Научная статья на тему 'Определение вероятностных оценок для резервов времени как одна из проблем планирования и управления'

Определение вероятностных оценок для резервов времени как одна из проблем планирования и управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
67
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Проблемы управления
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ / ЦЕПОЧКА РАБОТ / CHAIN OF WORKS / СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ / STATISTICAL CRITERIA / ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ / PROBABILISTIC CHARACTERISTICS / КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / COMPUTER MODELING / CONTROL PROBLEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Трояновский Владимир Михайлович, Запевалина Алёна Андреевна, Румянцева Елена Львовна, Сердюк Ольга Александровна

Рассмотрены вероятностные характеристики параметров для этапов планирования и реализации бизнес-процессов. Показано, что сумма планируемых резервов времени имеет распределение вероятностей, близкое к нормальному, уже при достаточно короткой цепочке работ. Показано также, что неизрасходованные резервы времени имеют распределение вероятностей, близкое к усеченному нормальному закону распределения. Предложена методика оценки распределения резервов времени на завершающем этапе работ. Отмечено, что проведена верификация путем сопоставления полученных теоретических результатов распределения временных интервалов с данными реального процесса прохождения писем в регионы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Трояновский Владимир Михайлович, Запевалина Алёна Андреевна, Румянцева Елена Львовна, Сердюк Ольга Александровна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Probabilistic characteristics of time parameters for business processes planning and implementation stages are considered. It is shown that the sum of planned time reserves has the close to normal probability distribution, even at fairly short chain of works. It is also shown that unspent time reserves have a probability distribution that is close to truncated normal distribution. A method of evaluating time reserves distribution at a final stage of work is suggested. It is noted that results verification is conducted through comparison of obtained theoretical results of time reserves distribution with the real process of letters passage to the regions.

Текст научной работы на тему «Определение вероятностных оценок для резервов времени как одна из проблем планирования и управления»

УДК 65.011.56:658.53:519.213

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ КАК ОДНА ИЗ ПРОБЛЕМ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

В.М. Трояновский, А.А. Запевалина, Е.Л. Румянцева, О.А. Сердюк

Рассмотрены вероятностные характеристики параметров для этапов планирования и реализации бизнес-процессов. Показано, что сумма планируемых резервов времени имеет распределение вероятностей, близкое к нормальному, уже при достаточно короткой цепочке работ. Показано также, что неизрасходованные резервы времени имеют распределение вероятностей, близкое к усеченному нормальному закону распределения. Предложена м етодика оценки распределения резервов времени на завершающем этапе работ. Отмечено, что проведена верификация путем сопоставления полученных теоретических результатов распределения временных интервалов с данными реального процесса прохождения писем в регионы.

Ключевые слова: проблемы управления, цепочка работ, статистические критерии, вероятностные характеристики, компьютерное моделирование.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи л огистики и производства [1] часто объединяет невозможность строго детерминистического анализа протекающих здесь процессов. Одна из важных проблем в системах планирования и управления состоит в необходимости анализа вероятностных свойств используемых характеристик объектов и процессов. Вероятностные процессы сопровождают применение современных информационных технологий, включая разработку компьютерных программ, исследование логистических операций различных производств, организацию и планирование учебного процесса; вероятностные оценки необходимы при построении бизнес-процессов. Во всех этих случаях руководителям приходится вводить резервы при оценке трудоемкости и времени реализации каждого из этапов работ [2, 3]. Для получения надежных результатов определения таких резервов необходимо обоснование вероятностных характеристик разрабатываемых решений.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Источник анализируемой проблемы — непредвиденные потери времени при выполнении работ и введение резервов для их компенсации. На этапе планирования цепочки работ определяется некоторый общий резерв, который на этапе исполнения работ расходуется слабо предсказуемым образом, что приводит к необходимости оперативного управления на следующем этапе.

Необходимо получить оценки резервов времени как на этапе планирования, так и на этапе реализации всей цепочки работ. Случайные возмущения при прохождении работ приводят к рассмотрению процессов планирования и управления с вероятностных позиций.

Предположим, что каждая работа начинается немедленно по завершении предыдущей, а резервное время отдельных этапов накапливается и определяет резервное время работы в целом. По мере выполнения отдельных этапов реально использованный резерв оказывается исчерпанным лишь частично, и накапливаемая с некоторой ве-

Рис. 1. Трансформация резервов в процессе исполнения работ:

/ф( — фактически использованный резерв времени на этапе г; Лф — общее фактически использованное резервное время; эг — экономия резерва времени на этапе г; Э — общая экономия резервов времени

роятностью экономия резервов времени образует дополнительный запас для последующих этапов (рис. 1).

Требуется оценить статистические свойства имеющихся резервов времени и их изменений в процессе исполнения работ.

2. АНАЛИЗ РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ В ЦЕПОЧКЕ РАБОТ

Как известно, условия применимости центральной предельной теоремы состоят в том, что все слагаемые имеют примерно одинаковое распределение, а число слагаемых должно стремиться к бесконечности. На практике бесконечное число слагаемых не набирается, и вид распределения слагаемых можно только предполагать, тем не менее, нормальный закон отчетливо проявляется для многих приложений [4].

Резервы времени на каждом из этапов могут иметь произвольный закон распределения. Дисциплинированный исполнитель с большей вероятностью использует минимальный резерв, а у недисциплинированного — кривая плотности вероятности расходования резерва нарастает к концу интервала. Можно предположить, что на каком-то из этапов имеет м есто равномерная плотность распределения вероятности времени резервов. Тем

не менее, в силу центральной предельной теоремы [5, 6], вероятностные характеристики общего резерва Л как суммы резервов при значительном числе этапов можно аппроксимировать нормальным законом распределения.

На примере распределения резервов времени в цепочке работ определим рациональную нижнюю границу требуемого числа слагаемых для практических применений центральной предельной теоремы.

Известно [5], что закон распределения суммы двух независимых случайных величин 2 = X + У определяется как композиция законов их распределения:

ад

К(г) = | Кх)Кг - х)йх, (1)

—ад

ад

Кг) = | К(г - у)Ау)йу. (2)

—ад

С помощью индуктивного подхода [7—9] и соотношений (1), (2) проследим изменение плотности распределения вероятности для суммы г независимых равномерно распределенных случайных величин резервов времени при м алых г. Результаты расчетов и графики полученных распределений, а также графики нормальных распределений с соответствующими параметрами приведены в Приложении.

Полученные результаты показали, что при суммировании уже пяти равномерно распределенных случайных величин результирующее распределение незначительно отличается от нормального закона распределения с соответствующими параметрами м атематического ожидания и д исперсии [10]. Проверим гипотезы о соответствии рассматриваемых композиционных законов распределения нормальному закону распределения с привлечением критериев согласия, используемых в теории вероятностей.

Располагая точными теоретическими кривыми функций плотности распределения вероятности, воспользуемся критерием согласия Колмогорова — Смирнова [4, 5]. В качестве меры расхождения между теоретическим и аппроксимируемым распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения и соответствующей теоретической:

Б = шах\Д*(х) - Fn(x)\, (3)

где Д(х) — интегральный закон распределения.

Таблица 1

Определение расхождения между композиционным и нормальным распределениями

Число элементов 1 2 3 4 5

с равномерным

распределением

Модуль максималь- 0,057 0,022 0,019 0,018 0,015

ной разности Б

II с< 1,83 0,72 0,63 0,59 0,51

(при п ~ 1000)

Вероятность 0,003 0,711 0,813 0,865 0,964

подобия Р(Х)

Таблица 2

Число принятых гипотез о нормальности распределения суммы случайных величин из 100 проверяемых гипотез

В случае дифференцируемых функций экстремум в (3) определяет экстремальные точки как соответствующие условию

£ ¥ *(х) - £ = 0 или /*(х) = /Й(Х). (4)

Уравнение (4) является трансцендентным, и реальный путь решения сводится к привлечению численных методов. Представляется целесообразным прямое использование полученных аналитических формул (см. Приложение) для композиционных законов распределения и соотношения (3) для проведения расчетов. Соответствующие результаты моделирования представлены в Приложении и в табл. 1.

Для проверки гипотезы о нормальности закона распределения суммы I независимых равномерно

п

распределенных случайных величин Ио: ^ / ~ N

I = 1

при малых I проведено моделирование на ЭВМ для 1 < I < 15 и применены различные критерии [11, 15] (результаты приведены в табл. 2).

По результатам моделирования отвергнуто около 20 % гипотез при числе слагаемых I < 5 (в табл. 2 приведены результаты для I = 4). При числе слагаемых I = 5 число принятых гипотез превышает 90, и при увеличении I изменяется незначительно. Получилось, что с вероятностью, близкой к 0,95, для описания вида распределения суммы пяти и более независимых равномерно распределенных величин можно использовать нормальный закон распределения.

Все это позволяет считать, что для инженерных приложений распределение суммарных резервов времени приближается к нормальному закону, если цепочка работ содержит пять и более этапов.

3. ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ НА ОСТАВШИХСЯ ЭТАПАХ РАБОТ

Будем считать, что работа некоторого проекта содержит пять и более этапов, для которых резервы времени исполнения имеют одинаковые равномерные распределения. Тогда в начале реализации проекта имеется общий резерв времени, распределенный на интервале [0, Л] примерно по нормальному закону.

В силу центральной предельной теоремы, при большом числе этапов такая нормализация общего резерва Я имеет также место и при других распределениях вероятностей. При большом общем числе этапов общая картина вероятностного распределения резервов по м ере приближения к последнему этапу приобретает вид, близкий к нормальному.

По мере исполнения проекта часть резервов расходуется, уменьшая в той или иной мере ранее имевшийся общий резерв. Поскольку распределение исходного общего резерва имело вид нормального закона, то частичное использование резерва при выполнении каждого этапа работ фактически ведет к формированию усеченного нормального распределения для оставшихся резервов времени (рис. 2, заштрихованная область). Отметим, что

Лх) Усеченный нормальный

Израсходовано Осталось

Рис. 2. К определению свойств неизрасходованных резервов

Критерии

1 Критерий согласия, х2 По доверительным интервалам для коэффициентов асимметрии и эксцесса Критерий Колмогорова — Смирнова

4 80 78 79

5 96 94 95

6 96 93 95

7 96 92 95

8 97 98 98

9 98 95 97

10 100 99 97

совсем необязательно на каждом этапе планировавшиеся резервы времени расходуются максимально, часть их экономится, и это увеличивает резерв времени от текущего момента до завершения работ. Однако общая вероятностная картина по-прежнему формируется исходным нормальным распределением суммарных резервов и израсходованными резервами времени.

Математическое выражение для образовавшегося таким образом одностороннего усеченного нормального распределения определяется [15] как

где

Ф(х, mx, ax, x1)

A

0 при x < x1,

Af( t) при x1 < x, a x

1

1 - F( ti )

t =

x - mx

= x i - mx

, li

F(x) = — J e 2 dt.

лДП о

4. МЕТОДИКА ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ НА ЗАВЕРШАЮЩЕМ ЭТАПЕ РАБОТ

Размер использованных резервов времени при исполнении этапов работ в начале цепочки и их остаток на последнем этапе имеют разные последствия для результата всего проекта, и наиболее критичен завершающий этап.

Если известна плотность вероятности Конеч(х) для резерва, отводимого исполнителю последнего этапа, то можно построить семейство кривых распределения для набора возможных резервов времени, сэкономленных на предшествующих этапах. Для этого достаточно свернуть Кконеч(х) и соответствующие кривые усеченного распределения

Рис. 3. Вид семейства кривых для оценки резервов времени на завершающем этапе работ

ф(х) для различного набора значений сэкономленного времени. И хотя аналитические выражения для требуемых функций не слишком удобны для интегрирования, соответствующие операции осуществимы на компьютере с помощью численных методов.

Численное моделирование показало, что распределение резерва времени на последнем этапе зависит от ранее сэкономленных резервов и дисциплины исполнителя на последнем этапе. Это распределение имеет вид, близкий к нормальному, либо сужается к концу этапа (рис. 3), стягиваясь к виду, предопределенному распределением Кконеч(х).

Исполнение всего проекта в срок зависит от успешного завершения последнего этапа, и его вероятность может быть рассчитана на основании кривых (см. рис. 3). Если есть распределения (или хотя бы два первых момента) у составляющих событий, то путем суммирования рассчитываются математическое ожидание и д исперсия для результирующего нормального распределения на всех этапах, вплоть до завершающего. По этим двум параметрам строится вся кривая результирующего нормального распределения, и по ней считается вероятность попадания на любой участок, а также кривая ф(х) для любого набора предполагаемой (или фактической) экономии резервов времени.

Это дает руководителю работ инструментарий для количественной оценки рисков выполнения (или невыполнения) работ в зависимости от статистических характеристик резервов времени для работы в целом и на завершающем этапе работ.

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ В ЦЕПОЧКЕ РАБОТ

Верификация полученных результатов проведена посредством моделирования и практических проверок на примере управления прохождения письменных обращений для контроля и сопровождения работ по информатизации в регионах Российской Федерации. Объем выборки для м оде-лирования (десятки и сотни отсчетов) обусловлен числом регионов и учреждений, участвующих в проводимых работах.

Результаты моделирования суммарных сроков прохождения писем в регионах представлены на рис. 4, где каждый график отображает сроки прохождения письма по указанным этапам в отдельном регионе.

Для моделирования была разработана специальная программа на языке VBA в среде MS Excel. Сравнение теоретических распределений времени по этапам прохождения писем и данных по реаль-

2

x

x

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 4. Суммарные сроки прохождения писем в регионах

Рис. 5. Теоретические и эмпирические распределения времени по этапам прохождения писем

ным выборкам (рис. 5) показало их д остаточно хорошее совпадение.

На рис. 5 сплошными линиями показаны графики, построенные по данным реального контроля прохождения писем в регионы; штрихами обозначены теоретические кривые распределения, рассчитанные в соответствии с результатами Приложения и с учетом оценок средних значений задержек времени на каждом из этапов.

Подобные результаты получены при моделировании процесса накопления знаний в условиях коллективного взаимодействия обучающихся при выполнении цепочки однотипных заданий. Предложенная методика оценивания резервов времени применена при построении обучающей программы «Лабиринт знаний».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы. Объективная оценка вероятностных свойств используемых характеристик объектов и про-

цессов является одной из важных проблем в системах планирования и управления. Проведенный анализ позволил установить возможность применения центральной предельной теоремы для расчетов распределения резервов времени при пяти и более этапов в цепочке работ. Проверка гипотезы о соответствии рассматриваемых композиционных законов распределения нормальному закону распределения проведена с привлечением критериев согласия. Распределение резервов времени на оставшихся этапах работ имеет вид усеченного нормального закона распределения. Распределение резервов времени на последнем этапе зависит от ранее сэкономленных резервов и дисциплины исполнителя на последнем этапе. Вид этого распределения может быть близким к нормальному либо стягивается к виду, предопределенному распределением резервов времени на последнем этапе работ. Верификация полученных результатов проведена посредством моделирования и исследования реального процесса прохождения писем в регионы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Изменение плотности распределения вероятностей для суммы независимых случайных величин

• Пусть исходные величины равномерно распределены на интервале [0, 1]:

ДО) = /Х) = {0 при 0<ХС<1,

[ 0 вне этого интервала.

Первые два момента этого распределения тХ = 0,5; ^ = 1/12.

• Композиция двух равномерно распределенных случайных величин определяется как

Ш = | - т)йт.

При г < 0

При 0 < г < 1

0

Щ = 0.

/2(0 = | - т)йт + |/1(х)/1(^ - т)йт +

-ш 0

+ш г

+ | Л(т/1(г - т)йт = | йт = г.

0

При 1 < г < 2

г -1

1

К2(г) = | Л(тК1(г - т)Ст + | К1(тК1(г - т)Ст +

-ад г-1

+ ад 1

+ I Л(т)/1( г - т)Ст = | Ст = 2 - г. 1 г-1

При г > 2

К2( г) = 0.

Таким образом, К2( г) =

о при г< о и г> 2, г при о < г< 1, 2-г при 1 <г< 2.

Математическое ожидание и дисперсия результирующего распределения: К2(г) т = 1 и ст2 = 1/6.

• Аналогичным образом для суммы трех равномерно распределенных случайных величин получим результирующее распределение К3(г):

+ ад

Кз(г) = | К2(т)Кх(г - т)Ст =

0 при г < о и г > 3,

2

г /2 при о < г < 1,

1 - (г -1 )2/2 - (2 - г)2/2 при 1 < г < 2, Ц г - 3)2/2 при 2 < г < 3.

Математическое ожидание и дисперсия результирующего распределения: К3(г) т = 1,5 и ст2 = 1/4.

• Приведем подробные преобразования для композиции четырех равномерно распределенных случайных величин:

К4(г) = | К3(тК1(г - т)Ст.

При г< о

К4(г) = о.

При о < г < 1

Щ = | К3(т)К1(г - т)Ст + | К3(т)К1(г - т)Ст +

+ ад г 2 3

+ I К3(т)К1( г - т)Ст = |т2 с1т = 6.

г о

При 1 < < 2

г-1 1

К4( г) = | К3(тК1( г - т)Ст + | к3(тК1(г - т)Ст +

г-1

12 т

+ ККг - т)Ст + I к3(т)/1( г - т)Ст = | Ст +

1

г-1

+ {11

г ( ( т - 1 ) 2 - ( т - 2 ) 21 Ст = г - 1 - ( - - 1 ) 3 - ( г - 2 ) 3

При 2 < < 3 г-1

Л(г) = I К3(тК1( г - т)Ст + I к3(тК1( г - т)Ст +

-ад г-1

г +ад

+ IК3(тК1(г - т)Ст + I к3(тК1( г - т)Ст =

I (1 - ( т - 1 ) 2 - ( т - 2 )

г-1

Ст + Ст =

( г - 2 ) 3 + ( г - 3 )3

22 = 3 - г + При 3 < < 4

Л( г) = I К3(тК1( г - т)Ст +

-ад

3 +ад

+ I К3(т)К1(г - т)Ст + I к3(тК1(г - т)Ст

г-1

3 2 3

3 (пл. Ст = - сьл

I

г-1

При > 4

К4( г) = о.

Таким образом,

К4( г) =

о при < о и > 4,

г

при о < г< 1,

г-1 - (г-1)3/3 - (г- 2)3/б при 1 < г< 2, 3-г+ (г - 2 )3/б + (г - 3 )3/3 при 2 <г< 3,

,-(г - 4 )3/б при 3 <г< 4.

Математическое ожидание и дисперсия результирующего распределенияК4(г): т = 2,о и ст2 = 1/3. • Аналогичным образом для суммы пяти равномерно распределенных случайных величин после некоторых преобразований получим результирующее распределение К5( ):

К5( г) = I К4(тК1(г - т)Ст

о при < о и > 5, г4/24 при о < г< 1,

г2/2-г + 7/12 - (г - 1 )4/8 - (г - 2)4/24 при 1 <г< 2,

4 г - 31/6 - г2/2 - (г-1 )2/2 + (г- 2)4/8 + (г- 3)4/8 при 2 < г < 3,

91/12 - 3г + (г-1 )2/2 - (г- 3)4/24 - (г- 4)4/8 при 3 < г< 4,

1(г- 5)4/24 при 4 < г< 5.

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3

—<У)

о

+

У>

ЛИТЕРАТУРА

Рис. П.1. Графики для результирующего и нормального распределений с соответствующими параметрами: а — исходное равномерное распределении; б — распределение для суммы двух величин, в — для суммы пяти величин; 1 — композиционное распределение, 2 — нормальное распределение

1. Vassilyev S.N., Novikov D.A., Bakhtadze N.N. Intelligent control of industrial processes // Proc. of the 7th IFAC Conference on Manufacturing Modeling, Management, and Control. IFAC Publication. — Saint Petersburg, 2013. — P. 49—57.

2. Whitty S.J., Schulz M.F. The PM BOK code // 20th IPMA World Congress on Project Management. — 2006. — Vol. 1. — P. 466—472.

3. Epstein D, Maltzman R. Project Workflow Management: A Business Process Approach. — Fort Lauderdale: J. Ross Publishing, 2013. — 352 p.

4. Трояновский В.М. Информационно-управляющие системы и прикладная теория случайных процессов: учеб. пособие. — М.: Гелиос АРВ, 2004. — 304 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Высшая школа, 2002. — 380 с.

6. Пугачев В. С. Теория случайных функций. — М.: Физмат -гиз, 1962. — 520 с.

7. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. — 756 с.

8. Hageman L, Young D.M. Applied Iterative Methods. — N.-Y.: Dover Publications, 2004. — 416 p.

9. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. — М.: Мир, 1973. — 957 с.

10. Румянцева Е.Л., Трояновский В.М. Вероятностная оценка резервов времени при контроле прохождения работ // Известия ТулГУ. Сер. «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». — 2004. — Т. 1, вып. 2. — C. 176—184.

11. Джонсон Н, Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. — М.: Мир, 1980. — Т. 1. — 610 с.

12. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы планирования эксперимента. — М.: Мир, 1981. — Т. 2. — 516 с.

13. Закс Л. Статистическое оценивание. — М.: Статистика, 1976. — 598 с.

14. Лабораторный практикум по математической статистике / Э.А. Вуколов и др. — М.: МИЭТ, 1986. — 91 с.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М: Наука, 1974. — 832 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Н.Н. Бахтадзе.

Трояновский Владимир Михайлович — д-р техн. наук,

профессор, В troy40@mail.ru,

Запевалина Алена Андреевна — аспирант,

В nairy253@mail.ru,

Математическое ожидание и дисперсия результирующего распределения/5(г): т = 2,5 и ст2 = 5/12.

В качестве примера на рис. П.1 приведены результирующее распределение (график 1) и нормальное распределение (график 2) с соответствующими параметрами

2

математического ожидания т и дисперсии стХ .

Румянцева Елена Львовна — канд. техн. наук, доцент, И lenarum@mail.ru,

Сердюк Ольга Александровна — начальник отдела, И serdyukolga@yandex.ru,

Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники», г. Зеленоград.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.