CC BY
29
УДК 528.286:519.653(571.1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ НА ТЕРРИТОРИИ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Александр Петрович Карпик
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор, ректор, тел. (383)343-39-37, e-mail: [email protected]
Вадим Федорович Канушин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, e-mail: [email protected]
Ирина Геннадьевна Ганагина
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой космической и физической геодезии, e-mail: [email protected]
Денис Николаевич Голдобин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, инженер кафедры космической и физической геодезии, e-mail: [email protected]
Николай Сергеевич Косарев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, e-mail: [email protected]
Александра Михайловна Косарева
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, младший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Представлен анализ результатов сравнения составляющих уклонений отвесной линии (УОЛ) на территории Западной Сибири, полученных по данным современных глобальных моделей геопотенциала, по наземным данным спутникового и геометрического нивелирования с результатами астрономо-геодезических измерений. В качестве тестового участка для сравнения результатов определения составляющих УОЛ, вычисленных методом численного дифференцирования, использовалась часть территории Новосибирской области.
По результатам сравнения астрономо-геодезических уклонений отвеса с результатами определения уклонения отвеса, полученными методом численного дифференцирования аномалий высот на тестовом участке, установлено, что поверхность геоида, построенная по коэффициентам глобальной модели геопотенциала EIGEN-6C4, дает возможность определения уклонения отвесной линии со средней квадратической погрешностью ±0,34".
Полученные результаты позволяют определять составляющие уклонения отвесной линии методом численного дифференцирования аномалий высоты, полученных по коэффициентам глобальных моделей геопотенциала, для решения научных и практических задач геодезии и автономной навигации.
Ключевые слова: уклонения отвесной линии, высота геоида, астрономо-геодезический метод, спутниковое нивелирование, численное дифференцирование, ряд Фурье по системе сферических функций, гармонические коэффициенты геопотенциала.
Введение
Уклонение отвесной линии является одной из важных характеристик геометрической структуры гравитационного поля Земли. Данные об УОЛ необходимы для решения ряда научных и практических задач геодезии и требуются, в частности, для высокоточной автономной навигации, где ошибки определений УОЛ искажают показания инерциальных навигационных систем (ИНС) [1-5].
Полное уклонение отвесной линии u определяется по формуле
u = cosA + ц- sin A, (1)
где £ и n - составляющие УОЛ в плоскости меридиана и плоскости первого вертикала, соответственно; А - азимут плоскости полного уклонения отвеса u.
Полное уклонение отвеса (u) содержит в себе информацию об аномальной напряженности и аномальном распределении масс в земной коре, что необходимо знать при решении геофизических и геодезических задач. Проблема определения уклонений отвесной линии актуальна для всех регионов Земли [6]. Традиционные методы определения уклонений отвесных линий сложны и трудоемки. Так, например, астрономо-геодезический метод требует выполнения высокоточных полевых астрономических и геодезических наблюдений, гравиметрический метод вычисления уклонений отвесных линий предполагает наличие детальной гравиметрической съемки на значительной территории [7].
Благодаря созданным в последние десятилетия зарубежными и отечественными специалистами современным моделям гравитационного поля Земли (ГПЗ), которые обладают улучшенными характеристиками по точности и разрешающей способности определения гармонических коэффициентов геопотенциала, новые и традиционные задачи геодезии и геофизики решаются на качественно более высоком уровне. В частности, по глобальным моделям ГПЗ могут быть вычислены аномалии высот (Zc), не уступающие по точности аномали-
г
ям высот (Ztf), полученным как разность геодезических (H ) и нормальных высот (H) [8-23]:
С н = hГ - h1. (2)
Методы определения уклонения отвесной линии
Метод численного дифференцирования аномалии высоты по астрономическим координатам (ф, X).
Поскольку значения составляющих полного уклонения отвесной линии (£, п) малы, то можно воспользоваться следующими дифференциальными соотношениями для вычисления составляющих УОЛ в пункте с астрономическими координатами ф, X:
= (3)
M Эф
л " =--¿--^ . (4)
N•cosф ЭХ
В формулах (3), (4) M - радиус кривизны в плоскости меридиана; N - радиус кривизны в плоскости первого вертикала.
Радиус кривизны в плоскости меридиана определяется соотношением:
M = а • (1 - е2)
(1 - e2 • sin2 ф)3/2' U
а радиус кривизны в плоскости первого вертикала
а
N =-2-. (6)
(1 - e2 • sin2 ф)1/2
В формулах (5), (6) а, e - большая полуось и эксцентриситет отсчетного эллипсоида, соответственно.
Астрономо-гравиметрический метод (АГ).
Метод АГ основан на вычислении составляющих УОЛ по разностям астрономических и геодезических измерений на пунктах Лапласа
Гаг =Ф-B; (7)
Л "аг = (Х- L )• cos ф, (8)
где B и L - геодезическая широта и долгота, соответственно.
Метод, основанный на использовании данных, полученных космическими гравиметрическими миссиями.
В последние годы регулярно публикуются глобальные модели геопотенциала в виде частичной суммы гармонических коэффициентов Cnm и Snm ряда Фурье по системе сферических функций координат - геоцентрического радиуса-вектора r, широты ф и долготы X, ограниченной степенью N [24]:
V (Ф, X, r) = fM
N n
1+ Z ^ £(c nm cosmX + Snm sinmX)Pnm (sinф) Л r J m=0
n=2
(9)
где fM - геоцентрическая гравитационная постоянная; ae - экваториальный радиус Земли; r - радиус-вектор точки наблюдения (ф, X, r);
Cnm и Snm - безразмерные нормированные гармонические коэффициенты геопотенциала степени n и порядка m;
Pnm (sin ф) - нормированные присоединенные функции Лежандра. Уклонения эквипотенциальной поверхности V (ф, X, r) = const от геопотенциала эллипсоида вращения (Ve (ф)) можно получить по формуле Брунса:
С (ф ,X ,r) = V ) - ^e (ф) , (10)
Y (ф)
где Y(ф) - нормальное значение силы тяжести.
Из-за симметричности геопотенциала эллипсоида вращения относительно оси вращения и плоскости экватора нормальный потенциал притяжения Ve (ф) можно представить в следующем виде:
V ( ) fM
Ve (ф) =
r 'e
N=4' a^n
1 + Z| — Cn0 ■ Pn0 (sin ф)
n=2 V r J
(11)
где Cn0 - нормированные гармонические коэффициенты нормального геопотенциала эллипсоида вращения (нормального геопотенциала); r - геоцентрический радиус эллипсоида вращения; Pn0 (sin ф) - нормированные полиномы Лежандра. После подстановки в формулу (10) выражений (9) и (11) будем иметь
N Г a\nn _
CC = R ■S — Z (ACnm cosmX + Snm sinmX)Pnm (sincp), (12)
n=2 V r J m=0
где ACnm = Cnm - C°m - разность коэффициентов нормированных сферических
функций реального и нормального поля силы тяжести (C0m - нормированные гармонические коэффициенты нормального геопотенциала, отнесенные к эллипсоиду WGS-84);
R - средний радиус Земли.
Применяя метод численного дифференцирования к результатам вычисления высот геоида Z по формуле (12) с помощью выражений (3) и (4) можно получить составляющие уклонений отвеса п.
Целью исследования является сравнение результатов определения составляющих уклонений отвеса п на территории Западной Сибири с помощью выражений (3) и (4), в которых высоты геоида получены по формулам (2) и (12), а также с результатами астрономо-геодезических измерений, полученных на пунктах Лапласа по формулам (7) и (8).
Тестовый участок для сравнения результатов определения составляющих УОЛ, вычисленных методом численного дифференцирования
Для определения составляющих уклонения отвесной линии на территории Западной Сибири использован участок размером 300 км вдоль меридиана
и 450 км вдоль параллели, расположенный на территории Новосибирской обр
ласти, в котором в 190 пунктах P(B, L, H ) заданы нормальные высоты H 7 (Р), полученные из геометрического нивелирования 1-1У классов. На этих же пунктах выполнены спутниковые координатные определения в рамках развития дифференциальной геодезической сети Новосибирской области (НСО) [25-26].
В результате получены геодезические высоты и (Р), средние квадратические погрешности которых из уравнивания спутниковой сети находятся в интервале от 1,5 до 3,1 см, в среднем - 1,8 см.
Кроме этих данных, на тестовом участке в шести точках известны геодезические координаты в системе координат WGS-84 и астрономические координаты ф, X. С их использованием по формулам (7) и (8) были получены астрономо-геодезические уклонения отвесной линии.
На рис. 1 показан тестовый участок для сравнения результатов определения составляющих УОЛ.
Рис. 1. Тестовой участок на территории Новосибирской области, содержащий пункты НСС-измерений, совмещенные с пунктами государственной нивелирной сети
Анализ результатов определения составляющих УОЛ, вычисленных методом численного дифференцирования
Для вычисления составляющих УОЛ методом численного дифференцирования необходимо располагать аномалиями высот в узлах регулярной сетки.
Поэтому для вычисления составляющих УОЛ участок на территории Новосибирской области представлен в виде регулярной сетки с шагом 5' х 5'. На рис. 2 приведена схема регулярной сетки тестового участка.
- пункты ГНСС-измерений, совмещенные с пунктами государственной нивелирной сети узлы сетки
Рис. 2. Схема регулярной сетки тестового участка
Координаты узловых точек регулярной сетки были преобразованы из системы координат WGS-84 в прямоугольные координаты в проекции Гаусса -Крюгера с центральным меридианом 81°. В результате шаг сетки составил приблизительно 5 км на 10 км.
Аномалии высот на тестовом участке определялись двумя способами: как
разность геодезических (нГ ) и нормальных высот (н ^ ) по формуле (2) и по нормированным коэффициентам геопотенциала спутниковой модели ЕЮЕ№6С4 -формула (12).
Аномалии высот вычислялись в пунктах ГНСС-измерений, совмещенных с пунктами государственной нивелирной сети, и интерполировались методом крикинга (Кл§т§) в узлы регулярной сетки, а аномалии высот ^с вычислялись сразу в узлах регулярной сетки.
Методом численного дифференцирования аномалий высот по формулам (3), (4) определялись составляющие УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала.
На рис. 3 приведены вычисленные по формуле (2) аномалии высот ^н над
эллипсоидом WGS-84, а на рис. 4 - аномалии высот С>с, вычисленные по формуле (12) над эллипсоидом WGS-84.
78° 79° 80° 81° 82° 83° 84°
Рис. 3. Картосхема аномалий высот тестового участка (нанесены наземные пункты измерений)
78° 79° 80° 81° 82° 83° 84°
Рис. 4. Картосхема аномалий высот ^ тестового участка, построенная по регулярной сетке
На рис. 5 и 6 приведены составляющие УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала, полученные подстановкой в формулы (3), (4) аномалии высоты С> н , вычисленной по формуле (2).
Рис. 5. Схема составляющих УОЛ в плоскости меридиана ^
(в секундах дуги)
0.0
0.9
1.8
2.7
3.6
4.5
5.4
6.3
7.2
55°
54°
Рис. 6. Схема составляющих УОЛ в плоскости первого вертикала
(в секундах дуги)
<
0
На рис. 7 и 8 приведены составляющие УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала, полученные подстановкой в формулы (3), (4) аномалии высоты
С>с , вычисленной по формуле (12).
Рис. 7. Схема составляющих УОЛ в плоскости меридиана £ С
(в секундах дуги)
1.4 0.8 0.2 -0.4 -1.0 -1.6 -2.2 -2.8 -3.4 -4.0 -4.6 -5.2 -5.8 -6.4 -7.0 -7.6 -8.2 -8.8 -9.4 -10.0
Рис. 8. Схема составляющих УОЛ в плоскости первого вертикала г|"
с
(в секундах дуги)
Авторами работы выполнено сравнение составляющих УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала, вычисленных методом численного дифференцирования, с составляющими УОЛ в плоскости меридиана и первого вертикала, полученными астрономо-геодезическим методом.
В таблице приведены средние квадратические погрешности, рассчитанные по результатам сравнения астрономо-геодезических уклонений отвеса с результатами определения уклонения отвеса, полученных методом численного дифференцирования аномалий высот (^н , ).
Средние квадратические погрешности, рассчитанные сравнением результатов астрономо-геодезических уклонений отвеса с результатами определения уклонения отвеса, полученными методом численного дифференцирования аномалий высот (^н , С,с)
Разности £ с -£ АГ Лс - ЛАГ £ Н -£АГ Л Н -Л АГ
СКП разностей в секундах дуги 0,23 0,25 0,35 0,89
СКП полного УОЛ разностей в секундах дуги ±0,34 ±0,96
Заключение
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы.
1. Поверхность геоида, построенная по коэффициентам глобальной модели геопотенциала БЮБК-6С4, дает возможность определения уклонения отвесной линии со средней квадратической погрешностью ±0,34".
2. Поверхность геоида, построенная по наземным данным, полученным в результате спутникового и геометрического нивелирования на исследуемом участке территории Новосибирской области, позволяет определить уклонения отвесной линии со средней квадратической погрешностью ±0,96". Величина данной погрешности обусловлена недостаточным количеством точек измерений на тестовой территории и ошибками интерполирования при создании поверхности в регулярной сетке.
3. Для определения уклонений отвесной линии при использовании результатов спутникового и геометрического нивелирования необходимо располагать более значительным количеством наземных данных.
4. Для решения научных и практических задач геодезии и автономной навигации определение уклонений отвесной линии можно выполнять с помощью численного дифференцирования аномалий высоты, полученных по коэффициентам глобальных моделей геопотенциала.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. О возможности применения результатов аэрогравиметрических измерений для вычисления уклонений отвесной линии в труднодоступных районах / Ю. А. Рожков, Н. В. Дро-бышев, В. Н. Конешов, В. В. Клевцов // Физика Земли. - 2005. - № 2. - С. 84-87.
2. Конешов В. Н., Осика И. В., Степанова И. Э. Методика расчета уклонения отвесной линии на основе S-аппроксимаций // Физика Земли. - 2007. - № 6. - С. 19-25.
3. К вычислению уклонений отвесной линии и превышений геоида по гравитационным аномалиям / Э. А. Боярский, Л. В. Афанасьева, В. Н. Конешов, Ю. А. Рожков // Физика Земли. - 2010. - № 6. - С. 80-85.
4. Modern determination of vertical deflections using digital zenith cameras / C. Hirt [et al.] // Journal Surveying Engineering. - 2010. - Vol. 136, issue 1. - P. 1-12.
5. О результатах сравнения определения уклонений отвесной линии на территории Западной Сибири / Н. С. Косарев, В. Ф. Канушин, В. И. Кафтан и др. // Гироскопия и навигация. - 2017. - № 4 (99). - С. 72-83.
6. Конешов В. Н., Непоклонов В. Б., Августов Л. И. Оценка навигационной информативности аномального гравитационного поля Земли // Гироскопия и навигация. - 2016. -№ 2 (93). - С. 95-106.
7. Определение разности потенциалов силы тяжести и высот в геодезии посредством гравиметрических и спутниковых измерений / В. Ф. Канушин, А. П. Карпик, Д. Н. Голдобин и др. // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). - С. 45-52.
8. Modern global Earth's gravity field models and their errors / V. N. Koneshov, V. B. Nepoklonov, R. A. Sermyagin, E. A. Lidovskaya // Gyroscopy and Navigation. - 2013. -Vol. 4, No. 3. - P. 147-155.
9. Сравнение спутниковых моделей проекта GOCE с различными наборами независимых наземных гравиметрических данных / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин и др. // Вестник СГУГиТ. - 2014. - Вып. 3 (27). - С. 21-35.
10. Evaluation of recent Earth's global gravity field models with terrestrial gravity data /
A. P. Karpik, V. F. Kanushin, I. G. Ganagina et al. // Contributions to Geophysics and Geodesy. -2016. - Vol. 46, No. 1. - P. 1-11.
11. Современные глобальные модели квазигеоида: точностные характеристики и разрешающая способность / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин и др. // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 1. - С. 30-49.
12. Исследование спектральных характеристик глобальных моделей гравитационного поля Земли, полученных по космическим миссиям CHAMP, GRACE и GOCE / А. П. Карпик,
B. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина и др. // Гироскопия и навигация. - 2014. - № 4 (87). - С. 34-44.
13. Mayer-Guerr T. ITG-Grace03s: the latest GRACE gravity field solution [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.massentransporte.de/fileadmin/20071015-17-Potsdam/mo_1050_06_mayer.pdf .
14. Kvas A. ITSG-Grace 2014 [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://portal. tugraz.at/portal/page/portal/TU_Graz/Einrichtungen/Institute/Homepages/i5210/research/ITSG-Grace2014.
15. Save H. Improvements in GRACE gravity fields using regularization [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://adsabs.harvard.edu/abs /2008AGUFM.G13A0628S.
16. Biancale R. An improved 10-day time series of the geoid from GRACE and LAGEOS data [Электронный ресурс]. - Режим доступа : ftp://ftp.csr.utexas.edu/pub/grace/Proceedings/ Presentations _GSTM2008.pdf.
17. О результатах создания глобальной модели геоида на основе алгоритма одномерного сферического преобразования Фурье / Е. М. Мазурова, В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина и др. // Гироскопия и навигация. - 2016. - № 1 (92). - С. 133-142.
18. К вопросу влияния методов регуляризации на точность современных глобальных моделей геопотенциала / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин и др. // Гироскопия и навигация. - 2016. - № 2 (93). - С. 77-86.
19. Koch K.R., Kusche J. Regularization of geopotential determination from satellite data by variance components // Journal of Geodesy. - 2002. - Vol. 76. - P. 259-268.
20. Одномерное сферическое преобразование Фурье и его реализация для расчета глобальной модели квазигеоида в нулевом приближении теории Молоденского / Д. Н. Голдобин, Е. М. Мазурова, В. Ф. Канушин и др. // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). - С. 45-52.
21. Елагин А. В., Дорогова И. Е. Оценка влияния релятивистских эффектов на траекторию движения искусственных спутников Земли // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 3 (31). -С. 32-39.
22. Chronometric measurement of orthometric height differences by means of atomic clocks / S. M. Kopeikin, V. F. Kanushin, A. P. Karpik et al. // Gravitation and Cosmology. - 2016. -Vol. 22, No. 3. - P. 234-244.
23. Обиденко В. И., Опритова О. А., Решетов А. П. Разработка методики получения нормальных высот на территории Новосибирской области с использованием глобальной модели геоида EGM2008 // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 1 (33). - С. 14-26.
24. Kaula W. H. Statistical and Harmonic Analysis of Gravity // Journal of Geophysical Research. - 1959. - Vol. 64. - P. 2401-2421.
25. Карпик А. П., Сапожников Г. А., Дюбанов А. В. Реализация проекта наземной инфраструктуры глобальной навигационной спутниковой системы «ГЛОНАСС» на территории Новосибирской области // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. научн. конгр. : Пленарное заседание : сб. материалов (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск : СГГА, 2010. -С. 57-62.
26. Гиенко Е. Г., Струков А. А., Решетов А. П. Исследование точности получения нормальных высот и уклонений отвесной линии на территории Новосибирской области с помощью глобальной модели геоида EGM2008 // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск : СГГА, 2011. Т. 1, ч. 2. - С. 186-191.
Получено 13.06.2018
© А. П. Карпик, В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, Н. С. Косарев, А. М. Косарева, 2018
DETERMINATION OF PLUMB-LINE DEFLECTION COMPONENTS
IN THE TERRITORY OF WESTERN SIBERIA BY NUMERICAL DIFFERENTIATION
Alexander P. Karpik
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, D. Sc., Professor, Rector, phone: (383)343-39-37, e-mail: [email protected]
Vadim F. Kanushin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Space and Physical Geodesy, e-mail: [email protected]
Irina G. Ganagina
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Head of Department of Space and Physical Geodesy, e-mail: [email protected]
Denis N. Goldobin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Engineer, Department of Space and Physical Geodesy, e-mail: [email protected]
Nikolay S. Kosarev
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Space and Physical Geodesy, e-mail: [email protected]
Alexandra M. Kosareva
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Junior Researcher, e-mail: [email protected]
The report presents an analysis of results of the plumb-line deflection components in Western Siberia territory obtained by modern global geopotential models data, terrestrial data, GNSS-leveling and geometric leveling with the results of astronomo-geodetic measurements. The part of Novosibirsk Region was used as a test area for comparison of determination results of the plumb-line deflection components calculated by the method of numerical differentiation.
According to comparison results of the astronomo-geodetic plumb-line deflection to results of the plumb-line deflection obtained by numerical differentiation method of geoid undulation in the test area, geoid surface that is constructed on harmonic coefficients of global geopotential model EIGEN-6C4 makes it possible to determine the plumb-line deflection with the root mean square ±0,34''.
The obtained results make it possible to determine plumb-line deflection for solving scientific and practical problems of geodesy and autonomous navigation by numerical differentiation of geoid undulation obtained from the coefficients of global geopotential model.
Key words: plumb-line deflection, geoid undulation, astronomo-geodetic method, GNSS-leveling, numerical differentiation, Fourier series in the system of spherical functions, harmonic coefficients of geopotential.
REFERENCES
1. Rozhkov, Y. E., Drobyshev, N. V., Koneshov, V. N., & Klevtsov, V. V. (2005). Application of airborne gravity measurements in inaccessible regions to the calculation of plumb line deflections. Izvestiya. Physics of the Solid Earth, 41(2), 173-175.
2. Koneshov, V. N., Osika, I. V., & Stepanova, I. E. (2007). A method for calculating the plumb line declination on the basis of S-approximations. Izvestiya. Physics of the Solid Earth, 43(6), 459-465.
3. Boyarsky, E. A., Afanasyeva, L. V., Koneshov, V. N., & Rozhkov, Y. E. (2010) On calculation of the vertical deflection and the geoid undulation from gravity anomalies. Izvestiya. Physics of the Solid Earth, 46(6), 538-543.
4. Hirt, C., Burki, B., Somieski, A., & Seeber, G. (2010). Modern determination of vertical deflections using digital zenith cameras. J. Surveying Engineering, 136(1), 1-12.
5. Kosarev, N. S., Kanushin, V. F, Kaftan, V. I., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., & Efimov, G. N. (2018). Determining deflections of the vertical in the Western Siberia region: The results of comparison. Gyroscopy and Navigation, 9(2), 124-130.
6. Koneshov, V. N., Nepoklonov, V. B., & Avgustov, L. I. (2016) Estimating the navigation informativity of the Earth's anomalous gravity field. Gyroscopy and Navigation, 7(3), 277-284.
7. Kanushin, V. F., Karpik, A.P., Goldobin, D. N., Ganagina, I. G., Gienko, E. G., & Kosarev, N. S. (2015). The definition of gravity potential and heights differences in geodesy by
Вестник CTyTuT, Tom 23, № 3, 2018
gravimetric and satellite measurements. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 53-69 [in Russian].
8. Koneshov, V. N., Nepoklonov, V. B., Sermyagin, R. A., & Lidovskaya, E. A. (2013). Modern global Earth's gravity field models and their errors. Gyroscopy and Navigation, 4(3), 147-155.
9. Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., Mazurova, E. M., Kosareva, A. M., & Kosarev, N. S. (2014). Comparison of the GOCE project satellite models with different sets of independent terrestrial gravimetry data. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(27), 21-34 [in Russian].
10. Karpik, A. P., Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., Kosarev, N. S., & Kosareva, A. M. (2016). Evaluation of recent Earth's global gravity field models with terrestrial gravity data. Contributions to Geophysics and Geodesy, 46(1), 1-11.
11. Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., Vazurova E. M., Kosarev, N. S., & Kosareva, A. M. (2017). Quasigeoid modern global models: accuracy characteristics and resolution. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 22(1), 30-49 [in Russian].
12. Karpik, A.P., Kanushin, V.F., Ganagina, I.G., Goldobin, D.N. & Mazurova, E. M. (2015) Analyzing spectral characteristics of the global earth gravity field models obtained from the CHAMP, GRACE and GOCE space missions. Gyroscopy and Navigation, 6(2), 101-108.
13. Mayer-Guerr, T. (n. d.). ITG-Grace03s: the latest GRACE gravity field solution. Retrieved from http://www.massentransporte.de/fileadmin/20071015-17-Potsdam/mo_1050_06_mayer.pdf.
14. Kvas, A. (n. d.). ITSG-Grace 2014. Retrieved from http://portal.tugraz.at/portal/page/ portal/TU_Graz/Einrichtungen/Institute/Homepages / i5210/ research / ITSG-Grace2014.
15. Save, H. (n. d.). Improvements in GRACE gravity fields using regularization. Retrieved from http://adsabs.harvard.edu/abs /2008AGUFM.G13A0628S.
16. Biancale, R. (n. d.). An improved 10-day time series of the geoid from GRACE and LAGEOS data. Retrieved from ftp://ftp.csr.utexas.edu/pub/grace/Proceedings/Presentations _GSTM2008.pdf.
17. Mazurova, E. M., Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., Bochkareva, V. V., Kosarev, N. S., & Kosareva, A. M. (2016). Development of the global geoid model based on the algorithm of one-dimensional spherical Fourier transform. Gyroscopy and Navigation, 7(3), 269-278.
18. Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Goldobin, D. N., Kosarev, N. S., & Kosareva, A. M. (2016). The influence of regularization methods on the accuracy of modern global geopotential models. Gyroscopy and Navigation, 7(4), 366-371.
19. Koch, K. R., & Kusche, J. (2002). Regularization of geopotential determination from satellite data by variance components. Journal of Geodesy, 76, 259-268.
20. Goldobin, D. N., Mazurova, E. M., Kanushin, V. F., Ganagina, I. G., Kosarev, N. S., & Kosareva, A. M. (2015). One dimensional spherical Fourier transformation and its implementation for the calculation of the global model quasigeoid with accuracy of the zero approach of Molodenskys theory. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 45-52 [in Russian].
21. Elagin, A.V., & Dorogova, I. E. (2015). Influence of the relativistic effects on the trajectory of artificial earth satellites. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 3(31), 32-39 [in Russian].
22. Kopeikin, S. M., Kanushin, V. F, Karpik, A. P., Tolstikov, A. S., Gienko, E. G., Goldobin, D. N., Kosarev, N. S., Ganagina, I. G., Mazurova, E. M., Karaush, A. A., & Hanikova, E. A. (2016). Chronometric measurement of orthometric height differences by means of atomic clocks. Gravitation and Cosmology, 22(3), 234-244.
23. Obidenko, V. I., Opritova, O. A., & Reshetov, A. P. (2016). Working out of a technique of reception of normal heights in territory of the Novosibirsk region with use of earth gravitational model EGM2008. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 1(33), 14-25 [in Russian].
24. Kaula, W. H. (1959). Statistical and Harmonic Analysis of Gravity. Journal of Geophysical Research, 64, 2401-2421.
25. Karpik, A. P., Sapozhnikov, G. A., & Dyubanov, A. V. (2010). The implementation of the project on ground-based infrastructure of the Global Navigation Satellite System GLONASS on the territory of the Novosibirsk region. In Sbornik materialov GEO-Sibir'-2010: Plenarnoe zasedanie [Proceedings of GEO-Siberia-2010: Plenary Session] (pp. 57-62). Novosibirsk: SSGA Publ. [in Russian].
26. Gienko, E. G., Strukov, A. A., & Reshetov, A. P. (2011). Studying the accuracy of normal heights and vertical deviations on the territory of the Novosibirsk region using the global geoid model EGM2008. In Sbornik materialov GE0-Sibir'-2011: T. 1. Geodeziya, geoinformatika, kartografiya, marksheyderiya [Proceedings of GE0-Siberia-2011: International Scientific Conference: Vol. 1. Geodesy, Geoinformation, Cartography, Mine Surveying] (pp. 186-191). Novosibirsk: SSGA Publ. [in Russian].
Received 13.06.2018
© A. P. Karpik, V. F. Kanushin, I. G. Ganagina, D. N. Goldobin, N. S. Kosarev, A. M. Kosareva, 2018
