CC BY
86
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве
УЕБТЫНС
мвви
УДК 539.3
Т.Н. Бобылева
ФГБОУВПО «МГСУ»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГО ШАРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Получено уравнение для определения резонансных частот осесимметричных колебаний полого изотропного упругого шара. Использовано общее решение векторного уравнения движения трехмерной теории упругости в сферической системе координат. Частотные уравнения чисто радиальных колебаний сплошного и полого шара, имеющиеся в литературе, даны как частные случаи.
Ключевые слова: резонансная частота, собственная частота, полый изотропный шар, осесимметричные колебания, уравнения движения, трехмерная теория упругости.
Существует большое количество работ о колебаниях тел сферической формы. Например, колебания полых шаров изучались в [1—11], сферических оболочек — в [12—21]. В данной статье решение задачи о резонансных колебаниях полого изотропного шара строится на основе полной системы трехмерных уравнений теории упругости. Оно может быть использовано в граничных задачах для произвольно нагруженных пространственных тел, все три измерения которых примерно одинаковы, в динамических задачах для высокочастотных колебаний.
В строительстве широко используются полые шары, поэтому большую важность имеет изучение динамики таких тел, в частности, их резонансных колебаний.
Векторное уравнение движения в перемещениях трехмерной теории упругости — уравнение Ламе для однородной упругой изотропной среды имеет вид
где т — число Пуассона; и — вектор упругих перемещений; р — плотность материала; О — модуль сдвига; t — координата времени.
Формулы общего решения динамических задач теории упругости в сферической системе координат (г, 9, ф) записываются в виде векторного разложения Ламе [23]. В случае простых гармонических колебаний во времени с круговой частотой ю решение уравнения (1) представляется в виде [23]
и = еш£ £ К)(Г, ю)¿Пк)(9, Ф) + V?)(г, ю)М[к)(9, ф) + ^)(г, ю)^)(9, ф)],
где векторные гармоники обозначены как ¿П)(9, ф), М(пк (9, ф), N^(9, ф).
[22, 23]
(1)
к=п
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2015
После подстановки этого разложения в уравнение движения для неизвестных радиальных функций и(к)(г, га), ^пк)(г, га), w(nk)(г, га) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой находится в функциях Бесселя полуцелого индекса [23]
Кк V, ю) =
а(к) а
( 1
к1 йт
г 2 3 1 (V)
в
(к)
к1 йг
-1
г 23 1(Кг)
—п--
2
2
С (К) —3 П (к) — 3
+-7Тг 21 1 (к2г) + -7;г-г 2 3 1 (2г);
К и+- 4 к — и--
2 2 2 2
ф + 1)Гк)(г, ю) = п(П+1)АПк)г"23 1 (V) + п(П+1)ВПк)г"23 1 (V)+ (2)
С (к) 1 й
1
к22 г
г2 3 1 (2 г)
1
^ П)(к) 1 ^ С 1 + "
У
к22 г,
г2 3 1 (2 г)
-1
и (и +1)< (г, ю) = г
Ы[к) 3 1 (к 2 г) + ) 3 1 (к 2 г)
га
га
где к =—; к2 =—; с1 =
2га -1)
скорость волны сжатия; с2 = —
р (га - 2)
скорость волны сдвига; А(к), В[к), Ск), к), М{к), ) — постоянные интегрирования. Третья формула в (2), необходимая для описания крутильно-сдви-говых колебаний, дальше не рассматривается. Пусть на граничных поверхностях заданы нулевые значения компонент напряжений сг(9, ф) и стю(9, ф). Подставляем радиальные функции (2) в данные граничные условия, записанные в виде
1
1 ё (г 2и(п*у) п(п + 1)
,(*)
т - 2 ^ г2 ёг
Г V(к) ^ п , иц)
с1г г \ г
,(к)
ёг
= 0;
= 0,
где j = 0,1 и г0 = г, г1 = R (г и R — соответственно радиусы внутренней и внешней граничных сфер). В результате получаем систему четырех однородных алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования
Ак), в(к), с к), ок) •
п ? п ? п ? и 72 / 1
1
k12 ^2
г 2 3 1 (V)
1
га - 2
г " 23 1 ( Кг )
(к)
К «г
2 Г - 1
г 23 1 (Кг)
—и— 2
1
га - 2
г " 2 3 1 ( К,г )
В
(к)
К-2 «г
Г -3 ^
г 2 3 1 (к2 г)
п+— 2
С,
(к)
К2 «г
Г -3 ^
г 23 1 (к2г)
- п— 2
В(к) = 0;
+
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
n(n +1) d
f з
kJ dr
Y
xB.
(k)
r 2J J (kjr)
n+-
V 2 J
Л Л ( J
k22 dr
J
r dr
Ak)-
n(n +1) d
f 3
dr
J
Г 2 J J (k2Г ) + " Г 2 J J (k2Г )
n+— 2 n-—
V 2 JJ 2
r 2 J J (kjr)
'1--
2 ,
С(k) +
+
k22 dr
( J d ( J A A J -J "
J d r 2 J n J (k2 r) + 2 r2 J n J (k2 r)
V n 2 JJ 2 n 2
r dr
) = 0.
Те значения круговой частоты ю, для которых главный определитель этой системы обращается в нуль, являются резонансными частотами колебаний полого шара. Рассмотрим случай осесимметричных колебаний (к = 0) и систему алгебраических уравнений четвертого порядка, пусть в ней г0 = г, г 1 = R. Тогда для определения резонансных частот имеем следующий определитель четвертого порядка
где
a a 2 aJ 3 aJ 4
a2J a22 a23 a24
b3J b32 b33 b34
b4J b42 b43 b44
a = (n + 1)( n - 2)
/2 f
= 0,
(3)
1 2 3
m -1
-1
m -2
= <n+ik(2n+2) r-2J ,(kr) + 2 ^ J , (k,r)-Щ r2J ,(kr);
kJ - n— k - n+o m - 2 -
ч
aJ 3 =- r 2 J J( k2r)+ 2 J J( k2r) ;
k n+— k n—
2 2 л2 2
n + 2 - 5 J - 3
aJ4 =-^T+T r2 J J (k2r) —r 2 J J (k2r);
k - n— k - n-—
2 2 2 2
a, =-n(n+ n+2)r-2J ,(v)+r-2J );
kJ n+ 2 kJ n 2
a22 =-n(n +1)(n + 2) r-l J j(kJr)-^r-2 J J(kJr);
(4)
a23 = r 5J J{k2r)--Lr"3J ^r)-1 r"2J ^r);
k n-— k n— 2 n+—
2 2 2 2 2
n( n + 2)
1
1
j 1 fa)+ r 2 J 1 ^)--r 2 J 1 (k2r);
k^ - n+- 2
2 2 2 2^2
(n = 0, 1, 2, ...), а b..(i = 3, 4; j = 1, 2, 3, 4) получаются из a., заменой r на R, на-
У У
пример:
b3J = (n + Щп + 2) R -2 J J(k R )- 2 R-f J k R)-H^l R\ J J(k R ).
k n+^ k n-o m - 2 n+T
Из (7) имеем
М121М3434 - М1213М3424 + М1214М3423 + М1223М3414 --М1224М3413 + М1234М3412 = 0.
(5)
М — минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк с номерами I, I и столбцов с номерами к, I. Далее обозначим для краткости: п(п + 2)(п -1) + к22г2 = а, п(п + 2)(п -1) + k¡R2 = Л;
(п +1)(п + 2)(п -1) + dk12г2 = /, (п +1)(п + 2)(п -1) + dk12R2 = F; г [к22(п + 1)(п + 2) + 2dn(n + 2)к12 - dk12к22г2 ] = Л; R[к22(п + 1)(п + 2) + 2dn(n + 2)к12 - dk12к22R2 ] = Н;
п(п +1) - 2 = d = ;
га - 2
В = 3 1 (к,г) 3 1 (к R)-3 1 (кг) J 1 (к R);
п----- п + — - п + — п--
2 2 2 2
Ьх = 3 1 (к2Г) 3 1 3 1 (к2Г) 3 1 ;
п +— - п— - п— п +—
2 2 2 2
В2 = 3 1 (V) 3 1 (к R) + 3 1 (V) 3 1 (к R);
п+— - п +— - п----п--
2 2 2 2
Ь2 = 3 1 (к2 г ) 3 1 (к2Я ) + 3 1 (к2 г ) 3 1 (к2Я );
- п+— п+— п— - п--
В3 = 3 21 (кхг)3 2 (к1 R)- 3 1 (V)3 2 (кR);
- п +— п----п----- п + —
Ьъ = 3 12(к2г ) 3 12 (к2R) - 3 2 (к2г ) 3 2 (к2R );
- п----п +— п +— - п--
В4 = 3 12(к1г)3 1 (кЯ) + 3 21 (к1г)3 2 (кЯ);
п----- п — - п+— п+—
Ь4 = 3 21 (к2 г ) 3 2 (к2 Л ) + 3 12( к2 г ) 3 2 (к2 Л );
- п — п----п+— - п +—
В5 = 3 12(кхг)3 2 (к1 Л)-3 21 (кхг)3 ^ (кЛ);
п +— - п----- п----п +—
Ь5 = 3 12(к2г)3 2(к2Л)-3 1 (к2г)3 2 (к2Л);
п — - п +— - п +— п—
В6 = 321 (к1г)3 1 (кД)-3 х\кхгу ДкЯ);
- п — п+— п+— - п—
Ь6 = 3 2(к2г)3 1 (к2й)-3 2 (к2г)3 2,
- п+— п----п----- п+—
2 2 2 2
Из (5) получается следующее уравнение для определения резонансных частот осесимметричных колебаний полого шара:
р2 гЛ ( 2к12 аАЬхВх + 2к1к2/АЬ2 В2 + 2к12 к2 /АгЬ2 В3 + кхИАЬъ В2 +
+2k1k2aFЬ4 В4 + 2к22 /РЬ5 В5 + 2кхк22 jFrЬ6 В4 + к2 hFЬ4 В6 +
+2кх2к/Ь,Вх + 2кхк22/ЯЬ5В2 + 2кх2к22 j2гЛЬ6Вх - кхк2Л jRb4В2 +
+кхаНЬхВ4 + к2/НЬ2В5 - кхк2/НгЬ2В4 + 0,5ЛНЬ3В5) + 4п(п +1) х (6)
х {(п + 2)(п -1) [4кх2dr2 - 4(п + 2)(п -1) + к22 (г2 + Л2)] -
- 2кх2 к22 dr2 Л2 } = 0.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
В последнем слагаемом использована формула [24] Jv(z)J (z) +
т , w , ч 2sin vp
+ Jv_1 (z) J-v (z) =-.
pz
Из полученного уравнения для собственных частот (6) выводятся, как частные случаи, частотные уравнения радиальных колебаний сплошного и полого шаров, которые совпадают с уже имеющимися в литературе. Например, при
/Т . [2
n = 0 данное уравнение (с учетом того, что J1 (z) = — sin z, J 1 (z) = — cos z
2 \pz -2 ]j pz
[24]) имеет вид {{(( + r2 )-4rR-k*d2r2R2 +
+ 2k^(R-r)(^ + k^drR^cos&jC?-r) = 0, и если обозначить k1 = h, R = a, r = b, m -1 1
= —, оно превращается в уравнение частот для полого шара,
2(т - 2) V приведенное в [25],
vha + {к2а2 -V)На vhb + (к2Ь2 -V)НЪ (а2 -v^-vhatgНа (Н2Ъ2 -v^-vhbtgНЪ
А при п = 0 и г = 0 из (6) получается уравнение для чисто радиальных
_ „ ¡, „ч 2(т - 2)к1Л
колебаний сплошного шара [23] tg (кхЛ) = - 1
2(m - 2) - (m - 1)k2 R2
Библиографический список
1. Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезокерамическими слоями // Проблеми обчислювально! мехашки i мiцностi конструкцiй : збiрник наукових праць. 2011. Вип. 15. С. 70—80.
2. Шульга Н.А. Радиальные электроупругие колебания пьезокерамического полого шара // Прикладная механика. 1990. Т. 26. № 8. С. 20—25.
3. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Шульга Н.А. Свободные неосесимметрич-ные колебания трансверсально-изотропного полого шара // Доклады Академии наук Украинской ССР. 1986. Сер. А : Физико-математические и технические науки. № 2. С. 8—20.
4. Лоза И.А., Шульга Н.А. Осесимметричные колебания пьезокерамического полого шара при радиальной поляризации // Прикладная механика. 1984. Т. 20. № 2. С. 3—8.
5. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. № 2. С. 20—27.
6. Лазуткин В.Н. Колебания полого пьезокерамического шара // Акустический журнал. 1971. Т. 17. Вып. 4. С. 588—592.
7. Петренко Т.П. Собственные колебания упругого полого шара в жидкости или газе // Известия Академии наук Армянской ССР. 1971. Т. 24. № 5. С. 37—46.
8. Sharma J.N., Sharma N. 3-D exact vibration analysis of a generalized thermoelastic hollow sphere with matrix frobenius method // World Journal of Mechanics. 2012. Vol. 2. Pp. 98—112.
9. Srinivas R., Rajashekar M.N., Sambaiah K. Radial vibrations in a micro-isotropic, micro-elastic hollow sphere // Int. J. Pure Appl. Sci. Technol. 2013. Vol. 15. No. 2. Pp. 54—61.
10. Abd-Alla A.M. Free Vibrations in a Spherical Non-Homogeneous Elastic Region // J. Comp. and Theor. Nanoscience. 2013. Vol. 10. No. 9. Pp. 1914—1920.
11. КрасненковМ.А., Коршаковский С.И., Чекалкин Н.С. Проблемы безопасности и надежности при изучении усталости элементов силовых конструкций авиационной и космической техники // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. 2014. Т. 208. С. 49—53.
12. Культина Н.Ю., Новиков В.В. О спектре собственных частот некоторого класса тонких упругих оболочек // Научни трудове на Русенския университет : сб. 2013. Т. 52. Сер. 2. С. 93—102.
13. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Электроупругие колебания толстостенной пьезо-керамической сферы // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Доклады научного совещания. 1974. Вып. 14. С. 121—126.
14. Фриштер Л.Ю., Мозгалева М.Л. Сопоставление возможностей численного и экспериментального моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их геометрической нелинейности // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010. Vol. 6. No. 1—2. Pp. 221—222.
15. Гольденвейзер А.Л., Лидский Б.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М. : Наука, 1979. 384 с.
16. Naghdi P.M., Kalnins A. On vibrations of elastic spherical shells // Trans. ASME. J. Appl. Mechanics. 1962. Vol. E29. No. 1. Pp. 65—72.
17. Kabanov K.I., Kiryanova L.V. Some aspects of modeling a random process of the spectral density method of canonical expansions // Integration processes and innovative technologies / Achievements and prospects of engineering sciences. Collection of scientific works. Kharkiv, 2012. 4 p.
18. Шмаков В.П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 287 с.
19. Титова Т.Н. О нахождении нормального вида гамильтоновых матриц // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 6. С. 1026—1031.
20. Kartashov G.D., Chiganova N.M. Construction of control plans using a quantitative index with two-sided bounds // J. of Math. Sci. 1987. Vol. 39. No. 2. Pp. 2578—2588.
21. Sharma J.N., Sharma D.K., Dhaliwal S.S. Free vibration analysis ofviscothermoelastic solid sphere // Int. J. of Appl. Math. and Mech. 2012. Vol. 8. No. 11. Pp. 45—68.
22. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М. : Гостехиздат, 1955. 491 c.
23. Улитко А.Ф. Векторные разложения в пространственной теории упругости. К. : Академпериодика, 2002. 341 с.
24. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М. : Наука, 1977. 342 с.
25. Ляв А. Математическая теория упругости. М. ; Л. : ОНТИ НКТИ СССР, 1935. 674 с.
Поступила в редакцию в мае 2015 г.
Об авторе: Бобылева Татьяна Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет, (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-30-38, tatyana2211@outlook.com.
Для цитирования: Бобылева Т.Н. Определение резонансных частот осесимме-тричных колебаний полого шара с использованием уравнений движения трехмерной теории упругости // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 25—32.
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
T.N. Bobyleva
DETERMINATION OF RESONANT FREQUENCIES OF AXISYMMETRIC OSCILLATIONS OF A HOLLOW BALL USING OF THE EQUATIONS OF MOTION OF THREE-DIMENSIONAL ELASTICITY THEORY
A great number of works have been written on the frequencies of spherical bodies. In construction hollow balls are widely used. For this reason it is important to investigate the dynamics of such bodies, in particular, their resonance oscillations.
In the paper we obtained an equation for determining the resonant frequencies of axisymmetric oscillations of a hollow ball. The general solution of three-dimensional equation of motion is used in a spherical coordinate system. Frequency equations of purely radial oscillations of solid and hollow balls are given as special cases. These equations coincide with those obtained previously. The solution may be used in boundary problems for arbitrary loaded space bodies, all the three dimensions of which are relatively equal, in the dynamic tasks for high-frequency oscillations.
Key words: resonant frequency, natural frequency, hollow isotropic ball, axisymmetric oscillations, equations of motion, three dimensional elasticity theory.
References
1. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Osesimmetrichnye kolebaniya pologo neodnorodnogo shara s p'ezokeramicheskimi sloyami [Axisymmetric Oscillations of a Hollow Inhomogeneous Ball with Piezoceramic Layers]. Problemi obchislyuval'noi mekhaniki i mitsnosti konstruktsiy: zbirnik naukovikh prats' [Problems of Computational Mechanics and Structural Reliability : Collection of Scientific Works]. 2011, no. 15, pp. 70—80. (In Russian)
2. Shul'ga N.A. Radial'nye elektrouprugie kolebaniya p'ezokeramicheskogo pologo shara [Radial Electroelastic Oscillations of Piezoceramic Hollow Ball]. Prikladnaya mekhanika [Applied Machanics]. 1990, vol. 26, no. 8, pp. 20—25. (In Russian)
3. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Shul'ga N.A. Svobodnye neosesimmetrichnye kolebaniya transversal'no-izotropnogo pologo shara [Natural Non-Axially Symmetric Vibrations of Transversely Isotropic Hollow Ball]. Doklady Akademii nauk Ukrainskoy SSR [Reports of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR]. 1986. Ser. A : Fiziko-matematicheskie i tekh-nicheskie nauki [Series A : Physico-Mathematical and Technical Sciences]. No. 2, pp. 8—20. (In Russian)
4. Loza I.A., Shul'ga N.A. Osesimmetrichnye kolebaniya p'ezokeramicheskogo pologo shara pri radial'noy polyarizatsii [Axisymmetric Oscillations of Piezoceramic Hollow Ball at Radial Polarization]. Prikladnaya mekhanika [Applied Mechanics]. 1984, vol. 20, no. 2, pp. 3—8. (In Russian)
5. Frishter L.Yu. Raschetno-eksperimental'nyy metod issledovaniya NDS sostavnykh konstruktsiy v zonakh kontsentratsii napryazheniy [Calculation and Experimental Method of Investigating Stress-strain State of Composite Structures in Stress Concentration Zones]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Structures and Constructions]. 2008, no. 2, pp. 20—27. (In Russian)
6. Lazutkin V.N. Kolebaniya pologo p'ezokeramicheskogo shara [Oscillations of Hollow Piezoceramic Ball]. Akusticheskiy zhurnal [Acoustic Journal]. 1971, vol. 17, no. 4, pp. 588— 592. (In Russian)
7. Petrenko T.P. Sobstvennye kolebaniya uprugogo pologo shara v zhidkosti ili gaze [Natural Frequencies of Elastic Hollow Ball in Liquid or Gas]. Izvestiya Akademii nauk Army-anskoy SSR [News of the Academy of Sciences of the Armenian sSr]. 1971, vol. 24, no. 5, pp. 37—46. (In Russian)
8. Sharma J.N., Sharma N. 3-D Exact Vibration Analysis of a Generalized Thermoelas-tic Hollow Sphere with Matrix Frobenius Method. World Journal of Mechanics. 2012, vol. 2, pp. 98—112. DOI: http://dx.doi.org/10.4236/wjm.2012.22012.
9. Srinivas R., Rajashekar M.N., Sambaiah K. Radial Vibrations in a Micro-Isotropic, Micro-Elastic Hollow Sphere. Int. J. Pure Appl. Sci. Technol. 2013, vol. 15, no. 2, pp. 54—61.
10. Abd-Alla A.M. Free Vibrations in a Spherical Non-Homogeneous Elastic Region. J. Comp. and Theor. Nanoscience. 2013, vol. 10, no. 9, pp. 1914—1920. DOI: http://dx.doi. org/10.1166/jctn.2013.3148.
11. Krasnenkov M.A., Korshakovskiy S.I., Chekalkin N.S. Problemy bezopasnosti i na-dezhnosti pri izuchenii ustalosti elementov silovykh konstruktsiy aviatsionnoy i kosmicheskoy tekhniki [Problems of Safety and Reliability at Investigating the Fatigue of Load-Bearing Structures' Elements of Aviation and Space Systems]. Nauchnyy vestnik Moskovskogo gosudarst-vennogo tekhnicheskogo universiteta grazhdanskoy aviatsii [Scientific Bulletin of the Moscow State Technical University of Civil Aviation]. 2014, vol. 208, pp. 49—53. (In Russian)
12. Kul'tina N.Yu., Novikov V.V. O spektre sobstvennykh chastot nekotorogo klassa tonkikh uprugikh obolochek [On the Eigenfrequency Spectrum of Some Class of Thin Elastic Shells], Nauchni trudove na Rusenskiya universitet: sbornik [Scientific Works of the Russian University]. 2013, vol. 52, series 2, pp. 93—102. (In Russian)
13. Boriseyko V.A., Ulitko A.F. Elektrouprugie kolebaniya tolstostennoy p'ezokeramiches-koy sfery [Electroelastic Oscillations of Thick-Wall Piezoceramic Ball]. Teplovye napryazheni-ya v elementakh konstruktsiy, Doklady nauchnogo soveshchaniya [Thermal Stresses in Structural Elements. Reports of the Scientific Meeting]. 1974, no. 14, pp. 121—126. (In Russian)
14. Frishter L.Yu., Mozgaleva M.L. Sopostavlenie vozmozhnostey chislennogo i eksperimental'nogo modelirovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya kon-struktsiy s uchetom ikh geometricheskoy nelineynosti [Comparing the Possibilities of Numerical and Expeimental Modeling of the Stress-Strain State of Structures with Account for their Geometrical Nonlinearity]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010, vol. 6, no. 1—2, pp. 221—222. (In Russian)
15. Gol'denveyzer A.L., Lidskiy B.V., Tovstik P.E. Svobodnye kolebaniya tonkikh uprugikh obolochek [Natural Oscillations of Thin Elastic Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 384 p. (In Russian)
16. Naghdi P.M., Kalnins A. On Vibrations of Elastic Spherical Shells. Trans. ASME. J. Appl. Mechanics. 1962, vol. E29, no. 1, pp. 65—72.
17. Kabanov K.I., Kiryanova L.V. Some Aspects of Modeling a Random Process of the Spectral Density Method of Canonical Expansions. Integration Processes and Innovative Technologies. Achievements and Prospects of Engineering Sciences. Collection of Scientific Works. Kharkiv, 2012, 4 p.
18. Shmakov V.P. Izbrannye trudy po gidrouprugosti i dinamike uprugikh konstruktsiy [Selected Works on Hydroelasticity]. Moscow, MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2011, 287 p. (In Russian)
19. Titova T.N. O nakhozhdenii normal'nogo vida gamil'tonovykh matrits [On Finding the Normal Form of Hamiltonian Matrixes]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1981, vol. 45, no. 6, pp. 1026—1031. (In Russian)
20. Kartashov G.D., Chiganova N.M. Construction of Control Plans Using a Quantitative Index with Two-Sided Bounds. J. of Math. Sci. 1987, vol. 39, no. 2, pp. 2578—2588. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/bf01084966.
21. Sharma J.N., Sharma D.K., Dhaliwal S.S. Free Vibration Analysis of Viscothermo-elastic Solid Sphere. Int. J. of Appl. Math. and Mech. 2012, vol. 8, no. 11, pp. 45—68.
22. Lur'e A.I. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti [Space Problems of Elasticity Theory]. Moscow, Gostekhizdat, 1955, 491 p. (In Russian)
23. Ulitko A.F. Vektornye razlozheniya v prostranstvennoy teorii uprugosti [Vector Decompositions in Space Elasticity Theory]. Kiev, Akademperiodika Publ., 2002, 341 p. (In Russian)
24. Yanke E., Emde F., Lesh F. Spetsial'nye funktsii, Formuly, grafiki, tablitsy [Special Functions. Formulas, Diagrams, Tables]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 342 p. (In Russian)
25. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical Elasticity Theory]. Moscow, Leningrad, ONTI NKTI SSSR Publ., 1935, 674 p. (In Russian)
About the author: Bobyleva Tat'yana Nikolaevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-30-38, tatyana2211@outlook.com.
For citation: Bobyleva T.N. Opredelenie rezonansnykh chastot osesimmetrichnykh kole-baniy pologo shara s ispol'zovaniem uravneniy dvizheniya trekhmernoy teorii uprugosti [Determination of Resonant Frequencies of Axisymmetric Oscillations of a Hollow Ball Using of the Equations of Motion of Three-Dimensional Elasticity Theory]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 25—32. (In Russian)
