Определение параметров функции Кобба - Дугласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

♦-

УДК 510(022)

♦

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ КОББА - ДУГЛАСА

Поставим задачу нахождения параметров х1, х2, х3 производствен -ной функции Кобба - Дугласа:

У = /(Ь, К, х„ х2, х з) = х1Ьх2 КХз. (1)

Пусть в результате наблюдений измерены значения переменных

и функции (1): Уу,,Kj (у = 1,т) . Необходимо найти вектор X = х1,

х2, х3 , координаты которого удовлетворяют нелинейной системе уравнений:

У. = Х1Ь * К 3 (у = 1, т) .

(2)

При решении системы (2), например методом наименьших квадратов, получим вариационную задачу:

М V(X) = V(X*) , (3)

хеМ

где:

V = £ [Ь ,К, Х1, Х2, Хз) - Уу ]2

(4)

у=1

и М - множество допустимых значений параметров функции (1). Если известно начальное приближение X0 = (х0, х0, х0 ), то от

нелинейного функционала (4) можно перейти к рассмотрению функционала:

I /' (Ьу , Ку, Х°1, Х°2, Х0з )Ах. - а

(5)

VI = I

у=1 ,

в окрестности точки.

Функционал V1 является линейным относительно приращений

искомых параметров Ах1 = х1 - х10, Ах2 = х2 - х0, Ах3 = х3 -х3 и

а.. = У. -/(Ь.,К.,X°) 0 = 1,т).

(6)

Для получения равенства (5) запишем (4) следующим образом:

т г

V = I [/ (Ьу , К у, Х1, х2, Хз) - / (Ьу, Ку., х V Х°2, Х 0з) + у=1

+ /Ь, Ку,Л, х02,Х0з)-Уу ] = £ [а/-ау ]2.

у=1

Заменяя А/ на / = /1 Ах1 + /х'2Ах2 + Д Ахз, (8) получим V ~ У1, где все частные производные:

/Х1 = ьх2 К Хз; (9)

/Х2 = х1Ьх21п(Ь)Кхз; (10)

/Хз = 2 КХз1п(К) , (11)

вычислены в точках (Ьу,Ку,х0,х0,х0) ( = 1,т). Получаем новую вариационную задачу: П X) = X•),

хеМ

которая в общем случае является некорректной1.

(12)

Н.П. Мясникова,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, СГСЭУ

ВЕСТНИК. 2005. № 11

2

В связи с некорректностью задачи (12) будем использовать итерационный метод нахождения минимума другого функционала2. В нашем случае на каждом шаге итерации ' он будет иметь вид:

V, = юУ, + £ (Ах'-1)2,

(13)

где неизвестными являются приращения Ах' = х' -

- х' -1. Доказано, что задача (13) является корректной и при выбранном юпоследовательность векторов X' = (х[,х2,х3), дающая минимум функционалам V,, будет сходиться к решению системы (2). Величину ю в (13) называют параметром регуляризации3, отыскание значения которого является отдельной задачей.

Обозначим = /' (Ь.,К.,X'-1) и запишем ста-

¿у ^ х1 к . J у

ционарную систему для определения неизвестных

Ах(, Ах2, Ах3:

(^ = 2ю£ (£/.Ах' -а'у'1)/у + 2АХ = 0,

1 у=1 <=1

т 3

(^)'а*' = 2ю£ (£ /уАх' - а'-1)/2у + 2Ах2 = 0, (14)

2 у=1 1=1

т3

= 2ю£ (£ /'Ах' - а'у-1)/3. + 2Ах3 = 0.

у=1 <=1

Запишем (14) в виде уравнения:

Лй = В, (15)

где А - матрица коэффициентов при векторе переменных В = (Ах1, Ах2, Ах3), состоящая из элементов:

т I \ т I \

аи = ю£(л'уI +1, а12 = ю£\f2jfij),

У=1 У =1

т I \

а13 = ю£ (У), (16)

У=1

= ю£ (/2У-)2 +1 а23 = ю£ (уо ),(17)

£ Ау )2 +1, (18)

а 21 = а12 , а 22

У=1 У=1

а31 — а13 , а32 — а23 , а33 — СО

У=1

и В - вектор правых частей, элементами которого являются:

Ь, = ю£ а':1/;, (1 = 1,3).

у=1

(19)

Алгоритм определения параметров функции Кобба - Дугласа

Пусть е - заданная точность решения системы (2).

1. Выберем начальное приближение X0 =

= (х", х0, х30) и значение параметра регуляризации.

т

2. Вычислим сумму квадратов Н0 = £(ау)2 ,

у=1

используя формулу (6).

3. Вычислим элементы матрицы А и вектора В по формулам (16) - (19) для нулевого приближения X 0.

4. Найдем Ах1, Ах2, Ах3, решая систему (15), например, по формулам Крамера.

5. Определим координаты вектора

6. Вычислим сумму квадратов для вектора X 1 по формуле:

Н = £(/(Ьу,Ку, х1,х1,х3) -Гу)2.

(20)

у=1

7. Если Н1 < е, то X 1 принимаем за решение системы (2) и переходим к п. 9. Если Н1 > е, то переходим к п. 8.

8. Если Н1 < Н0, то за вектор X0 принимаем вектор X 1, Н0 заменяем Н1 и переходим к п. 3. Если Н1 > Н0, то определяем новое значение параметра регуляризации сои переходим к п. 3 алгоритма.

9. Итерационный процесс закончен. Решение системы (2) найдено с заданной точностью е.

Пример

Для иллюстрации метода приведём результаты вычислительного эксперимента по решению задачи с точными значениями параметров х1, х2, х3 функции Кобба - Дугласа Г = хгЬх2Кх с помощью описанного алгоритма. Пусть известны начальные приближения X 0 параметров, их точные значения

(табл. 1) Ьу = 100 + (у -1)10, Ку = 10 + (у -1)2, ^ = = хьу К;3 ( = 1,10).

Таблица 1

х1 х2 х3

Точные значения X 0,2 0,3 0,7

Начальное приближение X0 0 0,5 0,5

Покажем, что задача (12) поставлена некорректно и переход к задаче (13) обоснован.

Будем искать решение системы (2) как минимум функционала (12). Соответствующую стационарную систему можно получить, используя формулы (16) - (19), полагая ю= 1 и уменьшив диагональные элементы а11, а22, а33 матрицы А на 1. Начальному приближению X 0 из табл. 1 соответствует система:

29200Ах1 + 0Ах2 + 0Ах3 = 3909,476, 0 Ах1 + 0Ах2 + 0Ах3 = 0, 0 Ах1 + 0Ах2 + 0Ах3 = 0,

1=1

Таблица 2

Номер итерации Х1 х2 хз Н о Н, Ю

1 X0 0,000000 0,500000 0,500000 523,62100894 1000

X1 0,133886 0,500000 0,500000 0,19616658

2 X0 0,133886 0,500000 0,500000 0,19616658 1000

X1 0,174654 0,332236 0,678377 0,74694899

3 X0 0,133886 0,500000 0,500000 0,19616658 125

X1 0,160086 0,367460 0,655670 0,14530910

4 X0 0,160086 0,367460 0,655670 0,14530910 125

X1 0,188231 0,315199 0,690197 0,09711927

5 X0 0,188231 0,315199 0,690197 0,09711927 125

X1 0,197486 0,303751 0,697578 0,00060621

6 X0 0,197486 0,303751 0,697578 0,00060621 125

X1 0,199421 0,300924 0,699404 0,00000120

7 X0 0,199421 0,300924 0,699404 0,00000120 125

X1 0,19986 0,30022 0,699855 0,00000001

которая имеет бесчисленное множество решений, что нарушает требование единственности при кор -ректной постановке задачи.

Следует заметить, что при рассмотрении систе -

мы (2) с приближёнными значениями У () = 1,т), что имеет место в реальных задачах, к неоднозначности получаемых решений системы (21) прибавится ещё их неустойчивость4 относительно погрешнос -ти в исходных данных.

Воспользуемся теперь предложенным алгоритмом и найдём решение системы (2) для исходных данных табл. 1, выбрав с = юоо и е = 0,00001. Координаты векторов X 1 соответствующего итерационного процесса представлены в табл. 2.

Относительные погрешности отклонений зна -чений параметров вектора X 1 при I = 7 от соответствующих координат х1, х2, х3 точного решения Х

из табл. 1 соответственно равны 0,07%, 0,3%, 0,02%. Полученные результаты показывают, что последовательность X 1 сходится к точному решению. Это позволяет в дальнейшем рассмотреть задачу с реальными данными, которые получают в ходе наблюдения за тем или иным экономическим процессом.

1 См.: Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.

2 См.: Молоденкова И.Д., Ковалёв И.Ф. Корректность постановки задачи разделения перекрывающихся контуров спектральных линий // Известия вузов. Серия «Физика». 1972. № 3. С. 151 - 153.

3 См.: Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Указ. соч.

4 См.: Там же.