Определение обобщенного полинома по его аттрактору Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 4

УДК 531.19 Р. Н. Мирошин

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ПОЛИНОМА ПО ЕГО АТТРАКТОРУ

Аттрактором функции f (x) называется аттрактор [1] динамической системы

xfc+i = f (xk), k = 0,1, 2,..., (1)

в которой k играет роль времени, а xk,f(xk) € [a,b]. В [2] решена важная в приложениях задача определения функции f (x) в (1) по ее хаотическому аттрактору с плотностью распределения инвариантной меры, удовлетворяющей уравнению Фробениуса-Перрона. В [3] изучен вопрос об отыскании f (x) по ее аттрактору конечного периода в случае, когда f (x) - степенной полином. При этом обнаружился ряд свойств, которым должна удовлетворять последовательность чисел, чтобы быть аттрактором полинома фиксированной степени. В частности, удалось получить [3] аналитическое представление аттрактора периода 3 для уравнения Ферхюльста [1]. В настоящей статье показываем, как по аттрактору конечного периода восстановить функцию f (x), предполагая, что f (x) - обобщенный полином fn(x) вида [4]

П

fn(x) = ^2 aiUi(x), x € [a, b]. (2)

i=0

Здесь {ui(x)}n=0 - чебышёвская система функций [4] на [a,b], т. е. такая система, что из xi = xj, i,j = 0,1,...,n, следует

An = det{ui(xj )}nj=o = 0. (3)

Не теряя общности, будем далее считать, что [4]

Ап > 0 при a ^ xo < xi < ■ ■ ■ < xn ^ b.

Итак, пусть известно, что обобщенный полином (2) имеет аттрактор (xi,...,x<mn) периода m, так что [1]

fn (xj )= x°+i, j = 1,...,m - 1, fn(x0m)= x°, (4)

Мирошин Роман Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник кафедры гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 160. Научные направления: аэродинамика разреженных газов, случайные процессы, специальные функции математической физики, нелинейная динамика. E-mail: miroshin-roman1938@yandex.ru.

© Р. Н. Мирошин, 2010

а для мультипликатора Мт = ПП=1 /'и (х0) выполняются неравенства

— 1 < Мт < 1 (5)

(штрихом у знака функции здесь и далее мы обозначаем дифференцирование по ее аргументу). Требуется найти коэффициенты а0,а1,...,ат в (2).

Очевидно, при п + 1 = т эти коэффициенты определяются из системы линейных относительно них алгебраических уравнений, в которые переходят равенства (4) для полинома (2):

П П

^ агщ(х0) = х0+1, ] = 1,...,п, "^2 агщ(х°т)= х1 (6)

г=0 г=0

Вследствие (3) система (6) имеет единственное решение, отыскиваемое по правилу Крамера:

а* ~т (1б1 |м0 (,Xj), • • • ,1^—1 {xj), х^^_ 1 {xj), • • • , ип ) |^, хп+2 = (^)

Ди

(как принято в [4], мы записываем определитель, указывая только одну его строку). Неравенства (5) накладывают ограничения на выбор чисел х°1,...,хПп, образующих аттрактор периода т. Требуемый обобщенный полином, таким образом, построен.

При п +1 < т коэффициенты в (2) находятся единственным образом из любых

(например, первых) (п + 1)-го уравнений в (6). Прочие уравнения в (6) связывают (т —

п — 1)-й функциональной зависимостью элементы аттрактора. Сверх того, элементы аттрактора должны удовлетворять и неравенствам (5). Необходимость в выполнении этих неравенств и функциональных связей ограничивает произвол в выборе элементов аттрактора.

Когда же п +1 > т, число неизвестных в системе (6) превышает число уравнений, так что решение задачи неоднозначно. Если {ь^1 (х),...,щт (х)} также чебышёвская система, где (%1,..., гт) - набор чисел из (0,1,..., п), то, выражая т соответствующих коэффициентов {щ1,..., а^т} через остальные с помощью (6) и подставляя результат в (5), получаем область возможных значений этих остальных коэффициентов, решающих задачу. Для выбора единственного решения требуется дополнительная информация. Наиболее простой и естественной ее формой является задание значений обобщенного полинома (2) в каких-либо точках хт+1,... ,хи+1 (не совпадающих с элементами аттрактора), что дает в придачу к (6) еще п +1 — т уравнений

П

^2 а1щ(хк)= Ьк, к = т +1,...,п+1. (8)

г=0

В системе (6), (8) число неизвестных равно числу уравнений, определитель Ди, в силу (3), отличен от нуля, так что коэффициенты ао, а1, ...,аи полинома (2) определяются однозначно по правилу Крамера (7). Выполнение неравенств (5) будет означать тогда, что существует и единственен обобщенный полином (2), имеющий периодический аттрактор (х1,..., хПп) и принимающий в точках хт+1,..., хи+1 соответственно значения Ьт+1,..., Ьи+1. В противном случае (при невыполнении (5)) такого полинома не существует, хотя построенный полином имеет цикл (х0,..., хПп) периода т (но не аттрактор).

Сравнивая вышесказанное с тем, что написано в [3], видим, что с переходом от степенного полинома к обобщенному путь решения поставленной задачи мало изменился.

Однако возможности от решения этой обратной задачи (определения функции по ее аттрактору) значительно возросли, ведь система из степенных функций - всего лишь одна из чебышёвских систем [4] (правда, наиболее распространенная).

Перейдем к рассмотрению случаев т = 1 и т = 2, т. е. определим полином (2) по аттрактору типа стационарной притягивающей точки (т = 1) и по циклическому аттрактору периода 2 (т = 2).

Случай то = 1. Пусть дано число х° € [а, Ь] и требуется найти коэффициенты ао,... ,ап обобщенного полинома (2), для которого х0 - аттрактор, т. е.

= 1п(х°), \/П (Х0)| < 1.

(9)

Функции {щ(х)}П=о заданы и образуют чебышёвскую систему при х € [а,Ь]. Если ио(х0) > 0, то из (9) имеем

ао

ио(х0)

Е

1=1

х — у а^щ(х )

(10)

Подставив (10) в (2), определяем, что

1п(х) =

ир(х) и0(х0) и0(х0)

X, +

х°, х)

(11)

где введено обозначение

^(х0, х)

ио(х0) щ(х0)

ио(х) щ(х)

Дифференцируя (11) по х, приводим неравенство в (9) к следующей форме (если, разумеется, щ(х0) > 0):

— 1 < х0[1пи0(х0)]' + а^и^х0)

1п

г(х°)

и0(х0)-

< 1.

(12)

Этот тривиальный результат оказывается, однако, весьма полезным, что мы продемонстрируем на нескольких примерах (в них х0 - аттрактор, х0 € (а,Ь)).

Пример 1. Пусть п = 1, т. е. /1(х) = а0и0(х) + а1 и1(х). Пусть и0(х0) > 0, и1(х0) > 0 при х0 € (а,Ь). Согласно (10), коэффициент а0 определяется через коэффициент а1, который должен находиться в интервале, задаваемом, в силу (12), неравенствами

— 1 — х0[1пи0(х0)]' < а1и1(х°)

1п

и1 ( х0 )

и0(х0)-

< 1 — х0[1п и0(х0)]'.

Любое число а1 из этого интервала вместе с а0 = [х0 — а1и1(х0)]/и0(х0) решает поставленную задачу.

Пример 2. Пусть п = 2 и а = 0, Ь = 1, /2(0) = /2(1) = 1, х° € (0,1). Очевидно, для определения а0, а1, а2 имеем уравнения

а^щ(0) = 0, ^2 а^щ(

а,и,(х°) = х°,

аIщ(1) = 0,

(13)

х

1

которые однозначно разрешаются в случае, когда {и0(х),и1 (х),и2(х)} - чебышёвская система при х € [0,1], т. е. когда

й.е1{и0(х1),и1(х1),и‘2(х1)}‘1=0 > 0, 0 ^ х0 < х1 < х2 ^ 1.

Это решение находится по правилу Крамера [7]. В частности, если и0(0) = 0, а и1(0) = и2(0) = 0, из (13) следует

х0 х0

ао = 0, а.1 = Л ' т и2{1), а2 = — ^1(1),

A(x0)

где

Л(х°

ui(x0) u2(x°)

ui(1) U2(1) Таким образом, искомый полином имеет вид

'”0 ио(х°) Ui(x°)

Л(х0)

> 0.

f2(x) =

Л(х0)

uo(x) Ui(x)

(14)

причем условие \/'(х0 )\ < 1, при котором х0 - аттрактор для /2(х), преобразуется к неравенствам

—Л^0) < x0

u[(x0) u2(x0)

< Л(x0),

(15)

и1(1) и2(1)

ограничивающим область аттракторов типа стационарной притягивающей точки х0 для обобщенных полиномов /2(х), где х € [0,1], /2(0) = 0, /2(1) = 0.

Если, к примеру, мы возьмем чебышёвскую систему {1,хк,х1}, х € [0,1), где I > к > 0, I — к = р, то

Л(x) = xk (1 — xp),

u[(x0) u2(x0) u!(1) u2(1)

xk-1(k — lxp),

и неравенства (15) суть

— 1 + (x0)p <k — l(x0)p < 1 — (x0)p.

Разрешая эти неравенства относительно х0, определяем, что х0 может быть аттрактором полинома (14) только в области

k1

< (x0)p <

I — 1 " 1 " I +1 '

В [3] выведены подобные неравенства для к = 1, I = 2 и к = 2, I = 3.

Случай 2. Пусть задана пара чисел (х1,х2), а ^ х\ < х2 ^ Ь. Если {мо(ж), «1(2;)} чебышёвская система в [а, Ь], то

Л01 (x!,x2)

u0(xi) u0(x2) ui(xi) ui(x2)

> 0.

Поэтому из условия, что (xi, x2) - цикл периода m = 2, т. е.

fn(xi )= x2, fn(x2 )= xi,

(16)

находим по правилу Крамера, решая систему (16):

1

ао

аі =

Лоі(хі ,Х2)

1

Лоі (хі,Х2)

Х2 Хі

иі(хі) иі(х2)

Х2 Хі ио(хі) ио(х2)

-£ «

і=2

п

+т

Аі1(х1,х2) Лоі(хі,х2) ’

Аі0(х1,х2) г Д0і(хі, х2) ’

где

Лік (хі,х2)

иі(хі) иі(х2) ик(хі) ик (х2)

Подставив эти формулы в (2), получаем представление для полинома /п(х) при п ^ 2 в виде

1п(х) =

1

іп

Лоі (хі,х2) а при п = 1 - так:

Ґі(х

—2 й-1 і^і ио(х) иі (х)

1

(х) іп

-2 і і

(хі) - х2 Тп=2 аіиі(х2) - хі

ио(хі) иі(хі)

ио(х2)

иі(х2)

(17)

Лоі (хі,х2)

0 -х2

ио(х) ио(хі)

иі(х) иі(хі)

- хі ио(х2) иі(х2)

т. е. полином /\(х) полностью определен своим циклом периода 2. Если цикл (х1 ,х2) - аттрактор, то, в силу (5), из (17) следует, что коэффициенты а2,...,ап при п ^ 2 лежат в области, задаваемой неравенствами

-1 < Ґп (хі) • Ґп (х2 ) < 1

(18)

без ограничений на хі,х2, а при п = 1 неравенства (18), возможно, ограничивают область значений аттрактора:

1<

1

Лоі (хі,х2)

0 - х2 -х 0 -х2 -х і

и'о(х і) ио(х ) ио(х2) и'о(х2 ) ио(х ) ио(х2 )

и і(хі) и і(хі) и і (х2 ) и і (х2 ) и і(хі) и і (х2 )

Посмотрим на примерах, осуществляется ли эта возможность (при п =1).

< 1. (19)

Пример 3. Пусть ио(х) = 1, иі(х) = хт, т > 1, х Є [0,1]. Положим хі = а • х2, где 0 ^ а < 1. В таком случае

і

(1 - а)

1 - ат

, ґі (х2 ) = -

т(1 - а) 1 - ат

Левое неравенство в (19), в силу /'(х\)/'(х2) > 0, тривиально выполняется, а правое приводится к виду

Р(а) = (1 - ат)2 -

а"~ Г - т~а"" ~(1 - а) > 0 .

(20)

Функцию Р(а) разложим на два множителя (как разность квадратов), один из которых

1 — ат + та 2 (1 — а) при 0 ^ а < 1 очевидным образом положителен, а второй

(3(а) = 1 — ат — та 2 (1 — а)

также положителен при 0 ^ а < 1, что не так очевидно. Докажем это. Дифференцируем Q(а) по а:

Сд'(а) = —та 2 Д(а),

где

В свою очередь,

. т+і то — 1 то + 1 хх(оі) = О, 2 ~\~ —

_, . , 7ТЬ 1 / т— 1 ч

К (а) = —-— (а 2 — 1) < 0, 0 ^ а < 1, то > 1,

так что Н(а) убывает в [0,1), шт Н(а) = И(1) = 0. Поэтому Н(а) > 0 в [0,1), а значит, Q'(а) < 0, т. е. Q(а) также убывает в [0,1), штQ(а) = Q(1) = 0. Таким образом, Q(а) > 0 при 0 ^ а < 1, что и требовалось доказать. Тем самым выполняется и неравенство (20). Следовательно, ограничений на аттрактор (х\,х2) в этом примере нет.

Пример 4. Пусть ио(х) = х1, и1(х) = хт, т > I > 0, х € ([0,1]). По-прежнему пусть

(х\, х2) - аттрактор периода 2. Положим х2 = ах\, а > 1, т — I = р. Ищем полином

/г(х) = аоио(х) + ахих(х),

для которого (х\,х2) - аттрактор. Имеем

До1 (хъх2) = х'2+т(ат — а1) > 0.

Пусть дополнительно /1(1) = 0. Тогда для определения ао и а,1 есть три уравнения:

/1(0) = 0, /1(х1) = х2 , /1(х2) = х1 ,

т. е.

ао + аі = 0 , аох\ + аіхт = х2 , аох2 + аіхтт = хі,

из которых, исключая коэффициенты ао и а1 , получаем параметрическое представление для х2 и х1 через параметр а:

а1+1 — 1 Р а ^ 1

Хо = ЫХл , Х\ = ------—— < 1.

2 1 ат+1

Оно приводит и к параметрическому представлению для ао = —а1:

, ат+1 — 1 о

ап = Ха -----------Г" > 0.

0 1 _ гЛ

После несложных преобразований мультипликатор записывается в виде

М = {а,ох1—і^2{і — тхр^(і — тархр ^а1-і. (21)

Конкретизируем теперь і, т и р, полагая і = 1, т = 3, р = 2. В этом случае из (21)

находим, что

М = М(/3) = ^(/3 —2)(1 —2/3),

где в = а2 > 1.

Очевидно, М > 0 при 1 < в < 2, так что левое неравенство в (5) выполняется

автоматически при таких в. Правое же неравенство приводится к 2(1 — в)2 > 0 и,

естественно, тоже выполняется.

Когда же в > 2, то М < 0 и в (5) правое неравенство М < 1 выполняется автоматически. Левое же (М > —1) дает (в — 2)(1 — 2в) + в > 0, т. е. —в2 + 3в — 1 > 0, что возможно только для в, удовлетворяющих неравенству

Таким образом, (хі, ахі) может быть в рассматриваемом случае аттрактором лишь при

!<«<.. ,

Пример с т = 2, I = 1 разобран в [3] (когда уравнение (1) - уравнение Ферхюльста).

Замечание. Если не следить за выполнением неравенств (5), то вышесказанное можно рассматривать как решение задачи об определении полинома по его известному циклу конечного периода. Однако найти цикл, если он не аттрактор, весьма сложно и в практике компьютерных расчетов, и в экспериментах с реальными динамическими системами. Аналитически мы, тем не менее, можем указать эти циклы, решая системы линейных алгебраических уравнений, и тем самым предоставить возможность проверить, будут ли они аттракторами. Эта проверка аналитически трудна, ведь нужно решать нелинейные неравенства (5), но на компьютерах сложности не представляет.

В примере 5 будет показано, как найти область, в которой существует цикл периода 3 для степенного полинома, обобщающего полином Ферхюльста. По теореме А. Н. Шарковского отсюда будет следовать, что у рассматриваемого полинома есть конечные циклы всех периодов.

Пример 5. Пусть (х1, хх, хз) - цикл периода 3 для полинома

/1(х) = аох1 + а1хт, х € [0,1], (22)

где т > I > 0. Система х1 ,хт - чебышёвская в интервале (0,1]. Обозначив х1 = шах(х1,х2,хз), введем положительные параметры а и в равенствами х2 = ах1, хз = вх1, 0 < а < 1, 0 < в < 1. Так как /1(0) = /1(1) = 0, имеем ао = а,1 = а и систему из трех уравнений для а, а и в:

а(х\ — хт) = ах1, а(х11 а1 — х™ ат) = вх1, а(х11в1 — х™ вт) = х1.

Из этой системы определяем, разделив первое уравнение на второе, а второе на третье, что при п = т — I

„ /?-аг+1 /Зг+1 — а1 [3 — ат+1

х\ — т;-----гг — т;—п-------------? а — ~г~л—;----------------------• (^)

1 О \ \ / — 1 }/л \ V '

в — ат+і вт+і — ат х[-іа1 (1 — а)'

Отсюда получаем связь между а и р. Ограничимся случаем т = I + 1, поскольку его сравнительно просто можно рассмотреть аналитически.

Из первого равенства в (23) находим, что

Н(р) = рт+1 — (1 + ат)рт + ат+1рт-1 + ат-1(1 — а)=0. (24)

По правилу знаков Декарта из (24) заключаем, что Ъ,(в) имеет или два положительных корня, или ни одного. Функция к(р) непрерывна и

И,(0) > 0, Н(1) = ат-1(1 — а)2 > 0, И,(ж) > 0. (25)

Дифференцируем Н(р):

Н'(в)= рт-2Н1(в), Н1(р) = (т +1)р2 — т(1 + ат )р +(т — 1)ат+1. (26)

Детерминант квадратного уравнения в (26) равен

Б = т2(1 — а)

т—і

(1 — ат ) ^ а1 + 4ат

о

4ат+і > 0.

т. е. вещественные корни уравнения кі(в) = 0 существуют и выражаются формулой

то(1 + ат) ± а/О

ві,2(а) =

2(т + 1)

Корень ві (со знаком «минус» перед радикалом) положителен и меньше единицы. Больший корень в2 также меньше единицы, в чем нетрудно убедиться. В силу (25), при переходе через ві производная меняет знак с плюса на минус, а через в2 - с минуса на плюс. Поэтому максимум функция к(в) имеет в ві, а минимум - в в2. Если этот минимум отрицателен, то в диапазоне (ві.в2) существуют два корня вз.в4 уравнения (24), которые дают две ветви вз(а) и ві(а), связывающие параметры а и в и тем самым определяющие цикл (хі.ахі.вхі) периода 3 для уравнения (22).

Очевидно, при а = 0 имеем к(в) = вт(в — 1) < 0, т. е. диапазон значений а, в котором к(в) < 0, начинается с а = 0. В то же время

нв) = вт—і(1 — в)2 > 0. в2(1) = 1.

а=і

Покажем, что минимум в2(а) достигается при а = 0. Тогда существует такая точка ао, для которой к(в2) < 0 при 0 ^ а < ао. Рассмотрим разность

т ш(1 — ат) — \[Т)

Л а = —ГГ ~ ^ , п----•

т +1 2(т + 1)

Функция /і(а) = то(1 — ат) — л/Т) отрицательна, поскольку

т2(1 — ат)2 — Б = 4ат[т2(а — 1) — а] < 0.

Поэтому

т

тіп (32(а) =-------—г = /?2(о).

о^а^і т +1

Таким образом, в диапазоне 0 ^ а < ао функция h(p2) = min h(fi) отрицательна, т. е. существуют два пересечения оси абсцисс кривой h(fi) - корни вз(а) и в4(а). Аналитически исследовать неравенства (5) в рассматриваемом примере трудно, так что хотя мы и доказали существование цикла периода 3, но для решения вопроса, будет ли он аттрактором, нужно проводить компьютерные расчеты. В случае l = 1, m = 2, т. е. для уравнения Ферхюльста, из такого расчета следует, что из двух ветвей вз(а) и ^^(а) аттрактор образует только одна (см. [3]).

Литература

1. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / пер. с англ. А. В. Гапонова-Грехова, Ф. М. Из-райлева и др.; под ред. М. И. Рабиновича. М.: Мир, 1988. 240 с. (Schuster H. G. Deterministic chaos.)

2. Мирошин Р. Н. Простейшая обратная задача нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1996. Вып. 2. С. 44—49.

3. Мирошин Р. Н. Определение полинома по его аттрактору // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1997. Вып. 2. С. 34—40.

4. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука, 1976. 568 с. (Karlin S., Studden W. J. Tchebycheff systems: with applications in analysis and statistics.)

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 10 июня 2010 г.