CC BY
33
УДК 622.682 : 621.85.01
Лубенец Николай Алексеевич
кандидат технических наук, доцент кафедры транспортных систем и технологий,
Национальный горный университет, 49000, Украина, г. Днепропетровск, пр. Карла Маркса, 19
Лубенец Татьяна Николаевна,
студентка,
Национальный горный университет, 49000, Украина, г. Днепропетровск, пр. Карла Маркса, 19 е-mail: lubenetz_tatyana@ukr.net.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЯГОВОЙ СПОСОБНОСТИ КАРЬЕРНЫХ КОНВЕЙЕРОВ*
Lubenetz Nikolay A.
candidate of technical sciences, Associate professor of transport systems and technology department, the National Mining University 49000, the Ukraine, Dnepropetrovsk, K. Marks pr., 19
Lubenetz Tatyana N.
a student,
the National Mining University 49000, the Ukraine, Dnepropetrovsk, K. Marks pr., 19
е-mail: lubenetz_tatyana@ukr.net
DETERMINING TRACTION ABILITY OF OPEN PIT CONVEYORS
Аннотация:
Обосновано новое условие для реализации заданного тягового усилия в конвейере, вытекающее из альтернативного решения классической задачи Эйлера о скольжении гибкого тела по блоку. Оно определяется коэффициентом трения гибкого тела, суммарным усилием его натяжения на приводном барабане, углом обхвата, весом и скоростью. Новое решение впервые учитывает фундаментальный принцип природы - закон сохранения механической энергии, современные знания о трении тел и влияние центробежной силы. Новый альтернативный вывод результатов решения задачи Эйлера о скольжении гибкого тела по блоку развивает знания о трении гибкого тела, способствует прогрессу в научных исследованиях, машиностроении и народном хозяйстве для эффективного использования конвейеров в транспортных системах карьеров
Ключевые слова: конвейер, гибкое тело, барабан, трение, фрикционные свойства, усилие натяжения, угол обхвата, центробежные силы, сохранение энергии, нормальная сила прижатия
Abstract:
A new condition is grounded for conveyor traction force realization following from the alternative solving the Euler classic task on a flexible body sliding along a block. It is determined by the friction coefficient of a flexible body, total effort of its tension on a driving drum, wrapping angle as well as by its weight and speed. For the first time a new solution takes into account a nature fundamental principle that is the law of mechanic energy conservation, up-to-date knowledge on friction of bodies and centrifugal force influence. The new alternative conclusion of results of the Euler task solution on a flexible body sliding along a block develops knowledge on a flexible body friction, favors the progress in scientific researches, education, engineering and national economy for efficient conveyers employment in open pits ' transport systems.
Key words: conveyor, flexible body, drum, friction, frictional properties, tensile force, wrapping angle, centrifugal forces, energy conservation,nor-mal pressing force
Эффективное использование конвейеров в транспортных системах карьеров сопряжено с рациональным определением их тяговой способности, что существенно зависит от фрикционных свойств пары трения, угла обхвата, усилия натяжения конвейерной ленты на приводном барабане, и ее скорости движения.
* Статья публикуется в порядке обсуждения
Тяговая способность конвейера при проектировании и эксплуатации сейчас осуществляется по известному уравнению Эйлера в задаче о скольжении гибкого тела по блоку (закону трения гибких тел Эйлера или формуле Эйлера, 1775 г.):
^ = еЦФ, (1)
^ 2
где £1 - усилие натяжения гибкого тела в точке набегания; 52 - усилие натяжения гибкого тела в точке сбегания; /л - коэффициент трения между гибким телом и блоком; ф - угол обхвата блока гибким телом. Единицы измерения в системе СИ. При этом с запасом до 40 % регламентируется минимальное натяжение в набегающей или сбегающей с барабана ветви конвейерной ленты [1 - 2]:
Г к еЦФ Г к
1 0кТе ^ _ 1 0кт
(е 1) ' 2ти ~ (ец'Ф -1)
S _ - от* S _ 0 T m
S 1mii _ , M.m , S2mii _ . _ ,
где Simin, S2min - минимальные усилия натяжения конвейерной ленты в точке набегания и сбегания; Fo- реализуемое тяговое усилие; кт - коэффициент запаса тяговой способности.
Вместе с тем, известное решение классической задачи Эйлера не описывает нулевого усилия, приложенного к одному из концов гибкого тела, и не отвечает действительному линейному натяжению гибкого тела вдоль линии контакта с барабаном. Кроме того, сила трения между барабаном и конвейерной лентой, полученная экспериментально, до 30 % выше в сравнении с ее прогнозным значением, полученным по уравнению Эйлера [1]. Отчасти поэтому коэффициент запаса тяговой способности кт для конвейеров достигает 40 %, хотя в состоянии покоя сила сцепления и подавно больше силы скольжения. Все это породило сомнение в правильности решения классической задачи Эйлера [1].При этом совсем не учитываются центробежные силы ленты, которые для карьерных конвейеров значительны, поскольку скорости движения ленты достигают 6 - 8 м/с.
Несмотря на это и многочисленные работы выдающихся ученых М. Кретца, М. Т. Уразбаева, Грастофа, М.К. Демьянова, Н.П. Петрова, Н.Е. Жуковского, О. Кеммерера, А. Фебера, А. Фридериха, Е.А. Иванова, В.А. Добровольского, Е.М. Гутьяра, Хамеля, М.В. Цепляева, В.С. Полякова, Е.Г. Глухарева, И.Г. Штокмана, П.М. Огибалова, А.Л. Рабиновича, М.Н. Федотова, Б.Л. Давыдова, Чжу-Ши-юй, Г.М. Бартенева, В.И. Чуканова, А.В. Андреева, Л.И. Колчина, В.И. Моссаковского, А.Ю. Ишлинского и многих других в области уточнения взятого ими за основу вывода Эйлера в задаче о трении гибкого тела по неподвижному блоку, его решение по-прежнему считалось самым совершенным. При этом правильность решения задачи Эйлера не подвергалась сомнению и уравнение Эйлера до настоящего времени используется во всем мире и отечественной практике научных исследований, образования и машиностроения.
Однако такое решение на сегодняшний день не является правильным, поскольку оно не отвечает принципу сохранения механической энергии, современным представлениям о трении и влиянию центробежных сил. Поэтому уточнения, полученные многими учеными на протяжении двух столетий, принявшими за основу вывод Эйлера, и собственно гениальный вывод Эйлера не отвечают этим современным знаниям [1, 3]. Эйлер просто не знал, что в природе действует принцип сохранения энергии, о современной редакции которого стало известно в 40-х годах 19-го века, а ученые не использовали его в своих выкладках.
Следовательно, расчет тяговой способности конвейера необходимо осуществлять с учетом центробежных сил, современных знаний о трении и сохранении энергии, что является актуальной научной проблемой, которую трудно переоценить. Это необходимо для установления рациональной области применения гибкого тягового органа по скорости
его движения, правильного понимания механизма передачи тягового усилия, совершенствования теории трения гибких тел и др.
Одной из причин создавшегося положения, по нашему мнению, является использование учеными, взявшими за основу вывод Эйлера, представлений Г. Амон-тона о трении (закона о прямой пропорциональности между силой трения и нормальной силой прижатия между телами) [1, 3]. Согласно этому закону, коэффициент трения не зависит от нормальной силы внешнего прижатия - давления между телами. Сейчас господствует в науке впервые введенная Кулоном двухпараметрическая линейная зависимость между силой трения и нормальной силой внешнего прижатия между телами, к которой приводятся другие аналогичные версии, и общепризнано, что коэффициент трения зависит от нормальной силы внешнего прижатия. Поэтому известные решения не являются корректными, т. к. коэффициент трения на различных участках контакта гибкого тела с блоком определяется его натяжением и поступать с ним как с постоянной величиной при интегрировании неправильно.
Рассмотрим расчетную схему элементарного участка гибкого тела длиной ё1( = тйа), учитывающую центробежные силы, которая приведена на рис. 1.
/
Рис. 1 - Расчетная схема элементарного участка гибкого тела длиной ё1: Б (а) - функция натяжения гибкого тела вдоль линии контакта с барабаном, заданной в полярной системе координат, от полярного угла (а); ёБ - приращение усилия натяжения гибкого тела на элементарном участке гибкого тела; ёС - центробежная сила элементарного участка гибкого тела; ёЫ - нормальная сила внешнего прижатия - давления между элементарным участком гибкого тела и барабаном; ёЕ - сила трения между элементарным участком гибкого тела и барабаном; t - толщина гибкого тела; г - радиус барабана; р - радиус условной (нейтральной) продольной линии гибкого тела; а - полярный угол (за начало отсчета полярного угла выбран луч, проходящий через точку набегания гибкого тела на бара-бан(б)); ёа - элементарный угол обхвата барабана, соответствующий элементарному участку гибкого тела длиной ё1; б - точка набегания гибкого тела на барабан
Итак, Кулон впервые установил, что сила трения и нормальная сила прижатия -давления между телами достаточно хорошо увязаны между собой двухпараметрической линейной зависимостью, которая может быть представлена и с помощью коэффициента трения, введенного Г. Амонтоном (Леонардо да Винчи),
^ = ^ + = ( ^ +
N = ,
(3)
где Е- сила трения; Ес- сила трения между телами при нормальной силе внешнего прижатия - давления между телами, равной нулю; N - нормальная сила прижатия - давления между телами; tg^ - тангенс угла наклона зависимости силы трения от нормальной силы прижатия между телами; /л- коэффициент трения.
Отсюда для элементарного участка гибкого тела
F F F
dF = FLdl + tgfidN = FLrda + tg$dN = FLda + tgfidN, (4)
Гф Гф ф
где ф - угол обхвата барабана конвейерной лентой; dN - нормальная сила внешнего прижатия - давления между элементарным участком гибкого тела и барабаном; dF -сила трения между элементарным участком гибкого тела и барабаном; r - радиус барабана; da - элементарный угол обхвата барабана, соответствующий элементарному участку гибкого тела длиной dl.
Далее, уравнение равновесия для элементарного участка гибкого тела длиной dl, соответствующий элементарному углу обхвата da, имеет такой вид:
S(а) • sin y + [S(а) + dS\ sin dN - dC = 0 , (5)
где S(a) -функция натяжения гибкого тела вдоль линии контакта с барабаном, заданной в полярной системе координат, от полярного угла (а); dS-приращение усилия натяжения гибкого тела на элементарном участке гибкого тела; dC - центробежная сила элементарного участка гибкого тела.
Отсюда, полагая, что синус бесконечно малого угла равен самому углу, и пренебрегая малыми величинами высшего порядка малости, получим:
dN = S (а) • da- dC. (6)
Если обозначить линейную массу гибкого тела через q, а скорость его движения через v, то величина центробежной силы элементарного участка будет
2 i, 2 2 ^ mv q • dl • v v 2 7
dC =-=-= q---r • da = q • v • da, (7)
r r r
где да-масса элементарного участка гибкого тела; q - линейная масса гибкого тела;
v - скорость движения гибкого тела.
Поэтому нормальная сила прижатия между теламина элементарном участке
2 2 dN = S(а)• da-dC = S(a)da-q• v • da = (S(a)-q• v )da. (8)
Рассмотрим еще один важнейший фактор, влияющий на параметры трения гибкого тела по блоку - механическую энергию, на которую ранее не обращали внимания. В замкнутой механической системе суммарная механическая энергия, включающая потенциальную и кинетическую энергии, остается неизменной.
Пренебрегая тепловой энергией, выделяемой при трении, заданном суммарном усилии, приложенном к концам гибкого тела, и прочих равных условиях испытания, считаем, что полная энергия гибкого телане зависит от фрикционных свойств пары трения. Поэтому можно записать
^ = 0, (9)
5ц
где — - частная производная энергии гибкого тела по коэффициенту трения. 5ц
Согласно закону Гука для линейно-деформированного гибкого тела с различными фрикционными свойствами при трении тел постоянной будет и его удлинение. Отсюда потенциальная энергия и удлинение гибкого тела, контактирующего с блоком, - также величины постоянные. Поэтому потенциальная энергия гибкого тела, контактирующего с блоком, составляет
Эпк =1 ^ Мк = ^ Ык - const, (10)
«к 2 2 к 4 k
где Sc - суммарное усилие натяжения на концах гибкого тела, контактирующего с блоком; Ык - удлинение гибкого тела, контактирующего с блоком.
Удлинение линейно-деформированного участка гибкого тела, контактирующего с блоком, соответственно, будет таким:
1 в Г Ф
Д4 = — ia(l)dl = — i S(a)da- const, (11)
E б EF о
где Е - модуль Юнга гибкого тела; F - площадь сечения гибкого тела; о(/) - функция напряжения гибкого тела вдоль линии контакта с блоком от длины (/); б и в - точки набегания и сбегания гибкого тела с барабана.
Следовательно, потенциальная энергия гибкого линейно-деформированного тела, контактирующего с блоком, составляет
Э* = ^ Д4 = ^^ФS(a)da - const. (12)
4 4 EF о
ф
Анализ входящего в выражение интеграла J S(a)da показывает, что он и пло-
0
щадь фигуры, ограниченная функцией S(a), - также величины постоянные для заданного натяжения гибкого тела с различными фрикционными свойствами.
Если представить нерастяжимое гибкое тело, как линейно-деформируемое, модуль Юнга которого стремится к бесконечности, а площадь сечения - к нулю, то можно прогнозировать, что для нерастяжимой нити (идеальной нити) указанный выше интеграл - также величина постоянная.
Поэтому можно обобщить и сформулировать необходимое условие равновесия натяжения гибкого тела вдоль линии контакта при трении по блоку, которое отвечает закону сохранения энергии, так:
ф Ф
8(J (S (a) - q ■ v 2)da 8(J S (a)da)
— = —0_= _= о. (13)
8¡u 8¡u 8¡u
Следовательно, система дифференциальных уравнений, описывающих трение гибкого тела с нулевым сечением по блоку, представляется так:
dN = S(a)da - qv2 da; dS = dF; F
dF = —da + tgPdN;
Ф (14)
ф
8(J S (a)da) 8u 8u
Промежуточным решением трех первых уравнений новой системы дифференциальных уравнений для гибкого тела с нулевым сечением будет
dS = F^da + tgfi(S(a) - qv2)da; (15)
Ф
Si Ф p
J dS = J ( F + tgfi(S(a) - qv 2))da; (16)
S2 о Ф
ф ф
S - S2 = F + tgpJ (S(a) - qv2 )da = Fc + tgp(J S(a)da - qv2 ф). (17)
0
0
Дальнейшее решение системы уравнений сводится к нахождению интеграла | Б(а)ёа,
0
который для заданного предварительного натяжения гибкого тела с различными фрикционными свойствами пары трения есть величина постоянная.
Из условия равновесия натяжения гибкого тела вдоль линии контакта с блоком и его геометрического толкования, отвечающего закону сохранения механической энергии, вытекает, что единственно возможным характером подинтегральной непрерывной гладкой монотонно возрастающей без перегибов функции S(a) является линейная зависимость^]:
S (а) = k • a + b =
а + S2
Ф
(18)
где b - постоянная величина, равная меньшему усилию натяжения гибкого тела(S2); k -угловой коэффициент прямой линии.
Приводим графики функций натяжения гибкого тела вдоль линии контакта с блоком от полярного угла S(a) для различных фрикционных свойств пары трения при заданном суммарном усилии натяжения (S1+S2) -const (рис. 2).
Рис. 2 - Графики зависимостей натяжения гибкого тела вдоль линии контакта с блоком от полярного угла S(a) для различных фрикционных свойств пары трения, введенных Кулоном (Fc и tgP), при заданном суммарном усилии натяжения (Sj + S2) - const: 1 - для гибкого тела, когда Fc = 0 и tgPi = 0; 2 - для гибкого тела, когда Fc> 0 и tg02 = 0;
3 - для гибкого тела, когда Fc> 0 и tgP3 > 0; 4 - для гибкого тела, когда Fc> 0 и tgP4>tgP3
С приведенным уравнением согласуются характерные очевидные линейные зависимости натяжения гибкого тела от угла S(a), когда параметры трения тел по Кулону tg/ и Fcравны нулю, а также когда tg/ = 0 и F> 0. Отсюда искомый интеграл и нормальная сила прижатия между телами
jS(а)• da =j| ——— -а + S2
0 0 V ф
• da =
Vs2 + а
V Ф 2 У
|ф=Ф^ ^=
N ф о , о
N = jdN = j(S(a) - q • v2)da ф (S-2 - q• v2).
(19)
2
00 2
Поэтому окончательное решение системы дифференциальных уравнений в пара-
метрах, которые ввел Кулон, таково:
S - S2 = F + tgp\ j S(a) • da - q • v2
•Ф
= Fc + ЪРф^
S + S.
2
2 2
q • v
= F + N = F. (20)
При использовании коэффициента трения, введенного Леонардо да Винчи,
5 - 52 = ц ■ N = ц
í 5 + 5, - 2ду2) 2(5 - 52) р—
2
- = ри или 5 + 52 - 2ду2
^ =--.
N (■ (5 + 52 -2ду2) В табл. 1 приведены сравнительные расчетные параметры фрикционных свойств конвейерной ленты и барабана полученные на испытательном стенде.
Условия испытаний: ширина конвейерной ленты 0,49 м; линейная масса ленты 7,6 кг/м; усилие натяжения ленты 311 кГ; угол обхвата - 3,14 рад; скорость относительного движения ленты и барабана при скольжении /сцеплении 1/0 м/с.
Таблица 1
Сравнительные расчетные параметры фрикционных свойств
№ Усл. испытания Действ. сила трения Расчетные параметры
V, м/с кГ Решение Эйлера Новое решение
В: - Б2, кГ И, кГ, 5 2( ецр-1) Ц Е, кГ, 5 2 (ецр -1) 1, 51 Цф =~ 1птг ф Р 5 2 И, кГ Е, кГ Ц
1 1 256/55 201 367,7 159,2 0,490 464,4 201,1 0,433
2 1 193/118 75 482,0 77,6 0,157 464,4 74,8 0,161
3 0 246/65 181 400,5 156,2 0,424 464,4 181,1 0,390
4 0 187/124 63 485,7 66,1 0,131 464,4 63,2 0,136
Расчетное тяговое усилие для данной сухой конвейерной ленты по новому решению задачи Эйлера практически равно действительной силе трения между парой трения, а в сравнении с прогнозом по уравнению Эйлера - до 20 % больше(при этом впервые использовался не косвенный (фиктивный) коэффициент трения Цф, а действительный
коэффициент трения ц , рассчитанный прямым методом по новому решению, как отношение силы трения Е к нормальной силе прижатия И), что согласуется с данными практики и свидетельствует о достоверности [1]. С уменьшением коэффициента трения (достигалось смачиванием и режимом сцепления) разница тяговых усилий по рассматриваемым решениям снижалась.
Соответствующая расчетная нормальная сила прижатия между телами по новому решению задачи Эйлеране зависит от фрикционных свойств гибкого тела, а по формуле Эйлера, наоборот, зависит существенно, что вызывает сомнение.
При сцеплении конвейерной ленты и барабана (относительная скорость смещения между лентой и барабаном равна нулю)в качестве силы трения при расчетах использовалась неполная сила трения при сцеплении.
Анализ полученных выражений для заданного усилия натяжения ленты свидетельствует о том, что влияние центробежных сил на реализуемое тяговое усилие трением весьма существенно. С увеличением скорости движения ленты до 2 и 4 м/с реализуемое тяговое усилие снижается на 15 и 75 %. Критическая скорость движения ленты (при которой не реализуется тяговое усилие) составляет 4,52 м/с.
Следовательно, для реализации заданного тягового усилия достаточно обеспечить необходимую нормальную силу прижатия между телами, которая в отличие от выводов Эйлера, не зависит от фрикционных свойств гибкого тела, или соответствующее суммарное усилие натяжения, что очевидно и понятно.
ЛГ p(S, + S7 - 2qv2) К 2N Fn „ ч
N = —-2-— > — или (S + S2 ) = — + 2qv2 , где N > (22)
2 ¡i р л
Таким образом, обосновано условие для реализации заданного тягового усилия в конвейере, которое вытекает из нового (альтернативного) решения классической задачи Эйлера о трении гибкого тела по блоку. Оно определяется коэффициентом трения гибкого тела, суммарным усилием его натяжения на приводном барабане, углом обхвата, его весом и скоростью. Достоверность нового условия впервые обусловливается соблюдением в нем фундаментального принципа природы - закона сохранения механической энергии в замкнутой системе, современными знаниями о трении тел и влиянием центробежной силы ленты, которая является весьма существенной.
Осуществление нового вывода результатов решения классической задачи Эйлера развивает знания о трении гибкого тела по блоку, способствуют прогрессу в научных исследованиях, образовании, машиностроении и народном хозяйстве -для эффективного использования конвейеров в транспортных системах карьеров.
Литература
1. Андреев А.В. Передача трением / А.В. Андреев. - М.: Машгиз, 1963. - 112 с.
2. РТМ 24.093.04-80. Проектирование стационарных ленточных конвейеров общего назначения. - М: ЦНИИТЭИтяжмаш, 1982. - 141 с.
3. Колчин Н.И. Механика машин: в 2-х т. Т 2. Кинетостатика и динамика машин. Трение в машинах / Н.И. Колчин. - Л.: Машиностроение, 1972. - 456 с.
4. Лубенец Н.А. Альтернативный формуле Эйлера закон реализации тягового усилия трением / Н.А. Лубенец // Науковий вюник НГУ. - 2008.- № 11. - С. 67-70.
