноса металлов при подземном выщелачивании. Полученные теоретические формулы для вычисления времени диффузионного растворения или выщелачивания металлов рекомендуются для практических расчетов при проектировании и управлении технологическими системами подземного скважинного выщелачивания.
Ключевые слова: подземное выщелачивание, скважина, диффузия, растворение, математическая модель.
Прежде чем переходить к обсуждению и моделированию фильтрации растворов в пористой среде продуктивного пласта и вмещающих пород кратко остановимся на модели физического процесса диффузионного растворения металла. Основная расчетная модель этого процесса, полученная ранее, сведена к уравнению
=
d2
р2 А,
1п
11,2
(1)
где 1д - время диффузионного растворения куска руды диаметром d, сут; еп - проектное значение коэффициента извлечения металла, доли ед.; Ап - коэффициент эффективной диффузии, см /сут.
Из формулы (1) следует, что время растворения металла зависит прежде всего от размеров d и от Ап. Понятно, что первая величина d относится к разряду неуправляемых параметров при подземном скважинном выщелачивании металлов. Вторая величина Ап, в принципе, также относится к неуправляемому параметру. Физические модели диффузионного растворения и фильтрационного переноса металлов рассматривались авторами ранее для совершенных скважин.
Рассмотрим диффузионное растворение металла в реагенте. В соответствии с законом диффузии Фика запишем модель в виде дифференциального уравнения [1]
ЭС дг
_Э_
Эх
А,
ЭС Эх
+ ■
Э
А
ЭС
ду I у Эу
+
_Э_
дz
А
ЭС
дz
где С(х, у, z, () - искомая функция распределения металла в пространстве по времени ?; Ах; Ау; Аг - коэффициенты диффузии по координатам х, у, z.
Для исследований интерес представляет одномерный (линейный) закон диффузии, который описывается уравнением
эс _ э 2С
(2)
Эг п Эх2 "
Следует искать решение уравнения (2) в виде функции С(х, г) при следующих начальных и граничных условиях: С(х, г)=С0 при г=0; С(х,г)=0 при х=1, х=0, где С0 - исходная концентрация металла, г/см ; I - линейный размер куска руды, см; г - время диффузии, сут. Известно решение такого уравнения в виде бесконечного ряда [1]:
4С
С (х, Г I
1
р л 2] +1
2 ] +1
х
ехр
(2] +^
щ
(3)
где Csch х _ 2 (ех - е х) 1.
Если положить, что в относительных единицах С0=1, а Спр=0,75, т.е. конечное значение концентрации диффундирующего металла до 75 %, то можно получить простейшее решение, ограничившись первым членом быстро убывающего ряда в зависимости (3):
р2 вг^
Спр _ 8
С
р
ехр
I:
(4)
При заданном Вп из (4) находим время диффузионного выщелачивания металла:
р2 в
1п 8С0
С р
пр
,2 '
(5)
Анализ формулы (5) показывает, что она обладает некоторыми недостатками. Первое - это Спр»0,7...0,75, т.е. весьма узкий, хотя и практически правильный диапазон изменения коэффициента извлечения металла. Второе - при увеличении Спр от 0,7 до 0,75 время гд будет уменьшаться, что является противоречием. Исходя из этих замечаний, запишем формулу (5) в виде
I2
р2 в
, а8С0 1п 0
Спр р2
(6)
где а- некоторый параметр, который определяется статистическим путем или экспериментально.
Для определения а принимаем Спр=0,7, тогда формулу (6) запишем
в виде
12
р2 в
1п 1,159а.
Из уравнения (7) имеем
1п 1,159а: 88
р2 щд
(7)
2
г
д
2
I
Из уравнения (8) легко определить искомый параметр а
а = 0,863 ехр
V А О
п д
(9)
1
Следовательно, если известно время диффузионного выщелачивания tд и размер куска I, то по формуле (9) легко подсчитать параметр а. Например, для руды месторождения «Тохтазан» имеем 1=2 см, Ап=0,864-10"3 см2/сут, ^=36 сут,
а = 0,863 ехр
V • 0,864 • 36
= 0,93
4 • 103
Следовательно, для условий руды месторождения «Тохтазан» имеем уравнение
0 1 12 С
^ = 1п 0,744(10)
д А С
п пр
Кроме того, величину а можно рассчитать, если задана функция извлечения металла £ в виде
е(0 = 1 - ехр(-Cltд), (11)
где С1 - параметр, определяемый экспериментально.
Пусть имеем для условий месторождения «Тохтазан» £ (^=0,65; ^=40 сут.
Из уравнения (11) получим, что
0,65 = 1 - ехр (-С/д). (12)
Решая уравнение (12) относительно С1, найдем С1 = 0,0262. При этом уравнение (11) запишется в виде
е(t) = 1 - ехр(-0,0262^). (13)
Пусть задано tд =20 сут, тогда £(0 = 0,48, т.е. » 50 % за 20 суток.
Рассмотрим более сложную руду месторождения «Пустынное», для нее tд=340 сут; £(^=0,3, или 30 %, тогда имеем С1=0,00104. Для извлечения металла до £ =0,5 получим, что tд»670 сут, т.е. в принципе и сульфидные руды можно выщелачивать, только срок существенно растягивается. Если определить параметр а для руд месторождения «Пустынное» по формуле (9), а=1,37. Тогда формула (6) для определения tд для руд месторождения «Пустынное» примет вид
0 1 12 С
д = 1п 1,11-^. (14)
д А С
п пр
Если отделить фракцию 0,5 см и ниже, то время сократится до tд=65 сут, а при крупности 0,6 см tд=94 сут.
Из полученных формул можно сделать следующие выводы.
1. Выведены новые формулы (5) и (6) для вычисления времени
диффузионного растворения металлов от влияющих факторов: среднего размера куска руды, коэффициента диффузии и коэффициента извлечения металла при выщелачивании.
2. Наиболее сильно на время диффузионного выщелачивания металла влияет размер куска руды: время пропорционально квадрату линейного размера куска.
Для проектирования технологических систем выщелачивания металлов одним из главных параметров является время диффузионного растворения и извлечения конкретного металла до проектного значения коэффициента извлечения. Диффузионное растворение металлов достаточно теоретически освещено в известной монографии П. Шьюмона [1] и других работах [2, 3]. Однако до сих пор нет достаточно надежных аналитических методов, позволяющих определить время растворения металлов в функции от основных влияющих факторов. Будем следовать П. Шьюмону [1] и искать расчетные модели для определения времени диффузионного растворения металла для идеальных форм рудного или иного сырья.
При выщелачивании практически невозможно определить концентрацию полезного компонента - металла на различной глубине куска. Для получения общего количества выщелоченного металла необходимо знать среднюю концентрацию металла С в идеальной пластине толщиной h. Для этого необходимо взять интеграл от функции (3) по h в виде
— 1 к
С(г) _— [С(х, г)• ёх.
(15)
Подставляя в (15) значение С(х, г) (16) после интегрирования и необходимых преобразований получим новый ряд:
С (г)
8С
р
I-
1
гехр
" (2 ] + 1)р " 2 Вп • г
h п
(16)
]_0 (2] +1)2
Рассмотрим функцию ряда С (г) до 3-го члена включительно, тогда получим
С (г)_ 8С°
р
ехр
_2 Л
Р
12 °п',
У
1
+—ехр 9
9р2
к7
Вг
+
1
+--ехр
25
V
25р2
h2
л
Впг
1
+--ехр
49
V
49р2
к2
Впг
+.
(17)
С погрешностью не более 3 % можно из (17) записать уравнение
С
пр
( ^ 11,2С0 (г)_-^ ехр
р
р2 Вп • г h2
Решая уравнение (18) относительно времени г, получим
90
/б =
И
р2 Д.
1п 11,2С0
с пр р
(19)
где И измеряется в сантиметрах, Дп измеряется в см /сут, Со и С пр измеряются в относительных единицах, поэтому Со=1, а С пр равно проектному коэффициенту извлечения металла из руды, т.е. С пр =£п.
Формула (19) является основополагающей для определения времени диффузионного растворения металла при выщелачивании из пластин.
Рассмотрим численный пример. Пусть даны И=2 см, Спр=0,7,
3 2
Дп=0,86440" см /сут [1], тогда /¿=227 сут. Если, например, крупность кусков породы уменьшить вдвое, т.е. И=1 см, то время сократится в четыре раза и составит /¿=57 сут, а при И=0,5 см время выщелачивания всего 14 суток. Из этого простого примера следует, что размер куска рудного сырья является главным показателем при диффузионном растворении. Рассмотрим также решение задачи определения времени диффузионного растворения для шара с радиусом ге, см. В сферической системе координат второй закон Фика имеет вид [1]
Э2С 2 ЭС = 0. (20)
Эг2
Эг
Известно решение этого уравнения для малых времен в виде для среднего значения С (г):
— 1 г
С = -[ F (г )• dг = С0
ехр
V У
(21)
где
г
0
2 Д
С
,1,5
пр
С
п V С0 у
(22)
Подставляя (22) в уравнение (21) и решая его относительно времени /¿, для шара получим,
/э =
2Д
С
пр
С
^0,333 ^ \0,67
1п -С°
п V ^ 0 у
С
(23)
пр у
Сопоставим теперь численные значения для пластины (19) и шара (23) для только что рассмотренного примера. При 1=2 см, ге=0,5 см, /¿=256сут. При ге=1 см, /¿=64 сут и при г=0,2 см, /¿=16 сут. Из приведенных данных следует, что формулы (19) и (23) дают практически одинаковый результат.
2
г
г
2
г
Полученные путем теоретического анализа фундаментальные формулы для вычисления времени диффузионного растворения или выщелачивания металлов рекомендуются для практических расчетов при проектировании и управлении технологических систем подземного скважинного выщелачивания.
Список литературы
1. Шьюман П. Диффузия в твердых телах. М.: Наука. 1968. 320 с.
2. Рогов Е.И., Язиков В.Г., Рогов А.Е. Математическое моделирование в горном деле. Алматы: Lem,, 2002. 204 с.
3. Рогов А.Е., Рыспанов Н.Б. Математические основы геотехнологии. Алматы: FORTRESS, 2007. 367 с.
Сабирова Ляйла Бахтияровна, канд. техн. наук, доц., ecology@tsu.tula.ru, Республика Казахстан, Алма-Ата, Казахский Национальный технический университет
DETERMINING DIFFUSION DISSOLVING TIME OF METALS BY WELL UNDERGROUND LEACHING
L.B. Sabirova
Physical models of diffusion dissolving and filtration moving metals by underground leaching were considered. Gotten theoretical formulas for calculating diffusion dissolving and leaching metals are recommended for practical calculating with designing and management by well underground leaching systems.
Sabirova Leila Bahtiyrovna, candidate of technical science, docent, ecolo-gy@tsu.tula.ru, Kazakhstan, Alma Ata, Kazakhstan National Technical University
