CC BY
20УДК 534.1, 621.941.01
А. А. Герасименко, А. М. Гуськов, М. А. Гуськов, Ф. Лоронг
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Численно разработан аналитический алгоритм расчета динамики вращающихся цилиндрических оболочек для использования в моделировании процессов резания при точении тонкостенных элементов конструкции. Алгоритм основан на методе Галеркина в сочетании с разложением поля перемещений в тригонометрические и балочные функции. Получена зависимость собственных частот оболочки от частоты вращения конструкции.
E-mail: gouskov_am@mail.ru
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, собственные частоты, модальный анализ, диаграмма Кэмпбелла.
Проектирование изделий многих отраслей современного машиностроения сопряжено с обеспечением минимальной массы при максимальной прочности под механическими и тепловыми нагрузками. В данном контексте некоторые крупные конструкции (например, барабаны роторов турбореактивных авиадвигателей) получают точением из цельной заготовки [1, 2]. В ходе завершающих операций обработки таких деталей, представляющих собой относительно податливые тонкостенные конструкции, появляются предпосылки к возникновению автоколебаний под воздействием процесса резания. Данные вибрации приводят к ускоренному износу инструмента и узлов станков, а также к ухудшению свойств поверхности детали
[3, 4].
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка после процесса обработки точением с вибрациями
Высокая стоимость материалов, деталей и оснастки приводит к необходимости разрабатывать способы оценки устойчивости процесса резания на стадии проектирования техпроцесса. Сегодня существуют методы проверки устойчивости стационарного процесса резания, основанные на анализе характеристического уравнения линеаризованной системы [3] или на прямом интегрировании уравнений движения. Последний подход позволяет более полно представить силы взаимодействия в зоне резания, однако он либо ограничивается исследованием простых динамических систем, таких как эквивалентный брус [5], либо, как в случае применения конечно-элементных моделей сложных конструкций, связан с проблемой учета смещения зоны резания по поверхности детали, что значительно усложняет расчет [1, 6, 7]. В работе [1] данная проблематика исследуется на модельной задаче точения тонкостенной цилиндрической оболочки. На рис. 1 показана деталь с дефектами, появившимися в ходе эксперимента по точению оболочки с вибрациями, аналогичному эксперименту, приведенному в работе [1].
В целях дальнейшего исследования операции точения цилиндрической оболочки необходимо разработать численно-аналитическую модель оболочки, основанную на представлении поля перемещений в конструкции через тригонометрические и балочные функции [8, 9], чему и посвящена данная работа. Такая модель позволила бы представить сложное деформированное состояние детали в рамках компактной системы, доступной для исследований динамики резания.
Рис. 2. Вращающаяся цилиндрическая оболочка:
^ — угловая скорость вращения оболочки вокруг продольной оси; Я — радиус срединной поверхности оболочки; Ь — длина оболочки; к — толщина оболочки
При постановке задачи рассматривается тонкостенная вращающаяся вокруг собственной оси цилиндрическая оболочка (рис. 2). Требуется получить систему уравнений движения конструкции, найти собственные частоты и построить диаграмму зависимости собственных частот конструкции от частоты вращения. На рис. 2 изображена схема задачи. Согласно принятым допущениям, основные соотношения теории оболочек были записаны в рамках классической теории Кирхгофа — Лява (см., например, [10]).
1. Материальный элемент, нормальный к срединной поверхности оболочки, и после деформации последней остается нормальным к изогнутой срединной поверхности.
2. Изменением длины этого элемента пренебрегают.
3. Нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхности, не учитываются.
Вывод основных соотношений и уравнений. Запишем выражение для кинетической энергии вращающейся цилиндрической оболочки:
1 2п Ь
к = - | ¡рк Гд,2и2 + (V - О (Я + ^))2 + (д^ - О V)21 ЯсХёр, (1)
2 0 0
к 2
где рк = | рёг — поверхностная плотность материала; и, V, w —
-к 2
осевое, окружное и радиальное перемещения точки серединной поверхности оболочки. Частные производные указываем в следующем виде: д,и = ди/д,.
Выражение для потенциальной энергии оболочки вращения имеет вид
Я 2п Ь
П = Т 1+ N(£2 + №хрУ+Мх + МрХ2 + ШрУхёр. (2) 2 0 0
Здесь внутренние силы и моменты
Nx = В (£1 +£), Мх = Б (х + Ц);
Ыр= В(£2 +ц£), Мр = Б(х2 +т); 1 - ц 2
Nx9= BS12 Ыщ= D (1 -М)т,
Ек Ек
где В =-2; Б =-; Е — модуль упругости; ц — коэф-
1 -ц2 12(1 -ц2)
фициент Пуассона.
Компоненты деформаций и кривизн в уравнении (2) связаны с полем перемещений:
£1 =дхи > х = -дх2 ^;
^2 = ( + и)/Я, Х2 = - (и - др)/Я2; % = (д хУ + д<ри/Я), т = - (( ^ -д Хх )).
Для вывода системы уравнений тонкостенной цилиндрической оболочки вращения используем метод Остроградского — Гамильтона:
S( K - П) = 0.
(3)
После варьирования в уравнении (3) получим систему уравнений движения тонкостенной цилиндрической оболочки вращения во вращающейся системе отсчета:
Ь11ы + Ь12у + Ь13и = рьБ _1д {2и;
Ь21п + Ь22у + Ь23и = рьБ_1 (д,2у + 2О д{и - О2V); (4)
Ьзхи + Ь32у + Ь33и = -ркБ(д ,2и - 2О ду - О2и - 2ЯО2),
где использованы следующие обозначения для симметричной матрицы дифференциальных операторов Ь^:
Ai = d 2 +
L
22
(1 -М) д 2 + J
2 х R
2
+
(1-М) д
2R2 (
h2 " 1
12R 2 _ R2
1
h
L33 R2 + 12R2
R 2d x 4 + 2d x 1Ъ(р1 + R2 Э(
-d( + 2(1 -M)d,
1
L12 - ^э
2R
L = - Jh—
L23 = R2 ( 12R2
X (■>
L13 =-d x;
M3 R x
2 , 1 з 3
(2 -ß)d(d x2 +—d(
Дискретизация системы. Учитывая замкнутость оболочки по окружной координате р, решение системы уравнений (4) будем искать в виде тригонометрических рядов:
y (,x, () = Po (,x) + E [Pk (,x) cos (((+ qk (t,x) sin (кф)\
1 (5)
y (t, x, () - {u (t, x, (), V (t, x, (), w (t, x, ()}T .
Однородную систему уравнений (4) можно представить в следующем операторном виде:
Do + Di (д^)1 + D2 (dp)2 + D3 (dp)3 + D4 (dp)4]y (t, x, p) = h; h = {0 0 phB _12RQ2}T, где операторы D j симметричны
(D0)n = dx 2-PhB-%2, (D0)12 =0, (Do),, = ßdx;
R
(D0 )22 =
(1 2 + h2 (1 -ß)d 2
6R
■phB-1 (2 - Q2);
(D0 )23 =-phB~l2Qdt, (D0 )зз = -¿- + ^ dx'-PhBB2-
R¿ 12
D1
D2 =
0
1 + ß. 2R (
0
1 - ß 2R2
0 0
^Э x 2R x
0
J__h2 (2 -ß)
R 2 12R 2
0
1 h2
R
1 h2 (2-ß)d 2
2 10 D2 x
Э, 2
12R2 0
+
D3 =-
h2
12 R4
R 12 R 0
"0 0 0" 0 0 1 0 1 0
1 h2 2 —T +-7 d x
R2 6R2 x .
D
h2
4 12 R 4
0 0 0" 0 0 0 0 0 1
(6)
(7)
После подстановки соотношений (5) в (4) можно сгруппировать слагаемые с одинаковыми гармониками в виде
Po (, x) + X [ (, x) cos (kp) + Qk (, x) sin (hp)] = 0, (8)
1
откуда получаем бесконечную систему уравнений
Po (, x) = 0, Pk (, x) = 0, Qk (, x) = 0, k = 1,2,3,... (9)
Компоненты векторов P0 ((, x), Pk (t, x), Qk (t, x) соответствуют порядку систем (4). Редукция системы уравнений в частных производных (8) к системе обыкновенных уравнений по времени осуществим с помощью метода Галеркина. В качестве координатных функций по пространственной координате x используем балочные функции в виде
¥т (x) = C1 [cos (Áms) + ch (Áms)] + C2 [eos (V)- ch (Áms)] +
+ C3 [sin (ÁmS) + sh (ÁmS)] + C4 [sin (Xs)- sh (Xs)], s = x¡L , (10)
где C1, C2, C3, C4 — константы, которые находят из граничных условий. Координатные функции для различных граничных условий представлены в табл. 1, соотношения для Xm , am приведены в табл. 2.
В данной работе рассмотрены несколько типов граничных условий: Свободный — Свободный (С — С), Заделка — Свободный (З — С), Свободно опертый — Свободно опертый (СО — СО), Заделка — Свободно опертый (З — СО), Заделка — Заделка (З — З).
Таблица 1
Балочные функции для различных граничных условий
Тип граничных условий Координатная функция
С — С ch (Xms) + COs (Xms) - °m [sh (Xms) + sin (Xms)]
З — С Ch (Xms) - cOs (Xms ) - ^m [sh (Xms ) - sin (Xms)]
СО — СО sin (mns)
З — СО ch (Xms) - cOs (Xms) - °m [sh (Xms) - sin (Xms)]
З — З ch (Xms) - cOs (Xms) - °m [sh (Xms) - sin (Xms)}
Таблица 2
Параметры для вычисления балочной функции
Граничные условия Трансцендентное уравнение X Формула для вычисления am
С — С cosXchX = 1 ch Xm - cos Xm sh Xm - sin Xm
З — С cosXchX +1 = 0 sh Xm - sin Xm ch Xm + cos Xm
З — СО tgX = thX ch Xm - cos Xm sh Xm - sin Xm
З — З cosXchX = 1 ch Xm - cos Xm sh Xm - sin Xm
В результате поля перемещений в (5) и соответственно в (9) можно представить в виде конечных рядов:
Р/ (,, х)« I ?т (Х) Г/, т «, I = 0,1,2,...;
т=1
Чк (, х)« I К (Х) , т «, к = 1,2,3, ...; (11)
т =1
дхФт (х) 0 0 Рт (х)= 0 ¥т (х) 0
_ 0 0 ¥т (х)_
где Г/ т (,), т (,) — неизвестные амплитудные функции.
После подстановки (11), (5) в уравнение (6) соотношениям (9) можно придать вид
= л«.
P0 ((, x)« X Ü0Fm (x) (t) = А,
0 5
m=1
Рк (, X) « X (k4D4 - k2D2 + D0 ) Fm (X) Гк,т (t) +
m=1
+ XX (kD1 - к3D3)Fm(X) skm (t) = A«;
m=1
Qk (, X)« X ( + k3D3 ) Fm (x) rk,m (t) +
m=1
+ XX (k4D4 - k2D2 + D0 ) Fm (x) sk,m (t) = А^,.
(12)
m=1
Соответствующую систему уравнений относительно амплитудных функций Г/т (,), т (,) получаем с помощью ортогонализации
уравнений невязок (12) Л0п) , Л/пС, Л/п] к координатным блокам Рк (х):
\Fh (x) A0n) (t,x)dx = 0, h = 1,2,..., n;
0
L
JFh (x) AknC ((, x)dX = 0, h = 1,2,..., n, k = 1,2,3,...; (13)
0
L
jFh (x)аЩ (t,x)dx = 0, h = 1,2, ..., n, k = 1,2,3,...
В результате записывают две системы уравнений: систему для нулевой окружной гармоники
А0,п^0,п + В0,п^0 ,п + С0,п^0,п = 0;
Г0,«}
f0,n = {r0,1 r0,2 '
и систему для k -й гармоники
A k ,n gk ,n + B k ,n gk ,n + Ck ,n g k ,n = 0; gk,n = {rk,1 s k,1 rk,2 s k,2 " ■
4,n sk,n
(15)
2
Оператор А0 пё( + В0 + С0 п имеет блочную структуру 3 х 3, каждый блок, согласно (14), (13), (12), имеет следующий вид:
Ь
Кп42 + В0,п4 + С0,п) = |Р (х)(х)ёх, I,] = 1,.,п, ^
/
XiS-ndt2 + во,«d, + Con),J ro.j (t) = 0, i = 1, • •., n. (16)
2
Для ненулевых гармоник оператор Акпйг + Вкпйг + Скп также имеет блочную структуру с размером блоков 6 х 6:
(А к ,пё2+В к А+Ск ,п), 7 =
J F (x) XFj (x)dx J F (x) YFj ( x)dx
о 0
L L
- J F ( x)YFj (x)dx J F (x) XFj ( x)dx
, i, j = 1,..., n,
X (A к ,„dt 2 + Bk «dt + Ck,«)
j=1
fa,j (tУ)
i,j ,Sk,J (t)J
= 0, i = 1.....n.
1 * * ' 5 ' "5
(17)
X = k4D4 -k2D2 + D0, Y = kD1 -k3D3.
Решением уравнений (16), (17) являются амплитудные функции r0 j (t) и rk j (t), sk j (t). Восстановление вектора y (t, x, p) происходит
по следующим соотношениям:
n m n
y (t, x, p) ~ X Fj (x)r0,7 (t) + XI Fj (x)rk,7 (t) cos (kp) +
j =1 k=1 j=1
+ЕЕ F (хК , j (t)sin (кф). (18)
к=1 j=1
Таким образом, получаем деформированное поле перемещений цилиндрической оболочки, представленное в виде суммы рядов до m-й окружной и до n-й осевой гармоники.
Результаты разработки. Для проверки точности результатов данного подхода проведено сравнение значений собственных частот с результатами, опубликованными в открытой печати. Проверку проводили путем сопоставлений безразмерного частотного параметра
с = n*kjRp f (где р — плотность материала; Q*kj — частота
для k-й окружной и j-й осевой гармоники) для случая собственных колебаний цилиндрической оболочки с различными граничными условиями с данными из литературы [8, 9, 11—14].
В табл. 3 представлены безразмерные частотные параметры для геометрических соотношений h/R = 0,002; L/R = 20 и для граничных условий Заделка — Заделка. Расхождение текущих результатов с результатами, опубликованными в источниках [8, 11], находится в пределах 0,1 %.
Таблица 3
Безразмерная частота цилиндрической оболочки для граничных условий З — З (h/R = 0,002; L/R = 20; f = 0,3)
m к Данные из [8] Данные из [11] Текущие результаты [8]/Текущие результаты, % [11]/Текущие результаты, %
1 1 0,03440 0,03440 0,034395 0,0145 0,0145
2 0,01204 0,01203 0,012034 0,0499 0,0332
3 0,007222 0,007222 0,00722185 0,0021 0,0021
4 0,009048 0,009047 0,009047 0,0111 0
5 0,01377 0,01377 0,013772 0,0145 0,0145
2 1 0,08484 0,08484 0,084835 0,0059 0,0059
2 0,03162 0,03162 0,031617 0,0095 0,0095
3 0,01603 0,01603 0,016033 0,0187 0,0187
4 0,01233 0,01233 0,012331 0,0081 0,0081
5 0,01484 0,01484 0,014844 0,0269 0,0269
В табл. 4 и 5 для сравнения приведены безразмерные частотные параметры цилиндрической оболочки со свободно опертыми концами для различных геометрических параметров. Расхождение резуль-
татов, полученных в рамках данной работы, с результатами из [11— 13] не превышает 0,08 %.
Таблица 4
Безразмерная частота цилиндрической оболочки для граничных условий СО — СО (у = 1; к/Я = 0,01; Ь/Я = 20; / = 0,3)
к Данные из [12] Данные из [13] Текущий результат [12] /Текущий результат, % [13] /Текущий результат, %
1 0,016101 0,016101 0,016101 0 0
2 0,009382 0,009382 0,009377 0,053 0,05329
3 0,022105 0,022105 0,022103 0,009 0,00905
4 0,042095 0,042095 0,042094 0,0024 0,00238
5 0,068008 0,068008 0,068007 0,0015 0,00147
6 0,099730 0,099731 0,099729 0,001 0,002
7 0,137239 0,137240 0,137238 0,0007 0,00146
8 0,180527 0,180527 0,180527 0 0
9 0,229594 0,229596 0,229593 0,00044 0,00131
10 0,284435 0,284438 0,284435 0 0,0011
Таблица 5
Безразмерная частота цилиндрической оболочки для граничных условий СО — СО (у = 1; Ь/Я = 20; / = 0,3)
h/R к Данные из [11] Данные из [13] Текущий результат [11]/Теку-щий результат, % [13]/Теку-щий результат, %
0,05 0 0,0929682 0,0929586 0,92968276 8,2е-05 0,01
1 0,0161029 0,0161065 0,0161029 0 0,022
2 0,0392710 0,0393038 0,0392710 0 0,084
3 0,1098113 0,1098527 0,1098115 0,0002 0,04
4 0,2102770 0,2103446 0,2102772 9,5е-05 0,03
0,002 0 0,0929298 0,0929296 0,092929626 0,0002 2,8е-05
1 0,0161011 0,0161011 0,0161011 0 0
2 0,00515297 0,0054532 0,00545297 0 0,004
3 0,00504148 0,0050418 0,00504148 0 0,0064
4 0,00853383 0,0085340 0,008533822 9,4е-05 0,0021
В табл. 6 включены результаты вычисления безразмерного частотного параметра для различных граничных условий, таких как За-
делка — Заделка и Заделка — Свободно опертый край. Результат сравнения полученных значений с данными из литературы [8] показывает, что имеется процентное расхождение в пределах 0,2 %. В табл. 7 для сравнения показаны параметры собственной частоты цилиндрической оболочки для условий закрепления Заделка — Свободный конец (см. табл. 2). Сравнение проводили с экспериментальными данными, которые опубликованы в [14], а также с аналитическим результатом [9]. Расчет выполнен для первой гармоники п = 1 в (18) при следующих значениях параметров: Ь = 502 мм; Я = 63,5 мм;
И = 1,63 мм; ¡ = 0,28; р= 7,8-103кг■ м-3; Е = 2Д-1011 Па. Процентное расхождение с опубликованными в литературе результатами находится в пределах 1,3 %.
Таблица 6
Безразмерная частота цилиндрической оболочки с различными граничными условиями (у = 1; к/Я = 0,01; Ь/Я = 20; ¡1 = 0,3)
к Заделка — Заделка Заделка — Свободно опертый
Данные из [8] Текущий результат Погрешность, % Данные из [8] Текущий результат Погрешность, %
1 0,034387 0,034395 0,023 0,02487 0,024830 0,18
2 0,0143 0,014256 0,055 0,01137 0,011360 0,071
3 0,0227 0,022713 0,022 0,02233 0,022323 0,022
4 0,0422 0,042216 0,008 0,04215 0,042141 0,008
5 0,0681 0,068051 0,004 0,06803 0,068027 0,004
6 0,0998 0,099755 0,003 0,09975 0,099743 0,003
7 0,1373 0,137259 0,002 0,13725 0,137251 0,003
8 0,1806 0,180546 0,002 0,18054 0,180539 0,002
9 0,2297 0,229611 0,002 0,22961 0,229605 0,002
10 0,2845 0,284453 0,002 0,28445 0,284447 0,002
Таблица 7
Собственные частоты оболочки для граничных условий З — С (у = 1; к/Я = 0,0257; Ь/Я = 7,91; ц = 0,3)
к Данные из [14], Гц Данные из [9], Гц Текущий результат, Гц Текущий результат юк/ Погрешность, %, [14] / [9] Погрешность, %, [14] / Текущий результат Погрешность, %, [9] / Текущий результат
3 760,0 769,9 759,94 0,0561 1,3 0,008 1,3
4 1451,0 1459,7 1459,3 0,1077 0,6 0,6 0,03
5 2336,0 2366,9 2360,9 0,1743 1,3 1,0 0,25
6 3429,0 3470,0 3463,9 0,2557 1,8 1,0 0,18
На рис. 3 и 4 показаны зависимости собственных частот от окружных гармоник для различных условий закреплений. Можем убедиться, что влияние граничных условий является существенным только на первых частотах [15]. В работе [16] приведены обширные числовые данные определения частот при различных параметрах для невращающихся оболочек.
Рис. 3. Зависимость низшей частоты цилиндрической оболочки от окружных гармоник при у = 1; к/Я = 0,01; Ь/Я = 20; / = 0,3
Рис. 4. Зависимость безразмерного частотного параметра от окружных гармоник при у = 2; к/Я = 0,01; Ь/Я = 20; / = 0,3
Зависимость собственных частот от частоты вращения тонкостенной конструкции / = П/(2п) представлена на диаграмме Кэмп-белла (рис. 5), построенной для случая Заделка — Свободный край,
3000 2500-
а -
cf 2000-
1500_
1000
_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Частота вращения /, Гц
Рис. 5. Диаграмма Кэмпбелла
частоты которого приведены в табл. 7. Как показано на диаграмме, при увеличении частоты вращения происходит расщепление собственных частот.
Согласно проведенному анализу на собственные частоты, можно сделать вывод о том, что предложенный подход к моделированию тонкостенной вращающейся оболочки может быть использован в дальнейших исследованиях при изучении процесса точения тонкостенных конструкций. Следующим этапом работы станет усложнение модели путем добавления двигающейся точечной силы, а также учет динамики процесса точения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lorong P., Larue A., Duarte A.P. Dynamic materials research // Advanced Materials Research. - 2011. - No. 223. - P. 591-599.
2. Pièces aéronautiques: Techniques d'usinage modernes et outil // Tramétal, Spécial Aéronautique. - 2005. - Juin.
3. Altintas Y. Manufacturing automation. Metal cutting mechanics, machine tool vibrations, and CNC design. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 286 p.
4. Болотин В.В. Вибрации в технике. - М: Машиностроение, 1978. -352 с.
5. Жарков И.Г. Вибрации при обработке резанием. - Л.: Машиностроение, 1986. - 179 с.
6. Гуськов А.М. Разработка методов построения и анализа динамических моделей технологических процессов при механической обработке: дис... д-ра техн. наук: 01.02.06. - М., 1997.
7. Voronov S.A., Kiselev I.A. Dynamics of flexible detail milling // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Part K: J. of Multi-body Dynamics. - Vol. 225, no. 4 (September 23, 2011). - P. 299-309.
8. B l e v i n s R.D. Formulas for natural frequency and mode shape. - New York: Van Nostrand Reinhold, 1979. - 492 c.
9. Hua Li, Shin-Yong Lam. Rotating shell dynamic // Studies in Applied Mechanics. - 2005. - No. 50. - 263 c.
10. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977. - 487 с.
11. Lam K.Y., Loy C.T. Effects of boundary conditions on frequencies of a multi-layered cylindrical shell // J. of Sound and Vibration. - 1995. -No. 188. - P. 363-384.
12. Loy C.T., Lam K.Y. Analysis of cylindrical shells using generalized differential quadrature // Shock and Vibrations. - 1997. - No. 4. - P. 193-198.
13. Zhang X.M. Vibration Analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach // J. of Sound and Vibration. - 2001. - No. 239 (3). -P. 397-403.
14. S harm a C.B. Frequencies of clamped-free circular cylindrical shell // J. of Sound and Vibration. - 1973. - No. 30. - P. 525-528.
15. Forsberg K. Influence of boundary conditions on modal characteristics of cylindrical shells // AIAA J. - 1964. - No. 2. - P. 182-189.
16. Пановко Я.Г., Биргер И.А. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: в 3 т. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.; т. 2. -463 с.; т. 3. - 567 с.
Статья поступила в редакцию 28.09.2012
