Определение режима движения воздуха в вентиляционных трубопроводах Текст научной статьи по специальности «Физика»

СЕМИНАР 13 : ;

ДОКЛАД НА СИМ ПОЗИУМ Е :” Н ЕДЕЛЯ: ГОРНЯ КА -

П

ри конструировании и испытании различного рода аппаратов и устройств возникает необходимость определения режима движения жидкостей и газов в каналах с различной площадью поперечного сечения и разной шероховатостью поверхности стенок. В частности, в распределительных трубопроводах с планируемым отводом массы воздуха по их длине, когда расход изменяется от больших значений в начале трубопровода до нуля у закрытого его конца, изменяется и степень турбулизации потока, распределение скорости по сечению трубопровода, коэффициент кинетической энергии, давление воздуха, которое в зависимости от величины отводимых масс может оставаться постоянным, уменьшаться или возрастать.

В связи с этим, говоря о режиме движения, будем подразумевать не только степень его турбулентности, но и распределение скорости движения по сечению трубопровода.

Различают ламинарный, турбулентный и промежуточный режимы движения воздуха в трубопроводах. Считается, что при ламинарном режиме существует линейная, а при развитом турбулентном - квадратичная зависимость между затратой энергии на перемещение единицы объема воздуха (депрессией трубопровода) и скоростью его движения или расходом. Показатель степени при расходе или скорости движения воздуха (показатель режима движения) принимается соответственно равным единице или двум. При промежу-

точном режиме этот показатель больше единицы и меньше двух. Он изменяется с возрастанием скорости движения воздуха. В настоящее время нет зависимости для его определения. Считается, что для гладких труб квадратичный закон сопротивления, строго говоря, не имеет места. Его можно рассматривать лишь как предельный закон при весьма больших значениях чисел Рейнольдса [1]. В горной литературе приводятся данные экспериментальных исследований движения воздуха в выработках с высокой шероховатостью стенок при больших значениях числа Рейнольдса, когда показатель степени при скорости движения воздуха достигал значения 2,04 [2]. Возникает необходимость в разработке зависимостей для определения показателя режима движения воздуха и распределения скорости по сечению канала при различных режимах, включая и промежуточный.

Для решения этого вопроса необходимо полу-чить зависимость между депрессией трубопровода и расходом или средней скоростью движения в нем воздуха, применимую при любом режиме.

Поскольку затрата энергии на перемещение воздуха по какому-либо каналу обусловлена трением его о поверхность стенок то, очевидно, она прямо пропорциональна размеру этой поверхности и ее шероховатости, зависит также от площади поперечного сечения этого канала плотности, вязкости и расхода воздуха. Сказанное можно выразить зависимостью:

hуд = к •и • Sxpyv■zQn (1)

где hyд - удельная депрессия канала (затраты энергии на перемещение 1м3 воздуха на длине 1м), Па/м или кг/с2м2; к -коэффициент, учитывающий шероховатость стенок (величина безразмерная); и и S ного сечения канала плотность, кг/м3; динамическая вязкость, кг/мс; расход воз-

периметр и площадь попереч-соответственно м и м2; р, ц и Q -

лению; n - показатель режима движения воздуха. Подставляя в уравнение (1) размерности входящих в него величин, на основе теории размерностей получим: кг. с-2. м-2 = м. м2х. кгу. м"3у. Krz. м"2. cz. м3п cn

Показатели степени одноименных величин в левой и правой частях уравнения должны быть одинаковыми, т.е.

1 = у + z

2 = z + n

-2 = 1 + 2x - 3y +3n

Путем решения приведенной системы уравнений, выражая х,у^ через n, получим: х = - (2 + n/2); у = n - 1; z = 2 - n С учетом этого, уравнение (1) приводится к виду:

-1*2+П'1

h л=к-и-S Уд

2) п-1 ,2-n ,^n

-Р

Qr‘

(2)

Эта зависимость применима при любом режиме движения воздуха, так если при развитом турбулентном движении п=2, то, обозначая к=р/2, получим:

духа м /с; х, у, z - показатели степени, подлежащие опреде-

И д=^4Q2 (3)

уд 2 8 3 ^

и 2

И л=а—гО Уд Я3^

где а= (Рр)/2 - коэффициент аэродинамического сопротивления трубопровода (канала) при развитом турбулентном движении воздуха. Это широко применяемая формула в шахтной вентиляции.

Если в формуле (3) расход воздуха Q выразить через сечение трубопровода и среднюю скорость движения vср, а периметр и площадь сечения через диаметр do, и обозначить 4р=Х, то получим известную в гидравлике формулу для определения удельной затраты энергии на перемещение жидкости по трубопроводу:

И

Л р-ус, й0 2

(4)

так называемый, коэффициент сопротивления тру-

где X бы.

Необходимо отметить, что соотношение

Л = (5)

действительно только при развитом турбулентном движении жидкости. В шахтной вентиляции коэффициент р считается постоянным для каждого трубопровода, характеризующим его шероховатость, тогда как коэффициент X в гидравлике считается зависящим от числа Рейнольдса. Связано это с тем, что для любого режима движения жидкости применяется квадратичная зависимость (4) затраты энергии от средней скорости движения жидкости. Фактически от скорости и, следовательно, от числа Рейнольдса зависит не коэффициент сопротивления трубы, который, как величина, характеризующая трубу, должен оставаться постоянным, а показатель ступени при скорости движения жидкости.

При ламинарном движении, когда п=1, зависимость (2) имеет вид:

ж и

-г 2,5

И д =

уд.л 2

• О

Учитывая, что ц=ур, где V - кинематическая вязкость воздуха, м2/с, эту формулу можно записать в виде

и

2,5

О

(6)

И , =а

уд.л 8

здесь аv=ал (7)

представляет коэффициент аэродинамического сопротивления, а

и

ау

-'»2,5 Ял

(8)

Аэродинамическое сопротивление выработки (канала) при ламинарном движении.

Воспользовавшись уравнением (2), можно получить зависимость для определения показателя режима движения воздуха п, включая и промежуточный. С этой целью, учитывая принятые выше обозначений, приведем уравнение (2) к виду

?2 /ли

= (9)

а-и •у2 упЯ°’5п

или, учитывая, что ^д^=ит0, где т0 касательное напряжение

Т0Б

.2 '

(10)

-т0,5п

ау~ 8

И левые и правые части уравнений (9) и (10) представляют собой безразмерные комплексы.

Оп

Величина _____^_____ - это критерий Рейнольдса в степени

уп8 °,5п

п, линейный размер выражен не диаметром d, а корнем квадратным из сечения канала:

уп8 0,5п

В отличие от обычно применяемого выражения критерия Рейнольдса

уй

= Я

обозначим безразмерный комплекс .0,5

*

= Я

(11)

(12)

V е

Выражение (12) применимо при любой форме поперечного сечения канала, хотя критическое его значение может быть различным. Разделив Re на Re, определим связь между ними

Я = 0,25-Цт Я (13)

е ’ 8 е

Для трубопровода с круглым поперечным сечением с учетом того, что и=га!,а S=0,25rai2 получим:

Я'= 0,5л°5Я (14)

е 7 е

Выражение в левой части уравнения (10) представляет собой безразмерный критерий динамического подобия, определяемый с учетом шероховатости стенок канала. Примем для этого критерия обозначение:

тЛ (15)

Л=°

ау

Логарифмируя уравнение (10), с учетом принятых обозначений (12) и (15) получим:

ЫБ (16)

п =----г

1п Яе

Из полученной зависимости вытекает, что по одному критерию Рейнольдса нельзя определить показатель режима движения воздуха, т.к. при этом не учитывается влияние шероховатости стенок трубопровода.

По выражению (16) можно определить показатель режима движения воздуха в конкретном канале (выработке, трубопроводе). Для этого необходимо знать коэффициент аэродинамического сопротивления этого канала а при развитом турбулентном движении, измерить разность давлений в начале и конце канала

(Р1-Р2), необходимую для определения касательного напряжения т0, и расход Q или среднюю скорость движения воздуха (уср). От показателя п зависит не только затрата энергии на перемещение воздуха, но и распределение скорости его движения по сечению канала. При ламинарном режиме, как известно, вопрос о распределении скорости по сечению круглого трубопровода легко решается чисто теоретически на основе закона Ньютона

на стенке канала:

V

dv

т = -ц—; dr

P- P2

v = —1—2 L

4Я

h

v = -

Уд(„2

(17)

где г0 - радиус сечения трубопровода, г - расстояние от оси трубопровода до точки, где скорость движения воздуха равна V.

Эта зависимость хорошо согласуется с данными экспериментальных наблюдений.

Для турбулентного движения вопрос о распределении скоростей по сечению трубы решается только на основе экспериментальных наблюдений. Наиболее полные и точные исследования жидкости в цилиндрических трубопроводах были выполнены Никурадзе [3]. Ним предложены уравнения для определения зависимости между у/у* и ^(у*.у/у) в трубах с круглым поперечным сечением: для гладких труб

V у*у (18)

— = 5,75^^- + 5,5

V* V

и для шероховатых труб

V у (19)

— = 5,751^— + 8,48

у* к

где V - осредненная по времени скорость движения воздуха в точке поперечного сечения круглого трубопровода, находящейся на расстоянии у от стенки; у* _ скорость касательного напряжения (динамическая скорость);

(20)

v - кинематическая вязкость воздуха; к- абсолютная шероховатость трубы; т0 - касательное напряжение на поверхности стенок трубы.

Для точек близких к поверхности стенок гладких труб в турбулентной области течения Никурадзе рекомендует уравнение:

■^=5,75^ + 5,84 (21)

v* У

В ряде литературных источников [1,4,5,6,7] приводится эмпирическая степенная формула распределения скорости движения воздуха в круглых трубопроводах, называемая формулой Прандтля:

1

( у ^ m (22)

v = v I — I

max ^ r,)

где vmax - скорость движения воздуха на оси трубопровода, у -расстояние от стенки до точки в сечении трубопровода, где скорость равна v; г0 - радиус трубопровода; 1/m - показатель степени, непрерывно убывающий от 1/6 при числе Рейнольдса Re=4103 до 1/7 при Re=100 1 03 и до 1/10 при Re=32,4105 [1,6], т.е. величина m принимает соответственно значения 6, 7 и 10. Ни формулы (18), (19), (21) ни формула (20) не отражают полностью распределение скорости движения воздуха по сечению круглого трубопровода. Действительно, дифференцируя любую из однотипных формул (18), (19), (20), например формулу (16), получим

^ = 2,497 V* * 2,5 V*

йу у у

Видим, что при у=г0 величина dv/dy имеет конечное значение, т.е. производная от скорости движения воздуха по расстоянию от стенки на оси трубопровода не равна нулю. Это противоречит физическому смыслу явления. К такому же выводу приходим и дифференцируя формулу (22):

1

-1

dv v 1

__________max_______

dy r0 m

т.к. 1/m<1 и 1/m-1 - величина отрицательная.

На наш взгляд, причиной неполного соответствия рекомендуемых формул экспериментальным данным является то, что применяемая в формулах величина у - расстояние от ближайшей стенки трубопровода, или, что одно и то же, г - расстояние от оси трубопровода, не полностью характеризует положение точки в отношении взаимодействия течения воздуха в ней со всеми пунктами внутренней поверхности круглого трубопровода. Это взаимодействие зависит от так называемой степени точки, которая определяется как произведение длин отрезков секущей, соединяющих эту точку с окружностью и является величиной постоянной, не зависящей от направления секущей.

На рис. 1. буквой о обозначена произвольная точка в поперечном сечении круглого трубопровода, буквой с - центр окружности, буквами ав, dе и fg - секущие окружности. Степень точки о определяется как произведение отрезков аоов или dooe или food. При этом все эти произведения равны между собой.

Если секущая проходит через центр окружности и данную точку, то обозначая ближайшее расстояние от точки о до окружности ов=у, степень точки можем определить по зависимости Ст=аоов=(2г0 - y)y, где г0 - радиус окружности.

Учитывая, что у=г0-г, где г - расстояние от оси трубопровода до точки о, получим следующее выражение степени точки:

Ст=(г02 -г2) (23)

Разделив выражение (23) на г02, получим зависимость для определения безразмерной степени точки, находящейся внутри окружности с радиусом г0:

2 2 C = r0 - r 2

(24)

Следует обратить внимание на то, что скорость движения воздуха в какой-либо точке по сечению круглого трубопровода при ламинарном режиме (формула (17)) является функцией степени точки.

Умножив и разделив формулу (17) на г02 и учитывая, что

h д

в соответствии с этой формулой v = > r 2 , получим:

max 4ц 0

Л.2 2 Л

v = v

(25)

V '0

Таким образом, при ламинарном режиме движения воздуха скорость в любой точке сечения круглого трубопровода может быть определена как произведение максимальной по сечению скорости на безразмерную степень точки.

Сравнивая полученную формулу (25) с формулой (22), видим, что в ней безразмерное расстояние у/г0 заменено

)

2

V* =

безразмерной степенью точки, а показатель степени 1/m равен единице. Как выше было сказано, этот показатель при турбулентном режиме уменьшается с увеличением числа Рейнольдса и, следовательно, должен зависеть от показателя режима движения воздуха n. Равным единице при ламинарном движении, когда n=1, и вместе с тем уменьшаться, когда n^2 он может в случае если принять m=nc, где c>1-показатель степени, подлежащий определению. При любом значении с в случае ламинарного движения 1/m=1/nc=1.

Предположим, что с увеличением числа Рейнольдса изменяется только n, величина с остается постоянной.

Формула (22) при условии замены, относительного расстояния у/г0 степенью точки и при 1/m=1/nc принимает вид:

1—

(26)

Для решения вопроса о показателе степени «с» определим среднюю по сечению трубопровода скорость движения воздуха:

1 г0 2 г0

у_ =—- I у^2пгйт = 2 I угйг

ср

0 r0 0

Подставляя значение v из (26), получим 1

0

rdr

Выражение

I = Ji 1-

r2 1 nc

rdr

(27)

(28)

представляет собой интеграл биноминального дифференциала. В нашем случае он рационализируется подстановкой

a - exm = zn Т.е.

I ---------

(29)

Дифференцируя это уравнение, получим:

2 c

- —rdr = nczn -1dz

0

rdr = -0,5r?ncznC-1dz

0

(30)

С учетом (29) и (30) приведем уравнение (28) к виду

c

I = -0,5r02nc J zn dz

Интегрируя, получим:

’ 0 c , i

n +1

Учитывая подстановку (29), получим: 1

.c ( J21 „2\

1 = -0,5r2 -n-7

n -1

1-

r

1-

r

r

Подставляя значение интеграла I в уравнение (27), с учетом пределов интегрирования получим

v

ср___________

n

(31)

v nc—1

' max '* 1 *■

При ламинарном движении воздуха, когда n=1, из уравнения (31) получим уср/уп0л=0,5, что согласуется с известным решением задачи о распределении скорости движения воздуха в круглом трубопроводе.

На основании уравнения (31) можно определить показатель степени “с”, необходимый для решения вопроса о распределении скорости движения воздуха при турбулентном и промежуточном режимах.

Воспользуемся для этой цели экспериментально установленной Никурадзе связью между средней по сечению трубопровода уср и максимальной vmax скоростью движения воздуха:

v = v

ср П

- 4,03v„

= 1— 4,03

v*

(32)

у ср у ср

Необходимо отметить, что результаты замеров утах и уср более надежны, чем замеры скорости вблизи стенок трубопровода. На основании зависимости (32) в курсах аэродинамики и гидравлики [1,5] утверждается, что нельзя определить среднюю скорость по скорости на оси трубы путем умножения ее на некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Как будет показано ниже, это утверждение справедливо только если говорить о коэффициенте пропорциональности общем для различных трубопроводов. При развитом турбулентном движении воздуха этот коэффициент для конкретного трубопровода определяется шероховатостью его стенок и не изменяется при дальнейшем увеличении средней по сечению трубопровода скорости движения воздуха. Отношение у*/уср в формуле (31) при увеличении уср остается постоянной величиной, зависящей только от коэффициента шероховатости трубопровода. Для доказательства этого воспользуемся формулой (20). Величина касательного напряжения на стенке трубопровода определяется зависимостью:

т = 0,5И г (33)

0 уд 0

Удельная депрессия трубопровода ^д определяется формулой (3). Если в этой формуле квадрат расхода воздуха выразить, как произведение S2vср2 получим

1 Рр 2

И . =V2

Уд г ср

Г С

и учесть, что и=2шо, то (34)

0

С учетом этого при развитом турбулентном движении

v2 (35)

Т0 = °’5^-

Подставляя значение Т0 в формулу (20), получим

v*

=,щ

(36)

Таким образом при развитом турбулентном движении соотношение между скоростью касательного напряжения и средней скоростью движения воздуха в трубопроводе является величиной постоянной, зависящей только от коэффициента шероховатости трубопровода. С учетом формул (32) и (36) из уравнения (31) получим

У = У

r

^ = У

r

c

n

1

r

2

r

c

= zn

r

c

n

c

v

nc+1 nc nc + 1

= 1+4,03^5ß

= 1+2,85J ß

nc + 1

(39)

(37)

Эта зависимость получена при условии п=2 (формула (34)).

Путем простых арифметических преобразований и последующего логарифмирования при п=2, получим

C = -1,51-0,721lnß

(38)

Определив показатель режима движения воздуха п по формуле (16), показатель степени “с” - по формуле (38), можно, воспользовавшись формулой (26) определить осред-ненную во времени скорость движения воздуха в любой точке поперечного сечения цилиндрического трубопровода.

Максимальная скорость утах определяется по формуле

v = v ----------

max ср c

n

Формула (26) применима при любом режиме движения воздуха. При ламинарном режиме (n=1) она превращается в известную, получаемую путем строгого математического решения зависимость для расчета распределения скорости по сечению цилиндрического трубопровода. Из формулы (39) вытекает известное соотношение vmax/vср=2 при n=1. Результаты расчета по предлагаемой методике хорошо согласуются с экспериментальными данными [3], исключая пристенную область.

Непосредственно на стенке трубопровода экспериментально определена существенная скорость, что является погрешностью эксперимента, в соответствии же с формулой (26) скорость движения воздуха на стенке трубы равна нулю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. -Москва-Ленинград: Государственное издательство технической литературы, 1949. -624 с.

2. Скочинский А.А., Комаров В.Б. Рудничная вентиляция. - М.-Л.: “Углетехиз-дат”, 1949. - 443 с.

3. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах. (J. Nikuradse, Gesetzmassigkeiten der turbu-

lenten Strömung in glatten Rohren, Forschungsheft 356, (Beilage zu “Forsehung auf dem Gebiete des Ingenienr-Wesens, 1932)) - Москва-Ленинград: ОНТИ, 1936. - 332 с.

4. Евреинов В.Н. Гидравлика. - Ленин-град-Москва: Издательство министерства речного флота СССР, 1947. - 740 с.

5. Фенкель Н.З. Гидравлика. - Москва-Ленинград: Государственное энергетическое издательство, 1956. -456 с.

6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: «Наука», 1974. -711 с.

7. Прандтль Л. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности (L.Prandtl, Neuere Ergebnise der Turbulenzforschung. V.D.I. т.77, № 5, 1933) - Москва-Ленинград: ОНТИ, 1936. - 332 с.

c

n

IPfÜ

МедвеОев Б.И. — профессор, докіор технических наук, Донецкий государственный іех-нический университет.