CC BY
22
Теоретична електротехнка та електрофiзика
УДК 621.315.2 А. О. Ткаченко
10.20998/2074-272Х.2017.3.04
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ КАБЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ ПРИ ДВУХСТОРОННЕМ ЗАМЫКАНИИ ЭКРАНОВ КАБЕЛЕЙ, ВЫЗВАННОЙ НЕРАВНОМЕРНОСТЬЮ ПЛОТНОСТИ ТОКА В ЭКРАНАХ
У робот1 визначена в1дносна похибка анал1тичного розрахунку тдукци магштного поля трифазного кабельног тни, обумовлена нер1вном1ршстю щ/льностг струму в екранах одножильных каблв. Похибка отримана шляхом пор1внян-ня чисельного розрахунку в програмному середовищ1 СОЫБОЪ Multiphysics з аналгтичним методом розрахунку. Показано, що максимальне значення похибки не перевищуе 8 %. Отриман1 значення похибки верифжоваш шляхом тесту-вання чисельного розрахунку та тдтверджеш результатами експерименту. ОбГрунтовано коректн1сть аналгтичного розрахунку магттного поля кабельних лгнш в точках його нормування при двосторонньому замиканн1 екратв кабелгв, що виконуеться безурахування нер1вном1рност1 щiльностi струму в екранах кабелгв. Бiбл. 13, рис. 4, табл. 2. Ключовi слова: кабельна лЫя, екран кабелю, двосторонне заземлення, магнггне поле, похибка розрахунку.
В работе определена относительная погрешность аналитического расчета индукции магнитного поля трехфазной кабельной линии, обусловленная неравномерностью плотности тока в экранах одножильных кабелей. Погрешность получена путем сравнения численного расчета в программной среде СОМБОЪ Multiphysics с аналитическим методом расчета. Показано, что максимальное значение погрешности не превышает 8 %. Полученные значения погрешности верифицированы путем тестирования численного расчета и подтверждены результатами эксперимента. Обоснована корректность аналитического расчета магнитного поля кабельных линий в точках его нормирования при двухстороннем замыкании экранов кабелей, выполняемого без учета неравномерности плотности тока в экранах кабелей. Библ. 13, рис. 4, табл. 2.
Ключевые слова: кабельная линия, экран кабеля, двухстороннее заземление, магнитное поле, погрешность расчета.
Введение. Задача расчета действующего значения индукции магнитного поля (МП) высоковольтных кабельных линий (КЛ), состоящих из одножильных кабелей [1, 2], возникает при их проектировании и необходима для ограничения МП по трассам КЛ до предельно допустимого уровня. В Украине этот уровень регламентируется нормативными документами [3, 4] и для жилой застройки составляет 10 мкТл над КЛ, на высоте 0,5 м от поверхности земли, и 0,5 мкТл в близлежащих жилых помещениях.
Определенную сложность представляет расчет индукции МП КЛ при двухстороннем заземлении [4], приводящем к двухстороннему замыканию экранов кабелей КЛ и индуцированию в них продольных токов [5, 6]. Известные инженерные методики расчета МП КЛ [1, 4, 5], для таких случаев, основаны на численных методах. При использовании этих методик, результаты расчета представляются в виде таблиц с ограниченным количеством дискретных значений расчетных величин, что вызывает трудности в их практическом применении при проектировании КЛ.
В [7] предложена аналитическая методика расчета МП КЛ при двустороннем замыкании собственных экранов кабелей, свободная от указанных выше недостатков, и позволяющая проводить расчет при любых параметрах КЛ. Однако эта методика не учитывает влияние на МП КЛ эффекта близости [8, 9], вызывающего неравномерность плотностей продольных токов в экранах кабелей КЛ, описание которых аналитически затруднительно. В связи с этим возникает задача определения погрешности аналитического расчета МП КЛ.
Целью работы является определение относительной погрешности аналитического расчета индукции МП трехфазных высоковольтных КЛ в точках ее
нормирования, обусловленной неравномерностью плотности тока в экранах кабелей КЛ при их двухстороннем замыкании.
Методика исследований. Искомую относительную погрешность е аналитического расчета индукции МП КЛ определим как
1 --
В
Вп
•100%.
(1)
где В - рассчитанное аналитически действующее значение магнитной индукции, без учета неравномерности плотности тока в экранах кабелей; Впит - точное действующее значение магнитной индукции, определенное с учетом неравномерности плотности тока.
Для определения Впит используется численный расчет, имеющий верифицированную относительную погрешность, которая существенно меньше погрешности, допустимой в инженерных расчетах.
Расчет магнитной индукции проводится для реальных высоковольтных КЛ [1, 4] в точке нормирования Р для схем прокладки треугольником и в плоскости (рис. 1). Значение И изменяется от 0,5 м до 2 м с шагом 0,5 м, с учетом [3, 4]. При этом расстояние между осями кабелей КЛ ё варьируется от 0,1 м до 0,3 м с шагом 0,1 м. Диаметр экранов кабелей Б равен 55 мм и 70 мм, сечение экранов - 100 мм2, 200 мм2 и 300 мм2.
Численный расчет значений Впит. Для расчета Впит используется программный пакет СОМБОЬ МиШрИу^ча' [10], относительная погрешность которого верифицирована в [5] при решении аналогичной задачи и не превышает 1 %. Расчетная модель, в отличие от [5], выполнена в соответствии с [11] и позволяет находить распределение индукции МП трех© А.О. Ткаченко
6 =
фазной КЛ с учетом неравномерности распределения плотности тока в экранах с меньшей погрешностью.
Рис. 1
При расчете приняты следующие допущения:
1) кабели КЛ бесконечно длинные и уложены параллельно друг другу;
2) КЛ работает в установившемся режиме, токи в жилах имеют частоту 50 Гц, равны по величине и сдвинуты по фазе друг относительно друга на 120°.
При этом МП КЛ является плоскопараллельным, что позволяет решать задачу в двухмерной постановке (рис. 2).
Рис. 2
Теоретической основой для описания принятой расчетной модели МП является уравнение закона полного тока в квазистационарном приближении [8, 12]. Принимая во внимание связь векторного потенциала с напряженностью магнитного поля и учитывая, что векторный потенциал имеет только одну ненулевую компоненту, это уравнение принимает вид:
д2 i,
д2 i
+-2- - j ДоШ О 4 = о,
Расчетная область представляет собой окружность диаметром L=6 м. Внутри неё находится КЛ и воздушное пространство. Для уменьшения размера расчетной области на периферии окружности располагается слой «Infinite element domains» толщиной L/3.
Расчетная модель каждого из трех кабелей состоит из алюминиевой жилы и медного экрана (рис. 2). Поскольку электрические проводимости внешней среды и сшитого полиэтилена пренебрежимо малы по сравнению с проводимостью экрана, их влияние на распределение плотности тока в экранах не учитывается.
Ток в каждой жиле КЛ задается при помощи функционала «Single-Turn Coil» в меню «Magnetic Fields». Для опции «Coil excitation» выбран вариант «Current», для которого:
II = Vм,
где I0 - амплитуда тока в жилах; Фк = {-2^/3,0,2^/3} - фаза тока в жиле кабеля;
к = 1,3 - номер кабеля.
На границах раздела сред с разными электрофизическими свойствами выполняются следующие условия:
iz = iz , diz diz dn dn
где n - единичный вектор нормали к поверхности границы раздела сред; верхний индекс i указывает на проводящую среду.
В области экранов использована сетка типа «Mapped» (рис. 3,6). Вдоль толщины экран разбивается на 20 элементов, а по периметру - на 200. В остальных областях используется сетка типа «Free Triangular» (рис. 3,а). Плотность сетки - «Extremely fine», минимальный размер элемента равняется 1/40 диаметра жилы кабеля.
сГ2 ду2
где Az - комплексная амплитуда компоненты векторного потенциала электромагнитного поля по оси Z, направленной параллельно КЛ; j - мнимая единица; ¡л0=4ж-10'1 Гн/м - магнитная постоянная; т=2ж-50 с-1 -циклическая частота тока; а - проводимость среды для которой записывается уравнение (аА/ = 3,8-107 См/м, аСи = 5,0-107 См/м, аа1Г = 0 См/м).
При расчете используем интерфейс «Magnetic Fields», который входит в «AC/DC Module» [10] программного пакета. При построении двухмерной модели в декартовой системе координат для опции «Space Dimension» задавался вариант «2D».
жила
а
экран
б
Рис. 3
Результатом расчета является распределение Аг. Учитывая, что комплексные амплитуды магнитной индукции равны Вх = дАг / ду и Ву = -дАг / дх, выражение для действующего значения магнитной индукции КЛ принимает вид:
73 _
nnum ~
1
2
д iz + д iz
д y д x
б
а
2
Стоит отметить, что предложенная расчетная модель применима для произвольного способа прокладки кабелей.
Верификация численного расчета выполнена путем сравнения с решениями, получаемыми при двукратном увеличении размера расчетной области и использовании более густой сетки. При этом погрешность расчета не превышает 0,5 %. Результаты расчета также совпадают с данными эксперимента [5].
Аналитический расчет значений В. Методика аналитического расчета МП КЛ предложена в [7]. При получении расчетных соотношений в ней использованы те же допущения, что и для рассмотренного выше численного расчета, но распределение плотности тока в экранах каждого из кабелей КЛ полагалось равномерным.
В качестве расчетного используем следующее соотношение, полученное из [7] путем перехода от комплексной амплитуды магнитной индукции к её действующему значению В:
В--
42-
2 2 (х - хк ) + (у - ук )
% I (/к+кИ) - (у - ук)
к=1
^ I ((( +
(2)
к=1
х- хк
(х - хк )2 + (У - Ук )2
Т$И _ Те
и = -1
О • 1п2А^ 1п — + ->/31п2 - ] 1п4—
О • 1п2—• 1п— - А - 2 } 1п2— 2 О
•И • ^ Ш—
твп _ те _ 2
¡2 = -12--
3
3 + >01п —
(3)
ТяИ Те ¡3 = -13 •
3
О • 1п2—• 1п —- -л/?1п2 - ] 1п4—
О • 1п2—• 1паА- - — - 2} 1п2— 2 О
¡И =-к • 1п А (4)
к к 1 + 1п А '
Следовательно, В рассчитывается аналитически при помощи выражения (2) с подстановкой в него (3) или (4), для кабелей с прокладкой, соответственно, в плоскости или треугольником.
Анализ погрешности аналитического расчета. На рис. 4 представлены результаты расчета значений В (аналитический расчет) и Впит (численный расчет) по предложенным методикам при токе КЛ 1000 А. Расчет магнитной индукции выполнен в зависимости от расстояния И до точки наблюдения Р (рис. 1) для случая максимальной неравномерности плотности тока в экранах кабелей. При этом, диаметр экрана максимален Б=70 мм [4], сечение экрана составляет 5=300 мм2 и кабели проложены впритык —=0,1 м. Как видно из рис. 4, разброс результатов аналитического и численного расчета незначителен.
В, мкТл 50
где ¡ке и ¡1И - соответственно, комплексные амплитуды токов в жиле и экране к-ого кабеля; (х, у) - координаты точки Р, в которой вычисляется МП (рис. 1);
(хк, ук) - координаты оси к-ого кабеля; к = 1,3 - номер кабеля.
Значения токов в (2) определяются следующим образом. Для случая прокладки кабелей КЛ в плоскости (рис. 1,6) токи в жилах образуют систему прямой последовательности, и токи в экранах определяются следующими соотношениями [7, 13]:
—3
1 1,5
Рис. 4
м
где О = и А = — - производные безразмерные 2жЯ г
параметры КЛ; Я - сопротивление единицы длины экрана кабеля, Ом/м; — - межфазное расстояние (расстояние между осями соседних кабелей), м; г - радиус экрана, м.
В случае прокладки кабелей КЛ треугольником (рис. 1,а) расчетное соотношение для токов в экранах имеет более компактный вид [7, 13]:
Для количественной оценки погрешности аналитического расчета, в табл. 1 и 2 представлены результаты расчета значения е (1) для реальных высоковольтных КЛ [4].
Как следует из табл. 1 и 2, максимальная погрешность аналитического расчета МП составляет 7,9 % при прокладке КЛ треугольником и 4,8 % при прокладке КЛ в плоскости, и имеет место при минимальном значении —(0,1 м), максимальных значениях Б(70 мм) и 5(300 мм2). Этот случай соответствует плотной прокладке кабелей, которая зачастую неприемлема, так как может вызвать ограничение пропускной способности КЛ по току. При увеличении — до 0,2 м, значения е не превышают 2,5 %.
Полученные результаты расчета с разбросом не более 5 % согласуются с результатами экспериментальных исследований МП КЛ, выполненных в [5].
Таким образом, относительная погрешность е аналитического расчета МП КЛ для типоразмеров высоковольтных кабелей не превышает 8 %, что подтверждает корректность принятого в нем допущения о равномерности плотности тока в каждом из экранов кабелей при инженерном расчете МП КЛ.
2
+
1
2
+
И
Таблица 1
Значения е, % при прокладке кабелей КЛ треугольником
h, м d, м Диаметр экрана D, мм
55 | 70
Сечение экрана S, мм2
100 200 300 100 200 300
0,5 0,1 1,0 2,7 4,3 1,6 4,8 7,9
0,2 0,2 0,4 0,6 0,4 1,0 1,5
0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,5
1,0 0,1 1,0 2,8 4,3 1,6 4,8 7,9
0,2 0,2 0,4 0,6 0,4 1,0 1,5
0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,5
1,5 0,1 1,0 2,7 4,3 1,6 4,8 7,9
0,2 0,2 0,4 0,6 0,4 1,0 1,5
0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,5
2,0 0,1 1,0 2,7 4,3 1,6 4,8 7,9
0,2 0,2 0,4 0,6 0,4 1,0 1,5
0,3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,5
Таблица 2
Значения е, % при прокладке кабелей КЛ в плоскости
h, м d, м Диаметр экрана D, мм
55 | 70
Сечение экрана S, мм2
100 200 300 100 200 300
0,5 0,1 1,5 2,5 3,0 2,0 3,8 4,8
0,2 1,1 1,5 1,6 1,2 1,8 2,1
0,3 1,1 1,2 1,3 1,1 1,4 1,6
1,0 0,1 0,6 1,3 1,5 1,1 2,6 3,2
0,2 0,9 1,2 1,3 1,0 1,5 1,7
0,3 1,0 1,1 1,2 1,0 1,4 1,5
1,5 0,1 0,8 0,7 0,9 0,2 0,7 0,8
0,2 0,5 0,6 0,6 0,6 0,9 1,0
0,3 0,8 0,9 0,9 0,8 1,1 1,2
2,0 0,1 2,1 2,6 3,2 2,0 1,8 2,3
0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2
0,3 0,5 0,6 0,6 0,6 0,8 0,8
Выводы.
1. Максимальное значение погрешности аналитического расчета магнитного поля не превышает 7,9 % для прокладки кабелей треугольником и 4,8 % для прокладки кабелей в плоскости, и возникает при максимальном диаметре и сечении экранов кабелей (70 мм и 300 мм2), и минимальном расстоянии между осями жил кабелей (0,1 м).
2. Полученные значения погрешности верифицированы путем тестирования численного расчета, выполненного в программной среде СОМБОЬ МиШрИу^'С (погрешность менее 0,5 %), и сравнением результатов с экспериментом.
3. Представленный анализ подтверждает корректность аналитического расчета индукции магнитного поля кабельных линий в точках ее нормирования без учета эффекта близости, вызывающего неравномерность плотности тока в экранах кабелей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. СОУ-Н ЕЕ 20.179:2008. Розрахунок електричного i маг-штного пол1в лшш електропередавання. Методика ф змь нами). - Кшв: Мшенерговугшля Украши, 2016. - С. 37.
2. Розов В.Ю., Реуцкий С.Ю., Пилюгина О.Ю. Метод расчета магнитного поля трехфазных линий электропередачи // Техтчна електродинамжа. - 2014. - №5. - С. 11-13.
3. Правила улаштування електроустановок. Вид. 5-те, пе-рероб. й доп. - Х.: Мшенерговугшля Украши, 2014. - 793 с.
4. С0У-Н-МЕВ40.1-37471933-49:2011.2. Проектування кабельних лшш напругою до 330 кВ: Настанова ф змша-ми). - Кжв: Мшенерговугшля Украши, 2017. - 139 с.
5. Розов В.Ю., Квицинский А.А., Добродеев П.Н., Грин-ченко В.С., Ерисов А.В., Ткаченко А.О. Исследование магнитного поля трехфазных кабельных линий из одножильных кабелей при двустороннем заземлении их экранов // Електротехнжа i електромеханжа. - 2015. - № 4. - С. 56-61. doi: 10.20998/2074-272X.2015.4.11.
6. Ковригин Л.А. Продольные токи в экранах одножильных кабелей // Кабель - ^ws. - 2009. - №3. - С. 56-58.
7.Розов В.Ю., Ткаченко А.О., Ерисов А.В., Гринченко В.С. Аналитический расчет магнитного поля трехфазных кабельных линий при двустороннем замыкании собственных экранов кабелей // Техшчна електродинамжа. - 2017. -№2. - С. 13-18.
8. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 3. - 4-е изд. - Спб.: Питер, 2003. - 377 с.
9. Подольцев А.Д., Кучерявая И.Н. Мультифизическое моделирование в электротехнике: Монография. - Киев: Инт электродинамики НАН Украины, 2015. - 305 с.
10. https://www.comsol.com/models/acdc-module
11. Гринченко В.С., Чунихин К.В., Ткаченко А.О. Расчет экранных токов в трехфазных кабельных линиях с треугольным расположением фаз // Тезисы докладов XXIV межд. науч.-практ. конф. «Информ. технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье» (MicroCAD-2016), Ч.2. 18-20 мая 2016 г., Харьков, НТУ «ХПИ», 324 с.
12. del-Pino-López J.C., Cruz-Romero P., Serrano-Iribarnegaray L. and Martínez-Román J. Magnetic field shielding optimization in underground power cable duct banks. Electric Power Systems Research, 2014, vol. 114, pp. 21-27. doi: 10.1016/j.epsr.2014.04.001.
13. Grinchenko V., Tkachenko O. and Grinchenko N. Improving calculation accuracy of currents in cable shields at double-sided grounding of three-phase cable line. Electrical engineering & electromechanics, 2017, no.2, pp. 39-42. doi: 10.20998/2074-272X.2017.2.06.
REFERENCES
1. SOU-N ЕЕ 20.179:2008. Rozrakhunok elektrychnoho i mahnitnoho poliv linii elektroperedavannia. Metodyka [Calculation of the electric and magnetic fields of power line. Method]. Kyiv, Мinenergovugillya of Ukraine Publ., 2016, 34 p. (Ukr).
2. Rozov V.Yu., Reutskiy S.Yu., Piliugina O.Yu. The method of calculation of the magnetic field of three-phase power lines. TekhnichnaElektrodynamika, 2014, no.5, pp. 11-13. (Rus).
3. Pravila ulashtuvannya electroustanovok [Electrical installation regulations]. 5th ed. Kharkiv, Мinenergovugillya of Ukraine, 2014. 793 p. (Ukr).
4. SOU-N MEV 40.1-37471933-49:2011.2. Proektuvannia kabelnykh linii napruhoiu do 330 kV. Nastanova [Design of
cable lines with voltage up to 330 kV. Guidance]. Kyiv, Minenergovugillya of Ukraine Publ., 2017, 139 p. (Ukr).
5. Rozov V.Yu., Kvytsynskyi A.A., Dobrodeyev P.N., Grin-chenko V.S., Erisov A.V. and Tkachenko O.O. Study of the magnetic field of three phase lines of single core power cables with two-end bonding of their shields. Electrical engineering & electromechanics, 2015, no.4, pp. 56-61. (Rus). doi: 10.20998/2074-272X.2015.4.11.
6. Kovrigin L.A. The longitudinal currents in the screens of the single-core cables. Kabel-news, 2009, no.3, pp. 56-58. (Rus).
7. Rozov V.Yu., Tkachenko O.O., Erisov A.V. and Grin-chenko V.S. Analytical calculation of magnetic field of three-phase cable lines with two-point bonded shields. Tekhnichna Elektrodynamika, 2017, no.2, pp. 13-18 (Rus).
8. Demirchyan K., Neiman L., Korovkin N. and Chechurin V. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki: V 3 t.[Theoretical Basis of Electrical Engineering: in 3 vols.]. Saint Petersburg: Piter, vol.3, 2003, 377 p. (Rus).
9. Podoltsev A., Kucheryavaya I. Multifizicheskoe modeliro-vanie v elektrotehnike. Monografiya [Multi-physical modeling in electrical engineering. Monograph]. Kyiv: Inst. of Electrodynamics of NAS of Ukraine, 2015, 305 p. (Rus).
10. https://www.comsol.com/models/acdc-module
11. Grinchenko V.S., Tkachenko O.O. and Chunikhin K.V. Calculation of shield currents in three-phase cable lines with a trefoil arrangement of phases. Anotatsii dopovidei 24 Mizhn. nauk.-prakt. konf. "Informatsiini tekhnologii: nauka, tekhnika, tekhnologiia, osvita, zdorov'ia" [Abstracts of 24th Int. Sci.-Pract. Conf. "Information technology: science, engineering, technology, education and health"]. Kharkiv, Ukraine, 2016, 1820 May, 324 p. (Rus).
12. del-Pino-López J.C., Cruz-Romero P., Serrano-Iribarnegaray L. and Martínez-Román J. Magnetic field shielding optimization in underground power cable duct banks. Electric Power Systems Research, 2014, vol. 114, pp. 21-27. doi: 10.1016/j.epsr.2014.04.001.
13. Grinchenko V.S., Tkachenko O.O. and Grinchenko N.V. Improving calculation accuracy of currents in cable shields at double-sided grounding of three-phase cable line. Electrical engineering & electromechanics, 2017, no.2, pp. 39-42. doi: 10.20998/2074-272X.2017.2.06.
Поступила (received) 31.03.2017
Ткаченко Александр Олегович, аспирант, Государственное учреждение «Институт технических проблем магнетизма Национальной Академии Наук Украины», 61106, Харьков, ул. Индустриальная, 19, тел/phone +380 572 992162, е-mail: [email protected]
O.O. Tkachenko
State Institution «Institute of Technical Problems
of Magnetism of the NAS of Ukraine»,
19, Industrialna Str., Kharkiv, 61106, Ukraine.
Determination of analytical calculation error of magnetic
field of high-voltage cable lines with two-point bonded cable
shields caused by non-uniform current distribution in the
shields.
This paper deals with the determination of analytical calculation error of magnetic field of high-voltage cable lines in two-point bonded cable shields caused by non-uniformity of the current distribution in the shields. The relative error is determined by comparing numerical calculation of magnetic field obtained in the COMSOL Multiphysics software with the analytical one. It is shown that the maximum value of relative error does not exceed 8 %. The obtained error values are verified by testing the numerical calculation and confirmed by results of experiment. In paper proves the correctness of the analytical calculation of magnetic field of cable lines at the points of its normalization, which is carried out without taking into account the nonuniform current distribution in the cable shields. References 13, tables 2, figures 4.
Key words: cable line, cable shield, bonded shields, magnetic field, calculation error.
