CC BY
101
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
УДК 681586.772: 681.3.08
А. В. Самошин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ВЫПОЛНЕННЫХ В ВИДЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ МЕМБРАНЫ, ЖЕСТКОЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО НАРУЖНОМУ КОНТУРУ
А. V. Samoshin
DEFINITION OF AN ACCURACY OF NONLINEARITY OF THE ELASTIC ELEMENTS EXECUTED IN THE FORM OF A CYLINDRICAL MEMBRANE, RIGIDLY FIXED ON AN EXTERNAL CONTOUR
Аннотация. Актуальность и цели. Рассмотрены методы определения нелинейности упругих элементов, выполненных в виде цилиндрической мембраны, жесткозакреп-ленной по наружному контуру и нагруженной давлением. Целью работы является выявление математической зависимости между нелинейностью упругого элемента и основными конструктивными параметрами. Материалы и методы. Использованы существующие аналитические зависимости для изотропных материалов, а также нелинейная теория механики деформируемого твердого тела, реализованная в методе конечных элементов. Результаты. Получена полиномиальная зависимость, расширяющая существующие аналитические методы и позволяющая дать количественную оценку нелинейности упругого элемента на стадии проектирования. Выводы. Проведена сравнительная оценка с экспериментальными данными, доказывающая состоятельность полученной зависимости и ее пригодность в инженерных расчетах.
Abstract. Background. The methods for determining the non-linearity of the elastic element, embodied as cylindrical membranes firmly fixed outer contour and by the pressure loaded. The aim is to identify the mathematical relationship between the nonlinearity of the elastic element and the basic design parameters. Materials and methods. Use existing analytical relationships for isotropic materials, as well as the theory of nonlinear mechanics of deformable solids, implemented in the finite element method. Results. We obtain a polynomial dependence, expanding the existing analytical methods and allows to quantify the nonlinearity of the elastic element in the design stage. Conclusions. A comparative evaluation of the experimental data, proving the consistency of the resulting dependence and its suitability in engineering calculations.
Ключевые слова: метод конечных элементов, погрешность нелинейности, упругий элемент, мембрана, датчик давления.
Key words: finite element method, nonlinearity accuracy, elastic element, membrane, pressure sensor.
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
В основе работы любого датчика заложен определенный физический эффект, который преобразует входную величину (давление, силу и т.д.) в выходную (сигнал).
В общем случае отношение выходной величины (Y) к входной (X) определяет коэффициент преобразования K чувствительного элемента (ЧЭ):
Y
K = —. (1)
X, v '
Отношение изменения выходной величины SY к соответствующему изменению входной величины AX называется чувствительностью датчика S:
S = —. (2)
AX
Если зависимость между выходной и входной величинами является линейной, то коэффициент преобразования и чувствительность равны. При линейной зависимости между входной и выходной величинами упрощаются схемные решения нормирующего преобразователя.
Погрешность от нелинейности измерительного преобразователя (ИП) может являться одной из составляющих основной погрешности [1], поэтому ее уменьшение способствует улучшению метрологических характеристик всего изделия.
Нелинейность ИП может условно разделяться на нелинейность функции преобразования и механическую нелинейность.
Нелинейность функции преобразования возникает, например, в аналого-цифровых преобразователях (интегральная нелинейность) [2].
Механическую можно разделить [3] на геометрическую и физическую нелинейности, а также нелинейность, вызванную контактными взаимодействиями тел.
Геометрическая (конструкционная) нелинейность зависит от соотношения геометрических размеров упругого элемента (УЭ) и степенью его деформирования.
Физическая нелинейность определяется характеристиками материала УЭ, которым свойственна нелинейная связь между приложенным усилием и деформацией, возникающей под действием приложенной силы (резины, полимеры и т.д.). В случае использования ЧЭ из металла (при условии, что максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не превышают определенную величину, именуемую пределом пропорциональности) данной составляющей нелинейности можно пренебречь.
Нелинейность, вызванная контактным взаимодействием тел, возникает в случае вхождения в контакт двух деталей под действием внешних сил, а также наличия трения в контактирующих деталях. Данный тип нелинейности несвойственен ИП и им также можно пренебречь.
При проектировании УЭ наибольший интерес представляет геометрическая нелинейность. В работе [4] говорится о том, что в конструкциях с неравномерным распределением напряжений деформация материала в опасных точках превышает допустимое значение уже тогда, когда в других точках конструкции она еще далека от этого значения. Это вызывает появление нелинейности намного раньше, чем в конструкциях с одинаковыми напряжениями по всей поверхности упругого элемента. С увеличением прогиба жесткозакрепленной по краям или контуру пластины или мембраны происходит удлинение нейтральной линии, что приводит к появлению дополнительных напряжений. В результате этого возникает нелинейность, не связанная со свойствами материала и зависящая только от геометрических соотношений размеров. Согласно данной методике нелинейность жесткозакрепленной по контуру мембраны без жесткого центра определяется выражением
Y = р (RV.100, (3)
17,2 E { h )
где P - воздействующее давление; Е - модуль упругости материала; R - радиус мембраны; h - толщина мембраны.
В работе [5] нелинейность жесткозакрепленной по контуру мембраны определяется выражением
52
У =
-38,5х2
a i 2 b1+X
где x - относительный прогиб; а, b - безразмерные коэффициенты;
X =
w
здесь ^ - прогиб мембраны; к - толщина мембраны.
Безразмерные коэффициенты а, Ь для мембраны без жесткого центра равны
5,33 b (7-ц)2 a = -.-т, b =:
(1 -ц2) [3-(1 -ц)
для мембраны с жестким центром:
(7-ц)
1+,! )2 J г4
+ =
(3-ц)2
a =
5,33р2
(1 -ц2 )(р4-1 - 4р2 ln р)
b = -
(1+ц)р2
(1 -ц)
1 -, р р
1 -, I
р
где р - относительный радиус; ц - коэффициент Пуассона,
R
Р = —,
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
здесь R - радиус заделки мембраны; r - радиус жесткого центра.
В настоящее время при проектировании изделия широко применяют метод конечных элементов, реализованный в таких программах, как Ansys, Femap, модуле Simulation программы SolidWorks и др.
Проведем расчет определения нелинейности по формулам (3)-(8), а также с использованием расчетного комплекса Ansys для экспериментального образца датчика давления, УЭ которого представляет собой жесткозакрепленную по наружному контуру мембрану с расположенными на ней тензорезисторами, изготовленную из прецизионного высоколегированного сплава.
Величина нелинейности в ходе эксперимента определялась по выходному сигналу (Утенз) с мостовой схемы и прогибу центра мембраны (Упрогиб), фиксируемому цифровым индикатором (с ценой деление 0,001 мм), в результате градуирования (в 11-ти точках: 0Рном, ^LP^ ..., 1Рном ) по формулам
P
P
Упрогиб
ном
P
и0 - U i
N W
P W
ном max
100,
-100,
(9)
где Р7 - давление в 7-й точке градуирования; Рном - номинальное давление; и0 - выходной сигнал в нулевой точке градуирования; и7 - выходной сигнал в точке градуирования; N - нормирующая величина выходного сигнала; Ж7 - прогиб в 7-й точке градуирования; Wmax -максимальный зафиксированный прогиб;
N = U0 -Uw,
(10)
3
r
здесь U10 - выходной сигнал при давлении P
54
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Погрешность, определенная по величине выходного сигнала, состоит из нелинейности принципа преобразования и геометрической нелинейности. Во втором случае по величине прогиба мембраны определяется только геометрическая составляющая нелинейности.
Величина нелинейности расчетным способом определялась с учетом наложенных допусков геометрических размеров, в результате чего расчет проводился для двух расчетных сборок (как и в случае с аналитическими расчетами):
1) расчетная сборка с максимальной чувствительностью (при минимальной толщине и максимальном диаметре мембраны);
2) расчетная сборка с минимальной чувствительностью (при максимальной толщине и минимальном диаметре мембраны).
На рис. 1 изображены схема и внешней вид экспериментальной установки. Экспериментальная установка состоит из двух стопорных винтов 1 для фиксации приспособления 2 с УЭ 5 и индикаторной головкой (цифровой индикатор) 3, в которой установлена измерительная игла 4. Приспособление 2 представляет собой толстостенную коническую оболочку вращения со смотровым окном треугольной формы, изготовленную средствами аддитивного производства на 3Б-принтере из материала АБС с расчетной жесткостью относительно измерительной оси ~ 1,16 Н/мкм.
Рис. 1. Экспериментальная установка: а - схема; б - внешний вид (без индикаторной головки)
Следует также отметить, что экспериментальное значение погрешности нелинейности, полученное по результатам измерения прогиба мембраны цифровым индикатором, является заниженным, поскольку при контакте измерительной иглы индикатора с поверхностью мембраны происходит передача усилия прижима, направленного в противоположную сторону прогиба мембраны.
Результаты расчетов и эксперимента приведены в табл. 1.
Таблица 1
Геометрическая составляющая погрешности нелинейности УЭ
Нелинейность, %
Эксперимент (упрогиб) 0,25
По методике [2] 1,3-1,64
По методике [3] 3,06-4,83
Метод конечных элементов 0,22-0,33
Из данных табл. 1 видно, что полученная в результате эксперимента погрешность нелинейности (у прогиб), вносимая геометрией мембраны и определенная по прогибу, укладывается
в расчетный диапазон метода конечных элементов. Аналитические решения неудовлетворительно согласуются с результатами эксперимента. Дополнительные расчеты показывают, что применение аналитических зависимостей весьма ограничено. Положительные результаты достигаются лишь при определенных сочетаниях значений геометрических размеров, при этом по аналитическим зависимостям невозможно построить характеристику, дающую визуальное представление о поведении УЭ при различных давлениях (характеристика всегда принята затухающей, что свойственно плоским мембранам).
На рис. 2 приведены погрешности нелинейности, полученные в результате эксперимента и моделирования в программном комплексе Ansys.
03
0.25
Воздействующее давление, МПа
Рис. 2. Погрешности нелинейности: 1, 2 - по результатам численного расчета сборки с максимальной и минимальной чувствительностью; 3 - по результатам замеров прогиба мембраны индикатором; 4 - по результатам замера величины выходного сигнала с мостовой схемы тензопреобразователя
Из рис. 2 видно, что характеристика погрешности нелинейности, определенной по выходному сигналу, имеет дискретный характер, при этом в большинстве случаев погрешность нелинейности имеет положительный знак. Как упоминалось ранее, характеристика плоской мембраны носит затухающий характер (вследствие удлинения нейтральной линии), следовательно, знак погрешности нелинейности должен быть отрицательным. Это подтверждается результатами численного расчета и замеров прогибов индикатором часового типа. Исходя из этого, нелинейность измерительного преобразователя составляет 0,26 %. Величина погрешности нелинейности первичного измерительного преобразователя (ПИП) по сравнению с геометрической составляющей нелинейности (табл. 1) изменилась на 0,01 %, при этом величина 5 (показана на рис. 2) нелинейности ПИП составляет 0,46 %. Данная величина в 1,82 раза больше погрешности геометрической нелинейности, полученной в результате эксперимента.
Результаты численных расчетов показывают, что для цилиндрической жесткозакреплен-ной по наружному контуру мембраны при неизменном значении R/h, получаемом различным сочетанием R и h, при воздействии постоянного давления величина геометрической нелинейности остается постоянной. Например, для мембраны с модулем упругости 190-200 ГПа (свойственно большинству легированных сталей, применяемых для изготовления упругих элементов) радиусом 2 мм и толщиной 0,1 мм (R/h = 20), а также радиусом 200 мм и толщиной 10 мм (R/h = 20) под действием давления 1 МПа величина геометрической нелинейности в обоих случаях составляет примерно минус 0,43 %, при этом прогибы мембран различны.
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
С ростом отношения R/h величина геометрической нелинейности возрастает, так при R/h = 30 величина геометрической нелинейности составляет минус 6,5 %.
На рис. 3, 4 изображена зависимость геометрической нелинейности цилиндрической мембраны, жесткозакрепленной по наружному контуру, при различном соотношении R/h под действием различного давления.
о
X
>s
о
5
X
0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14
0 0,2*^4 4 0, 6 0, 8 1 1 I I " I II hli я
Давление, МПа
R/h=10
■ R/h=15
R/h=20
R/h=30
Рис. 3. Геометрическая нелинейность цилиндрической жесткозакрепленной по наружному диаметру мембраны с различным соотношением R/h в диапазоне воздействующих давлений от 0,1 до 2 МПа
Рис. 4. Геометрическая нелинейность цилиндрической жесткозакрепленной по наружному диаметру мембраны с различным соотношением R/h в диапазоне воздействующих давлений от 2 до 100 МПа
Аппроксимировав данные рис. 3-4, получаем полиномиальную зависимость геометрической нелинейности цилиндрической жесткозакрепленной по наружному конуру мембраны:
Y = Ik -(Fу:
(11)
i=0
56
где у - геометрическая составляющая погрешности нелинейности, %; к, - коэффициенты полинома (приведенные в табл. 2, 3 для разных сочетаний R/h); Р - действующее давление, МПа.
Таблица 2
Коэффициенты полинома в диапазоне воздействующих давлений от 0,01 до 2 МПа
R/h i 0 1 2 3
10 Рг -5,520 • 10-4 -4,720 • 10-3 4,240 • 10-4 -7,410 • 10-4
15 Pi -1,01 • 10-3 -4,21 • 10-3 -4,46 • 10-2 6,11 • 10-4
20 Рг 2,020 • 10-3 -2,890 • 10-3 -0,441 0,034
30 Рг 0,219 -2,76 -5,600 1,840
Таблица 3
Коэффициенты полинома в диапазоне воздействующих давлений от 2 до 100 МПа.
R/h i 0 1 2 3
5 Рг -8,03 • 10-4 -5,89 • 10-4 -9,79 • 10-6 1,78 • 10-8
10 Рг 3,410 • 10-2 -1,100 • 10-2 -1,520 • 10-3 7,840 • 10-6
15 Рг 1,480 -0,579 4,580 • 10-3 -1,33 • 10-5
20 Рг 1,360 • 10-2 -1,330 2,01 • 10-2 -9,990 • 10-5
Результаты работы показывают, что существующие методики определения геометрической (конструкционной) погрешности нелинейности обладают малой сходимостью с результатами эксперимента. Наименьшее расхождение с экспериментальными данными наблюдается в случае использования метода конечных элементов. Полученная полиномиальная зависимость (11) дополняет известные аналитические методики [6] и может использоваться в качестве проверочного расчета при проектировании УЭ измерительных приборов, выполненных в виде цилиндрической жесткозакрепленной по наружному контуру мембраны.
Список литературы
1. Мурашкина, Т. И. Теория измерений : учеб. пособие / Т. И. Мурашкина, В. А. Мещеряков, Е. А. Бадеева. - М. : Высш. шк., 2007. - 152 с.
2. Серов, А. Н. Исследования погрешности измерения действующего значения напряжения, вызванной нелинейностью преобразования АЦП / А. Н. Серов, А. А. Шатохин // Ползуновский вестник. - 2013. - № 2. - С. 178-175.
3. Коробейников, С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел : моногр. / С. Н. Коробейников. - Новосибирск : Сибирское отделение РАН, 2000. - 256 с.
4. Левшина, Е. С. Электрические измерения физических величин: Измерительные преобразователи : учеб. пособие для вузов / Е. С. Левшина, П. В. Новицкий. - Л. : Энерго-атомиздат, 1983. - 320 с.
5. Заплетохин, В. А. Конструирование деталей механических устройств. Справочник / В. А. Заплетохин. - Л. : Машиностроение, 1990. - 660 с.
6. Андреева, Л. Е. Расчет упругих элементов машин и приборов / С. Д. Пономарев, Л. Е. Андреева. - М. : Машиностроение, 1980. - 326 с.
Самошин Алексей Владимирович
ведущий инженер-конструктор, Научно-исследовательский институт физических измерений (Россия, г. Пенза, ул. Володарского, 8/6) E-mail: alexsss13@gmail.com
Samoshin Aleksey Vladimirovich
leading engineer designer, Scientific-research Institute of physical measurements (8/6 Volodarskogo street, Penza, Russia)
УДК 681586.772:681.3.08 Самошин, А. В.
Определение погрешности нелинейности упругих элементов, выполненных в виде цилиндрической мембраны, жесткозакрепленной по наружному контуру / А. В. Самошин // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2015. - № 4 (14). - С. 51-57.
