CC BY
14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ЦИКЛА МЕТОДОМ КРОСС-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Меньшиков А.М., Копейкин А.М. (АГТУ, г.Архангельск, РФ)
Definition of duration of a production cycle by a special method of the spectral analysis.
Одним из показателей, характеризующих качество и надежность функционирования транспортных систем лесозаготовительных предприятий, является продолжительность производственного цикла по фазам "вывозка древесины - производство круглых лесоматериалов". Определение этого показателя возможно двумя основными способами.
1. Сбор и статистическая обработка сведений о движении древесины по складам сырья, содержащейся в первичных документах по приемке, учету, формированию штабелей хлыстов и отгрузке из них сырья в переработку (паспортах штабелей). Этот способ позволяет получить наиболее объективные данные, однако в настоящее время он крайне трудно реализуем в силу большой трудоемкости и конфиденциальности сведений о конкретных производствах.
2. Определение временных сдвигов (технологических лагов) процессов вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов относительно друг друга путем исследования динамики временных рядов показателей, которые входят в состав обязательной статистической отчетности предприятия. Данные процессы сопрягаются через склады сырья, в них перемещается один и тот же предмет труда. Их взаимосвязь хорошо поддается математико-статистической формализации, что позволяет автоматизировать расчеты и получить результаты с существенно меньшими затратами ресурсов.
Рассмотренная в [1,2] динамика показателей вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов четко указывает на то, что отношение этих процессов между собой носит характер "опережения-запаздывания" с распределенными технологическими лагами. Так, при наиболее интенсивной зимней вывозке часть вывезенных с верхних складов хлыстов сразу поступает в раскряжевку, другая часть накапливается на складах сырья для создания межсезонных и операционных запасов. Весной, когда интенсивность вывозки снижается или поступление древесины прекращается вообще, в раскряжевку начинают отгружаться хлысты, уложенные в запас в предыдущие, наиболее отдаленные во времени месяцы, причем объемы отгрузки хлыстов из запасов нарастают по мере снижения вывозки. В этот период уже процесс производства круглых лесоматериалов начинает опережать по фазе процесс вывозки. Аналогичная картина наблюдается и в период осеннего межсезонья. При таком протекании процессов временной сдвиг месячных амплитуд показателей этих процессов в разные периоды времени изменяется в пределах от нуля, например, в случае сортиментной технологии лесозаготовок или при раскряжевке в режиме "с колес", и до некоторого максимального значения.
Рассмотренные в [1,2] динамические ряды показателей вывозки древесины {Хг} и производства круглых лесоматериалов {У!}, обобщенные для группы предприятий ЛПК Архангельской области за период 1998-2003 гг., не являются стационарными. Экзогенные переменные Хх обладают сильной автокорреляцией и сопутствующей ей мультиколлинеарностью. В такой ситуации определение эффективных и не смещенных оценок параметров их уравнения связи практически невозможно уже при временных сдвигах т > 1.
Однако известно, что когда сложно или невозможно вообще получить аналитическое решение во временной области, его можно получить в области частот с применением спектральных методов. Тем более что по убеждению признанного специалиста классической эконометрии Э.Маленво, "для решения задач с распределенным запаздыванием экзогенных переменных спектральные методы являются лучшими" [3].
Закон распределения случайной величины полностью определен, если известны его первый начальный (математическое ожидание среднего значения) и второй центральный (дисперсия) статистические моменты и функция распределения плотности вероятности. Для этого используем вычисленные в [2] кросс-спектральные характеристики процессов и определим ряд действительных значений технологических лагов, соответствующих модулям углов фазового сдвига компонентов частотного преобразования Фурье в окрестности частоты шк, по формуле [4]:
*
X =
Т
фХу(Юк) — (1)
2%
Углы сдвига фаз ф Ху(юк) и соответствующие им значения технологических
лагов х * следует выбирать лишь в тех диапазонах частот, где эмпирическая когерентность процессов превышает статистический порог достоверности, определенный для соответствующего числа степеней свободы (п-д) и уровня значимости. Оценки когерентности рассматриваемых в [2] обобщенных процессов превышают статистический порог достоверности во всей области определения, поэтому для
лучшего понимания проиллюстрируем формирование ряда из статистически дос*
товерных значений т на примере вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов одного из предприятий, например, Авнюгского ЛПХ, у которого когерентность процессов варьирует в весьма широком диапазоне.
Из рис.1 видно, что в интервале частот от 0.37п до 0.76п (часть графика, ограниченного точками А и В) когерентность процессов имеет значения ниже порога достоверности, линия которого наложена на совместные графики когерентности и угла фазового сдвига в виде штрихпунктирной прямой, параллельной оси абсцисс. Поэтому соответствующие ей значения углов сдвига фаз, ограниченные на фазовом графике точками С и Э, из дальнейшего рассмотрения следует исключить.
Когерентность и фазовый сдвиг процессов
0,60
£ 0,50 £
| 0,40
§ О
В Я
о
£ =
м
0,30 -0,20 -0,10 0,00
Б
В
^ч. 1 / . I У \1г / . —° . „ ■ 1 1 1 1 1 1
г 1,00
- 0,80
- 0,60 Э
- 0,40 &
- 0,20 ев
- 0,00 ев -
- -0,20 са
ч
- -0,40 о
Ч
- -0,60 о _
>>
- -0,80
- -1,00
- -1,20
0,0
0,2
0,4 0,6
Частоты
0,8
1,0
Когерентность
Порог достоверности когерентности
Угол сдвига фаз
Рисунок 1 - Когерентность и фазовый сдвиг процессов вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов Авнюгским ЛПХ в 1998-2003 гг.
Аналогично рассмотрим кросс-спектры каждого предприятия, вычислим временной сдвиг т по формуле (1) и из статистически достоверных значений т сформируем обобщенный случайный ряд с частостями
™ Ц = X
I п
X X?
(2)
?=1
Распределение частостей продолжительности цикла w X для группы лесозаготовительных предприятий ЛПК Архангельской области показано на рис.2 ломаной линией.
Распределение плотности вероятности
8 Н и
0
1
0 а <и
со «
я
X
<и
т а
1
м
0,30 0,25 -0,20 -0,15 -0,10 0,05 -0,00
5 6 7 8
Интервал, месяцы
10
11
12
Эмпирическое распределение Теоретическое гамма-распределение
0
1
2
3
4
9
Рисунок 2 - Распределение продолжительности производственного цикла группы предприятий ЛПК Архангельской области в 1998-2003 гг.
Полигон распределения wТ является асимметричным, одномодальным, ограниченным с левой стороны и плавно прилегающим к оси абсцисс с правой стороны (0<т* <»). Заметим, что графики подобной конфигурации типичны для распределения времени в системах массового обслуживания, в т.ч. описывающих распределение времени между моментами пополнения разного рода запасов. В общем случае наиболее подходящими аппроксимирующими функциями для них является семейство кривых Пирсона.
Далее определим эмпирические начальные моменты б - го порядка по формуле
п
,, (3)
[=1
затем на их основе вычислим параметры распределения ряда случайной величины
*
т :
первый начальный момент (среднее значение) : а1 = E* [т] = т* = 2,5 мес., второй начальный момент а2 = 11,60 (мес.)2, дисперсия : D* [т] = D* = а2 - (т* )2 = 5,31 (мес )2, стандартное отклонение : а*[т] = а* = 2,30 мес.
Оценим максимальную величину технологического лага с помощью неравенства Чебышева, исходя из предположения, что при любом законе распределения величина т будет выходить за предел т шх лишь с вероятностью, не превышающей 0,05 :
Р{|т-тт|> яат}^-1 (4)
Я2
Полагая -1 = 0.05, или я = л/2о , имеем
Я2
ттх = шТ+ 4.472 -аТ (5)
В рассматриваемом примере ттах = 2,5 + 4,472 - 2,30 = 12,8 «13 мес. Эмпирические характеристики w* могут быть отождествлены с вероятностями того, что дискретная случайная величина т принимает целочисленные значения т = 0, 1, ..., 0; 0 = ттах. Тогда задача определения закона теоретического распределения продолжительности производственного цикла в общем случае сводится к отысканию некоторой непрерывной по параметру т функции М(т), определенной при 0<т<0 и совпадающей в точках т = 0,1, 2, ..., 0 с частостями w0,w1*,w2,...,we. Эта функция в своей области определения должна обладать основными свойствами плотности распределения вероятности:
\у(т) > 0,
т = 1
(6)
Определим аналитически плотность распределения вероятности М (т), для чего прибегнем к методу максимального правдоподобия выборочных данных относительно известной кривой типа 3 по Пирсону, представляющей плотность гамма-распределения:
>
0
w(г) = 3—г"-1 • е-рт, г> 0, (7)
Р—.та-1 - е~рт
Г(а)
где а, в - асимптотически несмещенные, эффективные и состоятельные оценки соответственно параметров формы и масштаба, связанные между собой и с первым начальным моментом соотношением :
^; (8)
а +1
Г(а) - гамма-функция. При вычислении оценок а, в в автоматическом режиме весьма удобно определять Г(а) путем асимптотического разложения в ряд Стирлинга :
Г(а) = е-а -аа-0 5
1 1 1 139 ™ S4
1 +-+-Г--г-... + 0(а-5)
12а 288а2 51840а3
(9)
В данном случае параметры а, в и Г(а) плотности гамма-распределения принимают значения соответственно а = 2,36, ¡3 = 0,75 и Г(а) = 1,2106.
График теоретического закона распределения плотности вероятности w(r) показан на рис.2 сглаженной линией.
Для оценки точности аппроксимации эмпирического распределения используем известные критерии согласия, например, оценим вероятность совпадения графиков по критерию Колмогорова-Смирнова [5]. Для этого вычислим ряды накопленных частостей эмпирического и теоретического распределений и определим их максимальную разность: X = 0,48. Сравнение ее с табулированным в [5] значением X показывает, что вероятность совпадения графиков р[Х] = 0,97 высокая, а их расхождения являются несущественными.
Таким образом, задача решена: на основании действующей статистической отчетности определены среднее (тГ = 2.5 мес.) и максимальное (г^ах -13 мес.) время продолжительности цикла "вывозка древесины - производство круглых лесоматериалов" для группы лесозаготовительных предприятий Архангельской области в период 1998-2003 гг., а также установлен закон распределения вероятности времени цикла в виде параметрического гамма-распределения.
Литература
1. Анализ динамических рядов транспортно-технологических процессов вывозки древесины (на примере Архангельской области)/ Меньшиков А.М., Копейкин А.М.; ОАО "Научдрев-пром-ЦНИИМОД". Лесн. и дер. промышленность. — Архангельск, 2003. — 40 с. -Деп. в ВИНИТИ 15.12.2003 г. №2177-В2003
2. Меньшиков А.М., Копейкин А.М. Применение спектральных методов в исследованиях технологических процессов лесозаготовительного производства /А.М.Меньшиков, А.М.Копейкин // Лесн. журн. — 2004. — С.31-41. — (Изв. высш. учеб. заведений)
3. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып.2. Пер. с франц. А.И.Гладышевского и др. — М.: Статистика, 1976. — 325 с.
4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 540 с.
5. Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1979. — 408 с.
