CC BY
34
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ ...
5
УДК 531
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
С.Е. Иванов
Для исследования виброзащитных систем необходим качественный и количественный анализ соответствующих математических моделей. В качестве модели принимается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая включает нелинейные характеристики в форме многочленов от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. При анализе нелинейных виброзащитных систем применяется метод многочленных преобразований, который позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики динамики систем.
Ключевые слова: виброзащитная система, установившейся режим колебаний, нелинейная система с двумя степенями свободы.
Введение
Предметом рассмотрения являются нелинейные колебательные динамические системы полиномиальной структуры с периодическими коэффициентами [1].
Исследование колебательных процессов в таких системах может проводиться различными методами нелинейной механики [2]. В работах А. Пуанкаре, Б. ван дер Поля, А.Н. Крылова, Н.Н. Боголюбова, А.А. Андронова предложены теоретические методы исследования нелинейных динамических систем [3]. Метод преобразования дифференциальных уравнений в форме степенных многочленов по фазовым переменным был предложен в работах А. Пуанкаре и А. Дюляка. Применение этих методов связано с большим объемом вычислений, что приводит к необходимости создания алгоритмов и программ, позволяющих эффективно выполнять требуемые выкладки средствами вычислительной техники.
С целью расширения области применения указанный метод был модифицирован в работе Г.И. Мельникова [4] и получил название метода многочленных преобразований. Данный метод применим к широкому кругу нелинейных задач, где нелинейные части системы дифференциальных уравнений имеют общую структуру. Динамические системы описываются дифференциальными уравнениями до шестого порядка с нелинейной частью в виде многочлена до четвертой степени относительно фазовых координат с периодическими коэффициентами.
Для реализации метода многочленных преобразований автором составлен пакет программ, позволяющий проводить исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях периодического кинематического возмущения [5]. Точность получаемых результатов подтверждается посредством сравнения с решениями, получаемыми численными методами. Полученные результаты показывают применимость метода для качественных и количественных оценок исследуемых переходных и установившихся колебаний динамических систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия.
Исследование виброзащитной системы
Рассматривается математическая модель виброзащитной системы с нелинейными амортизаторами и демпферами в условиях внешнего периодического возмущения [6]. Виброзащитная система состоит из прибора массой m1 (объект виброзащиты), установленного на платформу массой m2, которая закреплена на вибрирующем основании. Предполагается, что упругие элементы системы имеют вид полинома третей степени kx + lx2 + pX , демпфирующие элементы имеют нелинейную кубическую характеристику cx + dx3 (здесь x1, x2 - абсолютное перемещение прибора и платформы), а основание осуществляет вертикальные колебания согласно уравнениям f (t) = a(1 + b cos(rot) + e sin3 (rot)).
Рассматривается относительное перемещение прибора и платформы: y1 = x1 - f, y2 = x2 - f. Уравнения движения в относительных координатах имеют вид [7]
my + c1(y1- y2)+- у2)3 + к1(У1- У2)+hiOi - У2)2 + яСу - У2)3 =-mf;
ЩУ2 + С1 (У2 - Ю + d(y2 - у1)3 + к(У2 - У1) ЧОЪ - У1)2 + й(У2 - У1)3 + c2y2 + d2y2 + КУг + 4У2 + Р2У3 =-m2f; (1)
f (t) = aro2(-b cos(rot) + 6e sin(rot)cos2(rot) - 3e sin3 (rot)).
МЕХАНИКА И МЕХАТРОНИКА
С.Е. Иванов
Вводятся дополнительные комплексно-сопряженные переменные [8]: q0 = ехр(/ю/), д0 = ехр(-/ю/), = /ю .
Система дифференциальных уравнений (1) записывается в матричной форме:
X = рх+к.
С помощью линейного преобразования У = БХ система шестого порядка приводится к виду
У = ЛУ + к
с диагональной матрицей. Выполняется многочленное преобразование
4
^ = г, +£ ( = 3,4,5,6),
V=2
результатом которого является система
4
г,. = Хг, qsvZV( = 3,4,5,6) .
V=2
Дополнительные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются: у, = ,(5 = 1,2). Особые значения индекса при фиксированном , находятся из двух уравнений:
Х1У1 +Х1У2 +Х2v3 +Х2У4 +Х3У5 +Х3У6 = 0, V + у2 + v3 + У4 + v5 + У6 = 2,3,4,5 = 2,3.
В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы: при q3 : V = (0,0,1,0,1,1), V = (0,0,2,1,0,0), V = (1,1,1,0,0,0), при qv4 : V = (0,0,0,1,1,1), V = (0,0,1,2,0,0), V = (1,1,0,1,0,0), при qv5 : V = (0,0,1,1,1,0), V = (0,0,0,0,2,1), V = (1,1,0,0,1,0), при qv6 : V = (0,0,1,1,0,1), V = (0,0,0,0,1,2), V = (1,1,0,0,0,1). Постоянные qS приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют постоянные а, и, наоборот, при особых значениях индексов считают коэффициенты а, равными нулю и вычисляют qS . Методом многочленных преобразований в нерезонансном случае получена автономная система, определяемая шестью параметрами:
г3 = 2 + ^,111000)г3 + ^001011 г3г5г5 + ^002100¿3 23 (2)
Г5 = (^3 + ^,110010)г3 + ^001110г3г5г5 + ^000021 Г5 Г5
Автономная система содержит шесть существенных параметров, исходная определяется 23 параметрами. Стационарные режимы колебания находятся путем приравнивания правых частей системы к нулю.
Установившийся режим колебаний виброзащитной системы является полигармоническим. Колебания системы происходят с частотой внешней силы. Перейдем к новым комплексно-сопряженным переменным:
^3,4 = Р1 ехр(±/91), ¿5,6 = Р2 ехр(±/'б2). Преобразованная автономная система (2) в новых переменных записывается в виде р1 =р1К-е(^ 2 + Зп1000) + р1р2^е ^001011 +р3^ ^'002100 , 01 = 1т(Х 2 + ql311000) +р2 1т q0301011 +Р2 1т q0302100,
р 2 = Р2 + Зп0010) + Р2Р2 ^'001110 +р22Яе q3o0021,
0 2 = 1т(^3 +ql5l00l0) + р21т q0oшo + Р21т q0ooo2l
В результате применения метода многочленных преобразований с заданной точностью получена преобразованная автономная система. Преобразованная система содержит существенно меньшее количество ненулевых коэффициентов, чем исходная, что упрощает ее исследование. С помощью разработанных программ найдены существенные константы, получены числовые оценки переходных и установившихся режимов колебаний.
Заключение
Рассматриваемая математическая модель нелинейных виброзащитных динамических систем представляет собой систему дифференциальных уравнений, содержащую нелинейные характеристики полиномиальной структуры с периодическими параметрами [9]. Исследование динамических систем проводится методом многочленных преобразований, находятся существенные параметры нелинейной динамической системы, определяющие качество установившихся и переходных процессов.
АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПАХ
Нелинейные части исследуемой системы представлены в форме многочлена до четвертой степени относительно фазовых переменных с периодическими коэффициентами [10]. Разработан алгоритм метода, удобный для программирования, и составлен пакет программ для реализации метода. Программы применимы для исследования установившихся и переходных режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем с двумя степенями свободы в условиях внешнего периодического возмущения. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 10-08-01046-а
Литература
1. Блехман И.И. Вибрационная механика. - М.: Физматлит, 1994. - 394 с.
2. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах / Под ред. К.В. Фролова. - М.: Маш., 1995. - 456 с.
3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. - 568 с.
4. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. - Л: Маш., 1975. - 198 с.
5. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Маш., 1991. - 344 с.
6. Гончаревич И.Ф., Фролов К.В. Теория вибрационной техники и технологии. - М.: Наука, 1981. - 318 с.
7. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. - М.: Наука, 1988. - 308 с.
8. Иванов С.Е. О реализации численно-аналитического метода многочленных преобразований на компьютере. // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. проф. С.А. Козлова. - СПб: СПб ГИТМО(ТУ), 2001. - С. 138-141.
9. Мельников В.Г., Мельников Г.И., Иванов С.Е. Компьютерные технологии в механике приборных систем. Учебное пособие / Под ред. В .Г. Мельникова. - СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. - 127 с.
10. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. - М.: Маш., 1992. - 376 с.
Иванов Сергей Евгеньевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, 81уапоу@таПл1то.ги
УДК 531.383-11:531.714.7 АНАЛИЗ КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ГИРОСКОПАХ
М.И. Евстифеев, Д.В. Розенцвейн
Рассмотрены вопросы использования микромеханических гироскопов на высокодинамичных объектах при значительных инерционных ударных нагрузках. Показано, что такие удары приводят к контактным взаимодействиям элементов конструкции. Приведены оценки деформаций и прочности упругого подвеса как наиболее ответственного узла прибора при контакте инерционного тела с ограничительными упорами. Определена конфигурация расположения упоров из условий прочности подвеса.
Ключевые слова: микромеханический гироскоп, упругий подвес, удар, контакт, упор.
Введение
Микромеханические гироскопы (ММГ) используются в различных областях навигации и управления движением. Известно о намерениях использовать микромеханические датчики в системах автоматического управления движением высокодинамичных объектов, таких как ракетное и артиллерийское вооружение. Условия эксплуатации подобных систем предполагают наличие интенсивных ударов с уровнями свыше (2-10)-104£ [1,2]. Для использования ММГ на подвижных объектах со сверхвысокими инерционными нагрузками требуется анализ прочности конструкции прибора, что представляется весьма актуальной задачей. Приведенные ниже оценки прочности справедливы для различных типов микромеханических гироскопов, имеющих упругий подвес и гребенчатый электростатический двигатель [3].
Оценка прочности подвеса при ударных воздействиях
В качестве объекта исследования выбран ММГ КЯ-типа разработки ЦНИИ «Электроприбор» [4], чувствительный элемент которого содержит инерционное тело (ИТ) в виде диска, закрепленного на упругом подвесе (рис. 1). ИТ в автоколебательном режиме совершает первичные угловые колебания в плоскости диска вокруг оси X, возбуждаемые гребенчатым электростатическим двигателем. При наличии угловой скорости основания О возникают вторичные угловые колебания вокруг оси У, амплитуда которых является мерой угловой скорости. Эти колебания измеряются емкостными датчиками системы съема, расположенной под ИТ.
