CC BY
27
УДК 621.914
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ФАКТОРОВ НА МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ ШЕРОХОВАТОСТИ ТОРЦЕВОГО
ФРЕЗЕРОВАНИЯ
И.Н. Сединин, В.Ф. Макаров
Для выполнения мероприятий по повышению качества обработанной поверхности, проведены исследования торцевого фрезерования на образцах из высокоуглеродистой закалённой стали методом математического планирования эксперимента. При выполнении механической обработки образца применены фрезерный станок и режущий инструмент с пластинами из твёрдого сплава. Проведён полный факторный эксперимент в зависимости от трёх переменных, а также выполнена статистическая обработка результатов. С целью определения коэффициентов уравнения функции использован центральный композиционный ортогональный план второго порядка. При помощи регрессионного анализа экспериментальных данных определена адекватная математическая модель шероховатости обработанной поверхности, а на её основе построены основные гиперповерхности и графики функции. Определены значимые переменные при однофакторном и двухфакторном влиянии на функцию отклика.
Ключевые слова: шероховатость, торцевое фрезерование, закалённая сталь, полный факторный эксперимент, функция отклика, независимые переменные, регрессионный анализ, математическая модель, график функции, гиперповерхность.
В производстве авиационной техники необходимо постоянно совершенствовать эксплуатационные свойства изделий, применяя детали из закалённых сталей, требующих проведения высокоточных финишных операций, поэтому снижение шероховатости обработанной поверхности является актуальной задачей.
При шлифовании закалённых деталей образуются прижоги, трещины, включения абразивных частиц в обрабатываемую поверхность, что является недопустимыми дефектами поверхностного слоя ответственных деталей топливных гидроагрегатов авиационных изделий. Опыт предприятия АО «ОДК-СТАР» (г. Пермь) показал, что для обеспечения качества поверхности необходимо вместо шлифования применить окончательную обработку торцевым фрезерованием.
На предприятии, совместно с кафедрой «Инновационные технологии машиностроения» Пермского национального исследовательского политехнического университета, проведены теоретические и экспериментальные исследования торцевого фрезерования на образцах деталей «Корпус селектора», которые состоят из закалённой стали.
Для расчета оптимальных значений функции шероховатости Яа (мкм) и управления процессом фрезерования, поставлена задача установить экспериментальные математические зависимости.
При выборе входных переменных (факторов) выполнено основное требование - управляемость, а также: совместимость, независимость друг от друга, воздействие на параметр оптимизации и точность установления крайних значений.
В целях проведения экспериментальных исследований изготовлены опытные образцы. Материал образцов состоял из коррозионно-стойкой стали марки 95Х18-Ш [1], закалённой до твёрдости 59^61 НЯС с габаритными размерами 41х35х18 мм (Д х Ш х В). Одним из технических требований, предъявляемых к обработанной поверхности с площадью 41х35 мм, являлось обеспечение шероховатости Яа < 0,63 мкм. При проведении работ использован австрийский вертикально-фрезерный станок с числовым программным управлением (далее - ЧПУ) ЕшсошШ Е600, а также режущий инструмент -торцевая фреза шведской фирмы «8апёу1к СогошапЪ» СогоМШ R245-063Q22-12М и сменные пластины Я245-12 Т3 М-РМ сплав 1010 (Твёрдый сплав) [2].
659
Контроль размеров, установка и настройка положения образца в станке производилась контактным триггерным 3D датчиком OMP 40-2 с оптической передачей сигнала фирмы Renishaw, точность 0,001 мм. Для измерения шероховатости обработанной поверхности образца по среднему арифметическому отклонению профиля Ra (мкм), выбран цифровой контактный профилометр Mahr Surf PS1 с USB и разрешением профиля 8-32 нм. Обработка и вывод результатов профилограмм реализован на персональном компьютере программой MarSurf PS1 Explorer v1.20-07. Контроль размеров выполнен гладким цифровым микрометром МКЦ 25-0,001 ЧИЗ, ГОСТ 6507-90, точность 0,001 мм.
Для нахождения эмпирических математических моделей торцевого фрезерования в качестве независимых переменных приняты: скорость резания V (м/мин), подача на зуб Sz (мм/зуб) и глубина резания t (мм). На основе теоретических данных о значимых факторах, влияющих на шероховатость, принята математическая модель (1):
Ra = с + а-V + ß • SZ + у • t, (1)
где c, а, ß, у - постоянные величины.
После введения членов, учитывающих взаимодействие факторов, уравнение выражено полиномом (2):
y = bo + bi%i + Ö2X2 + + bi2XiX2 + bi 3X1X3 +
+ b23X2X3 + bi23X1X2X3 + bi 1x1 + b22X2 + ЬззХз , (2)
где у = Ra - значение исходного фактора; Х1, х2, хз - кодированные безразмерные значения факторов; b0 - свободный член, равный отклику системы на начальной стадии эксперимента при х1=х2=х3; b1, b2, b3 - коэффициенты регрессии, показывающие степень влияния соответствующих факторов на выход процесса; b12, bo, b23, bm, bn, b22, Ьзз - коэффициенты, указывающие на наличие эффекта взаимодействия факторов.
При определении коэффициентов линейного уравнения использован центральный композиционный ортогональный план второго порядка для трех факторов, при построении которого к полному факторному эксперименту типа 2k добавлен 1 опыт в центре плана и 2k опытов в «звездных» точках, где к - число факторов [3].
Регрессионный анализ результатов эксперимента. После получения эмпирических данных произведен расчёт линейной регрессии в программах Microsoft Excel, Wolfram Alpha и Statistica, результаты которого занесены в таблицу.
Наименьшее расчётное значение шероховатости получено в опыте № 11 Ra=0,175 мкм с режимами резания: V=92,5 м/мин; Sz=0,007 мм/зуб; t=0,15 мм. Наибольшее расчётное значение - в опыте № 7 Ra=0,603 мкм с режимами: V=75 м/мин; Sz=0,14 мм/зуб; t=0,25 мм.
Наименьшее абсолютное отклонение экспериментального от расчётного значения шероховатости получено в опыте № 6 Ra=0,011 мкм с режимами резания: V=110 м/мин; Sz=0,02 мм/зуб; t=0,25 мм. Наибольшее - в опыте № 3 Ra=0,017 мкм с режимами: V=75 м/мин; Sz=0,14 мм/зуб; t=0,05 мм.
Наименьшее относительное отклонение экспериментального от расчётного значения шероховатости получено в опыте № 12 С12=1,8% с режимами резания: V=92,5 м/мин; Sz=0,153 мм/зуб; t=0,15 мм. Наибольшее - в опыте № 11 Сп=8,9% с режимами: V=92,5 м/мин; Sz=0,007 мм/зуб; t=0,15 мм.
Определение влияния переменных факторов на функцию отклика. Для анализа эмпирической математической модели шероховатости при фрезеровании необходимо графически изобразить её изменение относительно трёх независимых переменных факторов и построить графики функции отклика. Необходимо математическую модель преобразовать в уравнение с одной переменной, а две оставшиеся - представить в виде числовых значений нулевого (основного) уровня варьирования.
Чтобы построить графики функции с переменными V, Sz и t, в уравнение регрессии поочерёдно внесено числовое значение переменных на основном уровне варьирования: V=92,5 м/мин, Sz=0,08 мм/зуб и t=0,15 мм. После подстановки значений, уравнение необходимо упростить при помощи программы Wolfram Alpha.
Результаты расчёта линейной регрессии полученной шероховатости Яа (мкм)
Проверочный расчёт значений уравнения
№ Эксперим.ср. Оценка статист. Знач. параметра оп- Расчётн. ср. Абсол. откл. функ- Отн. откл.
опыта арифм. знач. Ra (мкм) дисперсии )-го опыта тимизац. арифм. знач. Ra (мкм) ции Ra (мкм) знач. функции Ra (%)
j У) в,2 У) Ур) Л; С)
1 0,244 0,000089 0,244 0,229 0,015 6,1%
2 0,216 0,000017 - 82Ш1„ 0,215 0,201 0,015 6,9%
3 0,606 0,000109 0,604 0,589 0,017 2,8%
4 0,556 0,000058 0,557 0,543 0,013 2,3%
5 0,257 0,000067 0,258 0,243 0,014 5,4%
6 0,225 0,000043 0,229 0,214 0,011 4,9%
7 0,618 0,000145 0,617 0,603 0,015 2,4%
8 0,573 0,000051 0,571 0,556 0,017 3,0%
9 0,452 0,000073 0,455 0,440 0,012 2,7%
10 0,410 0,000171 - 82т„ 0,409 0,394 0,016 3,9%
11 0,192 0,000038 0,189 0,175 0,017 8,9%
12 0,612 0,000090 0,615 0,601 0,011 1,8%
13 0,423 0,000087 0,424 0,409 0,014 3,3%
14 0,443 0,000147 0,440 0,426 0,017 3,8%
15 0,432 0,000121 0,432 0,417 0,015 3,5%
Вывод: максимальное относительное отклонение не превышает 8,9 %, это означает хорошую сходимость результатов
Расчёт фактических значений уравнения
Ин- Расчётн. Проверка зна- Дисперсия Дисперсия Ошибка Знач. Дисп. Критерий Кох- Критерий Фише-
декс значен. ко- чимости коэф- воспроиз- коэфф. ре- в опред. 1-крит. адекват. рена ра
ко- эфф. регрес- фициентов водим. грессии 1-го ко- Сть- табл. расч. табл. расч. знач.
эфф. ре- грес-сии сии регрессии эксперимента эфф. регрессии юд. знач. знач. знач.
Расч. Вывод
знач. 1
критерия Стью-дента
Ь 1р Значимость в/ 8{Ь1} 1г при а=5% и ¡=30 в 2 вад От при ¡1=2, ¡2=15 Ор Рт при ¡1=9, ¡2=30 Рр
Ь0 0,417266667 299,976 знач. 0,00008707 0,000001935 0,001391 2,042 0,0000073 0,3346 0,1309 2,2 0,084226
Ь1 -0,018811316 11,555 знач. 0,000002650 0,001628
Ь2 0,175421938 107,753 знач.
Ь3 0,006875174 4,223 знач.
Ь12 -0,004375 2,297 знач. 0,000003628 0,001905
Ь23 0,000875 0,459 не зн.
Ь13 0,000125 0,066 не зн.
Ь123 0,001125 0,591 не зн.
Ь,, -0,000358612 0,175 не зн. 0,000004194 0,002048
Ь22 -0,01999015 9,761 знач.
Ь33 0,000995287 0,486 не зн.
Вывод: коэффициенты регрессии Ьн, Ь23, Ь123, Ьц, Ь33 по абсолютной вели- Вывод: дисперсии опытов од- Вывод: ческое математи-описание
чине меньше табличного значения 1г, нородны, а опы- функции отклика
поэтому их можно считать статисти- ты воспроизво- уравнением регрес-
чески незначимыми и исключить из димы. сии адекватное
уравнения регрессии.
Уравнение регрессии с безразмерными переменными факторами у = 0,417266667 - 0,018811316 • х1 + 0,175421938 • х2 + 0,006875174 - 0,01999015 • х22 х3 - 0,004375 • х1 • х2 -
Уравнение регрессии после преобра- у = 0,206118 - 0,000741596 • х1 + 4,19757 • х2 + 0,0687517 х3 - 0,00416667 • х1 • х2 - 5,55282 • х22
зования переменных факторов в
натуральные
Итоговое уравнение регрессии Яа = 0,206118 - 0,000741596 • V + 4,19757 • 8г + 0,0687517 • 1 - 0,00416667 • V • 8 г - 5,55282 • 8г 2
Подставив числовые значения 87=0,08 мм/зуб и 1=0,15 мм в уравнение регрессии получено:
Яа = 0,206118 - 0,000741596 • V + 4,19757 • 0,08 + 0,0687517 • 0,15 -
- 0,00416667 • V • 0,08 - 5,55282 • 0,082. (3)
Упростив выражение (3) получено уравнение:
Яа = 0,516873 - 0,00107493 ■V. (4)
661
Подставив числовые значения V=92,5 м/мин и t=0,15 мм в уравнение регрессии получено:
Ra = 0,206118 - 0,000741596 • 92,5 + 4,19757 • SZ + 0,0687517 • 0,15 -
2
- 0,00416667 • 92,5 • SZ - 5,55282 • SZ • Упростив выражение (5) получено уравнение:
(5)
2
Ra = 0,147833 + 3,81434 ■ SZ - 5,55282 ■ Sz . (6)
Подставив числовые значения У=92,5 м/мин и 87=0,08 мм/зуб в уравнение регрессии получено:
Ra = 0,206118 - 0,000741596 • 92,5 + 4,19757 • 0,08 + 0,0687517 • t -
-,2
(7)
- 0,00416667 • 92,5 • 0,08 - 5,55282 -0,0Г. Упростив выражение (7) получено уравнение:
Ra = 0,40713 + 0,0687517 • t. (8)
Уравнения (4), (6), (8) внесены в программу Microsoft Excel, с помощью которой спроецированы функции отклика (рис. 1).
а б в
Рис. 1. Графики функции и экстремумы шероховатости поверхности Ra (мкм) в зависимости от переменных: а — V; б — SZ; в — t
Из графиков функции выявлено, что значение отклика изменялось в зависимости от переменных: V и t - линейно, Sz - экспонентой.
Для определения значимости переменных в программе Wolfram Alpha произведён расчёт точек экстремумов уравнений.
В уравнении (4) значение точки минимума экстремума шероховатости R^.min(V) равно 0,394 мкм с режимом резания V=114 м/мин, а точка максимума экстремума шероховатости Raamax(V)=0,441 мкм с режимом V=71 м/мин.
В уравнении (6) значение Raэ.min(Sz)=0,185 мкм с режимом резания Sz =0,01 мм/зуб, а Raamax(Sz)=0,595 мкм с режимом Sz =0,15 мм/зуб.
В уравнении (8) Raэ.min(t)=0,409 мкм с режимом резания t=0,03 мм, а Raamax(t)=0,426 мкм с режимом t=0,27 мм.
В дальнейшем определен интервал точек экстремума функции по уравнению:
Ra3 .интер.( x) = Ra3 .max - Ra3 .min • (9)
Тогда для переменной V интервал функции равен:
Ra3мнтеp.(V ) = 0,440 - 0,394 = 0,046 мкм.
Интервал функции переменной Sz равен:
Ra3u^p.{Sz ) = 0,595 - 0,185 = 0,410 мкм.
Интервал функции переменной t равен:
^аэинтер^ ) = 0,425 - 0,409 = 0,016 мкм.
С целью нахождения значимой переменной проведено сравнение полученных интервалов точек экстремума, которое записано в виде двойного неравенства: Raэ .интер.да=0,016 мкм < Raэ.интер.(V)= 0,046 мкм < Raэ.инTeр.(Sz)=0,410 мкм.
Из неравенства выявлено, что максимальное влияние на параметр оптимизации оказывает переменная Sz, а минимальное - переменная t.
662
Для анализа эмпирической математической модели при фрезеровании, также необходимо графически изобразить изменение шероховатости в зависимости от взаимодействующих переменных факторов и построить гиперповерхности функции отклика. Необходимо математическую модель преобразовать в уравнение с двумя переменными, а третью переменную представить в виде числового значения на основном уровне варьирования: V=92,5 м/мин, Sz=0,08 мм/зуб и t=0,15 мм. Затем упростить уравнение при помощи программы Wolfram Alpha.
Подставив числовое значение V=92,5 м/мин в уравнение регрессии получено: Ra = 0,206118 - 0,000741596 • 92,5 + 4,19757 • SZ + 0,0687517 • t -
2
2
- 0,00416667 • 92,5 • - 5,55282 • ^ Упростив выражение (10) получено:
Ra = 0,13752 + 3,81434 • + 0,0687517- г - 5,55282 •
Подставив 87=0,08 мм/зуб в уравнение регрессии получено:
Ra = 0,206118 - 0,000741596 • V + 4,19757 • 0,08 + 0,0687517 • г -
- 0,00416667 • V • 0,08 - 5,55282 • 0,082. Упростив выражение (12) получено:
Ra = 0,506561 - 0,00107493^ V + 0,0687517^ г . Подставив 1=0,15 мм в уравнение регрессии получено:
Ra = 0,206118 - 0,000741596 • V + 4,19757 • + 0,0687517 • 0,15 ■
- 0,00416667 • V• - 5,55282 • 2. Упростив выражение (14) получено:
Ra = 0,216431 - 0,000741596 ■ V + 4,19976 ■ -
2
(10) (11)
(12)
(13)
(14)
(15)
- 0,00416667 ■V ■ + 5,55282 ■ .
Уравнения (11), (13), (15) внесены в программу МаШсаё у.15, при помощи которой спроецированы гиперповерхности функции отклика в зависимости от двух переменных (рис. 2).
(мм/зуб) V (м/мин) 1 V (м/мин) (мм/зуб)
а б в
Рис. 2. Гиперповерхности и экстремумы функции шероховатости Яа (мкм) при переменных: а — У=92,5 м/мин; б — 8г=0,08 мм/зуб; в — £=0,15 мм
Интерпретировав гиперповерхность (рис. 2, а), выявлено изменение шероховатости по траектории коноида, где значение Яа изменяется линейно по оси 1 и экспонен-той по оси 8г. Наиболее значимой переменной взаимодействия является 8г, при снижении её значений шероховатость обработанной поверхности уменьшается.
Интерпретировав гиперповерхность (рис. 2, б), выявлено изменение шероховатости по линейной траектории по осям V и 1. Наиболее значимая переменная взаимодействия V, при повышении её значений, шероховатость обработанной поверхности уменьшается.
Интерпретировав гиперповерхность (рис. 2 в) выявлено изменение шероховатости по траектории коноида, где значение Ra изменяется линейно по оси V и экспо-нентой по оси Sz. Наиболее значимая переменная взаимодействия Sz, при её снижении и повышении V, шероховатость обработанной поверхности уменьшается.
Чтобы определить влияние взаимодействия двух переменных на параметр оптимизации в программе Mathcad, по уравнениям (11), (13), (15) произведён расчёт точек экстремумов функции.
В уравнении (11) значение точки минимума экстремума шероховатости Raamin=0,177 мкм с режимами резания Sz=0,01 мм/зуб и t=0,03 мм, а точка максимума экстремума шероховатости Raamax=0,603 мкм с режимами Sz =0,15 мм/зуб и t=0,27 мм.
В уравнении (13) значение Raamin=0,386 мкм с режимами резания V=114 м/мин и t=0,03 мм, а Raэ.max=0,449 мкм с режимами V=71 м/мин и t=0,27 мм.
В уравнении (15) значение Raamin=0,170 мкм с режимами резания V=114 м/мин и Sz=0,01 мм/зуб, а Raэ.max=0,874 мкм с режимами V=71 м/мин и Sz=0,15 мм/зуб.
В дальнейшем определен интервал точек экстремума функции по уравнению:
RаЭ.интер.(x,y) = Ra3.max — Ra3.min . (16)
При взаимодействии переменных Sz и t интервал точек экстремума функции
равен:
Ra 3.интер .(Szf) = °Л77- 0,603 = 0,426 мкм.
При взаимодействии переменных V и t интервал точек экстремума функции
равен:
RaЭ.интер.(V/) = °,386 - 0,449 = 0,063 мкм.
При взаимодействии переменных V и Sz интервал точек экстремума функции
равен:
.(V,SZ) = 0,170-0,874 = 0,704 мкм.
При определении значимого взаимодействия переменных произведено сравнение интервалов точек экстремума и записано в виде двойного неравенства:
Raэ .интер.(к,г) =0,063 мкм < Raэ.интер.(Sz,о=0,426 мкм < Raэ.интер.(v;Sz)=0,704 мкм.
Из неравенства выявлено, что максимальное влияние на параметр оптимизации оказывает взаимодействие переменных факторов V и Sz, а минимальное - переменных V и t.
Выводы. При анализе математической модели шероховатости относительно независимой переменной построены графики функции в программе Microsoft Excel, где вторая и третья переменная представлены в виде числового значения на основном уровне варьирования. Из графиков функции выявлено, что значение отклика изменялось от переменных: V и t - линейно, Sz - экспонентой.
При определении значимости переменной произведён расчёт точек экстремумов, где найдено значение интервала экстремума функции. При сопоставлении из неравенства выявлено, что наиболее значимой переменной является Sz, а наименее значимой t.
Для анализа математической модели при взаимодействии двух независимых переменных в программе Mathcad графически изображено изменение шероховатости в виде гиперповерхностей функции отклика, где третья переменная представлена на основном уровне варьирования.
Интерпретировав гиперповерхность, выявлено изменение шероховатости по траектории коноида, где значение Ra изменялось экспонентой по оси Sz и линейно по оси V и t.
С целью определения влияния переменных на параметр оптимизации в программе Mathcad произведён расчёт точек экстремумов функции и их интервал. Сравнение путём подстановки в двойное неравенство показало, что максимальное влияние на параметр оптимизации оказывает взаимодействие переменных факторов V и Sz, а минимальное - переменных V и t.
Список литературы
1. Зубченко А. С. Марочник сталей и сплавов. 2-е изд. М.: Машиностроение, 2003. 273 с.
2. Каталог: Вращающиеся инструменты. Фрезерование. Sandvik Coromant / Россия ООО «Сандвик», 2017. 515 с.
3. Спиридонов А. А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. М.: Машиностроение, 1981. 184 с.
4. Макаров В.Ф. Выбор и назначение оптимальных условий протягивания заготовок из труднообрабатываемых материалов. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. 396 с.
5. Кацев П.Г Статистические методы исследования режущего инструмента. М.: Машиностроение, 1974. 231 с.
6. Пепелышев А.В. Технологическое обеспечение параметров точности и шероховатости плоских поверхностей глубоких пазов методом растрового фрезерования на станках с ЧПУ: дис. ... канд. техн. наук. Пермь, 2016. 159 с.
7. Кирьянов Д.В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. СПб.: БХВ-Петербург, 2012.
432 с.
Сединин Игорь Николаевич, аспирант, sedininigorarambler. ru, Россия, Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
Макаров Владимир Фёдорович, д-р техн. наук, профессор, заместитель заведующего кафедры, [email protected], Россия, Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет
DETERMINA TION OF THE INFL UENCE OF VARIABLE FACTORS ON THE MATHEMATICAL MODEL OF ROUGHNESS OF FACE MILLING
I.N. Sedinin, V.F. Makarov
To carry out measures to improve the quality of the processed surface, studies of face milling were carried out on samples of high-carbon hardened steel by the method of mathematical planning of the experiment. When performing mechanical processing of the sample, a milling machine and a cutting tool with carbide plates were used. A full factorial experiment was carried out depending on three variables, as well as statistical processing of the results. In order to determine the coefficients of the equation of the function, a central compositional orthogonal plan of the second order was used. With the help of regression analysis of experimental data, an adequate mathematical model of the roughness of the processed surface was determined, and on its basis the basic hypersurfaces and function graphs were constructed. Significant variables were calculated for one-factorial and two-factorial influence on the response function.
Key words: roughness, face milling, hardened steel, full factorial experiment, response functions, independent variables, regression analysis, mathematical model, function graph, hypersurface.
Sedinin Igor Nikolaevich, postgraduate, sedininigor a ramhler. ru, Russia, Perm, Perm National Research Polytechnic University,
Makarov Vladimir Fedorovich, doctor of technical sciences, professor, deputi head of chair, makarovv@pstu. ru, Russia, Perm, Perm National Research Polytechnic University
