CC BY
90
ИЗМЕРЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
УДК 621.3.032
В. С. Волков, М. В. Французов, Е. А. Рыблова
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
ДАТЧИКОВ ДАВЛЕНИЯ
V. S. Volkov, M. V. Frantsuzov, E. A. Ryblova
ANALYTICAL AND NUMERICAL SIMULATION OF SEMICONDUCTOR PIEZORESISTIVE PRESSURE SENSING ELEMENTS
Аннотация. Актуальность и цели. Целью исследования является определение границ применимости аналитических и численных методов расчета механических напряжений и прогибов мембран при создании чувствительный элементов полупроводниковый тензорезистивнык датчиков давления. Материалы и методы. Проведено аналитическое и численное моделирование радиального и тангенциального напряжений и прогиба мембраны с использованием допущений линейной теории изгиба тонких пластин. Результаты. Применение аналитических выражений для расчета прогиба и механических напряжений с подстановкой в них характеристик кремния для соответствующей кристаллографической плоскости и ориентации тензорезистров приводит к существенной погрешности при определении тангенциального напряжения. Причиной этого является условие равенства коэффициента Пуассона для всех направлений при выводе аналитических зависимостей, которые первоначально быьли получены для изотропного материала. Выводы. Аналитические зависимости могут быть использованы для расчетов напряжений и прогибов при подстановке в них значения коэффициента Пуассона, усредненного по всем кристаллографическим плоскостям кремния. При этом погрешность результатов расчета относительно данных, полученных численным методом для анизотропной модели кремния, составляет порядка 5 %. Показано, что дальнейшие исследования в этом направлении необходимо направить на исследование нелинейного изгиба мембран чувствительных элементов и исследования влияния размера конечно-элементной сетки на результат численного моделирования.
A b s t r a c t. Background. The object of the research is determining of limits of analytical and numerical methods applicability for mechanical stresses and deflections calculation for membranes of semiconductor piezoresistive pressure sensors. Materials and methods. Analytical and numerical simulation of radial and tangential stress and deflection of the membrane using the assumptions of the thin plates linear bending theory was completed. Results. The use of analytical expressions for calculation of deflection and stresses for physical characteristics of silicon corresponding chosen crystallographic plane and orientation of piezoresistors leads to significant errors in the determination of tangential tension. The reason for this is the assumption of equality of Poisson's ratio for all directions in the derivation of analytical dependences, which were originally derived for an isotropic material. Conclusions. The analytical expressions can be used for calculations of stresses and deflections in substituting in them the values of Pois-son's ratio, averaged for all crystallographic planes of silicon. In this case, the error of the calculation results as compared with the data obtained by the numerical method for anisotropic models of silicon, is
about 5 %. The further research should be directed to the study of membranes nonlinear bending and study the influence of the size of finite element mesh on the numerical simulation results.
Ключевые слова: полупроводниковый тензорезистивный датчик давления, чувствительный элемент, кремниевая мембрана, радиальное и тангенциальное механическое напряжение, аналитическое моделирование, численное моделирование.
Key words: semiconductor piezoresistive pressure sensor, sensing element, silicone membrane, radial and tangential mechanical stresses, analytical simulation, numerical simulation.
Для создания чувствительных элементов (ЧЭ) датчиков давления широко применяется способ преобразования измеряемой величины в деформацию или прогиб упругого элемента. Основными видами упругих элементов являются жестко защемленные балки (кантилеверы) и мембраны различной геометрической формы. При этом наиболее полно отвечает современным требованиям изготовление ЧЭ датчиков с использованием полупроводниковой технологии и микроэлектромеханических систем (МЭМС) [1-9].
Монокристаллический кремний, традиционно применяемый для изготовления полупроводниковых ЧЭ, является анизотропным материалом, что существенно усложняет их аналитический расчет, поэтому механические характеристики ЧЭ (напряжения и прогиб) рассчитываются так же, как и для изотропных материалов, с учетом конкретных значений физических параметров для выбранной кристаллографической плоскости кремния [1, 2]. Очевидно, что такой подход к расчету характеризуется определенными погрешностями полученных результатов, но подобные расчеты могут быть сделаны вручную или с использованием простых и доступных программ математического моделирования [10-13]. С другой стороны, в настоящее время доступны специальные программные средства для численного и имитационного моделирования МЭМС-устройств, позволяющие определять конструктивные параметры ЧЭ с учетом анизотропии физических свойств с большей точностью, но при этом такие программы требуют значительных программно-аппаратных ресурсов [10-13]. Поэтому представляется актуальной задача определения применимости аналитического и численного подходов к расчету механических характеристик ЧЭ.
При использовании кремниевых мембран для создания ЧЭ тензорезистивных датчиков давления применяется радиально-тангенциальное расположение тензорезисторов [1]. Аналитические выражения для расчета радиальных и тангенциальных механических напряжений зачастую не позволяют полностью учесть влияние анизотропии свойств материала, так как они строятся по аналогии с изотропными моделями, в которые просто подставляются соответствующие коэффициенты, учитывающие выбранную кристаллографическую плоскость кремния и направления, вдоль которых ориентированы тензорезисторы.
Традиционно при проектировании ЧЭ датчиков давления в виде мембран стараются обеспечить линейную зависимость механического напряжения и прогиба от давления, предполагая для этого, что края мембраны жестко закреплены, диаметр мембраны во много раз превышает ее толщину, максимальный прогиб мембраны не превышает 20 % от толщины (линейная теория изгиба) [6-9].
Для нахождения толщины мембраны h необходимо найти максимальное значение напряжения, которое возникает на окружности мембраны. Максимальное значение напряжение определяется по формуле [1, 2]:
1PR_
4
где R - радиус мембраны; P - максимальное приложенное давление. Выразим из формулы (1) толщину h:
(1)
^ *
2 '
P
(2)
Рассмотрим ЧЭ в виде круглой жесткозащемленной кремниевой мембраны диаметром 3 мм, ориентированной в плоскости (100), под действием давления Р = 1-106 Па.
Примем максимальное механическое напряжение атах = 400 МПа [1, 2]. Тогда толщина Н, рассчитанная по выражению (1), будет равна 64,95 мкм. Примем значение Н = 65 мкм.
Радиальное напряжение, тангенциальное напряжение и прогиб мембраны соответственно рассчитываются по следующим формулам [1]:
а, =■
3PR2
8h2
(1 + ц)-|r | (3 + ц)
(3)
3PR2
at =-
8h2
(1 + ц)-| r | (1 + 3ц)
w = ■
P 64D
(R2 - r2 )
(4)
(5)
Eh3
где D =-— - цилиндрическая жесткость; r - текущая координата радиуса; ц - коэффи-
12(1 -ц2)
циент Пуассона (для плоскости кремния (100) и ориентации тензорезисторов вдоль кристаллографических направлений [011] ц = 0,063) [1, 2].
На рис. 1 представлены зависимости от координаты радиального и тангенциального напряжений, рассчитанные по формулам (3), (4); на рис. 2 представлена зависимость прогиба от координаты, рассчитанная по формуле (5).
а, МПа
400
240
80
- 80
240
■ 400'-
- 4 - 4 - 4 - 3 - 3
0 3x10 4 6x10 4 9x10 4 1.2x10 3 1.5x10 3
г, м
Рис. 1. Радиальные (сплошная линия) и тангенциальные (пунктир) напряжения на поверхности кремниевой мембраны
На рис. 3 представлены результаты численного моделирования прогиба кремниевой мембраны методом конечных элементов для двух случаев - задания свойств кремния изотропной и анизотропной моделью. Из анализа рис. 3 видно, что использование изотропной модели характеризуется существенной погрешностью - максимальный прогиб, соответствующий изотропной модели, на 25 % меньше прогиба, соответствующего анизотропной, при этом максимальный прогиб, соответствующий анизотропной модели, практически точно совпадает с аналитически полученным значением (см. рис. 2).
На рис. 4, 5 представлены зависимости от координаты радиального и тангенциального напряжений, полученные для изотропной и анизотропной моделей кремния численным моделированием. Численные значения напряжений для рассматриваемого ЧЭ на краю мембраны в местах расположения тензорезисторов, рассчитанные различными способами, представлены в табл. 1.
V, м
-6x10
■ 1.8x10
-2.4x10
Рис. 2. Прогиб кремниевой мембраны, рассчитанный аналитически
V, мкм
"I. 0.4 0.6
Рис. 3. Результаты численного моделирования прогиба мембраны (пунктир - изотропная модель кремния, сплошная линия - анизотропная)
0
- 5
5
5
- 5
- 4 - 4 - 4 - 3 - 3
3x10 4 6x10 4 9x10 4 1.2x10 3 1.5x10 3
0
г, м
г, мм
Рис. 4. Результаты численного моделирования для изотропной модели кремния (сплошная линия - радиальное напряжение, пунктир - тангенциальное)
Анализ данных табл. 1 показывает, что для радиального напряжения значения, полученные аналитически, больше, чем для изотропной и анизотропной на величину, не превышающую 10 %. В то же время значения тангенциального напряжения, полученные аналитически, приблизительно в пять раз ниже значений для изотропной и анизотропной моделей.
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
а, МПа
4 0.2 0,4 № ОД I 12 1.4 [Б
Г, ММ
Рис. 5. Результаты численного моделирования для анизотропной модели кремния (сплошная линия - радиальное напряжение, пунктир - тангенциальное)
Таблица 1
Результаты расчета и моделирования механических напряжений
Напряжения, рассчитанные аналитически по формулам (3), (4) при ц = 0,063 Напряжения, рассчитанные аналитически по формулам (3), (4) при ц = 0,33 Напряжения, полученные численным моделированием для изотропной модели кремния Напряжения, полученные численным моделированием для анизотропной модели кремния
аг, МПа а, МПа аг, МПа а, МПа а, МПа а, МПа аг, МПа а, МПа
400 27 400 132 370 125 360 100
По-видимому, такое существенное различие в значениях тангенциального напряжения, полученных разными способами, объясняется тем, что при аналитическом расчете по формулам (3), (4) значение коэффициента Пуассона принималось равным 0,063, что соответствует кристаллографической плоскости кремния (100) и ориентации тензорезисторов вдоль кристаллографических направлений [011], тогда как выражения (3) и (4) получены первоначально для металлов и подразумевают равенство коэффициента Пуассона по всем направлениям вследствие изотропии материала.
В таком случае более корректный результат дает подстановка в выражения (3) и (4) усредненного по всем кристаллографическим направлениям кремния коэффициента Пуассона ц = 0,33 [1, 2]. Результаты расчета напряжений и прогиба кремниевой мембраны в этом случае приведены на рис. 6, 7.
а, МПа 400
240 80 - 80 240 400
-4 -4 -4 -3 -3
0 3x10 4 6x10 4 9x10 4 1.2x10 3 1.5x10 3
г, м
Рис. 6. Радиальные (сплошная линия) и тангенциальные (пунктир) напряжения на поверхности кремниевой мембраны, рассчитанные аналитически при ц = 0,33
У
/ У
w, мкм
0
- 4х10-6
- 8х10-6
- 1.2х10-5
- 1.6х10-5
- 2х10-5
- 4 - 4 - 4 - 3 - 3
0 3х10 4 6х10 4 9х10 4 1.2х10 3 1.5х10 3
Г, м
Рис. 7. Прогиб кремниевой мембраны, рассчитанный аналитически при ц = 0,33
При объединении тензорезисторов, расположенных на поверхности мембраны, в полную мостовую схему, при условии идентичности характеристик тензорезисторов выходной сигнал будет определяться выражением
^вых = ип ^-а,), (6)
где я44 = 138,1 • 10-11 м2/Н - сдвиговый тензорезистивный коэффициент; ип - напряжение питания схемы [1].
Тогда относительная чувствительность может быть найдена по формуле
5 = 103 ^ К -а,). (7)
Результаты расчета относительной чувствительности и погрешности ее определения различным способом приведены в табл. 2. За действительное значение относительной чувствительности принималось значение, полученное численным моделированием для анизотропной модели.
Таблица 2
Результаты расчета относительной чувствительности и относительной погрешности
Способ определения значений механических напряжений Относительная чувствительность 5, мВ/В Погрешность, %
Аналитический при ц = 0,063 257 43,56
Аналитический при ц = 0,33 185 3,35
Численный для изотропной модели 169 -5,59
Численный для анизотропной модели 179 0
Анализ табл. 2 показывает, что использование аналитических выражений (3) и (4) при подстановке в них коэффициента Пуассона, соответствующего выбранной плоскости кремния, дает значительную погрешность, при этом использование усредненного значения коэффициента дает погрешность менее 5 %. В то же время использование при численном моделировании изотропной модели свойств кремния дает погрешность также порядка 5 %.
Таким образом, при расчете механических напряжений кремниевой мембраны в линейном приближении могут быть использованы как численные методы для изотропной анизотропной модели свойств кремния, так и аналитические выражения, выведенные для изотропных мембран при подстановке в них значения коэффициента Пуассона, усредненного по всем кристаллографическим плоскостям.
Задачами дальнейшего исследования является учет влияния размера сетки, формы и размера конечных элементов при численном моделировании на точность результатов, а также анализ применимости аналитических и численных моделей при нелинейном изгибе мембран.
Список литературы
1. Ваганов, В. И. Интегральные тензопреобразователи / В. И. Ваганов. - М. : Энергоатом-издат, 1983. - 136 с.
2. Распопов, В. Я. Микромеханические приборы : учеб. пособие / В. Я. Распопов. - М. : Машиностроение, 2007. - 400 с.
3. Баринов, И. Н. Разработка и изготовление микроэлектронных датчиков давления для особо жестких условий эксплуатации / И. Н. Баринов, В. С. Волков, Б. В. Цыпин, С. П. Евдокимов // Датчики и системы. - 2014. - № 2. - С. 49-61.
4. Баринов, И. Н. Оптимизация чувствительного элемента датчика давления с поликремниевыми тензорезисторами / И. Н. Баринов, В. С. Волков // Приборы. - 2013. - № 2. -С. 1-5.
5. Кучумов, Е. В. Струнный автогенераторный измерительный преобразователь на основе пьезоструктуры / Е. В. Кучумов, И. Н. Баринов, В. С. Волков // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 2 (8). - С. 58-65.
6. Баринов, И. Н. Высокотемпературные тензорезистивные датчики давлений на основе карбида кремния. Состояние разработок и тенденции развития / И. Н. Баринов // Компоненты и технологии. - 2010. - № 8. - С. 64-71.
7. Козин, С. А. Микроэлектронные датчики физических величин на основе МЭМС-технологий / С. А. Козин, А. В. Федулов, В. Е. Пауткин, И. Н. Баринов // Компоненты и технологии. - 2010. - № 1. - С. 24-27.
8. Баринов, И. Н. Высокотемпературные чувствительные элементы датчиков давления со структурой «кремний на диэлектрике» / И. Н. Баринов // Датчики и системы. - 2007. -№ 1. - С. 36-38.
9. Баринов, И. Н. Оптимизация параметров полупроводниковых чувствительных элементов датчиков абсолютного давления / И. Н. Баринов // Приборы. - 2009. - № 4. - С. 47-51.
10. Волков, В. С. Использование системы 81тиИпк при имитационном моделировании высокотемпературных полупроводниковых датчиков давления / В. С. Волков, И. Н. Бари-нов // Приборы. - 2011. - № 7. - С. 50-54.
11. Фандеев, В. П. Модели, методы и алгоритмы оптимизации диагностирования приборов : учеб. пособие / В. П. Фандеев, В. С. Волков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. - 76 с.
12. Волков, В. С. Компенсация температурной погрешности чувствительности высокотемпературных полупроводниковых датчиков давления / В. С. Волков, И. Н. Баринов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2013. - № 1 (3). - С. 30-36.
13. Волков, В. С. Снижение температурной зависимости начального выходного сигнала высокотемпературного полупроводникового датчика давления на структуре «поликремний - диэлектрик» / В. С. Волков // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2013. - Т. 1. - С. 75-77.
Волков Вадим Сергеевич
кандидат технических наук, доцент, кафедра приборостроения, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: distorsion@rambler.ru
Французов Максим Владимирович
магистрант,
Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: distorsion@rambler.ru
Рыблова Елизавета Анатольевна
студент,
Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: distorsion@rambler.ru
Volkov Vadim Sergeevich
candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of instrument making, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Frantsuzov Maksim Vladimirovich
master student,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Ryblova Elizaveta Anatol'evna
student,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 621.3.032 Волков, В. С.
Аналитическое и численное моделирование чувствительных элементов полупроводниковых датчиков давления / В. С. Волков, М. В. Французов, Е. А. Рыблова // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2016. - № 2 (16). - С. 110-117.
