Определение погрешности наведения на стык свариваемых деталей на основе анализа закономерностей распределения плотности вероятности отсчетов координаты стыка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.791.72

А. В. Мурыгин, С. В. Балайтисов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ НАВЕДЕНИЯ НА СТЫК СВАРИВАЕМЫХ ДЕТАЛЕЙ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ОТСЧЕТОВ КООРДИНАТЫ СТЫКА

Рассматривается задача определения погрешности наведения на стык по сохраненным координатам. Предлагается эффективная методика анализа помех и методика обработки траектории сохраненных координат стыка.

Характерные особенности процесса электронно-лучевой сварки - высокая концентрация энергии, малая ширина сварного шва, большое отношение глубины к ширине шва определяют повышенные требования к точности совмещения электронного луча со стыком свариваемых деталей. В настоящее время широкое распространение получили системы наведения на стык, в которых процесс обнаружения стыка и наведение луча на стык разделены во времени и проводятся в два этапа [1]. Вначале производится зондирование стыка лучом малой мощности и сохранение в памяти системы наведения обнаруженной датчиком координаты стыка. Затем мощность луча увеличивается до значений, необходимых для осуществления сварки, а перемещение луча производится по записанной ранее траектории.

Для определения достоверности записанных координат стыка перед проведением сварки их необходимо подвергнуть анализу и исключить недостоверную информацию. В основе приведенного в данной статье анализа лежит методика установления вероятностных закономерностей изменения значений координаты стыка для кольцевых стыков, исследуется форма распределения вероятности отсчетов координат стыка, устанавливается связь между коэффициентами формы распределения, энтропийным коэффициентом, средним квадратическим отклонением (СКО) и погрешностью наведения на стык.

Наиболее часто электронно-лучевая сварка осуществляется для прямолинейных, круговых и кольцевых стыков. Обычно установка свариваемых деталей в сварочном манипуляторе и их перемещение относительно оси электронно-лучевой пушки осуществляется с некоторой погрешностью, поэтому можно считать, что входное воздействие на устройство выделения сигнала от стыка в целом носит случайный характер.

Для прямолинейных стыков можно записать

Zct (t) = Z0 + vt , (1)

где z - координата стыка; z0, v - случайные величины, зависящие от точности позиционирования изделия. Максимальная скорость v ухода стыка не превышает ±0,1 мм / с, величина z0 лежит в пределах ±2 мм.

Для кольцевых стыков возникает «биение»

zcT (t) = zo + гл sin(rnt + ф), (2)

где z0, zm, ю, ф - случайные величины, принимающие значения из следующих диапазонов: z0 = ±2 мм, zm = ±2 мм, ю = 0,004...0,4 с-1, ф = 0 +- 2п [1].

Таким образом, входное воздействие может быть описано либо линейной функцией времени, либо как гармоническое воздействие со случайными амплитудой и фазой.

Обычно для записи координаты кольцевого стыка используется один период синусоиды. Полагая, что измерения с равной вероятностью производятся в любой момент времени t, вероятность появления того или иного значения z следует считать обратно пропорциональной скорости изменения z в данный период времени ч Л Лхм

Жт) = —:————т: = ~гт=Г, (3)

совСагсвшС^ / ^)) ^2 _

гдер(г ) - плотность распределения вероятности случайной величины z ; А - нормирующий множитель; z - максимальная величина ухода стыка.

Значение множителя А определяется из условия нормирования в пределах изменения zт от -гм до +zм

dz„

J Р (Zct )dzct = Azu }

Отсюда

■ = zAk = 1

A = ■

z„ n

Р(Zct ) =■

1

(4)

(5)

(6)

VI 2 Z _ z

м СТ

Такое распределение отсчетов синусоидально меняющейся во времени величины, когда моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени, называется арксинусоидальным и может быть охарактеризовано энтропийными оценками формы (рис. 1).

Рис. 1. Плотность распределения случайной величины г^; zм - максимальная величина ухода стыка; Ост - среднее квадратическое отклонение расределения р(г )

Энтропия такого распределения

Н(^т ) = _ | Р(Zcт ) 1П Р(Zcт ^ст = 1п(п2м / 2). (7)

Энтропийное значение ширины плотности распределения

z

1

Д э ( zct ) = 1 eH ( z" ) =^.

3 ст 2 4

Среднее квадратическое отклонение

°ст( zct )=^ ■

Энтропийный коэффициент

Д ( Zct ) П

к=

1,11

(8)

(9)

(10)

V-"* VVj.V*

Рис. 2. Записанная траектория смещения кольцевого стыка свариваемых деталей радиусом 100 мм

На основании полученных значений z . может быть

' стг

построена ступенчатая гистограмма плотности вероятности отсчетов (рис. 3).

" Ост (Zcт ) 2^12

Выражения (6)—(10) носят характер априорных данных о процессе измерения координаты стыка. Фактическое распределение плотности вероятности отсчетов координат стыка и энтропийные оценки формы могут отличаться от априорных. Это связано с тем, что в процессе зондирования стыка сканирующим электронным лучом в выходном сигнале датчика стыка возникают пульсации, вызванные неоднородностью поверхности обрабатываемого изделия, приводящие к изменению коэффициента вторичной эмиссии или рентгеновского излучения. Эти неоднородности являются следствием шероховатости поверхности, наличия забоин, царапин, химической неоднородности свариваемого материала. От помех такого рода избавиться невозможно, так как их природа заключена в физической сущности способа получения информации о положении стыка.

Результатом совместного действия этих помех является погрешность Dn определения координаты стыка, которая имеет среднее квадратическое отклонение О .

Учитывая, что входное воздействие zст, вызванное «биением» стыкового соединения, и обобщенная помеха z , действующая на измерительное устройство, имеют разную природу возникновения, их суммарное действие может быть найдено по правилам суммирования слабозависимых случайных величин

=7°:, +°2 . (11)

Если относительное содержание составляющей мощности помехи уп = °п / ост много меньше относительного содержания составляющей мощности входного воздействия уст = ост / °п, то результирующее распределение почти арксинусоидально и энтропийный коэффициент композиции къ ~ 1,11.

По мере возрастания относительного содержания уп энтропийный коэффициент композиции монотонно изменяется от къ = 1,11 до къ ~ 2,0. Изменение энтропийного коэффициента свидетельствует о наличии в составе управляющего воздействия погрешности, вызванной действием помехи.

Проведем оценку этой погрешности. На рис. 2 приведен пример траектории для кольцевого стыка свариваемых деталей с учетом действия равномерно распределенной помехи.

Рис. 3. Гистограмма фактического распределения, построенная по значениям отсчетов г .,

г стг'

d - ширина столбца гистограммы

Если гистограмма состоит из т столбцов одинаковой ширины с границами z „, z ,, z _, ..., z , z ^,, ..., z и

а стО7 стР ст2 7 стг сл+17 7 стж

каждый столбец шириной й = z+—z включает в себя п. результатов, то энтропия такого распределения равна

H (Д)=- j р(Д) ln р(д)йХ=-У — in—=У

где di = zcтi+1 - zcтi = d, P(Д) =

n

_nL

nd

- ln П + ln d (12)

П th

Энтропийное значение ширины интервала распределения будет равно

Д. = і*

3 2

i=l

d

2

10 ”'=1

Энтропийный коэффициент будет равен

к. = — =

dn_io n

2o,

(13)

(14)

где О - среднее квадратическое отклонение сохраненных координат стыка

О =

где m

m

=1

П i=l

m

У (Z . - m )2

V c^ ZCT '

(15)

n -і

- математическое ожидание случай-

ной величины z .

ст

Будем учитывать то, что вычисленное по гистограмме значение энтропийного коэффициента является энтропийным коэффициентом композиции законов распределения входного воздействия и помехи

кз = кЕ (ОсТ, °п), (16)

а вычисленное по значениям z . значение СКО О являет-

стг z

ся результатом сложения СКО входного воздействия и СКО помехи

= ОЕ = V°

+ о;

(17)

Совокупность зависимостей энтропийного коэффициента к от соотношения мощностей суммируемых составляющих для различных законов распределений может быть представлена в виде семейства графиков [2]. Эти зависимости не выражаются простыми аналитическими соотношениями, но могут быть решены численно для известных

n

lg

і=1

i=l

законов распределений. Результаты решения для композиции арксинусоидального с нормальным, равномерным и арксинусоидальным распределениями представлены на рис. 4, где по оси ординат отложены значения относитель-

о;

, а по оси абс-

ного веса мощности помехи рп =—--------2

°ст + 0п

цисс значение энтропийного коэффициента кЕ, образующегося при этой композиции.

Зависимость энтропийного коэффициента композиции арксинусоидального и нормального распределений (кривая 1) с точностью 10 % при кЕ > 1,5 аппроксимируется выражением

кЕ = 2,07 - 0,505р6

(18)

композиции арксинусоидального распределения отсчетов координаты стыка от относительного веса рп мощности помехи.

1 - помеха распределена по нормальному закону;

2 - помеха распределена по равномерному закону;

3 - помеха распределена по арксинусоидальному закону

Рст = ф(кЕ ) = ехр

1п

/2,07-кж л 0,505

6,43

(20)

Ог = 50,76 • 0,015 мм = 0,76 мм; къ = 1,78; рст = 0,92;

Погрешность наведения на стык будет Ап = 1,6оп = 1,6о^ 1 -рст = 22,9 • 0,015 мм = 0,34 мм.

Одним из приемов, позволяющих уменьшить погрешность определения координаты стыка, является усреднение многократных отсчетов г .. Суть данного подхода заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра распределения имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные отсчеты, по которым она находится. Координату центра распределения отсчетов можно определить в виде среднего арифметического

гдер - относительный вес мощности синусоидальной составляющей.

Зависимость энтропийного коэффициента композиции арксинусоидального и равномерного распределения (кривая 2) с точностью 2 % аппроксимируется выражением £е= 1,11 + 0,62[рп +1,34Рп0Дл/(1 - Рп)]. (19)

Обычно относительный вес мощности помехи невысокий (р < 0,1). Это обстоятельство позволяет определить мощность помехи по значению энтропийного коэффициента композиции къ с точностью до 5 % по любой из кривых (рис. 4), так как на участке 0 <р < 0,1 эти кривые расположены достаточно плотно и почти совпадают. При къ > 1,6 можно воспользоваться аппроксимирующим выражением, полученным из (18).

(23)

Среднее квадратическое отклонение рассеяния этой оценки зависит от среднего квадратического отклонения разброса усредненных отсчетов о и их числа п (при независимости отсчетов друг от друга) как

о2

о ^ =~Т. (24)

л/п

Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной погрешности убывает по сравнению со средним квадратическим отклонением самих усредняемых отсчетов в 4п раз. На этом основан принцип повышения точности в результате усреднения многократных отсчетов. Положительной стороной метода является то, что при этом одновременно уменьшаются все случайные погрешности, независимо от их происхождения и закона распределения исходных данных.

Из соотношения (24) формально следует, что увеличение числа усредненных отсчетов п позволяет неограниченно повышать точность измерений. Последнее практически невозможно, так как требует больших затрат времени. Более того, сама измеряемая величина может меняться с течением времени. Данное обстоятельство следует учитывать при оценке погрешности определения координаты стыка.

Пусть входное воздействие представляет собой медленно меняющуюся синусоидальную величину, характерную для кольцевого стыка

1 + т єіп

Т

(25)

Отсюда следует

°п ЧРа(°т +о2) = о^4рЛ = оЛ1 Ф(кЕ). (21)

Погрешность наведения на стык D с доверительной вероятностью 0,9 для большой группы законов распределения помехи может быть определена как

А п = 1,6 оп = 1,6 о 1 -ф( къ). (22)

Проведем оценку погрешности наведения на стык по координатам, изображенным на рис. 2. Для этой траектории получим

где т = -т - относительная величина биения кольцево-

2 0

го стыка; Т- период «биения» стыка; г - максимальная величина ухода стыка.

Пусть усреднение производится за время ?уср = Т / 2, а усредненный результат соотносится с серединой участка времени усреднения (рис. 5), что соответствует моменту времени и значению аргумента ф1 = 2п?1 / Т. Изменение аргумента за время усреднения ?уср составит

2Аф = 2П / Т. Действительное значение г в момент

т уср ^ ст

времени равно

2ст = 2о С1 + т§1п(Ф1)]. (26)

Усредненный результат

1

ф +Аф

1 + т----- [ єіп(ф)^ф

2Аф •'

Ф1 -Аф

і=1

Учитывая, что

1 ф1 Г • , 81и(ф1)81и(Аф) (98)

— I 8Ш(ф)^ Ф= . (28)

сАФф1 -аф АФ

можно определить текущую погрешность, вызванную усреднением

т єіп(ф1)

1-

єіп(Аф)

Аф

Полагая, что измерения с равной вероятностью могут быть проведены в любой момент времени, вероятность появления того или иного значения погрешности D следует считать обратно пропорциональной скорости изменения Б в данный период времени, т. е. распределенной по арксинусоидальному закону, и описываемой соотношением

(29)

/ (А) =

1

пл/1 -А2

(35)

с энтропийным коэффициентом Кс =

2^2'

Поэтому энтропийная ширина плотности распределения этой погрешности может быть определена как

Ауср Ксоуср 242‘

-2 ~ (Ї п3 (

24

п т

6 л

2

УсР

Т

Т

п 24

42 УсР

Т

2

(36)

Рис. 5. Схема определения погрешности, вызванной усреднением отсчетов zcIj

Воспользуемся разложением функции синус в ряд Тейлора

... X3 X5 X7

Єіп(х) = X----1---------+ ...

3! 5! 7!

и ограничившись двумя первыми членами ряда, получим

Из проведенного анализа ясно, что при использовании метода усреднения многократных отсчетов г . вдоль траектории стыка погрешность результата складывается из двух частей. Первая из них

О =

(37)

монотонно убывает с увеличением затрат времени усреднения и распределена по нормальному закону, а вторая

°уср 20

єіп( х) = X

2

2

пт

6 72

'/ 42

УсР

Т

1-

или

1 - єіп(Аф) = (Аф)2 Аф 6

п/ус

(30)

(31)

(38)

зависит от скорости изменения траектории стыка и возрастает с увеличением времени усреднения.

Полагая, что эти два вида погрешностей взаимно независимы, для энтропийного значения их результирующей погрешности получаем выражение

Ае = к х^/02

(39)

Отсюда следует, при Аф= т для произвольного где к - энтропийный коэффициент композиции нормаль

Т

значения ї погрешность, вызванная усреднением, будет равна

А = 20 т

(аф)

єіп(ф) = 20 — т

/

Т

єіп(ф) (32)

6 1 “ 6

и является синусоидальной функцией времени.

Так как заранее не известно, на какой участок траектории стыка попадет отрезок времени усреднения, погрешность измерения может оказаться положительной, отрицательной или равной нулю. Таким образом, можно говорить только о вероятностях появления той или иной погрешности А и законе ее распределения.

Выражение (32) показывает, что изменение погрешности А происходит по закону

А = Ам 8ш(ф), (33)

_2

ного и арксинусоидального законов распределений.

Значение в зависимости от относительного веса мощности нормальной составляющей можно определить из графика, представленного на рис. 4 (кривая 1) или аппроксими

о2

рующей его формулы (18), где Рст = 1 - Рп =

л-2 . _2

О— + о

2СТ Уср

где А М = 2о— т

УсР

Т

- максимальное значение по-

грешности.

Ее среднее квадратическое отклонение, как и всякой

другой синусоидальной функции

2 / + \2

АМ

\Г2

О = —— = 2

уср г: о

/

УсР

Т

6у12

/

2

Т

(34)

относительный вес синусоидальной составляющей.

Рассмотрим пример расчета погрешности, вызванной усреднением отсчетов г . Положим, что манипулятор свариваемого изделия снабжен датчиком, который выдает 256 импульсов с интервалом времени т за полный период вращения кольцевого стыка, а усреднение производится по 16 отсчетам г ., измерение которых производится при поступлении импульса от датчика вращения. Следовательно, период обращения Т = 256т, время усреднения г = 16т.

уср

Положим также, что характер сохраненной траектории такой, что г = 2 мм, а случайная составляющая погрешности отсчетов гт имеет среднее квадратическое отклонение о = 0,2 мм. В этом случае среднее квадратическое отклонение усредненных отсчетов будет равно о- = % = 5 • 10-смм.

4П

п

2

Среднее квадратическое отклонение погрешности, вызванное усреднением, имеет значение

О =

уср

п2 zu 6 ^2

't 42

уср

T

= 1 • 10 мм.

Результирующее среднее квадратическое отклонение равно

т2 +оУср = 5,1 • 10-

мм.

Относительный вес синусоидальной составляющей композиции равен

Рст =

~2 | _2

О- + О

v’/zcr уср

= 0,04

Этому значению, согласно графику на рис. 4 (кривая 1), соответствует энтропийный коэффициент композиции ^ = 2,07. Энтропийное значение погрешности определения координаты стыка составит

Ае = кЕоЕ = 0,1 мм.

Из вышеизложенного можно сделать ряд выводов.

1. Входное воздействие на устройство контроля положения стыка носит случайный характер, при котором

плотность вероятности отсчетов координат стыка распределена по арксинусоидальному закону.

2. По мере возрастания относительного содержания мощности помехи распределение плотности вероятности отсчетов координат стыка меняется от низкоэнтропийного арксинусоидального с энтропийным коэффициентом ^ = 1,11 до высокоэнтропийного с коэффициентом ^ = 2,07.

3. Изменение энтропийного коэффициента в распределении плотности вероятности отсчетов координаты стыка свидетельствует о наличии в составе управляющего воздействия погрешности, вызванной действием помехи, которую можно рассчитать и уменьшить методом усреднения.

Библиографический список

1. Лаптенок, В. Д. Управление электронно-лучевой сваркой / В. Д. Лаптенок, А. В. Мурыгин, Ю. Н. Серегин ; Сиб. аэрокосмич. акад. - Красноярск, 2000.

2. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. - Л. : Энерго-атомиздат, 1991.

2

A. V. Murygin, S. V Balaytisov

INACCURACY POSITIONING DETERMINATION FOR JOINT OF WELDING DETAILS ON BASIS OF REGULARITY ANALYSIS FOR JOINT COUNTS DENSITY

The article handle problem of inaccuracy positioning determination for joint of welding details using its (joint) saved coordinates. Effective methodfor analysis of noises and methodfor trajectory processing of joint coordinates was suggested.