CC BY
40
УДК 621.01 ББК 30.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ ЗОНЫ ДВУРУКОГО МАНИПУЛЯТОРА МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
© Логвинов В.И.*, Денисов К.С.*
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону
Статья посвящена определению рабочей зоны двурукого манипулято ра промышленного робота. По методу Денавита-Хартенберга определены функции положения центров схватов для каждой руки робота, затем, используя метод Монте-Карло, вычислено и отображено рабочее пространство манипулятора в двух и трехмерном пространстве.
Ключевые слова: двурукий манипулятор, кинематика, метод Дена-вита-Хартенберга, рабочая зона, метод Монте-Карло.
Целью данной исследовательской работы является определение рабочей зоны двурукого промышленного робота, прототипом которого является манипулятор Мйотап 8БЛ20Б с числом степеней подвижности W = 15 [1]. Двумерное изображение рабочей зоны робота, приводимое фирмой в паспорте робота, не дает достаточно полного представления об обслуживании схватами различных областей сферической рабочей зоны, которая имеет сложную конфигурацию.
Определение формы и размеров рабочей зоны промышленных роботов является очень важной операцией для анализа и оптимального проектирования. Одним из с методов, применяемых для этих целей является метод Монте-Карло - численный метод решения математических задач и прямое статистическое моделирование различных процессов при помощи получения и преобразования случайных чисел. Метод получил широкое распространение только благодаря появлению ЭВМ, т.к. моделировать случайные величины вручную для статистических выборок - очень трудоемкая работа [2, 3].
Для увеличения точности позиционирования точек двумерного рабочего пространства робота используется генерация случайных значений углов поворотов звеньев. Затем определяется пространство рабочей зоны путём вычисления полигональной зоны с замкнутым контуром, образованным соединением всех точек вместе. Важным преимуществом данного метода является то, что можно получать различные формы и размеры, изменяя лишь небольшое количество характеристик. Это позволяет получить более
* Доцент кафедры Робототехники и мехатроники, кандидат технических наук, доцент.
* Магистрант кафедры Робототехники и мехатроники.
точное облако точек рабочего пространства, настраивая только несколько параметров.
Время вычисления и создания всех точек рабочей зоны являются важными оценочными характеристиками, позволяющими узнать, насколько практичен этот метод. Время зависит от количества сгенерированных точек.
Для осуществления поставленной задачи, а именно, определения рабочей зоны промышленного робота методом Монте-Карло, необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- для выбранной структурной схемы манипулятора определить геометрические параметры манипулятора: длины звеньев и интервалы изменения обобщенных координат в каждой кинематической паре;
- провести расчёт координат центра схвата для каждой руки робота методом Денавита-Хартенберга;
- рассчитать функции положения схвата в соответствии с полученными данными;
- графически определить границы рабочей зоны в различных слоях рабочей зоны.
Рассмотрим принятую нами структурную схему манипуляционной системы робота (рис. 1), которая состоит из двух манипуляторов: левого и правого.
Промышленный робот состоит из следующих узлов:
1 - модуль первого звена робота - вращательный. Служит для поворота всего корпуса робота по оси Ъ на максимальный угол 180 градусов в каждую сторону;
Далее звенья манипулятора будут рассматриваться попарно, на обе руки, т.к. они симметричны:
2 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 360 градусов;
3 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 360 градусов;
4 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 360 градусов;
5 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 260 градусов;
6 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 360 градусов;
7 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 220 градусов;
8 - вращательные модули и звенья робота. Служат для поворота рук робота по оси на максимальный угол 720 градусов. Эти модули также служат для ориентации рабочего органа и изменения ориентации детали в пространстве промышленного робота.
Рис. 1. Структурная схема двурукого манипулятора
Кинематический расчет манипулятора. В данной работе для решения прямой задачи кинематики используется метод Денавита-Хартенберга [4]. Особенностью этого метода является то, что авторы метода предложили задавать специальные системы координат, связанные со звеньями манипулятора, по определенным правилам, что позволило упростить математические выражения при вычислениях.
Специальные системы координат для правого манипулятора (рис. 1): Ода^; 02Х2У222; ОзХЗУЭ2З; ОзХзУзгз; Ов^У^; О7Х7У7г7;
О8Х8У828. Центры кинематических пар 3 и 4 совпадают в нашем случае, поэтому 1Зпр = 0. Для левого манипулятора специальные системы координат:
О10Х10У10210; О20Х20У20220; О30Х30У30230; О40Х40У40240; О50Х50У50250;
0боХ60Убо260; О^тоУ^то; О80Х80У80^80- Для левого манипулятора центры кинематических пар 3 и 4 также совпадают, поэтому 1Зл = 0. Неподвижная, базовая система координат О0Х0У020.
В табл. 1 приведены значения переносов и углов поворотов систем координат правого манипулятора, которые необходимо совершить для совмещения системы координат, связанной со схватом и неподвижной системой координат согласно рис. 1.
Таблица 1
Кинематические пары манипуляторов
№ звена Кинематическая пара Тип пары Параметры кинематической пары
е, а, й ф,
1 0-1 В 90° 0 11пр 90°+qо
2 1-2 В 90° 0 12пр 42
3 2-3 В 90° 0 0 90°+qз
4 3-4 В 90° 0 Ьпр Ш°+44
5 4-5 В 90° 0 0 Ш°+45
б 5-6 В 90° 0 Ьпр+^пр Ш°+46
7 6-7 В 90° 0 0 180°+4у
8 7-8 В 0 0 17пр+18пр 90°+q8
Обобщённые координаты для левого и правого манипулятора: q0 = 360°, q2 = 360°, q3 = 220°, q4 = 360°, q5 = 260°, qб = 360°, q7 = 220°, q8 = 720°.
Геометрические размеры звеньев для левого и правого манипулятора: ¡1пр = 450 мм, ¡2л = 12пр = 385 мм, Ьл = Ьпр = 0 мм, ¡4л = ¡4пр = 250 мм, ¡5л = ¡5пр = = 210 мм, 16л = 16пр = 210 мм, 17л = 17пр = 180 мм, 18л = 18пр = 125 мм.
Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена 1 определяется вектором гМ1, а в системе координат звена (1 - 1) - вектором гМ1-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат М1 следующим уравнением:
гМц = М, • РМ,
Расширенная матрица перехода для первого звена:
Mx =
cos90° + q0 - cos90°sin90° + q0 sin90° + q0 sin90° 0
О 0 0 0 0
sin90 + q0 cos90 cos90 + q0 - cos90 + q0 sin90 0
0 sin 90° cos 90° -1
1пр
0 0 0
Расширенная матрица перехода для второго звена:
cos q2 - cos 90° sin q2 sin q2 sin 90°
sin q2 cos 90° cos q2 - cos q2sin90°
0 sin90 cos 90
0 0 0
M2 =
0 0
12пр 1
Расширенная матрица перехода для третьего звена:
О 0 0 0 0
cos90 + q3 - cos90 sin90 + q3 sin90 + q3 sin90
O 0 0 0 0
sin90 + q3 cos90 cos90 + q3 - cos90 + q3 sin90
0 sin 90° cos 90°
0 0 0
M =
M4 =
M6 =
Расширенная матрица перехода для четвёртого звена:
О 0 0 0 0
008180 + д4 - 00890 8т180 + д4 8т180 + ^ 8т90
О 0 0 0 0
8т180 + q4 00890 008180 + q4 -008180 + ^48т90 0 8т90° 008 90°
0 0 0
Расширенная матрица перехода для пятого звена:
О 0 0 0 0
008180 + q5 - 00890 81Л180 + q5 8т180 + q5 8т90
8т180° + % 00890° 008180° + % - 008180° + % 8т90'
0 8т90° 008 90°
0 0 0
Расширенная матрица перехода для шестого звена:
О 0 0 0 0
008180 + % - 00890 81и180 + % 8т180 + % 8т90
О 0 0 0 0
8т180 + % 00890 008180 + % - 008180 + % 8т90
0 8т90° 008 90° I
0 0 0
M5 =
1
0 0
14пр 1
0 0
5пр + ^бпр 1
Расширенная матрица перехода для седьмого звена:
M =
О 0 0 0 0
cos180 + q1 -cos90 sm180 + q1 sm180 + q7 sm90 0
О 0 0 0 0
sm180 + q cos90 cos180 + q - cos180 + q7 sm90 0
0 sin 90° cos 90° 0
0 0 0 1 Расширенная матрица перехода для восьмого звена:
О 0 0 0 0
00890 + % -0080 81И90 + % 81И90 + % 81И0
О 0 0 0 0
81И90 + % 0080 00890 + % - 00890 + % 81И90
0 8т0° 008 0°
0 0 0 1
M8 =
0 0
17пр + 18пр
Матрица перехода от системы координат схвата к неподвижной системе координат:
T = m х M х M х M х M х M х M х M =
'il ^12 ^13 'i4
^31 ^32 ^33 ^34 ^41 ^42 ^43 ^44
Векторное уравнение точки М в неподвижной, базовой системе координат:
r = T х г =
2пр
(/7пр + 18пр ) + (/5пр + 16пр ) + 14пр
1пр 1
- вектор точки М в системе координат схвата.
Координаты центра схвата правого манипулятора робота имеют следующие значения:
X = 0,385 м У = 0,975 м г = 0,450 м
'21 '22 ' 23 '24
где гт =
Аналогичные вычисления, проведённые для второй руки робота показали следующие результаты:
— 4 л
- (¡7 л + 4 л ) + (15 л + к л ) + М л
I,
Координаты центра схвата левого манипулятора:
[X = -0,385 м У = 0,975 м г = 0,450 м
Определение границ рабочей зоны. Согласно методу Монте-Карло, рабочая зона манипулятора делится на определённое количество точек, которые достижимы для захватного устройства. Анализируя характеристики рабочей зоны, можно судить об эффективности структурного исполнения механизма манипулятора, т.е., в зависимости от количества, вида и взаимного расположения кинематических пар. Данный метод подразумевает отбор случайных точек для определения рабочей зоны и границ досягаемости рабочего органа. Этот метод довольно прост и позволяет определить рабочее пространство графически [3].
Положение схватов манипулятора является функцией геометрических параметров звеньев (11, 12, 13 14, 15, 16, 17, 18) и также восьми переменных вращающихся звеньев ^о, q2, qз, д4, q5, дб, q7, q8).
Рис. 2. Облако точек, составляющее рабочую зону робота
В данной работе основной расчёт, позволяющий определить границы рабочей зоны промышленного робота, был выполнен в среде МаШса^ Было сгенерировано 100 000 случайных точек, заполняющих рабочее пространство робота. Полученное облако точек (рис. 2), составляющее рабочую зону робота для левой и правой рук, разделили 70-ю плоскостями, параллельными плоскости ОоХоУо, на несколько отдельных слоёв.
Далее, для получения границы рабочего пространства (рис. 3), каждый слой делится на отдельные части, каждая из которых разбивается на отдельные ряды линий. Затем, анализируя точки на каждой линии, можно определить все граничные точки каждого слоя. Полученные точки - проекция одного слоя в плоскости, перпендикулярной оси 2. Благодаря этому, двумерная задача сводится к анализу нескольких одномерных, т.е. линий.
Важным показателем метода является время, затрачиваемое на получение результата. В нашем случае было затрачено 19,67 секунд, с увеличением количества слоёв и точек уменьшается период выполнения расчёта, но также теряется и точность.
Затем были найдены все граничные точки рабочей зоны (рис. 4) в трехмерном пространстве. Максимальные геометрические размеры рабочей зоны робота по осям: X = 2470 мм; У = 1700 мм; 2 = 1700 мм.
х
А А" В В' С С* О
У
Рис. 3. Разбиение слоя на отдельные части по методу Монте-Карло
Рис. 4. Граничные точки рабочей зоны манипуляторов
Таким образом, в данной работе для двурукого промышленного робота с 15 степенями подвижности при выбранной структурной схеме, геометрических параметрах звеньев и 15 обобщенных координат, был произведен кинематический расчёт по методу Денавита-Хартенберга и определены положения захватных устройств. На основе метода Монте-Карло, универсального численного метода, разработан алгоритм, позволивший вычислить и отобразить рабочее пространство двурукого манипулятора в двух и трёхмерном пространствах. К преимуществам рассмотренного метода можно отнести простую структуру вычислительного алгоритма и наглядность.
Список литературы:
1/ Робот Motoman SDA20D [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.robots.com/motoman/sda20d/
2. Alciatore D., and Ng C. Determining Manipulator Workspace Boundaries Using the Monte Carlo Method and Least Squares Segmentation || ASME Robotics: Kinematics, Dynamics, and Controls. - 1994. - DE-Vol. 72. - Р. 141-146.
3. Yi Cao, Ke Lu, Xiujuan Li, Yi Zang. Accurate Numerical Methods for Computing 2D and 3D Robot Workspace // International Journal of Advanced Robotic Systems. International journal of advanced robotic systems. Intech. -2011. - ISSN 1729-8806.
4. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника / Фу. К., Р. Гонсалес, К. Ли. -М.: Мир, 1989.
