Определение потребной точности автономных угловых измерений и оценка энергозатрат на коррекцию траектории космического аппарата при подлете к планете Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

__

№ 4

УДК 629.78.015:531 55.088 6/7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТРЕБНОЙ ТОЧНОСТИ АВТОНОМНЫХ УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ОЦЕНКА ЭНЕРГОЗАТРАТ НА КОРРЕКЦИЮ ТРАЕКТОРИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПОДЛЕТЕ К ПЛАНЕТЕ

С. В. Петухов

Рассматривается задача об определении потребной точности угловых измерений с целью получения оценки параметров движения космического аппарата относительно планеты назначения. Предполагается, что информация о движении космического аппарата поступает с его борта дискретно в виде некоторых угловых величин, измеряемых в заданные моменты времени. Исследуется зависимость потребной точности измерений от программы проведения измерений и от параметров, определяющих движение центра масс космического аппарата, с учетом ограничений, наложенных на ширину коридора входа в атмосферу планеты. Приводится оценка затрат характеристической скорости на одно- и двухимпульсную коррекцию.

1. Рассмотрим движение космического аппарата на участке подлета к планете, когда справедливо предположение о том,что на аппарат действует только притяжение планеты назначения, а возмущения, обусловленные притяжением Солнца и других планет, можно считать пренебрежимо малыми. В этом случае траектория подлета представляет собой гиперболу с фокусом в гравитационном центре планеты. Пусть хуг— планетоцентрическая правая система координат (фиг. 1). Ось 2 направлена параллельно асимптоте гиперболы подлета (навстречу вектору скорости космического аппарата на бесконечно большом удалении от планеты). Плоскость ху представляет картинную плоскость, в которой расположен вектор прицельной дальности — перпендикуляр, опущенный из начала

координат на асимптоту гиперболы подлета. Прицельная дальность •&) = | ] опре-

деляет наименьшее расстояние пролета космического аппарата от планеты без

учета ее притяжения [1, 2]. Величина на при заданной скорости однозначно связана с перицентрическим расстоянием гр (условным перицентром). Между допустимым отклонением перицентрического расстояния (8/"^)тах и шириной коридора входа в атмосферу ЬНВХ существует связь, которая определяется многими величинами (изменением плотности атмосферы по высоте, аэродинамическим качеством космического аппарата, высотой условного перицентра и др.). В дальнейшем для простоты будем полагать (Ьгр)тлх = ЬНВХ, гр — гпл (гпл — радиус планеты).

Отклонение условного перицентра пересчитывается на отклонение в картинной плоскости 5ш> по формуле

Ъгр = 1рЪи}, (1)

__ L

где = ( dГр ^ = f 1 +———частная производная от r„ no w, вычислен-p \dw J \ wV^J

ная на номинальной траектории при = const [3], ¡j. — гравитационная постоянная планеты (для Марса (л. = 42,88-103 кмз/сек2), В ряде задач, связанных с навигацией и коррекцией траектории космического аппарата при подлете к планете, предпочтительнее использовать в качестве корректируемого параметра прицель-

ную дальность да вместо Гр\ на достаточно большом расстояний от планеты скорость полета V постоянная (фиг. 2), причем Ух= Ку =0; >Уг = V — , поэтому

щ = (8 4-51^) Т, где Т — время полета до картинной плоскости. Это поз-

воляет упростить алгоритм обработки результатов трдекторных измерений [4) и допускает сравнительно простой и в то же время Достаточно точный расчет величин корректирующих импульсов [5].

Определим положение и скорость космического аппарата в выбранной системе координат хуг вектором состояния R = (x,y,z4 Vx, Vyi_ Vz)r („т“ — означает

» —>

транспонирование). В начальный момейт времени R (0) = /?0 5 /?0, где /?0 =

= (*о> Уп> zo> 0, 0, — V'00)T, а 8/?0—вектор случайных Начальны* отклонений, распределенных по нормальному закону с йулевым математическкм ожиданием и известной корреляционной матрицей Кд . —.

2. Для рассмотрения возмущенного движения перейдем к оскулирующим элементам, т. е. к параметрам qu q2, . . . , q6, которые однозначно определяют траекторию и являются постоянными величинами, за исключением моментов времени, когда проводится коррекция траектории. Параметры траектории выберем Таким образом, чтобы первые два параметра были корректируемыми. В качестве таких параметров рассмотрим компоненты вектора W прицельной дальности в картинной плоскости qx=wx, q2 — wy (см. фиг. 1). Линеаризованные относительно опорной траектории уравнения возмущенного движения космического аппарата имеют вид

dtb4-- л'и- (2)

Здесь

bq = (b_qlf 8 q2...8ç6)T — случайный вектор отклонений параметров траектории;

. и — вектор управляющих воздействий, u=AV5(i — т),

где Д К—вектор корректирующего импульса скорости,

8 (t — т) — 8-функция;

А — матрица 6Хт частных производных (т — размерность вектора управляющих воздействий).

В начальный момент времени М(bqa) = 0, а корреляционная матрица определяется по формуле .

М(8?0, bql)=QoKRoQl. (3)

где Q0— матрица 6x6 частных производных (г, у = 1, ... ,6) от параметров

о Rj

q( по компонентам вектора состояния, вычисленная в начальный момент f=0; KR —корреляционная матрица случайных отклонений вектора состояния при ¿ = 0. Два верхних диагональных элемента матрицы Ко представляют начальные (априорные) дисперсии компонентов вектора прицельной дальности о и а2^. В случае статистической независимости Ътх и оwy априорная дисперсия отклонения в картинной плоскости вычисляется по формуле '

о2 = Е0 = а2 + а2 , ио/0 о “д,а т

Пусть в заранее известные моменты времени th ..., tN с помощью бортовых

средств измеряются углы между направлениями на две звезды и на центр планеты

и 03 угловой диаметр планеты 03 (см. фиг. 1). В линейном приближении для

любого момента времени t можно записать:

• 80г = ф;8?г+£ (г = 1, 2....N), •" (4)

где 0г = (0,, 02, 03)т —вектор измеряемых величин; £г = (Ciг, £гг> г)т — вектор ошибок измерений; фг — матрица 3X6 частных производных от измеряемых величин по параметрам траектории qt, q2,..., q6, вычисляемая в момент t.

Предположим, что измерения содержат случайные ошибки Çj = Ç2, С3,

каждая из которых имеет нормальное распределение, причем в любой момент

времени/г(0< г <ЛГ) величина М(Сг) = 0, а корреляционная матрица является диагональной: : j : : . ,

Л; = М(?;, 11) = 4 Pi.., . (5)

Здесь по — дисперсия единичного измерения; Pi — известная матрица весов

■ “г ■ • , - -

ошибок измерений: ;

Х!Р\ Q 0

Рг = 0 11Рг 0

0 0-1/а

По результатам измерений величин 0г- (/ — 1..../V) можно получить оценку

отклонений параметров траектории с использованием методов статистического линейного анализа [6] или с помощью оптимальной теории фильтрации [7].

Вследствие принятых допущений М (&<70) = М (6#0) = О, М (£;) = 0 возможные отклонения определяются с помощью дисперсии оценки. В частности, максимальное отклонение в картинной плоскости с вероятностью 0,9973 можно определить по правилу (бортах = 3»ЯА[, где “Ь 9?2дг — дисперсия отклонения в кар-

тинной плоскости, вычисленная после проведения всех N измерений.

Сформулируем следующую задачу: определить наибольшие допустимые

ошибки угловых измерений (80щах = 3с0), проводимых в назначенные моменты

времени <], <2...¿н так> чтобы дисперсия отклонения в картинной плоскости,

полученная по совокупности всех измерений, удовлетворяла условию:

где Ьгр тах — максимальное допустимое отклонение перицентрического расстояния; £п=—2- — частная производная от гп по отклонению в картинной плои ды> скости.

3. При сделанных выше допущениях о распределении ошибок траекторных

измерений С,- и начальных отклонений от номинальной траектории 8Я0 сформулированная задача решается путем использования рекуррентных соотношений, полученных в работах [4] и [8]. Корреляционная матрица К{+\ ошибок оценки отклонений параметров траекторий 9|, в момент ^ + 1 вычисляется с уче-

том уравнений (2), (4) и (5) по формуле

К1 + 1 = Кг [Е -Ф1+1(А, + ф/+1 К, Ф1+1ГЧ/+ !**], (8)

где Кг — корреляционная матрица, вычисленная для момента времени t■l^,

Фг+1 — матрица 3x6 частных производных измеряемых величин 9^ в2, 03 по параметрам траектории ^ ....<76, вычисленная для момента вре-

мени ¿; + 1;

А,- = од{ Р{ — корреляционная матрица размерности 3X3 ошибок измерений величин 0,, 02............... 03.

На первом шаге используется априорная матрица К0, определяемая по формуле (3). Затем для произвольного значения ое проводится N вычислений с помощью рекуррентной формулы (8), в результате чего получается матрица Кдг. Два первых верхних элемента диагональной матрицы Кдг дают представление

о среднеквадратическом отклонении компонентов корректируемого параметра — вектора прицельной дальности. Условие (7) проверяется с помощью этих элементов матрицы К г Если

1 Г 2 ] _2 йГотах

V * а ' -----ос--- *

* ч\ N 35р

тогда процесс повторяется с новым значением а0 и т. д., до тех пор, пока с заданной точностью не выполнится условие

Л/ о2 +”¡2 = ЪГр шах

' д1Лг Ч2М 3 \р

Полученное при этом значение определяет максимальную среднеквадратическую ошибку угловых измерений £0шах = Зае, при которой с вероятностью

5/”

0,9973 выполняется условие | бда | .<;—р тах. ^ остальным четырем диагональ-

Р

ным элементам матрицы К^ можно определить среднеквадратические отклонения некорректируемых параметров <73, ?4, #5, д6.

Заметим, что использование рекуррентного соотношения (8) в отличие от метода наименьших квадратов позволяет решить задачу при произвольных интервалах измерений tiJrl — (< = 0, 1,..., ДГ) и при переменном составе измерений (0,-, 02..................0Л) важно только, чтобы в каждый момент времени была

заранее известна корреляционная матрица ошибок измерений Аг. Полученные в результате решения сформулированной задачи элементы матриц /С,- (/ = 1,2,..., Ы)

в моменты времени ¿ц <2. • ■ ¿я запоминаются для расчета величины корректирующих импульсов и определения их оптимального положения на траектории.

4. В более простой постановке рассматриваемая задача допускает аналитическое решение. Пусть измеряются только два угла-0] и 02—(см. фиг. 1) в моменты времени ¿¡, и определяются только корректируемые параметры дх = тх

и = ту. Можно показать, что в этом случае матрица — определится

обследующим образом:

Ф* = ^-Е, (9)

Гк

где Е — единичная матрица (2X2), г* — расстояние от космического аппарата до планеты в момент проведения измерений.

Матрица частных производных <2^ упрощается:

С д(ди д,) _|| 1 0 0 гА/Км 0 0 11

* дг, дУ II 0 1 0 0 г*1уа0 0 II

Если корреляционная матрица начальных отклонений К^ имеет диагональный вид, причем а2 = а2 = а2 = а2 ~2 — "2 — "2-----------2

**0 .Уо гО М>

ат = ат =от = , тогда получим:

хо У о *о 0

Ко “во**. О1“

<7:о

<720

(10)

■ о" го — начальное расстояние до планеты.

При прежних допущениях об ошибках измерений предположим, что корреляционная матрица ошибок измерений имеет вид

Л :

4 0

0 2

ей

= о? Е = сопв(,

где Е — единичная матрица (2X2).

Рекуррентная формула (8) приводится к виду

*1+1 = *»

Е +

1

'¡+1

+ '

Л Е

(И)

где од —диагональные элементы матрицы К1 на г-ом шаге. Применив формулу (11) последовательно N раз, при начальном условии (10) после упрощений получим

2

<7о

1

1

.2 ^ _2 °0 7~\ Г1

(12)

где г-1 = г0 — Дг, г2 = г0 — 2Дг..... г1Я = г0 — МДг, Дг — шаг изме-

рений, Ык = Ь — 1н.

Этот же результат можно получить с использованием формул линейного статистического анализа [9] или с помощью фильтра Калмана путем перехода от непрерывных к дискретным измерениям [10].

' ' : : - - N ' ' "

- При 4^ С I получим Тогда из уравнения (12) определим

' П) ^ г‘\ гогх

допустимую ошибку угловых измерений:

- з„

И'ЛГ

УЫ ' 1 , (13)

У Гп-Гл7

V а2 -о* Г

' №, ШДГ

где аш0 = ад0 У?, а а определяется из условия (7). Если положить

тогда с учетом (7) получим удобную формулу для вычисления допустимой среднеквадратической ошибки угловых измерений (в радианах)

*9 - В^ГХ У-;~г ~ ’ (;4)

о$р Г Го гы

где /-0, Гд, — расстояния, соответствующие началу и концу измерений;

Ы— число измерений; шах — максимальное допустимое отклонение перицентрического расстояния,

дгр

дни

С помощью формулы (14) можно оценить требования к измерительным системам в зависимости от параметров траектории подлета к планете (гр, Ур) и допустимого отклонения перицентрического расстояния Ьгр гаах при заданной программе траекторных измерений (г0, ■V).

5. Определим допустимые ошибки измерений и необходимые затраты характеристической скорости на коррекцию траектории космического аппарата при подлете к Марсу при условии ,

Мшах<-^-8/>шах- ! (>5)

■ ■ : *Р

Параметры траектории: скорость подлета == 6 км/сек; перицентрическое

расстояние гр = гпл — 3332,1 км, при этом $¿, = 0,0935. Пусть измеряются углы 9^ % и угловой диаметр планеты 03 (см. фиг. 1). Весовые коэффициенты в корреляционной матрице ошибок измерений (5) примем равными соответственно следующим значениям: рг= р2 — 1, рв — 0,\. Измерения начинаются на расстоянии г0, равном радиусу сферы влияния (для Марса гсфвл = 1,8 млн. «л), проводятся через равные интервалы времени и заканчиваются за = 1, 2 и 3 суток до подлета к планете. Число сеансов измерений Примем равным 25. Начальные ошибки характеризуются величинами

о = а_ = = 1000 км, =и. =1 м/сек.

< го хо Уо 0 г0

Необходимые затраты характеристической скорости на коррекцию вычислим для одно- и двухимпульсной коррекции при условии

2 : - ' ' ‘

. . Р £ ■ и) = а, (16)

1=1

где | 1 — модуль импульса скорости, и— необходимый запас характеристи-

ческой скорости на коррекцию (энергозатраты);, а — число, характеризующее уровень вероятности события (•) (примем а = 0,9973). Для расчета затрат характеристической скорости на коррекцию воспользуемся формулами, полученными в работе [11] в предположении, что каждый импульс должен полностью устранять уточняемое отклонение в картинной плоскости. При анализе влияния исполнительных ошибок будем считать, что они распределены по нормальному закону и не зависят от величины импульса коррекции, причем

М (610 = 0; М(61/2) = а^.

Результаты расчетов допустимой ошибки угловых измерений о0 без учета исполнительных ошибок приведены в табл. 1 и 2. Допустимая ошибка угловых

измерений, как и в упрощенной постановке [см, формулу (14)], пропорциональна допустимому отклонению в картинной плоскости Ьгртлх. Если сравнить полученные значения с вычисленными по формуле (14), то можно убедится, что расширение состава измерений путем добавления угла 03 позволяет снизить требования к точности измерения углов и 02 даже несмотря на то, что в нашем примере угол 03 измеряется грубее (<se =10а9 =10о9). Например, для N — 25, 8грШах ~ км, rN = 518400 км (xN = 1 сутки) по формуле (14) получим с0=44,6О5, а из табл. 2 о,= 119,515. .. :

Допустимая ошибка угловых измерений обратно пропорциональна — = '1 —iL. Этот факт объясняется тем, что на рассеивание в картинной пло-

X ^00 ' : '

скости наложено условие (7), поэтому чем дальше от планеты заканчиваются измерения, тем точнее должны быть определены параметры траектории. Влияние числа измерений на а0 при /q = const, rN = const можно установить по формуле (13): допустимая ошибка измерений увеличивается пропорционально VN-~ I-

• Таблица 1

N = 25; тдг = 1 стуки; crj — О

arp шах [км] U\l U\ 11 xj Ц [сутки] Hi 11

25 119,515 51,265 23,118 19,061 2,681 8

20 95,586 51,265 22,387 19,081 2,681 8

. 15 71,675 51,265 21,571 18,405 2,779 7

Таблица 2

N = 25; Ъгр тах = 25 км\ = О

SXN [сутки] а9 V U\\ V\ 11 till [сутки] *111

1 119,515 51,265 23,118 19,061 2,681 8

2 37,273 25,632 18,261 16,723 3,059 7

3 7,985 17,088 16,028 15,517 3,302 9

Таблица 3

N. — 25; &гртй% — км; xjy — 1 сутки

V [М/сек] °е С/1 i'll tflll Т1 И ^1 11

0 119,515 51,265 23,118 19,061 2,681 8

0,05 12,711 51,265 23,347 19,807 2,582 9

0,10 7,999 51,266 21,940 18,402 2,779 7

Примечание. В таблицах приняты следующие обозначения: и У—энергозатраты при одноимпульсной коррекции, отнесенные

_ К °У0'’ ' ■

ии—энергозатраты при двухимпульсной коррекции, отнесенные

_ к V-

и1и — энергозатраты на первый импульс при двухимпульсной коррекции, отнесенные к

тд,—оставшееся время полета до планеты после А^-го измерения; Т1 и—оставшееся время полета после проведения первой коррекции (при двухимпульсной коррекции); л — число сеансов измерений до проведения первой коррекции (при двухимпульсной коррекции).

Величина энергозатрат в случае одноимпульсной коррекции практически

'О :

зависит только от начального разброса в картинной плоскости Е0 = з2 -f-

. /О \2 2

+ 1-р—-I Оуо и от времени полета до планеты оставшегося после проведения

коррекции (проведение коррекции по времени совпадает с окончанием последнего измерения). Действительно, энергозатраты в случае одноимпульсной коррекции определяются по формуле (см. работу [11]) [/< = — — 2^.

тЛг

С учетом формулы (12) (при измерении ТОЛЬКО 0! и 02) получим

Но поскольку Iq'S) (X0ßN ~ приближенно можно считать

о _____

U, = ——поэтому влияние N и 8r_fflax на энергозатраты очень незначи-хЛг

тельно (см. табл. 1 и 2).

В случае двухимпульсной коррекции время приложения первого импульса находилось путем перебора точек на плоскости fL — —^ , в которых может

быть проведена коррекция [11]. Эти точки соответствуют моментам проведения измерений. Второй импульс прикладывался в момент tN, т. е. сразу же после окончания всех измерений, когда выполнено условие (7). Критерием выбора времени проведения первой коррекции является минимум суммарных энергозатрат:

Uu= min [i/j,] (tN) + U2 п (¿г)] = 3 "l/*[М (| Д!/^ |) + М (| Д К21].

О <i<N г

Это выражение справедливо, когда один из импульсов является преобладающим. Результаты расчетов показывают, что первый импульс является преобладающим (см. табл. 1 и 2), поэтому зависимость суммарных энергозатрат от времени тд, проявляется в меньшей мере, чем в случае одноимпульсной коррекции, а ограничение по Ьгр тах действует заметнее, поскольку это ограничение

влияет на характер зависимости 2 последовательно, на перераспределение

импульсов. Но в целом при изменении 5/-ртах суммарные затраты изменяются мало. Суммарные затраты при двухимпульсной коррекции вдвое меньше, чем в случае одноимпульсной.

Таким образом, как и при одноимпульсной коррекции суммарные энергозатраты в основном определяются начальной корреляционной матрицей Но это ограничение в сильной мере влияет на допустимые ошибки угловых измерений. Уменьшить это влияние можно соответствующим подбором параметров к, г0, [см. формулу (14)].

Влияние исполнительных ошибок в основном сказывается на допустимой точности траекторных измерений: дисперсия ошибки определения рассеивания в картинной плоскости в момент проведения последней коррекции должна удовлетворять условию

V I „2 — I 8гр щах Т abV XN — ^

Подставив это выражение в уравнение (14), получим

Поэтому, когда а* -> —Р_Щ^_ > измерения должны быть идеальными (чв -*■ 0)

Зхд, ’

иначе не выполнится условие (7). При этом расходы на коррекцию уменьшаются из-за уменьшения ов, причем при одноимпульсной коррекции незначительно (вследствие преобладающего влияния 20), а ПРИ Двухимпульсной — в большей мере (вследствие изменения положения первого импульса). Результаты расчета и суммарных энергозатрат с учетом исполнительных ошибок приведены в табл. 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космического летательного аппарата по данным траекторных измерений. „Космические исследования“, т. I, вып. 1, 1963.

2. Л и д о в М. Л., Охоцимский Д. Е., Тесленко Н. М. Исследование одного класса траекторий ограниченной задачи трех тел. „Космические исследования“, т. II, вып. 6, 1964.

3. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М., „Наука“, 1966.

4. G a t е s С. R., Gordon Н. J. Planetary approach guidance. J. Spacecraft and Rockets, v. 2, № 2, 1965.

5. Платонов К. А. Исследование свойств корректирующих маневров в межпланетных полетах. „Космические исследования“, т. IV, вып. 5, 1966.

6. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физматгиз, 1963.

7. Калман Р. Е., Б ь ю с и Р. С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. Труды Амер. общества инженеров-механиков. Серия Д „Техническая механика* (русск. пер)., т. 83, № 1. М., Изд. иностр. лит., 1961.

8. Ярошевский В. А. Синтез статистически оптимальных линейных систем управления конечным параметром. Труды ЦАГИ, вып. 1090, 1968.

9. Богуславский И. А. О синтезе стохастического оптимального управления. Сб. „Современные методы проектирования систем автоматического управления“. Под ред. Б. Н. Петрова, Б. В. Солодовникова, Ю. А. Топчиева. М., „Машиностроение“, 1967.

10. Петухов С. В. Влияние состава траекторных измерений на коррекцию траекторий полета космических аппаратов. „Космические исследования“, т. VI, вып. 3, 1968.

11. Ярошевский В. А., Парышева Г. В. Оптимальное распределение корректирующих импульсов при однопараметрической коррекции. „Космические исследования“, т. III, вып. 6, 1965; т. IV, вып. 1, 1966.

Рукопись поступила 15/ VII 1969 г.