ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ В СЛОЯХ РЕЗИНЫ СЛОИСТОЙ БАЛКИ ТИПА ТОРСИОН ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 42

www. mai. m/science/trudy/

УДК 629.735.0184

Определение теплообразования в слоях резины слоистой балки типа торсион при циклическом нагружении

А.А. Дудченко, Е.А. Башаров

Аннотация

Главной целью работы было определение теплообразования в резиновых слоях слоистой балки типа торсион из композиционных материалов при циклическом нагружении на основе аналитических формул, построенных на основе термоупругой гипотезе Дюамеля-Неймана, теории теплопроводности В.Е. Гейтвуда [1], и теории функции рассеивания при циклическом нагружении элементов конструкции, изложенной в работе В.В. Москвитина [2]. В работе проводится анализ влияния теплообразования на прочностные, жесткостные и адгезионные характеристики в слоях балки различного поперечного сечения, которое может служить причиной усталостного расслоения.

Ключевые слова

многослойная балка, композиционный материал, слои резины, теплообразование, сдвиговая деформация, циклическое нагружение, функция рассеивания, усталостное расслоение.

Введение

При циклическом нагружении слоистой балки типа торсион происходит разогрев слоев от диссипации энергии колебаний в результате циклической вязкости при объемной деформации в слоях. Особенно это характерно для слоев резины. Конструктивно слоистая упругая балка состоит из набора пластин (пакетов) из композиционного материала на основе стеклоткани и углеленты, между которыми проложена резина. Резина применена с целью увеличения изгибной жесткости торсиона при разносе несущих слоев, но без существенного повышения крутильной жесткости. Выбор типа резины с высокими диссипативными характеристиками диктуется стремлением получить более высокую степень демпфирования поперечных колебаний торсиона в составе втулки несущего винта вертолета в плоскости его вращения. Но высокая степень диссипации приводит к негативному явлению - образованию существенного температурного поля в слоях резины.

При расчете теплообразования в резиновых слоях должна учитываться конструктивная форма слоистой балки, тип материала слоев композита, температура окружающей среды, наличие конвективного теплообмена с окружающей средой и др.

Если рассматривать слоистую балку эллиптического сечения, то тепловой поток замкнут вдоль всего поперечного сечения и уходит в сторону свободных торцов в осевом направлении. Таким образом можно поставить задачу теплопроводности резины в виде одномерного температурного поля. Если рассматривать слоистую балку прямоугольного сечения с открытыми торцами из стеклопластика, то практически весь тепловой поток от диссипации в резиновых слоях за счет теплопроводности уходит на торцы, где и происходит отвод тепла в окружающую среду. Это связано с тем, что слои стеклопластика имеют очень малую теплопроводность % = 0,25 — 0,3ВтК / м, которая сравнима с теплопроводностью резиновых слоев - так для плотных технических резин коэффициент теплопроводности составляет % = 0,2 — 0,ЗВтК / м . Если считать, что все слои резины нагреваются равномерно и нет изменения температуры по толщине балки или оно слишком мало, можно поставить задачу теплопроводности теплоизолированной пластины из резины в виде двумерного температурного поля. Использование дифференциального уравнения в частных производных, описывающее 3-х мерное температурное поле, позволяет получить более близкую к реальной картину теплообразования в слоях слоистой балки, однако трудности его разрешения увеличиваются на порядок.

Постановка задачи

Рассмотрим слоистую балку прямоугольного сечения (Рис.1) длиной L, которая нагружается циклической нагрузкой в виде поперечной силы: <2(0 = Q0smœt

где со— круговая циклическая частота.

В слоях слоистой балки при циклическом нагружении возникают сдвиговые напряжения: Ts = т{) sin coi . Причем можно записать:

_ _ 6Ц,

s 7 7.3

Ъ /г

С h2 Л

--У2 4 у

sin coi, (1)

где: И,Ъ - высота и ширина балки, 0 < у < И .

Причем поперечную силу для прямоугольного сечения можно записать:

А

0=\т^у (2)

s

мощностью

Рис.1 Модель распространения теплового потока в слоистой балке прямоугольного сечения Теплоотдачу с торцов балки моделируем наличаем отрицательного источника тепла с

ХРТ

ж : Ж — к(Т — Т0), к =

Ь

где %— коэффициенты теплопроводности слоев резины.

Т0—температура окружающей среды, ¡'т- суммарная площадь торцов.

Причем в рамках линейной задачи теплопроводности функция Ж зависит от температуры Т линейно.

Тогда уравнение теплопроводности запишется в виде параболического дифференциального уравнения в частных производных:

дТ

рСр — = X

от

г д2Т д2Тл

К дх2 дz2 у

-к(Т-Т0) + Ж

(3)

где Ж — функция рассеивания, характеризуется скоростью диссипации энергии колебаний, рС-р— теплоемкость резинного слоя. Имеем температурное поле зависящее от трех переменных- двух пространственных

X, 2 (плоская задача теплопроводности) и от времени t.

В реальных условиях % зависит от температуры Т. Для упрощения задачи флуктациями свойств материала слоев пренебрегаем и считаем, что % не зависит от температуры. Определение функции рассеивания Рассмотрим слоистую балку при циклическом нагружении. Для любой механической системы можно записать первое начало термодинамики в виде [1] :

<ш=а2+<7^ (4)

где сЩ — полный дифференциал плотности внутренней энергии системы. (%)— приращение количества тепла в 1-це объема. <т;, е — тензоры напряжений и деформаций.

6\¥ = сг дси — удельная элементарная работа напряжений.

Второе начало термодинамики запишется:

Ю IV*

^ = ^ + (5)

где — полный дифференциал энтропии системы.

Т — абсолютная температура. Введем свободную энергию у/ = 11 — Т8 тогда можно записать [2]:

йц/ + 1Чс/Т + IV* с/I = стМх,,

' У У

где 5 =

ОТ

Тогда (18) можно переписать:

ТТг* ■ , Оц/ . Ош Ж = (У: Е + -— ~ Щ , (Т = -Г-

4 4 от ' 11 о£

V

гп Л

где ^ _ полная функциональная производная, t - время.

Dt

Ру/ с1Т

Dt ~ Оеи сН ОТ сН Запишем функцию рассеивания для циклического нагружения поперечной силой:

(6)

Ж* = ЖГ (Ы , ж* =

2 иг" _

о ^ з ^о

ЪОК

Гк2 Л — -У 2

V4 У у

(8)

где 11 — константа материала.

Функция рассеивания или мощность диссипации можно записать:

ж* =Атт^тк

к

к

где А — температурный эквивалент механической работы,

ЛИ^ — величина рассеиваемой энергии за к-ът цикл колебания, N — количество циклов нагружения,

г) — коэффициент, характеризующий долю рассеянной энергии, которая переходит в тепло.

Для резины r¡ » 0,7 0,8 т.е. на теплообразование идет до 70-80% диссипированной энергии (из экспериментальных данных). Причем принимаем, что функция рассеивания W * не зависит от температуры внутри слоев.

Рассмотрим слоистую балку эллиптического поперечного сечения, которая нагружается циклической нагрузкой в виде крутящего момента вдоль продольной оси Mit) = М0 sin eût. Пусть центральный жгут не работает на сдвиг, тогда балку можно представить в виде слоистой трубы эллиптического сечения (Рис.2).

Рис.2 Модель распространения теплового потока в слоистой балке

эллиптического сечения

Введем допущение, что слои КМ практически не участвуют в диссипации и их

тепловыделением пренебрегаем. Пренебрегаем толщиной слоистой трубы, считая что в

любой точке сечения температура постоянна.

Контур эллиптического сечения можно задать уравнениями в параметрическом виде:

г= ( + Ь(со$2(5 + 2)1]т ср, у = -\ + Ь(со$2{3

где а,Ь— большая и малая полуоси эллипса.

(р — угол наклона касательной к контуру сечения.

В слоях слоистой балки при циклическом нагружении возникают сдвиговые напряжения:

тв = г0 вт (Ы

Рис.3 Параметры контура эллиптического сечения Причем можно записать максимальные напряжения:

Mn

Ts =

7t{ab — a0b0 )

sin roí Q = .

ат „

G(a + 2b)(a — b)

где a.0,b0 — большая и малая полуоси эллиптического жгута,

G — модуль сдвига слоев, 6 — угол поворота сечения. Под действием крутящего момента в слоях балки возникают напряжения: г13 = ts cosq?, г23 = ts sin (р Уравнения равновесия и совместности деформаций:

^13+^23 =0' ~УхЪ+У2Ъ=в'

В контуре должно выполняться условие: tggy =

т \ i

(9)

Причем крутящий момент для эллиптического сечения используя выкладки приведенные в работе [2] можно записать:

/

М =

,4 Л

, ,Ъ2 51Ъ 1-5 —+---

v а 8 a j

nGO'a

'„4

2

(10)

Тогда уравнение теплопроводности [1] запишется:

рСР- = х-т-к{Т-Т0) + 1¥*

О/ ох

где X ~ коэффициент теплопроводности.

Причем функция рассеивания при циклическом нагружении крутящим моментом запишется как:

т]М0

W* = W¡sm2cot, W* =

2 7т{аЬ — a0b0 )G где r¡ — константа материала, r¡ = 0,75 (для резины) [4].

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности в частных производных запишем граничные условия на торцах и начальные условия:

* = 0: Т(х) = 0, х = Ь\ Т(х) = Т0, t = 0: Т = Т0

Тогда решение можно записать в аналитическом виде полученном в работе [2]:

Р \ 1 2а>?,шШ + Всо?,2ш

1 — 1 п Н Л ^ ^ I" ^

2 В

В2 +Лсог

1

В

В В2+4о)

Ар

со 1

^ехр(-5? - АЛ2^)собЛпх(-\)п+1 Лп |ехр[(аЛ2 +В)£]

1 2о)5т 2СО^ + Всоб2СО£ _в^ ~В В2 +4а)2 &

1

В

где А = В = — ,Р =

к

Ж

А. =

V В Вг (2/7 + 1)

АСО2 ;

ас

С,'- с," С/ 2Ь

С, — некоторая переменная интегрирования.

Решение в виде контурного графика или поверхности решения также можно найти при помощи численных методом, т.н. методом сеток или методом прогонки.

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (3) в частных производных запишем граничные условия на торцах и начальные условия:

х = 0 : т = о =

дх

= 0

Х = Ь\Т = Т0, 2 = Ы2 = -Ы2\ Т = т0,

¿ = 0: т = т0

Имеем краевую задачу для 2-х мерного температурного поля. Решение краевой задачи будем искать численным методом, т.н. методом сеток.

Суть метода в том что расчетная область накрывается сеткой, узлы которой используются для разностной аппроксимации дифференциального уравнения. В результате вместо поиска непрерывных зависимостей Т(х, г, ?) достаточно будет отыскать значение функции в узлах сетки, а ее поведение в промежутках между узлами может быть получено при помощи интерполяции. Получаем систему разностных уравнений:

Т -Т

11,к+1 11,к

Т -Т Л

1 ],к+1 1 ],к

т.к + тмк т.к_ 1 т.к +т

- 7+1,к

Л"

■Ф

0

2

г

2

где Фг . к — функция описывающая приток тепла, Ф(РУ, Ж ?, Т).

А/, Ах, А2 — шаг по временной и пространственным координатам.

Т^=Тк+\, ТМ=Т;+АХ, 7}+1 = 7} + Аг где Тк —функция температуры, известная с предыдущего шага по времени.

Тк+1 — функция температуры, подлежащая определению при реализации каждого шага по времени.

Ti^Tj — функция температуры, известная с предыдущего шага по пространственным координатам.

Тм, 7 /+| — функция температуры, подлежащая определению при реализации каждого шага по пространственным координатам.

В целях упрощения задачи считаем, что шаги по пространственным координатам равны

Д,=Л2=Л.

Введем коэффициент С, характеризующий отношение шагов разностной схемы по I и X, * , т.н. коэффициент Куранта, тогда:

г С С

<к гп . ,л г, чгл . г^к

т +т

' ¡,к+1 ^ 1 },к+1

с с

2

2

+ Ф,

•Л',к

ХА(

где Ci - - .

Общая температура слоев балки Тк при / = к будет решением дифференциального

уравнения на к — ом временном слое.

С учетом граничных и начальных условий получаем замкнутую систему разностных алгебраических уравнений. Причем, если С < 1, то решение всегда устойчиво.

Таким образом для ряда частот а>п циклического нагружения слоистой балки

эллиптического сечения можно определить тепловыделение А/ — (Т — Т0) для интервала

¿0 < ^ < где п = 1,2,3...

Время ? = выбирается из условий эксплуатации слоистой балки типа торсион, т.е.

задается из среднего полетного времени вертолета на крейсерском режиме, как максимально продолжительном.

Пример расчета теплообразования слоистой балки типа торсион по приведенной методике

В качестве примера расчета, для подтверждения корректности предлагаемого подхода к определению теплообразования в слоях резины была рассчитана консольная слоистая балка прямоугольного и эллиптического сечения, нагруженная циклической нагрузкой в виде поперечной силы и крутящего момента, по конструкции аналогичная торсиону балочного типа, который используется на несущем винте (НВ) вертолета «АНСАТ» конструкции Казанского вертолетного завода [3 ].

Консольная слоистая балка состоит из набора слоев стеклоткани Т-39 ТУ6-11-380-76 со связующим 5-211-БН ТУ1-218-17-84 и угольной ленты ЛУ-7 для увеличения прочности при кручении торсиона. Между слоями проложены слои резины марки Р-181 с целью увеличения изгибной жесткости при разносе несущих слоев. В Таб.1 приведены сравнительные теплофизические характеристики используемых материалов [4].

Таб.1

Материал слоев Плотность Р 103 , м Теплопроводность X ^ГК ' м Теплоемкость ср Д К , кг

Стеклопластик 2.1 0.25 0.75 0.25

Углепластик 1.7 0.9 2.0 0.15

Стекло-углепластик 1.85 0.35 1.2 0.2

Резина 2.5 0.3 1.38 0.75

В программе MathCAD-12 с использованием встроенного вычислительного блока Given-Рdesolve для решения гиперболических и параболических дифференциальных уравнений был получен ряд решений задачи теплопроводности в слоях резины.. При циклическом кручении наблюдается активный рост тепловыделения в слоях балки прямоугольного сечения от депланации, причем в сечениях незамкнутого профиля эта тенденция более выражена. Выходом в такой ситуации может быть внедрение непрерывных нитей углеволокна в резине с помощью которых, за счет их высокой тепловодности можно существенно повысить отвод теплового потока в окружающую среду в продольном направлении. Тем самым можно существенно понизить тепловыделение в слоях балки и соответственно повысить адгезионную прочность. В Таб.2 и Таб.3 приведены характеристики сечений и величин нагрева, полученные по экспериментальным кривым [4] при поперечном изгибе и кручении соответственно.

Определение удвоенных амплитуд деформаций и величин нагрева по экспериментальным кривым при циклическом нагружении торсиона частотой со = 30Гц и / = 120мин

Таб.2

Вид сечения и Поперечный изгиб <2 = ±2650//

материала ЕХ1, МПа*м4 т, кг/м 1о, 10-6м3 р тах тах ^тах А Т, °с

а) Стеклопластик

1.Прямоугольное 0.6017 0.9174 21.36 0.00328 0.00541 0.011 25

2.Эллиптическое 0.7431 1.1398 29.54 0.00185 0.00212 0.005 18

б) Углепластик

1.Прямоугольное 0.9815 0.8567 14.32 0.00203 0.00218 0.0043 17

2.Эллиптическое 1.2362 0.7338 13.36 0.00163 0.00172 0.0034 16

в) Стекло-углепластик

1.Прямоугольное 0.6189 0.8952 17.32 0.00421 0.00432 0.009 20

2.Эллиптическое 0.6059 0.7757 21.48 0.00283 0.00295 0.006 19

Таб.3

Кручение

Вид сечения и М - ±500Нм

материала ОЕ, МПа*м4 т, кг/м Ео, 10-6м3 ^тах 7+ / тах 2у / тах А Г, °с

а) Стеклопластик

1.Прямоугольное 0.0183 0.9174 14.52 0.0245 0.0286 0.057 75

2.Эллиптическое 0.1228 1.1398 19.72 0.0052 0.0059 0.012 21

б) Углепластик

1.Прямоугольное 0.0293 0.8567 10.35 0.0083 0.0092 0.018 25

2.Эллиптическое 0.2454 0.7338 11.32 0.0032 0.0036 0.007 8

в) Стекло-углепластик

1.Прямоугольное 0.0525 0.8952 11.69 0.0163 0.0165 0.033 52

2 .Эллиптическое 0.1655 0.7757 14.82 0.0048 0.0042 0.010 18

В Таб.4 приводятся расчетные максимальные величины нагрева слоев резины в многослойной структуре слоистой балки типа торсион.

Максимальные значения величин нагрева, полученные при расчете циклического нагружения торсиона частотой со = 30Гц п X = \20мин

Таб.4

Поперечный изгиб Кручение

е = +2650Н М = ±500Нм

Вид сечения и

материала т тах т АТР, ЛТГ, А, т , тах т АТР, ЛТГ, А,

0С 0С 0С 0С % 0С 0С 0С 0С %

а) Стеклопластик

1.Прямоугольное 48 20 28 25 12 84 20 64 75 14.6

2.Эллиптическое 55 20 35 18 41.5 56 20 36 21 41.6

б) Углепластик

1.Прямоугольное 41 20 21 17 19.1 54 20 34 25 26.4

2.Эллиптическое 45 20 25 16 36 32 20 12 8 33.3

в) Стекло-углепластик

1.Прямоугольное 44 20 24 20 16.7 68 20 48 52 7.6

2.Эллиптическое 52 20 32 19 40.6 51 20 31 18 41.9

где: АТг — тепловыделение, найденное по графику экспериментальных зависимостей [4].

На Рис.4, 5 и 6 представлены графики значений величин нагрева слоев резины в слоистой балке типа торсион различного поперечного сечения и вида материала.

Выводы

В результате анализа характера распределения температурного поля вдоль геометрических размеров слоистой балки типа торсион по виду поверхностей решения можно сказать, что максимумы температуры от диссипации в слоях находятся вдоль продольно-поперечной осей симметрии балки которые практически сходят на нет на торцевых поверхностях балки. Более теплонагружена балка, нагруженная циклическим кручением, т.к. при этом нагружении осуществляется значительная сдвиговая деформация слоев резины по сравнению с изгибом. Выявлен факт, что изменение температуры вдоль продольной оси х происходит медленно по времени, чем вдоль поперечной оси z. В слоях балки эллиптического сечения, из-за того, что тепловой поток замкнут вдоль всего

поперечного сечения происходит существенное накопление тепловыделения, что может привести к снижению адгезионной прочности слоев при циклическом нагружении.

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

7г

Рис.4 Значения величин нагрева слоев резины в балке эллиптического сечения из стеклопластика при изгибе частотой со — 3071/ и ^ = 120мни

70

60

= 10 мин : 20 мин : 40 мин : 60 мин : 30 мин = 100 мин = 120 мин

Т(хД0С

50

40

30

20

/ / / ■ \ \

Ч 1 \\ \

( и / / / / \ \\ \\

// // \ \ \ \ \\

// X V о \

// ! / У ^ * 1 "V \\

и / / / / / \ д Л\

/ --- ч \ \ А V

¡1 11 ^ / / / X \ \ \ \ V ^ \ \ \ \\

г 1 / / / 1 / / \ \ \ Л

Ч / \ \ \ Л

// -

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис.5 Значения величин нагрева слоев резины в балке прямоугольного сечения из стеклопластика при кручении частотой со = 30/"// и т = 120мин

Рис.6 Значения величин нагрева слоев резины в балке прямоугольного сечения из углепластика при кручении частотой со — 3071/ и т = 120мин

Библиографический список

1. Гейтвуд В.Е. Температурные напряжения.-М: Наука. 1959.180С

2. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкции.-М: Наука, Главная ред-ция физ.-мат. лит-ры. 1981.320С

3. Расчетно-экспериментальное исследование прочности упругих элементов бесшарнирных винтов вертолетов.-Ч.1, Ч.2 / Голованов А.И., Митряйкин В.И., Михайлов С.А., Конюхов А.В., Фетисов Л.В ,Шувалов В.А. Изв.вузов. Авиационная техника. Изд-во КГТУ. 4/ 2001. С.7-11, 1/ 2002 .С.9-10.

4. Воробей В.В., Морозов Е.В., Татарников О.В. Расчет термонапряженных конструкций из композиционных материалов.- М: Машиностроение , 1992.235С

Сведения об авторах

Дудченко Александр Александрович, профессор Московского авиационного института (государственного технического университета), д.т.н.; Тел. 8-916-423-2046; email: a dudchenko@mail.ru.

Башаров Евгений Анатольевич, аспирант Московского авиационного института (государственного технического университета); Тел. 8-906-736-4310; e-mail: bashevg@gmail.com.