CC BY
59
II. Функциональные уравнения и их приложения
УДК 517.98 ББК 22.16
© С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон
Россия, г. Улан-Удэ, Бурятский филиал Сибирского университета телекоммуникации и информатики,
Восточно-Сибирский государственный технологический университет.
E-mail: [email protected]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ПРОСТЕЙШЕЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ1
Статья посвящена исследованию механической системы на упругом стержне с закрепленными краями и установленным на нем твердым телом, присоединенным к упругому стержню с помощью пружины.
Описывается методика исследования на собственные колебания приведенной механической системы и определяются ее собственные частоты в пакете MathCAD.
Ключевые слова: механическая система, гибридный, дифференциальные уравнения, обобщенное решение, краевая задача, собственные частоты.
© S.G. Barguev, A.D. Mizhidon
Russia, Ulan-Ude, Buryat branch of Siberian University telecommunication and information,
East- Siberian State Technological University.
E-mail: [email protected],
THE DEFINION OF AN OWN FREQUENCY OF TRIVIAL MECHANICAL SYSTEM ON ELASTIC FOUNDATION
The article is devoted to the mechanical system presented the elastic core with unmoved edgies and installed on it of the solid body connected with core by the spring is investigated.
The investigation owns vibration of the mechanical system is described and defined an owns frequency by MathCAD.
Key words: mechanical system, hybrid, differential equations, unique decision, boundary task, own frequency.
Введение
Расcматриваемая простейшая механическая система лежит в основе виброзащитной системы, в которой твердое тело представляет собой защищаемое тело, пружина-амортизатор, упругий стержень-основание. Особенность математической модели, описывающей движение механической системы, в том, что в ней учитываются не только упругие свойства основания, но и конечность массы основания. В ранних работах авторов была предложена методика получения уравнений на собственные частоты. В статье по данной методике собственные частоты выделяются сначала графически, а затем рассчитываются с использованием пакета MathCAD.
Рассмотрим механическую систему на упругом основании (рис. 1) - твердое тело, присоединенное к упругому стержню с помощью пружины. Концы стержня закреплены шарнирно.
Твердое тело имеет массу M, пружина - жесткость с, упругий стержень - длину l. Механическая система закреплена на стержне в точке x = a, z - координата твёрдого тела,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-01-00945-а), РГНФ (проект 09-02-00493-а).
принимаемого за материальную точку в положении статического равновесия, u - поперечное смещение стержня, р - плотность материала стержня, F - площадь поперечного сечения стержня, J - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний.
Рис. 1.
Движение указанной системы описывается гибридной системой дифференциальных уравнений:
М^ + є( 2 - u (а, t)) = 0,
Л (1)
Л 2 Л 4 4 7
pF —ы + EJ —ы = є (2 - ы (х, ї ))д(х - a).
Э/ Эх
є ЕІ є
Обозначим: — = р2, -----------= Ь, ----= е. Поделив обе части первого уравнения на т, а
М pF pF
второго на pF, получим систему:
2 + р 2( 2 - ы (а, ї)) = 0,
Э2ы , Э4ы , , ч (2)
—- + Ь—- = е(2 - ы(х, ї))д(х - а),
Эг Эг
ГС и ЕЗ є
где р = А—, Ь =--------, е =------. На и(х,ї) наложены граничные условия:
V т р¥ р¥
Э2ы Э2ы
(0, /) = (і, /) = 0, ы (0, /) = ы (I, /) = 0, (3)
Эх 2 Эх2
решение системы (2) ищем в виде
2(/) = А 8Іп(О + у), ы (х, ї) = V(х)8Іп(О + /) (4)
в результате получим:
-ю2 А + р2(А - V(а)) = 0, - (х) + Ь \ 4 = е(А - (х))д(х - а). (5)
СУ( х)
Сх х
Здесь А и У(х), соответственно, неизвестная величина и функция. Отметим, что второе соотношение из (5) понимается в обобщенном смысле, т.е. для любой функции ф( х, г) из
некоторого класса справедливо:
I*(-о2У(х) + Ь д У(х))^(х, г)Сх = е(А - V(х))ф(а, г). (6)
0 дх
Из граничных условий (3) получим условия, накладываемые на функцию У(х):
(0) = (I) = 0, V (0) = V (I) = 0. (7)
ах ах
В [1] показано, что при любых О и А функция
V (х) = (8)
1 + eV (0)
удовлетворяет соотношению (6). Здесь V (х) является решением уравнения
%
Сх4
С краевыми условиями
-ю2Г (х) + Ьd-V(х) =д( х). (9)
- - д2 V д2 V
V (-а) = 0, V (а) = 0,—-—(-а) = 0, ——(а) = 0. (10)
дх2 дх
Отметим, что из (8) следует:
V (а) =1^. (11)
1 + eV (0)
Краевая задача (9) - (10) решается путем представления V (х) в виде суммы обобщенного решения 00 (х) однородного уравнения
С V ( х) Сх4
и обобщенного решения О (х) неоднородного уравнения (12), то есть
¥{х) = О0(х) + О(х), (12)
где
00 (х) = ^1^1 (Ьх) + С2 ^ (Ьх) + ^3 (Ьх) + С4^4 (bx),
с, , п . СОбЬЬх) + С0$(вх) „ ч 8тЬ(Ьх) + БтЬх)
^1(Ьх)=——, ^2(Ьх)=—-^2—-^,
5 (Ьх) = с°вЬ(Ьх) - С0Б(Ьх) ^ (Ьх) = 51пЬ(Ьх) - Б1п(Ьх)
- функции Крылова, с\, с2, с3, с4 - неизвестные постоянные [2]. Постоянные с\, с2, с3, с4 находятся из краевых условий. Частное решение 0( х) можно представить в виде
0( х) = 8( х) М^, (13)
ьь
где в(х) - функция Хэвисайда [3], /3 = ~~° .
Ь 4
Опишем процедуру определения собственных частот. Из первого уравнения системы (5)
2 2 тге ч р -ю
V (а) = і-—-— А. р2
Приравнивая правые части полученного выражения и (11) и сокращения на А, получаем уравнение для собственных частот системы:
-Ю + р=— = 0, (14)
1 + eV (0)
где V (0) = є1 можно найти из граничных условий (10), решив систему линейных алгебраических уравнений относительно с\, с2, с3, с4 вида
Є-^^! - Є2^2 + Єз^з - Є4Б4 = 0,
Є1^1 + Є2 ^2 + Є3^3 + Є4 ^4 = -а0 ^4, (15)
є1^3 - є2£4 + є3^1 - є4^ = 0,
С& + Є2^4 + Є3^! + Є4^2 = -а0^2 ,
для которой
А:
А,
S1 -S2 S3 -S4
S1 S2 S3 S4
S3 -S4 S1 -S2
S3 S4 S1 S2
0 -S2 S3 -S
-а 0 S4 S2 S3 S4
0 -S4 S1 -S
-а 0 S2 S4 S1 S2
:4(S22 - S42)(S2 - S2),
2a0(S2 -S2)(SA -S2S3).
А
Далее c1 = —1. Подставляя в (14), после преобразований получаем
А
16l(Sj2 -S32) = c(S2S3 -SjS4).
(16)
УчиТЫвая, что Sj = S1 (A), S2 = S2 (A), S3 = S3 (A), S4 = S4(1) , где A = b a = 2 ,
получим частотное уравнение
321 cM cos 1 = c( chl sin A - shA cos A).
Разделив обе части на chA cos A, получим
321 = (tgl - thA) c,
A
=
_ - : 2b 4 c/W
Из (19) имеем (W =
161 b
C EJ(p2 - (W)
. Подставляя все в (20), получим:
c/1
С= P 2/4 .
EJ (P/—A4) v16 b '
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Обозначив A
P/2 7 c/3 b0 A4 „
—z=, b0 =----, получим X=a----------4. Подставим в (18) и преобра-
b EJ A-A
зовав, получим более простое для анализа и нахождения решения частотное уравнение:
32(14-14)
= tgA- thA .
(22)
Определим собственные частоты, решая уравнение (22) в среде МайСАО при следующих параметрах механической системы:
I = 1, М = 10, с = 10000, ^ = 0,0025, Е = 1,3 = 1, р = 8000
Графики двух функций в (22) имеют вид (рис. 2).
В точках пересечения двух графиков (рис. 2) находим значения параметра 1, а затем пересчитываем их в собственные частоты по формуле О = ———.
В результате получаем дискретный набор из первых пятнадцати собственных частот нашей механической системы (таблица 1).
На самом деле набор собственных частот бесконечный, что объясняется присутствием в частотном уравнении периодических тригонометрических функций, а с физической точки зрения непрерывным распределением конечной массы стержня по его длине.
Заметим, что начиная с седьмой гармоники расчет частот можно производить по приближенной формуле
412
где 1к = 16 + (к - 6)р, к = 7,8
Рис. 2
Таблица 1
№ п\п Параметр 1 (безразмерный) Частота о (1/сек)
1 1,319 1,556
2 4,186 15,673
3 6,807 41,444
4 8,798 69,233
5 11,294 114,088
6 14,261 181,905
7 17,343 269,025
8 20,458 374,344
9 23,586 497,569
10 26,720 638,584
11 29,857 797,329
12 32,996 973,795
13 36,135 1168
14 39,275 1380
15 42,416 1609
Заключение
На основе методики, предложенной авторами, рассчитаны собственные частоты механической системы на упругом стержне с закрепленными краями и установленным на нем твердым телом, присоединенным к упругому стержню с помощью пружины, моделирующей виброзащитную систему. Специфика расчета заключается в таком расщеплении частотного уравнения на две части, чтобы можно было отделить точки пересечения графиков функций, задающих эти части, а затем определить частоты с помощью программы, встроенной в пакет MathCAD. Определены первые пятнадцать собственных частот. Следует заметить, что начиная с седьмой гармоники расчет частот можно приближенно производить аналитически.
Литература
1. Мижидон А. Д., Архипов С.В. Исследование простейших гибридных систем уравнений // Сб. науч. статей ВСГТУ. Сер.: Физико-математические науки. - Вып. 3. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 1999. - С. 6172.
2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Исследование собственных колебаний твердого тела на упругом стержне конечной массы двумя способами и их сравнительный анализ // Вестник БГУ. Математика и информатика. - Вып. 3. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006.
References
1. Mizhidon A.D., Archipov S.V. Investigatin of trivial hybrid systems equation // Collection of articles of ESSTU. Ser.: Physical mathematical sciences. - Is. 3. - Ulan-Ude: ESSTU, 1999. - P. 61-72.
2. Barguev S.G., Mizhidon A.D. Investigation of own vibration of a solid body, installed on an elastic core, haven finite mass, by two methods and their comparison analysis // Vestnik BGU. Ser. 13.: Mathematics and Informatics. - Is. 3. - Ulan-Ude, 2006.
