CC BY
8
УДК 539.3+624.131
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-5-167-171
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И ВНЕШНИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОРОДНОМ МАССИВЕ ПО ДАННЫМ КАВЕРНОМЕТРИИ
Леонид Анатольевич Назаров
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, зав. лабораторией горной информатики, тел. (383)205-30-30, доп. 337, e-mail: naz@misd.ru
Лариса Алексеевна Назарова
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник лаборатории горной информатики, тел. (383)205-30-30, доп. 335, e-mail: larisa@misd.ru
Антон Владимирович Панов
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск,
Красный пр., 54, младший научный сотрудник, тел. (383)205-30-30, доп. 173, e-mail: anton-700@yandex.ru
Нелли Александровна Мирошниченко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории горной информатики, тел. (383)205-30-30, доп. 174, e-mail: mna@misd.ru
В рамках вязкоупругой модели сформулирована и исследована на разрешимость смешанная обратная задача определения горизонтальной составляющей внешнего поля напряжений и эффективной вязкости V по зарегистрированным смещениям стенок вертикальной скважины, проведенной в массиве, породы которого проявляют реологические свойства. Численными экспериментами с использованием синтетических входных данных для заданной абсолютной точности аппаратуры установлен диапазон изменения V и необходимая длительность измерений, обеспечивающая однозначную разрешимость обратной задачи.
Ключевые слова: массив горных пород, вязкоупругая модель, поле напряжений, реологические свойства, данные кавернометрии, обратная задача, скважина.
DETERMINATION OF RHEOLOGICAL PROPERTIES AND EXTERNAL STRESSES IN ROCK MASS BASED ON THE DATA OF CALIPER LOG MEASUREMENTS
Leonid A. Nazarov
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Head of Mining Information Science Laboratory, phone: (383)205-30-30, extension 337, e-mail: naz@misd.ru
Larisa A. Nazarova
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher, Mining Information Science Laboratory, phone: (383)205-30-30, extension 335, e-mail: larisa@misd.ru
Anton V. Panov
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Junior Researcher, phone: (383)205-30-30, extension 173, e-mail: anton-700@yandex.ru
Nelli A. Miroshnichenko
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Ph. D., Researcher, Mining Information Science Laboratory, phone: (383)205-30-30, extension 174, e-mail: mna@misd.ru
In the framework of viscoelastic model, the mixed inverse problem for the determination of external horizontal stresses and effective viscosity V based on the data of boundary displacements measured in a vertical hole drilled in rock mass with rheological properties is formulated and the problem resolvability is tested. The numerical experiments with the synthetic input data at the preset absolute precision of instrumentation provide the range of V and the required duration of measurements such that the inverse problem is uniquely solvable.
Key words: rock mass, viscoelastic model, stress field, rheological properties, caliper log measurements, inverse problem, hole.
Обоснование технологий выемки месторождений твердых полезных ископаемых, планирование траекторий скважин при горизонтальном и наклонном бурении, оценка устойчивости подземных объектов - вот далеко не полный перечень проблем, решение которых требует информации о свойствах пород массива и действующих в нем напряжениях. Для этого разработан целый спектр прямых [1] и косвенных [2] методов. Реализация последних осуществляется, как правило, на основе эмпирических соотношений между параметрами физических полей различной природы в рамках геомеханических моделей исследуемого объекта. При осуществлении измерений в соляных массивах, породы которых проявляют реологические свойства, возможны дополнительные трудности, связанные с длительной регистрацией данных, либо обеспечением идентичности условий измерений [3-5]. В настоящей статье предложен метод оценки горизонтальной составляющей внешнего поля напряжений, модуля сдвига и вязкости пород по данным кавернометрии в вертикальной скважине на основе решения обратной задачи.
Пусть в массиве, породы которого проявляют реологические свойства, в момент времени t = 0 проведена вертикальная скважина радиуса r0 . Предположим, что горизонтальные компоненты внешнего поля напряжений < одинаковы (что характерно для соляных массивов [6]), тогда модель обладает осевой симметрией, выполнено условие обобщенной плоской деформации [7] и в каждом горизонтальном сечении z = const деформирование прискважинной зоны описывается системой [8-10], включающей:
- уравнения равновесия
<rr,r + (<rr -<00 )/ r = 0;
(1)
уравнения состояния для вязкоупругой среды
< = Кв + Vв'; i = цу + Sy';
(2)
- соотношения Коши
Егг - иг ; ^00- и / Г, (3)
где а ГГ, а00 и вГГ, в00 - компоненты тензоров напряжений и деформаций;
(г, 0, z) - цилиндрические координаты, штрих означает производную по времени;
К и ц - модули объемного сжатия и сдвига; и - радиальное смещение;
а- 0,5(агг -а00), У-^ГГ -^00 ;
V и Б - эмпирические константы, трактуемые как объемная и сдвиговая вязкости.
Для (1)-(3) формулируются граничные условия
агг (Г), Г) - 0; От (г, О при г (4)
При t - 0 смещение и напряжения - нулевые.
Решение системы (1)-(4) нетрудно получить методами операционного исчисления [11], при этом напряжения
агг -О(1 Ч-2)#(0; О00 -аА(1 + ^-2)Н(t) (5)
аналогичны таковым в задаче Ламе [12] (г / т0 , Н - функция Хевисайда), а смещения на контуре скважины (которые и получают при кавернометрии) имеют вид
и(Г),t)/ Г0 - Щ^) + и8^), (6)
где
Щ (t) - аь (1 - в~К ^ ) / К; и б (0 - 0,5аА(1 - / Б ) / ц.
Данные лабораторных испытаний реологических материалов (в том числе и горных пород [3, 6]) свидетельствуют, что вязкое деформирование ассоциировано со сдвиговыми механизмами (V намного меньше Б), и при небольших временах в (6) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым.
В некоторые моменты времени tn(п-1,...,Ы) измерен диаметр скважины Бп. Каверномер имеет, как правило, четыре пары рычагов [13]. Поскольку здесь рассматривается осесимметричная модель, в качестве Бп можно принять среднее значение показаний этих пар.
Исследуем разрешимость обратной задачи: найти напряжение ак , а также механические свойства пород ц и Б по Бп.
Из (6) следует, что и5 (/, аи, ц, 5) = и5 раи, рц, р5) для любого р, поэтому по Бп невозможно однозначно определить искомые параметры модели -необходима дополнительная информация. Например, с помощью микрогидро-разрыва [14] можно установить величину цепного напряжения а^ в непосредственной окрестности скважины, тогда из (5) ан = 0,5а°е.
Теперь по данным кавернометрии рассчитаем величины еп = 1 - Бп / В (О -проектный диаметр скважины, соответствующий левой части (6)). Введем целевую функцию
Ф(ц, 5) =
N £ [еп - и* (^, ц, 5)]2/ £еп
(7)
п—1
п—1
и исследуем ее структуру. Зададим значения параметров модели ак = 15 МПа,
ц0 = 20 ГПа, 50 = 1015 Па-с, характерные для соляных массивов [3], и синтезируем входные данные
еп = [1 + )]Ц5аЬ,Цo,50) >
где 8 - относительная ошибка;
у - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [-1,1]. Рисунок демонстрирует изолинии Ф при 8 = 0,3, tn = 1,2,..., 20 суток.
Линии уровня целевой функции Ф 170
Можно видеть, что целевая функция унимодальна, обратная задача разрешима. Искомые значения ц и S лежат в области эквивалентности W, размеры которой зависят от уровня шума во входных данных. При этом предельная точка процедуры поиска минимума Ф [15] расположена в W при любых начальных приближениях, показанных квадратами на рисунке.
Предложен метод определения напряжений во внешнем поле и реологических свойств горных пород, основанный на решении коэффициентной обратной задачи по данным кавернометрии и измерительного гидроразрыва.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-05-00830).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Zang A., Stephansson O. Stress Field of Earth's Crust. - Springer, 2010. - 322 p.
2. Takahashi T., Takeuchi T., Sassa K. ISRM Suggested methods for borehole geophysics in rock engineering // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. - 2006. -Vol. 43. - No. 3. - P. 337-368.
3. Барях А. А., Константинова С. А., Асанов В. А. Деформирование соляных пород. -Екатеринбург : УрО РАН, 1996. - 180 с.
4. Amadei B., Stephansson O. Rock Stress and Its Measurement. - New York : Chapman and Hall, 1997. - 490 p.
5. Baar C. A. Applied salt-rock mechanics, 1: The in-situ behavior of salt rocks. (Developments in geotechnical engineering; 16A). - Elsevier, 1977. - 292 p.
6. Roberts L., Mellegard K., Hansen F. Mechanical Behaviour of Salt VIII. - Taylor & Francis Ltd, 2015. - 446 p.
7. Назарова Л. А. Использование сейсмотектонических данных для оценки полей напряжений и деформаций земной коры // ФТПРПИ. - 1999. - № 1. - С. 28-36.
8. Cristescu N. Elastic/viscoplastic constitutive equation for rock // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts. - 1987. - Vol. 24, No. 5. -P.271-282.
9. Vyalov S. S. Rheological Fundementals of Soil Mechanics. - Amsterdam : Elsevier, 1986. - 564 p.
10. Bland D. R. The Theory of Linear Viscoelasticity. - Pergamon Press, Oxford, London, New York, 1960. - 125 p.
11. Calvert B. J. Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral. - Springer, 2002. - 456 p.
12. Jaeger J., Cook N. G., Zimmerman R. Fundamentals of Rock Mechanics. - Wiley-Blackwell, 2007. - 475 p.
13. Нефтегазовая энциклопедия. - М. : Нефть и газ, 2003. - Т. 2. - 380 с.
14. De Bree P., Walters J. V. Micro/minifrac test procedures and interpretation for in situ stress determination // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geomechanics Abstracts. - 1989. - V. 26, No. 6. - P. 515-521.
15. Оценка напряжений и деформационных свойств породных массивов на основе решения обратной задачи по данным измерений смещений на свободных границах / Л. А. Назаров, Л. А. Назарова, А. Л. Карчевский, А. В. Панов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. 15, № 4. - С. 102-109.
© Л. А. Назаров, Л. А. Назарова, А. В. Панов, Н. А. Мирошниченко, 2018
