CC BY
72
УДК 621.33; 629.423.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОВОЗА ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
© 2015
А. С. Серебряков, доктор технических наук, профессор кафедры «Электрификация и автоматизация»
Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)
Л. А. Герман, доктор технических наук, профессор кафедры «Электрификация и электроснабжение»
Нижегородский филиал Московского государственного университета путей сообщения,
Нижний Новгород (Россия)
Д. Е. Дулепов, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электрификация и автоматизация»
Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)
А. А. Максимова, аспирант,
Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения, Санкт-Петербург (Россия)
Аннотация. Проектирование тяговых сетей переменного тока можно значительно упростить, если при расчетах потерь мощности и потерь напряжения в них, а также для расчета параметров фильтрокомпенсирующих устройств, использовать математическую модель системы тягового электроснабжения. Основная трудность создания математической модели преобразовательного электровоза заключается в том, что, как потребитель электрической энергии, электровоз переменного тока представляет собой нелинейную активно-индуктивную нагрузку с переменными параметрами. Форма тока, потребляемого электровозом из сети, несинусоидальная. Она содержит основную гармонику и высшие гармоники, искажающие форму кривой напряжения в контактной сети.
Авторами предложена математическая модель преобразовательного электровоза переменного тока, содержащая линейный реактор и нелинейный резистор. Вид аппроксимирующего выражения для нелинейного резистора и его параметры определяются, используя экспериментально снятые осциллограммы. Из полученной экспериментально оцифрованной осциллограммы тока определены отношения приращения тока к приращению времени для каждой оцифрованной точки. Из аналитического выражения в дифференциальной форме для напряжения в тяговой сети и экспериментальной кривой этого напряжения определены производные тока.
Из равенства производных тока и их приращений в каждой точке, получена зависимость сопротивления нелинейного резистора от тока. Показано, что для аппроксимации этой зависимости наилучшим образом подходит степенная функция. Дан алгоритм определения параметров аппроксимирующего выражения по экспериментальным оцифрованным осциллограммам тока и напряжения в тяговой сети с использованием логарифмирования аппроксимирующего выражения и метода наименьших квадратов.
Предложенные математическая модель преобразовательного электровоза переменного тока, аппроксимирующее выражение для нелинейного резистора этой модели и методика определения его коэффициентов позволяют правильно отражать стационарные и нестационарные процессы в тяговой сети переменного тока с учетом тяговой нагрузки. Результаты проведенного исследования подтверждают правомерность применения математической модели электровоза при проектировании новых и модернизации существующих тяговых сетей переменного тока.
Ключевые слова: преобразовательный электровоз переменного тока, математическая модель, коэффициенты аппроксимирующего выражения, нелинейный резистор, метод наименьших квадратов.
При проектировании тяговых сетей переменного тока необходимо рассчитывать потери мощности и потери напряжения в них. Кроме этого необходимо рассчитывать и параметры фильтрокомпенсирующих устройств, предназначенных для компенсации реактивной мощности и фильтрации гармоник тока, генерируемых преобразовательным
электровозом [1]. Решение этих задач можно значительно упростить, если для указанных выше расчетов использовать математическую модель электровоза [2].
Как потребитель электрической энергии, преобразовательный электровоз переменного тока представляет собой нелинейную активно-
77
индуктивную нагрузку. Форма тока, потребляемого электровозом из сети несинусоидальная. Она содержит основную гармонику и высшие гармоники, искажающие форму напряжения в контактной сети. На рис.1 приведены снятые экспериментально кри-
вые напряжения и в контактной сети и тока i преобразовательного электровоза переменного тока. В [2] была предложена математическая модель преобразовательного электровоза переменного тока (рис.2).
Рисунок 1 - Кривые напряжения и в контактной сети и тока i преобразовательного электровоза
переменного тока
Рисунок 2 - Модель преобразовательного электровоза переменного тока
На рисунке 2 обозначены: 1, 2, 3 - источник питания, индуктивность L0 и активное сопротивление R0 системы внешнего электроснабжения; 4- провод контактной сети. 5 - рельс, 6 - индуктивность L реакторов электровоза, 7 - нелинейное активно сопротивление R (i), отражающее процесс преобразования электрической энергии в механическую, 8 - эквивалентная схемам электровоза. Все параметры элементов^ указанных на рисунке 2, приведены к напряжению контактной сети.
Исходя из природы процессов, происходящих в электрической схеме электровоза, индук-
тивность L реактора 6 взята как линейная величина, поскольку сглаживающие реакторы имеют воздушные зазоры и в них отсутствуют процессы насыщения электротехнической стали. Вид аппроксимирующего выражения для резистора 7 и его параметры необходимо определить, используя экспериментально снятые осциллограммы, приведенные на рис.1. Определение проведем в следующей последовательности.
Поскольку в настоящее время осциллограммы снимаются с помощью измерительных комплексов, имеющих в своем составе аналогоцифровые преобразователи, то считаем, что снятые осциллограммы уже оцифрованы. В противном случае их приходится оцифровывать. В результате получаем вектор напряжения, содержащий мгновенные значения напряжения ик , и вектор тока, содержащий мгновенные значения токи ik . Здесь k - номер измерения. Далее из дифференциального уравнения, составленного для модели приведенной на рисунке 2:
(L0 + L1) — + R0 ■ i + R(i) • i = u (1)
dt
выразим производную тока в точке k:
f dL Л = uk - R0 ■ ik - R(ik y ■ ik . (2)
L dt )k L0 + L1
Эта производная используется при расчете процессов в математической модели методом Рун-ге-Кутта. Определим отношение приращения тока к приращению времени для каждой точки k из по-
78
лученной экспериментально и оцифрованной осциллограммы:
ГМ ^ iM - и
(3)
At
Jk tk+1 tk
Значение tk определяем по формуле: к ■ At
А
N
(4)
Здесь At - промежуток времени измерения, N - количество измерений.
Если количество точек k достаточно велико и промежуток времени между ними мал, то выражения (2) и (3) можно приравнять друг другу:
uk - R0 ■ ik - R(ik ) ■ ik
(—) VAt Jk
(5)
LO + L1
Из выражения (5) определим зависимость нелинейного сопротивления от тока:
R(ik)
uk - RO ■ ik - (LO +1)
Ai
At
к
ik
(6)
После этого строим зависимость R(ik ) . Эти
зависимости при разном количестве измерений N приведены на рисунке 3.
а)
б)
Щ)
i
зоо----------------------------------------------------------------------
-150 -100 -50 0 50 100 А
в)
Рисунок 3 - Зависимости сопротивления нелинейного резистора от тока: а - N=2-103, б - N=104 , в - N= 105
Как видно из рисунка 3, при достаточно больших значениях N значение сопротивления R(i) при токе близком к нулю также можно принять равным нулю. Очевидно, что в качестве аппроксимирующей эмпирической формулы следует применить степенную функцию вида:
RR(i) = а ■ ip. (7)
Коэффициенты аппроксимирующего выражения (7)з при которых значения RR(i) возможно
мало бы отличались от опытных данных R(i) з
найдем, используя метод наименьших квадратов. При этом методе сумма квадратов отклонений будет минимальной. Поскольку метод наименьших квадратов разработан для линейных функций, то с помощью логарифмирования приведем функцию (7) к линейному виду:
ln (RR (i)) = ln(a) + Р ■ ln(i) (8)
или УУк = a +b ■ xk, (9)
где УУк = ln(RR(ik )); a =ln(a); b =P ;
xk = ln(ik); Ук = ln (R(ik)) .
Затем находим сумму квадратов отклонений аппроксимирующего выражения и экспериментальных данных
N N
S = Z (УУk - Ук)2 =Z(a + b ■ xk - Уk)2 = min. (10)
k=1 k=1
Приравняем производные выражения (10) по а и по b нулю и получим систему двух уравнений:
ИЯ И N N
—=—Z(a+b ■ xk- Уk)2=Z2(a+b ■ xk- Ук)=0; (11)
da —a k=i к=1
dS_
db
—
db
N
Z(a+b ■ xk
k=1
Ук)2 = Z2(a+b■ xk-Ук)xk = 0. (12)
к=1
79
Решая уравнения (11) и (12), найдем выражения для коэффициентов а и b аппроксимирующей формулы (7):
a =
к=1
ЁУк IЁxk I-IЁxk IЁхкУк
к=1
к=1
N
N
NЁ хк2 -I Ё хк
к=1 V к=1
( N \ ( N \( N \
N
b =
Ё хкУк - Ё хк I Ё Ук
V к=1
J V к=1 JV к=1 J
N
N Ё
хк -
к=1
N
Ё хк
V к=1 J
2
(13)
(14)
к=1
2
2
Коэффициенты аппроксимирующего выражения будут определяться как: а = exp (a); 3 = b .
Для кривой, представленной на рисунке 1 при решении уравнений (13 и 14) получено: а = -23, 302;
а =7,854 10-11, 3 =b=6.142.
Рисунок 4 - Экспериментальная (квадратики) и аппроксимирующая (сплошная) зависимости сопротивления нелинейного резистора от тока
Особенностью аппроксимации нелинейного резистора при включении его в цепь переменного тока является то, что значение сопротивления при отрицательном значении тока не может быть отрицательным. В том случае, когда степень получается нечетной, как в данном случае, в формуле (7) для сопротивления следует брать не сам ток, а модуль тока, т.е. в этом случае аппроксимирующее выражение примет вид:
RR (i ) = а • |i|3 = 7,854 • 10-11 • |i|6,142 . (15)
На рис.4 показаны две кривые зависимости сопротивления от тока - одна экспериментальная, другая рассчитанная по формуле (15). Как видно из рис.4, кривые практически совпадают. Совпадает с экспериментальной и расчетная форма тока.
Следовательно, предложенная математическая модель преобразовательного электровоза пе-
ременного тока, аппроксимирующее выражение для нелинейного резистора этой модели и методика определения его коэффициентов позволяют правильно отражать стационарные и нестационарные процессы в тяговой сети переменного тока с учетом тяговой нагрузки. Результаты проведенного исследования подтверждают правомерность применения математической модели электровоза при проектировании новых и модернизации существующих тяговых сетей переменного тока.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бородулин Б. М., Герман Л. А., Николаев Г. А. Конденсаторные установки электрифицированных железных дорог. М. : Транспорт, 1983.
2. Патент РФ на полезную модель № 117691 U1 G09B 2318. Серебряков А. С., Герман Л. А., Дулепов Д. Е., Семенов Д. А. Устройство для моделирования преобразовательного электровоза переменного тока. Опубл. 27/06.2012. Бюл. № 18.
3. Герман Л. А., Серебряков А. С. Регулируемые установки емкостной компенсации в системах тягового электроснабжения железных дорог: монография. М. : МИИТ, 2012.
4. Герман Л. А., Серебряков А.С. Регулируемые установки емкостной компенсации в системах тягового электроснабжения железных дорог: учеб. пособие. М. : ФГБОУ «УМЦ ЖТ», 2015
5. Тамазов А. И. Несимметрия токов и напряжений вызываемая однофазными тяговыми нагрузками. М. : Транспорт 1965. 235 с.
6. Мамошин Р. Р. Повышение качества энергии на тяговых подстанциях дорог переменного тока. М. : Транспорт, 1973. 223 с.
7. Герман Л. А., Серебряков А. С., Ермоленко Д. В., Гончаренко В. П., Кващук В. А., Максимова А. А. Установки поперечной емкостной компенсации с фильтрацией высших гармонических составляющих в тяговых сетях переменного тока Вестник ВНИИЖТ № 1. 2014. С. 47-54.
8. Черемисин В. Т., Кващук В. А., Бренков С. И. Двухрезонансные фильтрокомпенсирующие устройства электрифицированных железных дорог. Наука и транспорт. С-Петербург : Т-Пресса, 2008. С. 48-51.
9. Герман Л. А., Серебряков А. С., Максимова А. А. Цифровая модель фильтрокомпенсирующей установки с тяговой нагрузкой. Электроника и электрооборудование транспорта № 3. 2014. С. 9-14.
10. Патент на полезную модель № 138738. Фильтрокомпенсирующая установка системы тягового электроснабжения переменного тока // Максимова А. А., Герман Л. А. Опубл. 20.03.2014.
80
11. Патент на полезную модель № 138722. Фильтрокомпенсирующая установка тягового электроснабжения переменного тока // Герман Л. А., Кващук В. А., Максимова А. А. Опубл. 20.03.2014.
12. Правила защиты устройств проводной связи и проводного вещания от влияния тяговой сети электрифицированных железных дорог переменного тока. М. Транспорт, 1969. 135 с.
13. Марквардт Г. Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения. М. : Транспорт, 1972. 224 с.
14. Косарев А. Б., Косарев Б. И., Сербиненко Л.В. Электромагнитные процессы в системах электроснабжения железных дорог переменного тока. М. : ВМГ-Принт, 2015. 349 с.
15. Ермоленко Д. В. Показатели электромагнитной совместимости и методы её обеспечения в системе электрической тяги переменного тока. Диссерт. докт. техн. наук. М. : ВНИИЖТ, 1999. 345 с.
16. Правила устройства системы тягового электроснабжения железных дорог Российской Федерации. ЦЭ-462. М. : МПС, 1997.
17. ГОСТ 32144-2013 Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения.
© 2015
DETERMINATION OF PARAMETERS OF THE MATHEMATICAL MODEL CONVERTER OF AC ELECTRIC LOCOMOTIVES
А. S. Serebryakov, the doctor of technical sciences, the professor of the chair «Electrification and automatization» Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino (Russia)
L. А. German, the doctor of technical sciences, the professor of the chair «Electrification and electro supplying» Nizhniy Novgorod branch of the Moscow state university of ways of connections, Nizhniy Novgorod (Russia)
D. Е. Dulepov, the candidate of technical sciences, the associate professor of the chair «Electrification and automatization»
Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino (Russia)
А. А. Maksimova, postgraduate
Saint Petersburg state university of ways of connections, Saint Petersburg (Russia)
Annotation. The design of traction of alternating current can be considerably simplified, if in the calculations of power losses and voltage drop in them, as well as for calculating the parameters of filter-compensating devices use a mathematical model of electric traction system. The main difficulty of creating a mathematical model of the Converter locomotive is that as a consumer of electric energy, AC electric locomotive is a non-linear active-inductive load with variable parameters. The form of the current consumed from the electric network nonsinusoidal. It sets out the basic harmonic and higher harmonics that distort the voltage waveform in the contact network.
The authors proposed a mathematical model of the Converter of AC electric locomotives containing a linear reactor and a nonlinear resistor. View approximate expressions for the nonlinear resistor and its parameters are determined using experimentally captured waveforms. It is digitized from experimentally obtained oscillograms of the current determined relationship of the current increment to the increment of time for each digitized point. From analytical expressions in the differential form for the voltage in the traction network and the experimental curve of the voltage derivative determined current.
From the equality of the derivatives of the current and their increments at each point, it is done the dependence of the resistance of the nonlinear resistor from the current. It is shown that for the approximation of this relationship best fits the power function. The algorithm of definition of parameters of approximating expression by experimental digitized waveforms of current and voltage in the traction network with the use of the logarithm of the approximate expression and the least squares method.
A mathematical model of a Converter of AC electric locomotives approximating the expression for the nonlinear resistor of this model and method of determining its coefficients allow you to properly reflect the steady-state and transient processes in traction network of alternating current with the given traction load. The results of the study confirm validity of application of the mathematical model of the electric locomotive in the design of new and modernization of the traction network of alternating current.
Keywords: converter AC electric locomotive, a mathematical model, the coefficients of approximate expressions, a nonlinear resistor, method of least squares.
81
